MecanicaGeral_01_exercicios_gabarito_D

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1
mecânica geral
exercícios das aulas 1-2
ExErcício 1
Considere uma rotação ao longo do eixo z por um ângu-
lo de π/3 no sentido anti-horário. Nesse caso:
a. Determine a matriz de rotação.
b. Escreva a matriz transposta e verifique que:
RT π
3
  = R–1 π
3
 
c. Quais são as novas coordenadas do ponto P(0,1,2).
y
x
r
r
θ
0
d. Verifique que a distância desse ponto até a origem 
se mantém constante. Adote o sistema internacio-
nal de medidas.
Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios 2
ExErcício 2
Considere uma rotação ao longo do eixo z por um ângulo de π/4 no sen-
tido anti-horário. Nesse caso:
a. Determine a matriz de rotação.
b. Escreva a matriz transposta e verifique que:
RT π
4
  = R–1 π
4
 
c. Como se transformam as componentes do vetor força cujas com-
ponentes originais eram:
(Fx, Fy, Fz)
d. Como se transforma as componentes de um tensor de posto 2?
ExErcício 3
Com respeito a duas rotações efetuadas uma em seguida à outra, verifi-
que a seguinte propriedade:
Rx(θ) Rz(φ) ≠ Rz(φ) Rx(θ)
Aplique a expressão para rotações simples como φ = π/2 e θ = π/2.
Faça uma experiência com um livro. O que isso significa?
original
z
y
x x
rotação em torno de x rotação em torno de zrotação em torno de y
y
z
Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios 3
ExErcício 4
Determine a matriz de rotação para ângulos de Euler dados por:
φ =  π
6
, θ =  π
2
 e ψ = π
3
ExErcício 5
Considere pontos da Terra ao longo da linha do Equador (vide figura).
ω
Fcentrífuga
Fcentrífuga
Fcentrífuga
mg
mgmg
r3
r1
r2
ω
r3
r1
r2
V
a. Escreva uma expressão para a velocidade de um ponto situado ao 
longo dessa linha.
b. Mostre que, ao longo desses pontos, a força centrífuga tem sentido 
oposto ao da força gravitacional.
c. Determine o módulo da força centrífuga para um objeto de massa 
M = 2kg.
d. Qual é o peso aparente do objeto descrito no item c?
Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios 4
ExErcício 6
Considere uma pequena porção de uma nuvem de tal forma que sua mas-
sa M = 1kg. Essa parte da nuvem se move sobre a linha do Equador com 
velocidade V em relação à Terra. Seu módulo é de 100Km/hora.
a. Determine a força de Coriolis que age sobre ela no caso em que a 
velocidade tem a direção da tangente à linha do Equador e tem o 
sentido Oeste-Leste (vide figura). Para onde essa parte da nuvem se 
deslocará?
b. Determine a força de Coriolis que age sobre ela no caso em que a 
velocidade tem a direção da tangente à linha do Equador mas agora 
tem o sentido Leste-Oeste (vide figura). Para onde essa parte da nu-
vem se deslocará?
c. Considere agora os casos de movimentos na direção Norte-Sul e Sul-
-Norte. Qual é a força de Coriolis nesses casos? 
ω
Fcentrífuga
Fcentrífuga
Fcentrífuga
mg
mgmg
r3
r1
r2
ω
r3
r1
r2
V
5Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios
GABARITO
ExErcício 1
a. A matriz de rotação por um ângulo θ em torno do eixo z para uma 
rotação contrária ao ponteiro dos relógios é:
 cos θ	 sen	θ	 0
	 Rz(θ) =	 	–sen	θ	 cos	θ	 0		
	 	 	 					0	 	 			0		 1
Assim, para o ângulo θ	=	π/3 temos:
 cos 
π
3
 sen 
π
3
 0 
1
2
   3
2
 0
 Rz 
π
3  = 
 
–sen π
3
 cos 
π
3
 0  =  – 3
2
  
1
2
 0 
   0  0 1 0   0 1
b. 
 
