Parte 4 (Aulas 8 e 9) Variáveis Aleatórias

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Profa. Lidia Rodella 
UFPE-CAA 
 Seja S um espaço amostral associado a um 
experimento aleatório. Variável aleatória é 
uma função ou regra que associa a cada 
elemento s ∈ S um número real X(s), isto é, 
atribui um valor numérico para cada 
resultado s no espaço amostral S de um 
experimento aleatório. 
 
S 
s X(s) 
X 
Variável 
Aleatória 
 Ex: 
Experimento: lançamento de 2 moedas. 
 
 
X: número de caras obtidas nas duas 
moedas. 
 CaCaCaCCCaCCS ,,,
01 x
Corresponde ao evento (CC) 
12 x
Corresponde aos eventos (CCa) e (CaC) 
23 x
Corresponde ao evento (CaCa) 
Elementos do S Probabilidade 
CC 
CCa 
CaC 
CaCa 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
Probabilidade de : P( ) 
0 
1 
2 
x x x
P(X=0) = P(0) =1/4 
1/2 
1/4 
Função de probabilidade de X. 
1)(0  ixP
 1)( ixP
para todo i. 
todo i 
 )(, ii xPx
O conjunto de pares é chamado 
de distribuição de probabilidade de X. 
 Discreta 
◦ Os valores podem ser enumerados; 
◦ Resultam de alguma forma de contagem. 
 
 Contínuas 
◦ Não enumeráveis, podem assumir qualquer valor 
dentro de um intervalo de variação; 
◦ Pode assumir valores numéricos decimais; 
◦ Resultam de uma mensuração. 
 Ex1: (Variável aleatória discreta) 
 O ponteiro dos segundos de um relógio mecânico 
pode parar a qualquer instante. 
 X = indica o ângulo que o ponteiro forma com o eixo 
imaginário passando pelo centro do mostrador e pelo 
número XII. 
 
XII 
VI 
III IX 
0° 
90° 
x
180° 
270° 
Distribuição de Probabilidade de X: 
O ponteiro dá um “salto” por segundo. 
60 “saltos” 360º/60 = 6º/salto 
x
)(xP
0º 
1/60 
6º 
1/60 
12º 
1/60 
18º 
1/60 
... 
... 
348º 
1/60 
354º 
1/60 
 Ex2: (Variável aleatória contínua) 
 O ponteiro dos segundos de um relógio elétrico 
pode parar a qualquer instante. Para um relógio 
elétrico o ponteiro dos segundos move-se 
continuamente. 
 X = indica o ângulo que o ponteiro forma com o eixo 
imaginário passando pelo centro do mostrador e pelo 
número XII. 
 
Quais os valores que X pode assumir ? 
}3600/{)360,0[  xx
Qual a probabilidade de X = ? 
ix 0)(  ixXP
Qual a probabilidade de que X esteja entre 0º e 90º ? 
 )º90º0( XP
XII 
VI 
III IX 
0° 
90° 
x
180° 
270° 
1/4 
 )º150º120( XP
1/12 
º360
)(
ab
bXaP


(em graus) 
º360
)(
ab
bXaP


)(xf
x
a b c d
360
1
)( bXaP  )( dXcP 
3600
)(xf
º0x
º360º0  x
º360x
0, se 
1/360, se 
0, se 
A distribuição de probabilidade para uma 
variável contínua X é representada por uma 
curva e a probabilidade de que X assuma um 
valor no intervalo de a e b (a<b) é dada pela 
área sob a curva limitada por a e b. 
Função de densidade de probabilidade da variável aleatória X 
 Como calcular a área se a função de densidade de 
probabilidade (f.d.p) não for linear? 
)(xf
x
a b
 )( bXaP

b
a
dxxf )(
Ex: 
 )( bXaP

b
a
dx
360
1
b
a
x
360

360360360
abab 

0)()(
0
0
0  
x
x
dxxfxXP
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP 
1) , isso implica que: 
2) A f.d.p de uma V.A. definida para todos os valores de , 
 satisfaz as seguintes condições: 
i) 
0)( xf
x bxa 
x
entre a e b. 
ii) 
 
b
a
dxxf 1)(
3) A f.d.p, , não representa a probabilidade de coisa alguma! 
Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá 
uma probabilidade, que será a área sob a curva entre esses limites. 
)(xf
 Ex: 
)(xf
,2x
0, para outros valores. 
10  x
a) é uma função de densidade de probabilidade? 
b) 
)(xf
)2/10(  xP
a) 
 i) 
 
 
 ii) 
0)( xf
x
entre 0 e 1. 

