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Profa. Lidia Rodella UFPE-CAA Experimento de Bernoulli ◦ Tem somente dois resultados possíveis: sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou fracasso (o evento não se realiza); ◦ A probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de fracasso (1-p). Variável aleatória X 0, fracasso 1, sucesso P(0) = 1 - p P(1) = p Variável aleatória de Bernoulli. )(~ pBerX Experimento de Bernoulli ◦ Exemplos: (1) Uma moeda é lançada: o resultado ou é cara, ou não (ocorrendo, então, coroa); (2) Um dado é lançado: ou ocorre a face 5 ou não (1, 2, 3, 4 ou 6); (3) Uma peça é escolhida ao acaso de um lote de 500 peças: essa peça é defeituosa ou não; (4) Uma pessoa escolhida ao acaso dentre 1000 é ou não do sexo masculino. Valor esperado e variância Ex: Experimento: lançamento de um dado; Sucesso se sair a face 5. )(1)1(0)( ppXE p 2)( ppXV )1( pp )0(XP 6/5 )1(XP 6/1 )(XE 6/1 )(XV 36/5)6/5)(6/1( Experimento binomial ◦ Ocorre quando um ensaio de Bernoulli é repetido n vezes; ◦ Para cada ensaio existe dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso; ◦ A probabilidade de sucesso é p. A probabilidade de fracasso é (1-p); ◦ Os ensaios são independentes e a probabilidade de sucesso p permanece constante em cada ensaio. Experimento binomial Definimos a variável aleatória binomial X tal que: X = o número de sucessos num experimento binomial, ou seja, o número de sucessos ocorridos em “n” repetições independentes do experimento de Bernoulli. Ex: Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade da face 5 sair 4 vezes? Se o dado for lançado 2 vezes, qual a probabilidade de ambos ensaios resultarem em sucesso? A é o evento sucesso no primeiro ensaio. B é o evento sucesso no segundo ensaio. pAP )( pBP )( 6/1 6/1 )( BAP Como A e B são eventos independentes: )()( BPAP 36 1 6 1 6 1 6 1 2 Pensando em algo mais simples: Se o dado for lançado 10 vezes, qual a probabilidade de obter sucesso nos 10 ensaios? 10 6 1 adeprobabilid - Qual a probabilidade de falha no primeiro ensaio e sucesso nos outros nove ensaios? Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha? 9 6 1 6 5 adeprobabilid (FSSSSSSSSS) Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha? 9 6 1 6 5 adeprobabilid (FSSSSSSSSS) (SFSSSSSSSS) 9 6 1 6 5 adeprobabilid (SSFSSSSSSS) 9 6 1 6 5 adeprobabilid (SSSSSSSSSF) 9 6 1 6 5 adeprobabilid 10 sequências Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha? 9 6 1 6 5 10 adeprobabilid • Ex: Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade da face 5 sair 4 vezes? adeprobabilid 64 6 5 6 1 4 10 )!(! ! knk n C k n n k )!410(!4 !1010 4 C !6!4 !678910 210 24 5040 64 6 5 6 1 210 Função de probabilidade para uma variável aleatória binomial: Onde: k = número de sucessos; n = número de ensaios; p = probabilidade de sucesso. knk pp k n kXP )1()( ),(~ pnbX Ex: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras? knk pp k n kXP )1()( 20,...,2,1,0X 8k 20n 2/1p 128 2 1 1 2 1 8 20 )8( XP 12013,0 Valor esperado e variância Ex: Um dado é lançado 21 vezes. Seja X o número de vezes que sair a face 5. Calcule o valor esperado e a variância de X. npXE )( )1()( pnpXV p )(XE 5,3 6 1 21 )(XV 916667,2 6 1 1 6 1 21 6/1 Multiplica por n os valores da Distribuição de Bernoulli. Ex: %5,4~ BX npXE 2,005,04 )1( pnpXV 19,095,005,04 X 0 1 2 3 4 p(xi) 0,8145 40 95,005,0 0 4 )0( XP 31 95,005,0 1 4 )1( XP 0,1715 22 95,005,0 2 4 )2( XP 0,0135 13 95,005,0 3 4 )3( XP 0,0015 04 95,005,0 4 4 )4( XP 0,0000 X 0 1 2 3 4 p(xi) 0,8145 040015,030135,021715,018145,00 XE 0,1715 0,0135 0,0015 0,0000 2,0 XEXEXV 22 040015,030135,021715,018145,00 222222 XE 239,0 22,0239,0 19,0 Experimento de Poisson ◦ Consiste em calcular o número de vezes, k, que um evento ocorre em um dado intervalo escolhido aleatoriamente. O intervalo pode ser tempo, área ou volume. ◦ A probabilidade do evento acontecer é a mesma para cada intervalo (a taxa de chegada permanece constante). ◦ O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo (eventos são independentes). Exemplos: ◦ X=número de clientes chegando ao caixa eletrônico de um banco em um dado minuto; ◦ X=número de chegadas de pacientes com asma em dada hora em um consultório; ◦ X=número de panes em motores de aeronaves Airbus 330 a cada 100 mil horas de voo; ◦ X=número de chamadas recebidas por um telefone durante 5 minutos; ◦ X=número de relatórios de acidentes enviados a uma seguradora numa semana. A probabilidade de exatas k ocorrências em um intervalo é: Valor esperado e variância , ! )( k e kXP k ,...2,1,0k : )(~ PoisX número médio de ocorrências por intervalo de unidade. )(XE )(XV Ex: Um telefone recebe, em média, cinco chamadas por minuto. Supondo que a distribuição de Poisson seja adequada nessa situação, obter a probabilidade de que o telefone não receba chamadas durante um intervalo de um minuto. )(XE :X Número de chamadas por minuto. 5 ! )( k e kXP k )0(XP !0 505e 0067,05 e Qual a probabilidade de obter no máximo duas chamadas em quatro minutos? :X Número de chamadas em quatro minutos. 2045 )2(XP )2()1()0( XPXPXP !2 20 !1 20 !0 20 220120020 eee )200201(20e 20221 e Pode ser usada para aproximar uma Binomial, utilizando λ = np, para “n” muito grande e um “p” muito pequeno: knk pp k n kXP )1()( , ! )( k npe knp .,...,2,1,0 nk Ex: A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 1/100. Numa instalação de 100 lâmpadas, qual a probabilidade de 2 lâmpadas queimarem ao serem ligadas? 982 )99,0(01,0 2 100 )2( XP 1848,0 !2 )1( )2( 21 e XP 18394,0np 1 100 1 100 Se n≥20 e p≤0,5. A probabilidade de alguém passar em um determinado teste na primeira tentativa é de 15%. Se 10 pessoas fizerem oteste na próxima vez que ele for oferecido,qual a probabilidade de: a) ninguém passar? b) exatamente 4 passarem? c) no máximo 3 passarem? d) no mínimo 3 passarem? e) Qual o valor esperado do número de pessoas passarem? f) Qual é a variância do número de pessoas passarem?
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