Parte 5 (Aulas 9 e 10) Valor Esperado e Variância

Prévia do material em texto

Profa. Lidia Rodella 
UFPE-CAA 
 O valor esperado, , de uma variável 
aleatória discreta é definido como: 
)(XE
X



n
i
ii xpxXE
1
)()(
onde, 
nxxx ,...,, 21
: valores possíveis de X. 
)()( ii xXPxp 
 É a mesma média que aprendemos 
anteriormente? 
 
Notas de 100 alunos: 
 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,3,3,3,
3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,0 
Como podemos encontrar a média? 
- Somar todos os números e dividir por 100: 
92,2
100
292

- Multiplicar cada número pela quantidade de vezes que ele 
se repete, somar os resultados e dividir por 100: 
128324 
105353 
54272 
551 
010 
2920554105128 
92,2
100
292

x )(xp
4 
3 
2 
1 
0 
0,32 
0,35 
0,27 
0,05 
0,01 
)(xxp
1,28 
1,05 
0,54 
0,05 
0,00 
00,005,054,005,128,1)( XE
92,2)( XE
 é uma média ponderada dos diferentes 
valores de X com pesos dados pelas 
respectivas probabilidades. 
)(XE
 Ex: 
◦ Experimento: lançamento de um dado; 
◦ X: número de pontos obtidos. 
?)( XE
x )(xp
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
6
1
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1)( XE
5,3)( XE
 não é o resultado que podemos esperar quando X 
for observada uma única vez. 
)(XE
 é a média aritmética dos resultados quando X for 
observada um grande número de vezes. 
)(XE
 O valor esperado, , de uma variável 
aleatória contínua é definido como: 
)(XE
X



 dxxxfXE )()(
onde, 
)(xf
: é a função de densidade de probabilidade. 
 Ex: 
)(xf
,2x
0, para outros valores de . 
10  x
x



 dxxxfXE )()(




1
1
0
0
)()()()( dxxxfdxxxfdxxxfXE




1
1
0
0
020)( dxxdxxdxXE
 
1
0
1
0
3
2
3
2
3
22)(
x
dxxXE
 Ex2: (relógio elétrico) 
 
360
0
360
0
2
180
2360
1
360
1
)(
x
dxxXE
)(xf
º0x
º360º0  x
º360x
0, se 
1/360, se 
0, se 
a) Caso discreto: 



n
i
ii xpxHxHEYE
1
)()()]([][
X
b) Caso contínuo: 
Seja uma variável aleatória e seja 
).(XHY 



 dxxfxHxHEYE )()()]([][
X 0 1 2 
p(xi) 1/4 2/4 1/4 
a) Caso discreto: 



3
1
)()12(]12[)]([
i
ii xpxxExHE
b) Caso contínuo: 

1
0
22 22]2[)]([ xdxxxExHE
Ex: 
12)(  xxH
?)]([ xHE
3
4
1
5
4
2
3
4
1
1 
)(xf
,2x
0, para outros valores de . 
10  x
x
22)( xxH 
1|4 10
1
0
43   xdxx
Seja uma variável aleatória e uma constante. 
 
 ; 
 
 ; 
 
 ; 
 
 
 
 
Se então ; 
 
 
X C
CCE )(
)()( XECCXE 
bXaY  )()( XbEaYE 
CXECXE  )()(
Seja uma variável aleatória e uma constante. 
 
 k funções de , 
então 
X C
:)(),...,(),( 21 XHXHXH K X
)]([...)]([)]([)](...)()([ 2121 XHEXHEXHEXHXHXHE KK 
 Ex: 
x p(x) 
1 ¼ 
2 ½ 
3 ¼ 
4
1
3
2
1
2
4
1
1)( XE
2
x+3 p(x) 
¼ 
½ 
¼ 
4 
5 
6 
CXECXE  )()(
532 
4
1
6
2
1
5
4
1
4)3( XE
5
 Ex: 
x p(x) 
1 ¼ 
2 ½ 
3 ¼ 
4
1
3
2
1
2
4
1
1)( XE
2
2x p(x) 
¼ 
½ 
¼ 
2 
4 
6 
)()( XECCXE 
422 
4
1
6
2
1
4
4
1
2)2( XE
4
 Ex: 
x p(x) 
1 ¼ 
2 ½ 
3 ¼ 
4
1
3
2
1
2
4
1
1)( XE
2
2x+1 p(x) 
¼ 
½ 
¼ 
3 
5 
7 
1)(2)12(  XEXE
5122 
4
1
7
2
1
5
4
1
3)12( XE
5
 Ex: 
)2( 2XE 1
2
1
2 
)(xf
,2x
0, para outros valores de . 
10  x
x
22)( xxH 
?)]([ xHE
)( 2XE
)(2 2XE

