P2 Álgebra Linear A - Ana Lucia (MATB38)

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MATB38 - A´lgebra Linear I - B
Segunda Avaliac¸a˜o
02 de junho 2015
Nome:
1. Sendo V espac¸o vetorial sobre R, diga se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa. Prove, se for verdadeira, e
apresente um contra-exemplo, se for falsa. (valor 1,0 cada)
a) SejamW1 = [(0, 1,−2), (1, 1, 1)] eW2 = [(−1, 0, 3), (2,−1, 0)]. Enta˜o R3 = W1 ⊕W2.
b) Sejam X e Y subconjuntos de V , com [X] ⊂ [Y ]. Enta˜o X ⊂ Y .
c) O conjunto
{(
a a+ b
a b
)
; a, b ∈ R
}
e´ subespac¸o deM2×2(R), de dimensa˜o 2.
d) A unia˜o de dois subespac¸os vetoriais de V e´ um subespac¸o de V se, e somente se, um deles estiver
contido no outro.
e) Os polinoˆmios p(x) = x3 − 3x2 + 5x + 1, q(x) = x3 − x2 + 6x + 2, r(x) = x3 − 7x2 + 4x sa˜o L.I.
em P3(x).
f) A intersec¸a˜o de dois subconjuntos L.I. de V e´ ainda um conjunto L.I. de V .
g) O subespac¸o das matrizes sime´tricas 2× 2 tem dimensa˜o 3.
h) A matriz coordenada do vetor v = (a, b, c) ∈ R3 na base B = {(1, 2, 0), (1, 3, 2), (0, 1, 3)} e´ [v]B =(
c− 3b+ 7a −c+ 3b− 6a c− 2b+ 4a )
B
.
i) O conjunto soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0, onde A =

1 2 0 3 0
1 2 −1 −1 0
0 0 1 4 0
2 4 1 10 1
0 0 0 0 1
 tem β =
{(−2, 1, 0, 0, 0), (−3, 0,−4, 1, 0)} como base.
j) O vetor w = (1,−1, 2) na˜o pertence ao subespac¸o gerado por u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).
2. Sejam E, F espac¸os vetoriais sobre R. Uma func¸a˜o f : E → F chama-se par, respectivamente, ı´mpar,
quando f(−v) = f(v), respectivamente, f(−v) = −f(v), para todo v ∈ E. Prove que o conjunto A das
func¸o˜es pares e o conjunto B das func¸o˜es ı´mpares sa˜o subespac¸os vetoriais de F(E,F ), o conjunto das
func¸o˜es de E em F , e que F(E,F ) = A⊕B. (valor 2,0)
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