calculo3 - Edézio - A1e gabarito

Prévia do material em texto

FOLHA DE QUESTÕES
CURSO: DISCIPLINA:
ASS.: NOME:
Professor :
DATA: Nº de ordem GRAU: PROVA: TURMA MATRÍCULA:
___/____/____
1a Questa˜o (valor: 1,5 pontos): Calcule a massa de um fio que se encontra ao longo da curva
−→r (t) = (t2 − 1)−→j + 2t−→k , 0 ≤ t ≤ 1 se a densidade for ρ(x, y, z) = (3/2)√y + 1.
2a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Calcule
∫
C
y2dx+ xdy, onde:
(a) C = C1 e´ o segmento de reta de (−5,−3) a (0, 2);
(b) C = C2 e´ o arco da para´bola x = 4− y2 de (0, 2) a (−5,−3).
3a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Um campo de velocidade e´ dado por
−→
V = 2x~i+4y~j; as unidades
de velocidades sa˜o m/s; x e y sa˜o dados em metros; .
(a) Obtenha uma equac¸a˜o para as linhas de correntes no plano xy.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x0, y0, 0) = (2,−1, 0).
(c) Determine a velocidade de uma part´ıcula no ponto (2,−1, 0).
(d) Se a part´ıcula que passa pelo ponto (x0, y0, 0) for marcada no instante t0 = 0, determine
a sua localizac¸a˜o no instante t = 4s.
(e) Qual a velocidade da part´ıcula no instante t = 4s?
4a Questa˜o (valor: 2,5 pontos):
(a) Mostre que I =
∫
C
(x + 3y + y10)dx +
[
3x+ 10xy9 + ln(1 + y2)
]
dy e´ independente do
caminho.
(b) Calcule a integral I para C : (x− 1)2 + y2 = 1 com y ≥ 0 no sentido hora´rio.
5a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Seja ~F (x, y, z) = (y2 cos x, 2ysen x + e2z, 2ye2z). Verifique se o
campo vetorial ~F (x, y, z) e´ conservativo. Caso seja, determine uma func¸a˜o potencial para
~F (x, y, z).
Gabarito
1a Questa˜o: Temos que a massa e´ dada por:
m =
∫
C
ρ(x, y, z) ds =
∫ pi
0
ρ(~r(t)) · |~r′(t)| dt
Como:
(i) ~r′(t) = (0, 2t, 2)⇒ |~r′(t)| =√02 + (2t)2 + 22 = √4t2 + 4 = 2√t2 + 1
(ii) ρ(~r(t)) =
3
2
√
(t2 − 1) + 1 = 3
2
√
t2 =
3
2
|t|
temos:
m =
∫ 1
0
3
2
|t| · 2
√
t2 + 1 dt = 3
∫ 1
0
t
√
t2 + 1 dt = 3
[
(t2 + 1)3/2
3
|10
]
= 2
√
2− 1 u.m.
2a Questa˜o: Temos
∫
C
y2dx+ xdy =
∫
C
~F · d~r =
∫ b
a
~F (~r(t)) · ~r′(t) dt onde ~F (x, y) = (y2, x).
(a) C1 : ~r(t) = (−5,−3) + (5, 5)t = (−5 + 5t,−3 + 5t), 0 ≤ t ≤ 1⇒ ~r′(t) = (5, 5)
~F (~r(t)) = ((−3+5t)2,−5+5t) = (9− 30t+25t2,−5+5t)⇒ ~F (~r(t)) · ~r′(t) = 20− 125t+125t2
Portanto,
∫
C1
~F · d~r =
∫ 1
0
20− 125t+ 125t2 dt =
(
20t− 125t
2
2
+ 125
t3
3
)
|10 = 20−
125
2
+
125
3
= −5
