Parte 8 Distribuições de Probabilidades Contínuas

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Profa. Lidia Rodella 
 Dada uma v.a. contínua X, interessa saber qual 
a f.d.p. de X. 
 Modelos frequentemente usados para 
representar a f.d.p. de v.a. contínuas. 
 Iremos em cada caso analisar: 
◦ (a) definição; 
◦ (b) gráfico da f.d.p.; 
◦ (c) E(X) e Var(X); 
◦ (d) função de distribuição acumulada/probabilidade. 
 Geralmente surge a partir de uma 
mensuração e pode assumir valores 
numéricos decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 ou pelo teorema: 
 )( bXaP

b
a
dxxf )(
0)()(
0
0
0  
x
x
dxxfxXP
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP 



 dxxxfXE )()(



 dxxfxExXV )()]([][ 2
)()()( 22 XEXEXV 
 Definição: 
 A v.a. X tem distribuição uniforme no intervalo 
se sua f.d.p. é dada por 
 
 
 
 Gráfico: 
 
 
],[ 
),;( xf
,
1
 
  x
,0
se 
caso contrário. 
)(xf
x 
)/(1  
0
 Valor esperado e variância: 
 
 
 
 
 
 
 Notação: 
 
 Probabilidade: 
 
 
12
)(1
2
)(
22 ab
dx
ab
ab
xXV
b
a






 
 
2
)(
 
XE
12
)(
)(
2 
XV
),(~ UX
   
 
 
  
22
1
2
1
|
2
11
)( 222
ab
abab
ab
ab
ab
x
ab
dx
ab
xXE ba
b
a









 
 Ex1: (relógio elétrico) 
 
360
0
360
0
2
180
2360
1
360
1
)(
x
dxxXE
)(xf
º0x
º360º0  x
º360x
0, se 
1/360, se 
0, se 
2
)(
 
XE
2
3600

180
108003240043200)()()( 22  XEXEXV
12
)(
)(
2 
XV
12
)0360( 2

10800
 Ex2: Um cirurgião dentista aplica uma 
anestesia antes de extrair um dente. Dada a 
variação nas características dos pacientes, o 
dentista considera o tempo para a anestesia 
fazer efeito como uma variável aleatória 
uniforme que toma entre 15 e 30 minutos. 
◦ X ~ U(15, 30) 
 
◦ Calcule E(X), desvio padrão e probabilidade de que 
o anestésico leve entre 20 e 25 minutos para fazer 
efeito. 
 Ex2: 
◦ X ~ U(15, 30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Definição: 
 
 A v.a. X tem distribuição normal se sua f.d.p. 
for da forma 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
,
2
1
)(
2
2
1





 

 


x
exf
 x
...14159,3
...71828,2e
 
0
i) 
0)( xf x
ii) 



1)( dxxf
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1
2
1
)(





 

 


x
exf
)(xf
x
1) 
0)( xf
quando 
x
Propriedades: 
2) 
x
é ponto de máximo. 
x 3) 
)(xf
é simétrica em relação à 
.x
4) são pontos de inflexão. 
 x
   
 Valor esperado e variância: 
 
 
 
 
 
 
 
Os dois parâmetros e , que caracterizam a distribuição normal, são 
o valor médio e a variância da variável aleatória X. 
)(XE
2)( XV padrãodesvião_

2
• Notação: 
),(~ 2NX
 Se um conjunto de dados tem distribuição normal, 
então: 
 
◦ Aproximadamente 68% de todas as observações 
estarão dentro de 
◦ Aproximadamente 95% de todas as observações 
estarão dentro de 
◦ Aproximadamente 99,7% de todas as observações 
estarão dentro de 
. 
.2 
.3 
Variando os parâmetros e : 
 
 
 
 
 
