Cálculo 3 - A1/gabarito - Prof. Edézio

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FOLHA DE QUESTÕES
CURSO: DISCIPLINA:
ASS.: NOME:
Professor :
DATA: Nº de ordem GRAU: PROVA: TURMA MATRÍCULA:
___/____/____
1a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Calcular a massa do fio ~r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ π, cuja
densidade linear e´ ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
2a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Um campo de velocidade e´ dado por
−→
V = 2x~i+4y~j; as unidades
de velocidades sa˜o m/s; x e y sa˜o dados em metros; .
(a) Obtenha uma equac¸a˜o para as linhas de correntes no plano xy.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x0, y0, 0) = (2,−1, 0).
(c) Determine a velocidade de uma part´ıcula no ponto (2,−1, 0).
(d) Se a part´ıcula que passa pelo ponto (x0, y0, 0) for marcada no instante t0 = 0, determine
a sua localizac¸a˜o no instante t = 4s.
(e) Qual a velocidade da part´ıcula no instante t = 4s?
3a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): A base de uma cerca e´ dada pelo arco de para´bola y = x2 de
(0, 0) a (2, 4). A altura da cerca na posic¸a˜o (x, y) e´ dada pela func¸a˜o h(x, y) = x (x e y em
metros). Determine a a´rea da cerca.
4a Questa˜o (valor: 2,0 pontos):
(a) Mostre que I =
∫
C
(1 + 2xy + ln x)dx+ x2dy e´ independente do caminho.
(b) Calcule a integral I onde C e´ dada por −→r (t) = (1 + cos t, sen t) com −π/2 ≤ t ≤ π/2.
5a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Seja ~F (x, y, z) = (y2 + 2bxz, axy + byz,bx2 + y2).
(i) Determine as constantes a e b de modo que ~F seja um campo conservativo;
(ii) Usando os valores encontrados no item anterior, calcule
∫
C
~F · d~r onde C e´ a curva para-
metrizada por ~r(t) = (t+ cos(πt), 2t+ sen (πt), t), 0 ≤ t ≤ 1.
Gabarito
1a Questa˜o: Temos que a massa e´ dada por:
m =
∫
C
ρ(x, y, z) ds =
∫ pi
0
ρ(~r(t)) · |~r′(t)| dt
Como:
(i) ~r′(t) = (−sen t, cos t, 1)⇒ |~r′(t)| = √sen2t+ cos2 t+ 1 = √2
(ii) ρ(~r(t)) = (cos t)2 + (sen t)2 + t2 = 1 + t2
temos:
m =
∫ pi
0
(1 + t2)
√
2 dt =
√
2(t+
t3
3
)|pi0 =
√
2(π +
π3
3
)
2a Questa˜o: (a),(b): Temos que:
dy
dx
|linha de corrente = v
u
=
4y
2x
=
2y
x
⇒ 1
y
dy =
2
x
dx⇒ ln |y| = 2 ln |x|+k ⇒ ln |y| = ln x2+k ⇒ y = cx2
(c) No ponto (2,−1, 0) temos ~V = 4~i− 4~j ⇒ |~V | = √32 = 4√2 e c = −1/4⇒ y = −1
4
x2.
(d) Como:
(i) u =
dx
dt
⇒ dx
dt
= 2x⇒ 1
x
dx = 2 dt⇒
∫ x
x0
1
x
dx =
∫ t
0
2 dt⇒ ln | x
x0
| = 2t⇒ x(t) = x0e2t
(ii) v =
dy
dt
⇒ dy
dt
= 4y ⇒ 1
y
dy = 4dt⇒
∫ y
y0
1
y
dy =
∫ t
0
4dt⇒ ln | y
y0
| = 4t⇒ y(t) = y0e4t.
Para t = 4s,
x(4) = 2e2(4) = 2e8 = 5961, 9m e y(4) = −1e4(4) = −e16 = −8886, 1m
e assim a part´ıcula estara´ em (5961, 9, −8886, 1, 4).
(e) No ponto (5961, 9, −8886, 1, 4) temos ~V = 2 · (5961, 9)~i − 4 · (−8886, 1)~j = 11923, 8~i +
35544, 4~j
3a Questa˜o: A a´rea a ser pintada sera´ dada pela integral:
A =
∫
C
h(x, y) ds =
∫
C
h(~r(t)) · |~r′(t)| dt.
Temos:
(i) C : ~r(t) = (t, t2), 0 ≤ t ≤ 2⇒ ~r′(t) = (1, 2t)⇒ |~r′(t)| = √1 + 4t2
(ii) h(~r(t)) = t
Portanto, A =
∫ 2
0
t
√
1 + 4t2 dt =
1
12
(1 + 4t2)3/2|20 =
1
12
(17
√
17− 1)m2
4a Questa˜o:
(a) TemosM(x, y) = 1+2xy+ln x e N(x, y) = x2 ⇒ ∂M
∂y
= 2x =
∂N
∂x
⇒ integral independente
do caminho.
(b) ~r(−π/2) = (1,−1) e ~r(π/2) = (1, 1)⇒ I =
∫ (1,1)
(1,−1)
(1 + 2xy + ln x)dx+ x2dy
Seja C ′ o segmento de reta que liga o ponto (1,−1) a (1, 1), temos que uma parametrizac¸a˜o para
C ′ e´ dada por γ(t) = (1,−1) + [(1, 1)− (1,−1)] · t, 0 ≤ t ≤ 1, ou seja, γ(t) = (1,−1 + 2t), 0 ≤
t ≤ 1. Como I =
∫ 1
0
~F (γ(t)) · γ′(t) dt e γ′(t) = (0, 2) temos que
I =
∫ 1
0
[(1 + 2(1)(−1 + 2t) + ln 1] · 0 + 12 · 2dt = 2t|10 = 2.
5a Questa˜o: Temos,
M(x, y, z) = y2 + 2bxz, N(x, y, z) = axy + byz, P (x, y, z) = bx2 + y2
(i) Para que ~F seja conservativo teremos de ter:
∂M
∂y
= 2y = ay =
∂N
∂x
⇒ a = 2.
∂M
∂z
= 2bx = 2bx =
∂P
∂x
.
∂N
∂z
= by = 2y =
∂P
∂y
⇒ b = 2.


