P1 Álgebra Linear A - Ana Lucia (MATB38)

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MATB38 - A´lgebra Linear I - B
Primeira Avaliac¸a˜o
09 de abril 2015
Nome:
1. Na Franc¸a, treˆs turistas trocaram por euros, no mesmo dia, as quantias abaixo que lhes restavam em do´lares,
em libras e em reais. Calcule o valor de um do´lar, uma libra e um real, em euros, no dia em que os turistas
efetuaram a troca. (valor 1,5)
1◦ turista: 50 do´lares, 20 libras e 100 reais por 108,5 euros;
2◦ turista: 40 do´lares, 30 libras e 200 reais por 152,2 euros;
3◦ turista: 30 do´lares, 20 libras e 300 reais por 165,9 euros.
2. Considere o sistema linear:

3x+ 5y + 12z − w = −3
x+ y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5 .
(valor 1,5)
a) Usando escalonamento, discuta a soluc¸a˜o do sistema.
b) Acrescente a equac¸a˜o 2z+kw = 9 a este sistema e encontre um valor de k que torne o sistema impossı´vel.
3. Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta. (valor 4,0)
a) A soluc¸a˜o do sistema linear
{
2x+ y = 5
6x+ 3y = 15
e´ o ponto
(
5
2 , 0
)
.
b) Os valores x = 3, y = 0, y = 3 fazem a matriz
 3 x+ 2i yi3− 2i 0 1 + zi
yi 1− xi −1
 ser Hermitiana.
c) A matriz

1 0 0 0 0
0 0 0 0 −1
0 0 1 0 0
0 12 0 2 0
1 0 0 0 0
 e´ ortogonal. d) A matriz
(
3 −4
4 3
)
e´ normal.
4. Considere a matriz A =
 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1
 . a) Determine o posto e a nulidade de A. (valor
0,7)
b) Considere que A e´ a matriz aumentada de um sistema linear. Determine, se possı´vel, a soluc¸a˜o de tal
sistema. (valor 0,7)
c) Ache, se possı´vel, a matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema cuja matriz aumentada e´ A.
(valor 0,6)
5. Suponha que A e B sa˜o matrizes n× n, inversı´veis. Mostre que AB tambe´m e´ inversı´vel e que (AB)−1 =
B−1A−1. (valor 1,0)
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