 
)(xf
x
xxx   xx  
 
),(~
2
xxNX  ),(~
2
yyNY 
yx  
xy  
y
yy   yy  
),(~
2
wwNW 
w
w
Quanto menor o 
desvio padrão mais 
próximos os valores 
estarão do valor 
médio. 
Quanto maior o desvio padrão mais dispersos estarão 
os valores (mais achatada a curva). 
),(~
2
kkNK 
k
k
Calculando as Probabilidades: 
 
 
 
 
 
 
),(~ 2NX
 )( bXaP
)(xf
x
a
b
dxe
b
a
x






 

2
2
1
2
1 


Como calcular essa probabilidade ? 
Seja Z uma v.a., definida por: 
 
 
 
 
 
 
),(~ 2NX
Teorema: Se X tem uma 
distribuição normal, uma função 
linear de X será também normal. 
,



X
Z
onde 
(~ NZ , )
)(ZE





 

X
E   

XE
1  

)(
1
XE   

1 0
)(ZV 




 

X
V   

XV
2
1
 XV
2
1


2
2

 1
0 1
Distribuição normal padrão (ou reduzida). 
 
 A f.d.p. da v.a. Z com distribuição normal 
padrão reduz-se a 
 
 
 
 
 
,
2
1
)(
2
2
1
Z
ez




 z
)(z
z
01 1
Qualquer variável normal com 
média e variância pode ser 
transformada em uma variável 
normal padrão. 

2
 
 A tabela dá a área sob a curva normal padrão 
entre Z=0 e qualquer valor positivo. 
 
 
 
 
 
)(z
z
0
)0( czZP 
cz
 
?)02,10(  ZP
Zc=1,02 
)(z
z
0
02,1
)(z
z
0
02,1
P(0<Z<1,02)=34,614% 
Seja Calcule: 
 
 
 
 
 
 
).1,0(~ NZ
OBS: A simetria em torno de Z=0 
permite obter a área entre 
quaisquer valores de Z (positivos 
ou negativos). 
)10(  ZP
)73,10(  ZP
3413,0
4582,0
)73,1( ZP )73,10()0(  ZPZP 4582,05,0  9582,0
)01(  ZP
)5,00()0(  ZPZP)5,0( ZP
3413,0)10(  ZP
)76,0( ZP  )0()076,0( ZPZP
 5,0)76,00( ZP  5,027637,0 77637,0
30854,019146,05,0 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
)53,1( ZP
)2,155,2(  ZP
)53,1(  ZP
 )2,10()055,2( ZPZP
)12,248,0(  ZP  )48,00()12,20( ZPZP
18439,048300,0  29861,0
g) 
h) 
i) 
 )53,10(5,0 ZP
43699,05,0  06301,0
 38493,0)55,20( ZP
 38493,049461,0 87954,0
j) 
19215,0)(  cZZP ?cZ
19215,05,0)0(  cZZP
30785,0 87,0cZ
 Ex: Dado Calcule 
 
).100,50(~ NX ).6045(  XP
x5045 60
z0
X: Distribuição Normal 
Z: Distribuição 
Normal Padronizada 
 )6045( XP
X45 60
 

P
 





 



10
5060
10
5045
ZP
  15,0 ZP

5,0 1
 34134,019146,0
5328,0
 Ex2: Dado Calcule 
 
).16,3(~ NX
).52(  XP
x3
2
5
z0



2
1z
1z 2z
4
32

25,0



5
2z
4
35

5,0
)52(  XP  )5,025,0( ZP
 )5,00()025,0( ZPZP
 )5,00()25,00( ZPZP
 1915,00987,0 2902,0
2902,0
2902,0
 As alturas dos alunos de determinada 
escola são normalmente distribuídas com 
média 1,60m e desvio-padrão 0,30m. 
Encontre a probabilidade de uma aluno 
medir: 
 
a) entre 1,50 e 1,80m; 
b) mais de 1,75m; 
c) menos de 1,48m; 
d) Qual deve ser a medida mínima para 
escolhermos 10% dos mais altos? 
 Definição: 
 