⇒ ~F (x, y, z) = (y2 + 4xz, 2xy + 2yz, 2x2 + y2)
(ii) Como ~F e´ conservativo, temos que a integral e´ independente do caminho, ou seja,∫
C
~F · d~r = u(0, 2, 1)− u(1, 0, 0),
onde ~F = ∇u, (1, 0, 0) = ~r(0) e (0, 2, 1) = ~r(1).
Ca´lculo de u(x, y, z) :


ux = M(x, y, z) = y
2 + 4xz (i)
uy = N(x, y, z) = 2xy + 2yz (ii)
uz = P (x, y, z) = 2x
2 + y2 (iii)
De (i) temos:
u(x, y, z) = xy2+2x2z+C(y, z)⇒ uy = 2xy+∂C
∂y
(ii)
= 2xy+2yz ⇒ ∂C
∂y
= 2yz ⇒ C(y, z) = y2z+C(z)
Portanto,
u(x, y, z) = xy2+2x2z+y2z+C(z)⇒ uz = 2x2+y2+C ′(z) (iii)= 2x2+y2 ⇒ C ′(z) = C ⇒ C(z) = C.
Assim sendo, u(x, y, z) = xy2 + 2x2z + y2z + C ⇒ u(0, 2, 1) = 4 e u(1, 0, 0) = 0 acarretando∫
C
~F · d~r = u(0, 2, 1)− u(1, 0, 0) = 4− 0 = 4.