1
0
2xdx
1
0
2
2
2x

1
Ok! 
Ok! 
)(xf
é uma f.d.p 
c) 
)3/23/1|2/1(  xxP
 Ex: 
)(xf
,2x
0, para outros valores. 
10  x
b) 
)2/10(  xP

2/1
0
2)2/10( xdxxP 2/1
0
2 |x
4/1
)(xf
x
1 1/2 
1 
2 
4
1
2
1
2
1


trianguloA
 )12/1( xP 4/34/11|2 1 2/1
2
1
2/1
 xx
Os dois intervalos tem a mesma amplitude, 
mas probabilidades diferentes. Ou seja, a 
probabilidade de que a V.A. X assuma um 
valor num intervalo de amplitude fixa depende 
da posição do intervalo. 
 Ex: 
)(xf
,2x
0, para outros valores. 
10  x
c) 
)3/23/1|2/1(  xxP
 
 3/23/1
3/23/12/1
)3/23/1|2/1(



xP
xxP
xxP
 
 3/23/1
2/13/1



xP
xP
  
2/1
3/1
22/13/1 xdxxP
36
5

  
3/2
3/1
23/23/1 xdxxP
12
5

1. Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes. 
Seja Y o número de caras obtidas. Calcule 
a distribuição de Y. 
 
2. A função de densidade de probabilidade 
de uma variável aleatória X é dada por: 
 
 
 
 
a) Qual o valor deve ter a constante C? 
b) Determine: e 
0x
2/10  x
1x
0, se 
0, se 
)(xf
12/1  x
,Cx
),1( xC 
)2/1(),2/1(  xPxP )4/34/1(  xP
)()( xXPxF 
Seja X uma VA aleatória (continua ou discreta). A função de 
distribuição acumulada F(x) é a probabilidade de que X assuma 
qualquer valor menor ou igual a algum x especifico. 
a) Caso discreto: é a soma cumulativa das probabilidades, a 
partir da adição do menor valor até o maior valor de x. 

j
jxPxF )()(
,j .xx j 
b) Caso contínuo: a área acumulada à esquerda de um 
dado valor de X. 
 
x
dxxfxF )()(
 Ex1 (caso discreto): 
0 1 2 
1/10 6/10 3/10 
x
)(xP
)(xF
)(xF
)(xF
)(xF
0x
10  x
21  x
2x
se 
se 
se 
se 
)(xF
x
0 
1 
2 1 
0 
1/10 
1/10 
7/10 
7/10 
1 
 Dada qual o valor de ? 
)( jxP
)(xF
)()()( 1 jjj xFxFxP
10/1)0()0(  FP
Ex1: 
10/610/110/7)0()1()1(  FFP
10/310/71)1()2()2(  FFP
 Ex2 (caso contínuo): 
)(xF
 
x
dxxf )(
)(xF
0x
10  x
1x
se 
se 
se 
0 
1 
)(xf
,2x
0, para outros valores de . 
10  x
x
  
x
dxxfdxxf
0
0
)()( 
x
xdx
0
2
2x
0 
)(xF
 Ex2 (caso contínuo): 
)(xF
)(xF
0x
10  x
1x
se 
se 
se 
0 
1 
2x
)(xF
)(xF
x
0 
1 
1 
 Dada e qual o valor de 
? 
)( bxaP )(aF
)()()()( aFbFdxxfbxaP
b
a
 
)(bF
(b>a) 
)(xf
x
0 
a
b
)()( aFbF 
 Propriedades: 
 
◦ se ; 
 
Vimos que 0 ≤ F(x) ≤ 1, para todo x real; além disso, 
F(x) é não-decrescente e possui as duas seguintes 
propriedades: 
 
◦ ,ou seja, ; 
 
◦ ,ou seja, . 
 
 
)()( 2121 xFxFxx 
0)(lim 

xF
x
0)( F
1)(lim 

xF
x
1)( F