1
0
22xdxx
1
0
4
2
x

2
1

a) Caso discreto: 



n
i
ii xpXExXV
1
2 )()]([][
b) Caso contínuo: 
2)]([)( XEXEXV 



 dxxfxExXV )()]([][ 2
 Ex: 
x p(x) 
1 ¼ 
2 ½ 
3 ¼ 
2)( XE



3
1
2 )()2()(
i
ii xpxXV



n
i
ii xpXExXV
1
2 )()]([][
2
1
4
1
10
4
1
1 
a) Caso discreto: 
 Ex: 
)(xf
,2x
0, para outros valores de . 
10  x
x
b) Caso contínuo: 
3
2
)( XE



 dxxfxExXV )()]([][ 2



 dxxfxXV )(]
3
2
[][ 2  


dxxfxx )()
9
4
3
4
( 2
  






dxxfdxxxfdxxfx )(
9
4
)(
3
4
)(2
 
1
0
2 1
9
4
)(
3
4
2 XExdxx 
9
4
3
2
3
4
2
1
0
4x
18
1
9
4
2
1

 Teorema: 
)()()( 22 XEXEXV 
2)]([)( XEXEXV 
Demonstração: 
)]()(2[ 22 XEXXEXE 
)]([)](2[)( 22 XEEXXEEXE 
)()()(2)( 22 XEXEXEXE 
)()(2)( 222 XEXEXE 
)()( 22 XEXE 
 Ex: 
x p(x) 
1 ¼ 
2 ½ 
3 ¼ 
2)( XE



3
1
2 )()2()(
i
ii xpxXV 2
1
4
1
10
4
1
1 
a) Caso discreto: 
)()()( 22 XEXEXV 



3
1
22 )()(
i
i xipxXE
2
9
2
5
2
4
1
9
2
1
4
4
1
1 
2
1
2
2
9 2 
 Ex: 
)(xf
,2x
0, para outros valores de . 
10  x
x
b) Caso contínuo: 
3
2
)( XE
18
1
)()]([][ 2  


dxxfxExXV
)()()( 22 XEXEXV 

1
0
22 2)( xdxxXE
2
1
2
1
0
4

x
18
1
3
2
2
1
2







Seja uma variável aleatória e uma constante. 
 
 ; 
 
 ; 
 
 
 
 
 
X C
0)( CV
)()( 2 XVCCXV 
Seja uma variável aleatória e uma constante. 
 
 
 
X C
).()( XVCXV 
 Ex: 
x p(x) 
1 ¼ 
2 ½ 
3 ¼ 
2
1
)( XV
x+3 p(x) 
¼ 
½ 
¼ 
4 
5 
6 
 )3(XV
2
1
4
1
)56(
2
1
)55(
4
1
)54()3( 222 XV
2
1
)( XV
5)3( XE
2)( XE
 Ex: 
x p(x) 
1 ¼ 
2 ½ 
3 ¼ 
2)( XE
2x p(x) 
¼ 
½ 
¼ 
2 
4 
6 
)2( XV
2
2
1
4 
4)2( XE
2
1
)( XV
)(22 XV
2
4
1
)46(
2
1
)44(
4
1
)42()2( 222 XV
1. Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes. 
Seja Y o número de caras obtidas. 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule o valor esperado e a variância. 
 
Y p(y) 
0 1/8 
1 3/8 
2 3/8 
3 1/8