 A v.a. t tem uma distribuição “t” (de Student) se 
sua f.d.p. for do tipo: 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
,1
)2/(
]2/)1[(
)(
2/)1(
2











v
v
t
vv
v
tf

 t
...14159,3
v



0
1 ,)( dxxe x 
(função gama) 
0
graus de liberdade 
 Valor esperado e variância: 
 
 
 
 
0)( tE
,
2
)(


v
v
tV
2v
• Notação: 
)(~ vtt
 Propriedades da distribuição t: 
◦ Tem forma de sino e é simétrica sobre a 
média.◦ É uma família de curvas, cada uma 
determinada por um parâmetro chamado de 
grau de liberdade. Os graus de liberdade são o 
número de escolhas livres deixadas depois 
que uma amostra estatística tal como x é 
calculada. (v = n – 1) 
◦ A área total sob a curva t é 1 ou 100%. 
◦ A média, a mediana e a moda da distribuição t 
são iguais a zero. 
◦ Conforme os graus de liberdade aumentam, a 
distribuição t se aproxima da distribuição 
normal. 
 
_ 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
t
0
distribuição t 
com v=4 
distribuição normal 
padrão 
distribuição t 
com v=35 
Variância: 
Para v = 4: 
2
)(


v
v
tV
41,1
24
4
)( 4 

t
2
)(


v
v
t
Para v = 35: 
03,1
235
35
)( 35 

t
Para v = 60: 
02,1
260
60
)( 60 

t
Quanto maior for o valor de 
“v” mais a distribuição t se 
aproxima da distribuição 
normal padrão. 
Applet 
 Usando a tabela: 
 
A tabela fornece os valores tais que 
 
 
 
 
ct .1)( ptttP cc 
t
0
ct
p1
ct
2/p
2/p
Observação: Iremos entrar na 
tabela com os graus de liberdade e 
a probabilidade (soma das áreas 
das duas caudas). 
 
%95)(  cc tttP
tc=? 9v
t
0
ct
p1
ct
2/p
2/p
t
0
ct
p1
ct
2/p
2/p
%95
%5p
%5,2%5,2
P(-2,262<t<2,262)=95% 
Ex : 
 
 
 
 
 
 
a) 
%.90)(  cc tttPct
Seja t uma v.a. com distribuição t e 25 graus de liberdade. 
Calcule os valores de tais que 
t
0
ct
%90
ct
%5%5
%10p
25v
7081,1ct
b) 
%.80)(  cc tttPct
Seja t uma v.a. com distribuição t e 30 graus de liberdade. 
Calcule os valores de tais que 
%208,01 p
30v
31,1ct
 Definição: 
 
 A v.a. Y tem uma distribuição qui-quadrado se 
sua f.d.p. for do tipo: 
 
 
 
 
 
 
Assim como a distribuição t, 
depende dos graus de 
liberdade ν. 
,
2)2/(
1 2/1)2/(
2/
yv
v
ey
v


0y
)(yf
.0y
,0
 Valor esperado e variância: 
 
 
 
 
vYE )(
vYV 2)( 
• Notação: 
)(~ 2 vY 
 Propriedades: 
◦ Todos os valores qui-quadrado X2 são maiores ou 
iguais a zero. 
◦ A distribuição qui-quadrado é uma família de 
curvas, cada uma determinada pelos graus de 
liberdade (v = n-1 para IC para variância). 
◦ A área abaixo da curva da distribuição qui-
quadrado é igual a 1. 
◦ As distribuições qui-quadrado são assimétricas 
positivas. 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
y0
v=1 
v=10 
)(yf
v=5 
y
0
)(yf
 Usando a tabela: 
 
A tabela fornece os valores tais que 
 
 
 
 
cy .)( pyYP c 
Iremos entrar na tabela com os 
graus de liberdade e a 
probabilidade (a área da cauda à 
direita). 
cy
p
y0
)(yf
 
