MEstII-AD1-gabarito-criterio-NOVO (1)

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Métodos Estatísticos IIGabarito da Avaliação a Distância I - AD1Profa. Ana Maria Farias - 2015-2
1. [2,0 pontos] Em cada um dos itens (a) a (d), faça o seguinte:
• determine a reta que passa pelos pondos A e B;• esboce o gráfico da reta;• verifique se o ponto C está sobre a reta;• calcule a área sob a reta para 1 < x < 2;• indique se a função linear poderia ser uma função densidade para 1 < x < 2.
(a) [0,5 ponto] A : (0; 1, 5) B : (2; 5, 9) C : (0, 5; 2, 6)(b) [0,5 ponto] A : (0; 3, 2) B : (2; 2) C : (1, 0; 2, 4)(c) [0,5 ponto] A : (1; 4) B : (3;−2) C : (2; 1)(d) [0,5 ponto] A : (1; 0) B : (2; 2) C : (3; 4)
Solução Vamos considerar a equação da reta como y = a+ bx
(a) { a+ 0b = 1, 5a+ 2b = 5, 9 ⇒ a = 1, 5⇒ b = 2, 2
ou seja, f (x) = 1, 5 + 2, 2x
Figura 1 – f (x) = 1, 5 + 2, 2x
f (0, 5) = 1, 5 + 2, 2 · 0, 5 = 2, 6⇒ C : (0, 5; 2, 6) está sobre a reta.
ANA MARIA
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cada um dos 5 quesitos vale 0,1 nos 4 itens - correção tipo certo/errado
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O importante é que a inclinação esteja correta, assim como o intercepto. 
A área desejada está sombreada na Figura 1 e é a área de um trapézio com basesf (1) = 1, 5 + 2, 2 = 3, 7 e f (2) = 1, 5 + 4, 4 = 5, 9 e altura 2− 1 = 1:
área = 3, 7 + 5, 92 · 1 = 4, 8f (x) não pode ser função densidade no intervalo 1 < x < 2 pois a área sob a curvaé maior que 1.(b) { a+ 0b = 3, 2a+ 2b = 2 ⇒ a = 3, 2⇒ b = −0, 6
ou seja, f (x) = 3, 2− 0, 6x
Figura 2 – f (x) = 3, 2− 0, 6x
f (1, 0) = 3, 2− 0, 6 · 1, 0 = 2, 6⇒ C : (0, 5; 2, 4) não está sobre a reta.A área desejada está sombreada na Figura 2 e é a área de um trapézio com basesf (1) = 3, 2− 0, 6 = 2, 6 e f (2) = 3, 2− 1, 2 = 2, 0 e altura 2− 1 = 1:
área = 2, 6 + 2, 02 · 1 = 2, 3f (x) não pode ser função densidade no intervalo 1 < x < 2 pois a área sob a curvaé maior que 1.(c) { a+ b = 4a+ 3b = −2 ⇒ b = −3⇒ a = 7
ou seja, f (x) = 7− 3xf (2) = 7− 3 · 2 = 1⇒ C : (2; 1) está sobre a reta.
2
Figura 3 – f (x) = 7− 3x
A área desejada está sombreada na Figura 3 e é a área de um trapézio com basesf (1) = 7− 3 = 4 e f (2) = 7− 6 = 1 e altura 2− 1 = 1:
área = 4 + 12 · 1 = 2, 5f (x) não pode ser função densidade no intervalo 1 < x < 2 pois a área sob a curvaé maior que 1.(d) { a+ b = 0a+ 2b = 2 ⇒ b = 2⇒ a = −2
ou seja, f (x) = −2 + 2x
Figura 4 – f (x) = −2 + 2x
3
f (3) = −2 + 2 · 3 = 4⇒ C : (3; 4) está sobre a reta.A área desejada está sombreada na Figura 4 e é a área de um triângulo com base2− 1 = 1 e altura f (2) = −2 + 4 = 2:
área = 1 · 22 = 1f (x) pode ser função densidade no intervalo 1 < x < 2 pois a área sob a curva é 1e f (x) ≥ 0.
2. [2,0 pontos] Na Figura 5 é dado o gráfico da função de densidade fX de uma variávelaleatória contínua X.