1
2
 – 3
2
 0
 Rz – 
π
3
  = 
 
 3
2
 
1
2
 0 
   0  0 1 
 1 0 0
 Rz 
π
3
 Rz – 
π
3
  =  0 1 0 	
	 	 	 	 	 0 0 1
6Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios
c. Sob essa rotação as componentes de um vetor se transformam com 
V → V':
	 		x'	 	 	 		0 
1
2
 3
2
  0   0
 
 
 y'	  = Rz 
π
3
 
 
 1	  = 
 
 –	 3
2
 
1
2
  0	   
 
 1	
	 		z'	 	 	 		2 0 0  1   2
Portanto, as novas coordenadas do ponto, são:
x' = 3
2
y' = 
1
2
z' = 2
d. 
|r'|2 = (x')2 + (y')2 + (z')2 = (x)2 + (y)2 + (z)2
|r'|2 = 
3
4
 + 
1
2
 + 4 = 0 + 1 + 4 = 5
10Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios
ExErcício 3
Consideremos duas rotações. A primeira, em torno do eixo z	por um ân-
gulo θ segue da rotação em torno de eixo x por um ângulo φ. A matriz de 
rotação associada a essas duas rotações é R	(φ,θ) dada por:
  1  0  0 cos θ sen	θ 0
 R(1)(φ, θ) = 
 
 0  cos	φ sen	φ    – sen	θ cos θ	 0 
  0 –sen	φ cos	φ 0 0 1
Portanto:
   cos θ   sen θ 0
 R(1)(φ, θ) = 
 
 –cos φ	sen	θ cos	φ	cos	θ	 sen	φ 
  sen φ	sen	θ –sen	φ	cos	θ	 cos	φ 
Consideremos agora uma rotação na ordem inversa, obtemos a matriz:
   cos θ  sen θ cos φ sen φ	sen	θ
 R(2)(θ,	φ) = 
 
 –sen	θ cos	θ	cos	φ	 sen	φ	cos	θ 
   0 –sen	φ	 				cos	φ 
Para φ	=	π/2 e θ = π/2 encontramos:
 0 1 0
	 R(1) 
π
2
, 
π
2
 =	 	0 0 1	
	 	 	 						1 0 0
 0 0 1
	 R(2) 
π
2
, 
π
2
 =	 	-1 0 0	
	 	 	 						0 -1 0
11Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios
Significa que a ordem com que efetuamos as rotações é importante.
original
z
y
x x
rotação em torno de x rotação em torno de zrotação em torno de y
y
z
12Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios
ExErcício 4
A matriz de rotação mais geral possível, utilizando os ângulos de Euler, é:
R(ψ, θ, φ) = R(3)z (ψ) R
(2)
x(θ) R
(1)
z(φ)
As matrizes de rotação para cada um dos eixos é:
 cos	φ	 sen	φ 0
	 R(1)z
 (φ) =	 	– sen	φ	 cos	φ 0
 0 0 1
 1	 	 	 0 0
	 R(2)x
 (θ) =	 	0	 	 cos	θ	 sen	θ
 0 – sen	θ	 cos	θ
 cos ψ	 sen	ψ	 0 
	 R(3)x
 (ψ) =	 	– sen ψ	 cos	ψ	 0
   0  0	 1
 cos ψ sen ψ 0 1   0   0 cos φ sen φ 0
R(ψ, θ, φ) =  – sen ψ	 cos	ψ 0   0	  cos	θ	 sen	θ	   – sen φ cos φ 0  
    0   0 1 0 – sen θ cos θ   0  0 1	
	 	 	 	
Portanto:
 1
2
 3
2
 0 1  0 0 3
2
 
1
2
 0
R	 π
3
, π
2
, π
6
 =  – 3
2
	
1
2
 0   0	  0 1   – 
1
2
 3
2
 0  
     0  0 1 0 – 1 0   0 0	 1
 1
2
 3
2
 0 3
2
  
1
2
 0 
	 =  – 3
2
	
1
2
 0   0	 		 0 1 
   0  0 1 
1
2
 – 3
2
 0 
13Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios
 3
4
 
1
4
 3
2
 =  – 
3
4
 – 3
4
 
1
2
     
1
2
 – 3
2
	 		0
16Mecânica Geral / Aulas 1–2 Exercícios
ExErcício 6
a. A velocidade da nuvem tangente à linha do Equador com sentido 
Oeste-Leste é:
V = Vuφ e a velocidade angular da Terra ω = ωk
Portanto, a força de Coriolis:
F = -2m(ωk) × (Vuφ ) = -2mωV(-ur	) = 2mωVur
Ou seja, a força de Coriolis sobre a nuvem de 1kg tem intensidade 4 
× 10–3 N para fora da Terra e na direção radial.
b. No sentido Leste-Oeste a força de Coriolis tem a mesma intensidade 
e direção, mas sentido para dentro da Terra.
c. A força de Coriolis é nula nos dois casos.