AP1_metdet_ii_2015_2_Alterado_29Set

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 12/09/2015
Questa˜o 1: (2,0pts) Se f(x) =
√
x e g(x) =
√
2− x, encontre as expresso˜es de cada uma das
func¸o˜es e seus dom´ınios:
a) f ◦ g; b) g ◦ f ; c) f ◦ f ; d) g ◦ g.
Soluc¸a˜o: (cada item vale 0,5pt: Sendo 0,3pt pela expressa˜o e 0,2pt pela calculo correto do dom´ınio)
a) Iniciemos calculando a expressa˜o de
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(√2− x) =
√√
2− x = 4√2− x.
Para calcular o dom´ınio desta expressa˜o, veja que: 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Logo o dom´ınio sa˜o
x ∈ R : x ≤ 2.
b)
(g ◦ f)(x) = g(√x) =
√
2−√x.
A expressa˜o esta bem definida desde que x ≥ 0, para podermos avaliar √x e 2−√x ≥ 0⇔ x ≤ 4,
e dom´ınio sa˜o todos os x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 4.
(f ◦ f)(x) = f(√x) =
√√
x = 4
√
x.
Logo, x ∈ R : x ≥ 0.
(g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(√2− x) =
√
2− (√2− x)
A expressa˜o esta bem definida se: 2− x ≥ 0, isto e´, x ≤ 2 e 2− (√2− x) ≥ 0⇔ 2 ≥ √2− x⇔
4 ≥ 2− x⇔ x ≥ −2. Da´ı que o dom´ınio e´ x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 2.
Questa˜o 2: (2,0pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x+ 2 e
g(x) =

x2 − 4 se x ≤ −2
x se |x| < 2
4− x2 se x ≥ 2
. Determine:
a) Determine (g ◦ f) (−4);
b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: (o item a) vale 0,8pts e o b) 1,2pt) a) iniciemos por observar que f(−4) = −2, logo
g(f(−4)) = g(−2) = 0. Usamos a primeira regra de g.
Alunos que calcularam g(f(−4)) = −4 depois g(f(−4)) = 0 e ainda que g(f(−4)) = 4 zerei este
item, pois o aluno na˜o entendeu o conceito fundamental envolvido.
b) Inicie por observar que f(x) = x + 2 ≤ −2 ⇔ x ≤ −4 e que f(x) = x + 2 ≥ 2 ⇔ x ≥ 0, da´ı
temos
g(f(x)) =

(x+ 2)2 − 4 se x ≤ −4
x+ 2 se −4 < x < 0
4− (x+ 2)2 se x ≥ 0
=

x2 + 2x se x ≤ −4
x+ 2 se −4 < x < 0
−x2 − 2x se x ≥ 0
Alunos que acertaram a regra, mas na˜o alteraram o dom´ınio da composta dei 0,6pt, isto e´, a metade
do que valia este item.
Questa˜o 3: (3,0pts)
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
a) Se g(x) = x+1
2x+1
. Encontre a expressa˜o de g−1.
b) Resolva a seguinte equac¸a˜o e5−3x = 10.
c) Encontre os valores de x ∈ R que satisfazem a equac¸a˜o ln(x) + ln(1− x) = 1.
Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) Chamando x de y e isolando o y temos
x =
y + 1
2y + 1
⇒ 2yx+ x = y + 1⇒ 2yx− y = 1− x⇒ y = 1− x
2x− 1 .
Portanto, g−1(x) = 1−x
2x−1 .
b) Resolvendo temos
e5−3x = 10⇒ 5− 3x = ln 10⇒ 3x = 5− ln 10⇒ x = 5− ln 10
3
.
c) Inicialmente observe que
ln(x) + ln(1− x) = 1⇒ ln(x− x2) = 1⇒ x− x2 = e⇒ x2 − x+ e = 0
Resolvendo a equac¸a˜o de grau 2 obtemos:
x =
1
2
(
1±√1− 4e) .
Observe que 1− 4e < 0 e portanto, a na˜o existe x ∈ R que satisfac¸a esta questa˜o.
So´ fui alertado de que o gabarito estava errado, agora no pedido de revisa˜o de uma aluna. Enta˜o na˜o
vou diminuir a nota de ningue´m so´ vou aumentar a nota daqueles alunos que acertaram a questa˜o,
mas como eu estava com o gabarito incorreto havia zerado.
Questa˜o 4 (3,0pts) Calcule os seguintes limites:
a) lim
t→−3
t2 − 9
2t2 + 7t+ 3
b) lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
c) lim
x→∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1
Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) Inicialmente veja que t2− 9 = (t+3)(t− 3) e que ao dividirmos
2t2 + 7t+ 3 por t+ 3 obtemos 2t+ 1.
lim
x→−3
t2 − 9
2t2 + 7t+ 3
= lim
x→−3
(t− 3)(t+ 3)
(2t+ 1)(t+ 3)
= lim
x→−3
t− 3
2t+ 1
=
6
5
.
b) Observe que (2 + h)3 = 8 + 12h+ 6h2 + h3 e
lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
= lim
h→0
12h+ 6h2 + h3
h
= lim
h→0
12 + 6h+ h2 = 12.
c)
lim
x→∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1
= lim
x→∞
x2
x2
3− 1
x
− 2
x2
5 + 4
x
+ 1
x
= lim
x→∞
3− 1
x
− 2
x2
5 + 4
x
+ 1
x
=
3
5
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