Figura 5 – Função de densidade para a Questão 2
(a) [1,0 ponto] Determine o valor de k e a expressão matemática de fX .(b) [0,5 ponto] Determine a função de distribuição acumulada FX de X.(c) [0,5 ponto] Determine os 3 quartis da distribuição da variável aleatória X.
Solução
(a) k ≥ 0; a área total tem que ser 1 e temos 2 trapézios de mesma área, já que adistribuição é simétrica em torno de x = 3; logo a área de cada trapézio tem queser 0, 5: 0, 1 + k2 × 2 = 0, 5⇒ k = 0, 4• x ∈ [1, 3]f (x) é um segmento de reta que passa pelos pontos (1; 0, 1) e (3; 0, 4). Logo, aequação é do tipo f (x) = a+ bx em que{ a+ b = 0, 1a+ 3b = 0, 4
Subtraindo a primeira da segunda, obtemos que b = 0, 15; substituindo em umadas equações, obtemos a = −0, 05.
4
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0,2
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Montagem e solução do sistema: 0,3
• x ∈ (3, 5]f (x) é um segmento de reta que passa pelos pontos (3; 0, 4) e (5; 0, 1). Logo, aequação é do tipo f (x) = a+ bx em que{ a+ 3b = 0, 4a+ 5b = 0, 1
Subtraindo a primeira da segunda, obtemos que b = −0, 15; substituindo emuma das equações, obtemos a = 0, 85.Logo,
f (x) =
 −0, 05 + 0, 15x 1 ≤ x < 30, 85− 0, 15x 3 < x ≤ 50 x < 1 oux > 5(b) • x ∈ [1, 3)F (x) é a área do trapézio sombreado na Figura 6, que tem bases 0, 1 e f (x) ealtura x − 1. Logo,
F (x) = 0, 1− 0, 05 + 0, 15x2 · (x − 1) = (0, 025 + 0, 075x) · (x − 1)= 0, 075x2 − 0, 05x − 0, 025
• x ∈ [3, 5] F (x) é a área do trapézio inferior sombreado de cinza claro, que é 0,5,mais a área sombreada em escuro na Figura 7, que é um trapézio de bases 0, 4e f (x) e altura x − 3. Logo,
F (x) = 0, 5 + 0, 4 + 0, 85− 0, 15x2 · (x − 3) = 0, 5 + (0, 625− 0, 075x)(x − 3)= −0, 075x2 + 0, 85x − 1, 375
Figura 6 – Questão 2 - FX (x), 1 ≤ x ≤ 3 Figura 7 – Questão 2 - FX (x), 3 ≤ x ≤ 5
Resumindo: (veja o gráfico na Figura 8)
F (x) =

0 x < 1
0, 075x2 − 0, 05x − 0, 025 1 ≤ x < 3
−0, 075x2 + 0, 85x − 1, 375 3 ≤ x < 5
1 x ≥ 5
5
ANA MARIA
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Montagem e solução do sistema: 0,3
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Especificação da forma geral da função: 0,2
ANA MARIA
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0,2
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0,2
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0,1nullse o aluno não indicar as partes sublinhadas, tirar 0,1
ANA MARIA
Linha
ANA MARIA
Linha
(c) Pela simetria da função densidade, resulta que a mediana é Q2 = 3. Uma vez que foicalculada a função de distribuição acumulada, vamos usá-la para calcular o primeiroe o terceiro quartis. O primeiro quartil tem que ser menor que 3 e o terceiro quartiltem que ser maior que 3.
F (Q1) = 0, 25⇒ 0, 075Q21 − 0, 05Q1 − 0, 025 = 0, 25⇒0, 075Q21 − 0, 05Q1 − 0, 275 = 0⇒Q1 = 0, 05±√0, 052 + 4 · 0, 075 · 0, 2752 · 0, 075 = 0, 05±
√0, 0850, 15
A solução no domínio de definição de FX é Q1 = 0, 05 +√0, 0850, 15 ⇒ Q1 ≈ 2, 277.
F (Q3) = 0, 75⇒ −0, 075Q23 + 0, 85Q3 − 1, 375 = 0, 75⇒−0, 075Q23 + 0, 85Q3 − 2, 125 = 0⇒Q3 = −0, 85±√0, 852 − 4 · 2, 125 · 0, 0752 · (−0, 075+ = −0, 85±
√0, 085−0, 15
A solução no domínio de definição de FX é Q3 = −0, 85 +√0, 085−0, 15 ⇒ Q3 ≈ 3, 723.Note a simetria de Q1 = 3− 0, 723 e Q3 = 3 + 0, 723 em torno de Q2 = 3, conformeilustrado na Figura 9.