%5)(  cyYP
yc=? 9v
cy
p
y0
)(yf
cy
p
y0
)(yf
y0
)(yf
%5
P(Y>16,919)=5% 
Ex : 
 
 
 
 
 
 
a) 
infy
Seja Y uma v.a. com distribuição e 25 graus de liberdade. 
Considerando o gráfico abaixo, calcule os valores de e 
%5,2p
25v
646,40sup y
b) 
%.20)(  cyYP
cy
Seja Y uma v.a. com distribuição e 15 graus de liberdade. 
Calcule o valor de tal que 
)(1)( cc yYPyYP 
15v
307,10cy
2
.supy
supy
%5,2
y0
)(yf
%5,2
infy %5,97p
25v
12,13inf y
2
2,01 8,0
 Definição: 
Sejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com 
distribuição qui-quadrado, com v1 e v2 graus de 
liberdade respectivamente. Então, a v.a. 
 
 
tem sua f.d.p. dada por: 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
,
)/1()2/()2/(
)2/)((
)(
2/)(
21
2/)2(
2/
2
1
21
21
21
1
1
vv
v
v
vwv
w
v
v
vv
vv
Wf












.0w
1v
graus de liberdade do numerador; 
2v
graus de liberdade do denominador. 
E diremos que W tem uma distribuição 
F (de Snedecor). 
 Valor esperado e variância: 
 
 
 
 
,
2
)(
2
2


v
v
WE
,
)4()2(
)2(2
)(
2
2
21
21
2
2



vvv
vvv
WV
• Notação: 
),(~ 21 vvFW
22 v
42 v
 Propriedades: 
◦ A distribuição F é uma família de curvas 
determinadas por dois tipos de graus de liberdade, 
do numerador e do denominador. 
◦ Distribuições F são representadas graficamente de 
forma positiva. 
◦ A área total sob cada curva de uma distribuição F é 
igual a 1. 
◦ Valores W são sempre maiores ou iguais a zero. 
 
 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
F
0
)(Ff
Applet 
 Usando a tabela: 
 
A tabela fornece os valores tais que 
 
 
 
 
cf
%.5)(  cfFP
Iremos entrar na tabela com os 
graus de liberdade: v1 e v2. Obs: 
para cada probabilidade temos uma 
tabela diferente. 
cf
%5
F
0
)(Ff
 
fc=? 
%5)(  cfFP
51 v 72 v
P(F>3,97)=5% 
Ex : 
 
 
 
 
 
 
a) 
.cf
Seja Considerando o gráfico abaixo, calcule o valor de 
b) 
%.95)(  cfFP
)(1)( cc fFPfFP 
81 v
),(
1
),(
12
21
vvF
vvF 
).7,5(~ FF
95,01 05,0
cf
%5
F
0
)(Ff
(identidade) 
))7,5((%5 cfFP  





 cf
F
P
)5,7(
1







cf
FP
1
)5,7(
71 v 52 v
88,4
1

cf
205,0cf
Seja Calcule o valor de tal que 
).10,8(~ FF
cf
102 v
07,3cf
Podemos definir as variáveis que acabamos de ver 
como funções de outras variáveis. 
• Distribuição qui-quadrado: 
),1,0(~ NZi .,...,2,1 vi 
~2 )(v 

v
i
iZ
1
2
Uma v.a com distribuição qui-quadrado pode ser vista como a soma 
de v normais padrões ao quadrado, independentes. 
2
)(v
• Distribuição t: 
)1,0(~ NZ
2
)(~ vY 
Seja 
vY
Z
t
/

)(~ vt
• Distribuição F: 
Identidade: 
2
)( 1
~ vY 
2
1
/
/
vV
vY
W 
),(~ 21 vvF
2
)( 2
~ vV 
),(
1
),(
12
21
vvF
vvF 
2
1
/
/
vV
vY
W 
),(~ 21 vvF
1
2
/
/
'
vY
vV
W 
),(~ 12 vvF

'
1
W
W

2
1
/
/
vV
vY