6
(b) −C2 : ~r(t) = (4− t2, t), −3 ≤ t ≤ 2⇒ ~r′(t) = (−2t, 1)
~F (~r(t)) = (t2, 4− t2)⇒ ~F (~r(t)) · ~r′(t) = −2t3 − t2 + 4
Portanto,
∫
C2
~F ·d~r = −
∫
−C2
~F ·d~r = −
∫ 2
−3
−2t3−t2+4 dt =
∫ 2
−3
2t3+t2−4 dt =
(
t4
2
+
t3
3
− 4t
)
|2
−3 = −
245
6
3a Questa˜o: (a),(b): Temos que:
dy
dx
|linha de corrente = v
u
=
4y
2x
=
2y
x
⇒ 1
y
dy =
2
x
dx⇒ ln |y| = 2 ln |x|+k ⇒ ln |y| = ln x2+k ⇒ y = cx2
(c) No ponto (2,−1, 0) temos ~V = 4~i− 4~j ⇒ |~V | = √32 = 4√2 e c = −1/4⇒ y = −1
4
x2.
(d) Como:
(i) u =
dx
dt
⇒ dx
dt
= 2x⇒ 1
x
dx = 2 dt⇒
∫ x
x0
1
x
dx =
∫ t
0
2 dt⇒ ln | x
x0
| = 2t⇒ x(t) = x0e2t
(ii) v =
dy
dt
⇒ dy
dt
= 4y ⇒ 1
y
dy = 4dt⇒
∫ y
y0
1
y
dy =
∫ t
0
4dt⇒ ln | y
y0
| = 4t⇒ y(t) = y0e4t.
Para t = 4s,
x(4) = 2e2(4) = 2e8 = 5961, 9m e y(4) = −1e4(4) = −e16 = −8886, 1m
e assim a part´ıcula estara´ em (5961, 9, −8886, 1, 4).
(e) No ponto (5961, 9, −8886, 1, 4) temos ~V = 2 · (5961, 9)~i− 4 · (−8886, 1)~j = 11923, 8~i+35544, 4~j
4a Questa˜o:
(a) Temos M(x, y) = x+ 3y + y10 e N(x, y) = 3x+ 10xy9 + ln(1 + y2)⇒ ∂M
∂y
= 3 + 10y9 =
∂N
∂x
⇒
integral independente do caminho.
(b)
Como C e´ uma semi-circunfereˆncia de raio 1
centrada em (1,0) e a integral e´ independente
do caminho temos que
∫
C
~F ·d~r =
∫
C′
~F ·d~r :
1 x
y
(2,0)(0,0)
C
C’
C ′ : ~r(t) = (2, 0) + [(0, 0)− (2, 0)]t, 0 ≤ t ≤ 1⇒ ~r(t) = (2− 2t, 0), 0 ≤ t ≤ 1⇒ ~r′(t) = (−2, 0)
~F (~r(t)) = (2− 2t+ 3(0) + 010, 3(2− 2t) + 10(2− 2t)09 + ln(1 + 02)) = (2− 2t, 6− 6t).
Portanto,
~F (~r(t)) · ~r′(t) = (2−2t, 6−6t) · (−2, 0) = −4+4t⇒
∫
C′
~F ·d~r =
∫ 1
0
−4+4t dt = (−4t+2t2)|10 = −2.
5a Questa˜o: Temos, ~F (x, y, z) = (y2 cos x, 2ysen x+ e2z, 2ye2z), assim:
M(x, y, z) = y2 cos x, N(x, y, z) = 2ysen x+ e2z, P (x, y, z) = 2ye2z
Portanto,
∂M
∂y
= 2y cos x =
∂N
∂x
,
∂M
∂z
= 0 =
∂P
∂x
,
∂N
∂z
= 2e2z =
∂P
∂y
o que acarreta ~F ser um campo conservativo, ou seja, ~F (x, y, z) = ∇u(x, y, z) = (ux, uy, uz). Assim
sendo, 

ux = M(x, y, z) = y
2 cos x (i)
uy = N(x, y, z) = 2ysen x+ e
2z (ii)
uz = P (x, y, z) = 2ye
2z (iii)
De (i) temos,
u(x, y, z) = y2sen x + C(y, z)⇒ uy = 2ysen x · Cy(y, z) (ii)= 2ysen x + e2z ⇒ Cy(y, z) = e2z, portanto
C(y, z) = ye2z + C(z) e assim sendo,
u(x, y, z) = y2sen x+ ye2z + C(z)
Continuando temos uz = 2ye
2z + C ′(z)
(iii)
= 2ye2z ⇒ C ′(z) = 0⇒ C(z) = C.
Portanto a func¸a˜o potencial e´ dada por u(x, y, z) = y2sen x+ ye2z + C.