Figura 8 – Questão 2 - Função de distri-buição Figura 9 – Questão 2 - Simetria de Q1 eQ3 em torno de Q2
3. [2,0 pontos] Seja X ∼ N(70; 82). Calcule as probabilidades indicadas e faça gráficosilustrando essas probabilidades com áreas tanto na distribuição original, quanto nadistribuição normal padronizada:
(a) [0,4 ponto] P(X ≥ 85, 8)(b) [0,4 ponto] P(X < 57)(c) [0,4 ponto] P(60, 6 < X < 78, 6)(d) [0,4 ponto] P(57 < X < 66)(e) [0,4 ponto] P(X > 70, 5)
Solução
6
ANA MARIA
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Q2 - 0,1
ANA MARIA
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Cálculo de Q1 - 0,2, sendo 0,1 para escolha da raiz correta
ANA MARIA
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Cálculo de Q3 - 0,2, sendo 0,1 para escolha da raiz correta
ANA MARIA
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Em cada item, 0,2 para o cálculo da probabilidade e 0,1 para cada gráfico. nullNo cálculo da probabilidade, tirar 0,1 se o aluno não especificar a equivalência das probabilidades em termos da variável original e da normal padrão (primeira igualdade em cada solução).nullNos gráficos, é fundamental que o aluno indique a média e posicione a(s) abcissa(s) de interesse no lado correto em relação à média.
(a)
P(X ≥ 85, 8) = P(Z > 85, 8− 708
) = P(Z > 1, 98) = 0, 5− tab(1, 98)= 0, 5− 0, 4761 = 0, 0239
Figura 10 – P(X ≥ 85, 8) Figura 11 – P(Z > 1, 98)(b)
P(X < 57) = P(Z < 57− 708
) = P(Z < −1, 63) = P(Z > 1, 63) = 0, 5− tab(1, 63)= 0, 5− 0, 4484 = 0, 0516
Figura 12 – P(X < 57) Figura 13 – P(Z < −1, 63)(c)
P(60, 6 < X < 78, 6) = P(60, 6− 708 < Z < 78, 6− 708
) = P(−1, 18 < Z < 1, 08)= tab(1, 08) + tab(1, 18) = 0, 3599 + 0, 3810 = 0, 7409
7
Figura 14 – P(60, 6 < X < 78, 6) Figura 15 – P(−1, 18 < Z <1, 08)(d)
P(57 < X < 66) = P(57− 708 < Z < 66− 708
) = P(−1, 63 < Z < −0, 5)= P(0, 5 < Z < 1, 63) = tab(1, 63)− tab(0, 5) = 0, 4484− 0, 1915 = 0, 2569
Figura 16 – P(57 < X < 66) Figura 17 – P(−1, 63 < Z <−0, 5)(e)
P(X > 70, 5) = P(Z > 70, 5− 708
) = P(Z > 0, 06) = 0, 5− tab(0, 06)= 0, 5− 0, 0239 = 0, 4761
Figura 18 – P(X > 70, 5) Figura 19 – P(Z > 0, 06)
8
É interessante observar que,nos gráficos acima, fica praticamente impossível visualizara equivalência de áreas pelo fato de as escalas serem diferentes. O principal objetivona construção desses gráficos é observar o correto posicionamento das abcissas dadasem relação à média da distribuição: 70 no mundo X e 0 no mundo padronizado. NaFigura 20 temos o gráfico que ilustra a equivalência das áreas para o item (c).
Figura 20 – X ∼ N(70, 82) : P(60, 6 < X < 78, 6) = P(−1, 18 < Z < 1, 08)
4. [2,0 pontos] Seja X ∼ N(µ; σ2).
(a) [0,4 ponto] Calcule P(X < µ + 1, 25σ ) .(b) [0,4 ponto] Calcule P(X > µ + 1, 8σ ) .(c) [0,4 ponto] Calcule o valor de k tal que P(|X − µ| < kσ ) = 0, 92.(d) [0,4 ponto] Calcule o valor de k tal que P(X > µ + kσ ) = 0, 025.(e) [0,4 ponto] Calcule o valor de k tal que P(X < µ + kσ ) = 0, 10.
Solução
(a)
P(X < µ + 1, 25σ ) = P(X − µσ < µ + 1, 25σ − µσ
) = P(Z < 1, 25) = 0, 5 + tab(1, 25)= 0, 5 + 0, 3944 = 0, 8944(b)
P(X > µ + 1, 8σ ) = P(X − µσ > µ + 1, 8σ − µσ
) = P(Z > 1, 8) = 0, 5− tab(1, 8)= 0, 5− 0, 4641 = 0, 0359(c) P(|X − µ| < kσ ) = 0, 92⇔ P(−kσ < X − µ < kσ ) = 0, 92⇔
P(−kσσ < X − µσ < kσσ
) = 0, 92⇔ P(−k < Z < k) = 0, 92⇔2× P(0 < Z < k) = 0, 92⇔ P(0 < Z < k) = 0, 46⇔ tab(k) = 0, 46⇔ k = 1, 75
9
ANA MARIA
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0,2 para a equivalência das probabilidades (primeira igualdade)null0,1 para valor correto na tabelanull0,1 para resultado final
(d) P(X > µ + kσ ) = 0, 025⇔ P(Z > k) = 0, 025⇔ tab(k) = 0, 475⇔ k = 1, 96(e) P(X < µ + kσ ) = 0, 10⇔ P (Z < k) = 0, 10Note que estamos calculando o percentil de ordem 10 da distribuição normal padro-nizada e k tem que ser negativo, pois à esquerda dele tem 10% da área e à direita,90%. Assim, k tem que estar do lado negativo do eixo!P (Z < k) = 0, 10 ⇔ P (Z > −k) = 0, 10⇔ tab(−k) = 0, 5− 0, 10 = 0, 40⇔ −k = 1, 28⇔ k = −1, 285. [2,0 pontos] Em uma grande loja de departamentos, o tempo de espera (em minutos)nas filas dos caixas pode ser aproximado por uma distribuição normal com média de 10minutos e desvio padrão de 2 minutos. Preocupado com as reclamações dos clientes, umgerente prepara um treinamento dos caixas e, confiante no sucesso desse treinamento,decide premiar os clientes, de acordo com as seguintes regras. Se o tempo de esperafor maior que 15 minutos, o cliente ganha um brinde de 50 reais e se o tempo de esperafor menor que 12 minutos, o cliente não ganha brinde. Os demais clientes ganham umbrinde de 30 reais.(a) [0,5 ponto] Qual proporção de clientes não receberá qualquer prêmio?(b) [0,5 ponto] Qual é a probabilidade de um cliente ganhar um brinde de 30 reais?(c) [0,5 ponto] Qual é a probabilidade de um cliente ganhar um brinde de 50 reais?(d) [0,5 ponto] João acaba de constatar que já tem direito a um brinde de 30 reais.Qual é a probabilidade de que ele ganhe um prêmio de 50 reais?Solução
Seja X a variável que representa o tempo de espera na fila. Então, X ∼ N(10; 22).(a)
P(X < 12) = P(Z < 12− 102
) = P(Z < 1, 0) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
84,13% dos clientes não receberão qualquer prêmio.(b)
P(12 ≤ X ≤ 15) = P(12− 102 ≤ Z ≤ 15− 102
) = P(1, 0 ≤ Z ≤ 2, 5) = tab(2, 5)− tab(1, 0)= 0, 4938− 0, 3413 = 0, 1525(c)
P(X > 15) = P(Z > 15− 102
) = P(Z > 2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
(d)
P(X > 15 |X ≥ 12) = P(X > 15)P(X ≥ 12) = 0, 00621− 0, 8413 ≈ 0, 0391
10
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Nos itens a,b,c - 0,2 para especificação correta da probabilidade pedida; 0,2 para equivalência com a normal padrão; 0,1 para o cálculo final
ANA MARIA
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0,2 para identificação da probabilidade condicionalnull0,2 para cálculo da probabilidade condicionalnull0,1 para resultado final
Tabela 1
Valores de p
p = P(0 < Z < z )
Casa inteira
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000
2
a
 decimal
11