Lista Limites e Continuidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - UFOP
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ICEB
2o LISTA DE CÁLCULO 1
1) Determine os limites abaixo:
a) lim
x→+∞
2x+ 1
5x− 2
b) lim
x→−∞
6x− 4
3x− 1
c) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
d) lim
x→+∞
(
2
x2
− 4x
)
e) lim
x→−∞
√
x2 − 2x+ 3
x+ 5
f) lim
x→+∞
√
x4 + 1
2x2 − 3
2) Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função.
a) f(x) =
2x+ 1
x− 3
b) f(x) = 1− 1
x
c) f(x) =
2√
x2 − 4
d) f(x) =
4x2
x2 − 9
e) f(x) =
2x
6x2 + 11x− 10
f) f(x) =
4x2√
x2 − 2
3) Verifique se cada função abaixo é contínua no número b e faça um esboço do seu
gráfico.
a) f(x) =
x2 + x− 6
x+ 3
; b = −3
2
b) f(x) =

x2 + x− 6
x+ 3
se x 6= −3,
1 se x = −3,
; b = −3
c) f(x) =

5
x− 4 se x 6= 4,
2 se x = 4,
; b = 4
d) f(x) =

x2 − 4 se x < 2,
4 se x = 2,
4− x2 se 2 < x,
; b = 2
e) f(x) =

√
x− 2
x− 4 se x 6= 4,
1
4
se x = 4,
; b = 4
4) Encontre os valores das constantes c e k que tornam a função contínua em IR e faça
um esboço do seu gráfico.
a) f(x) =
 3x+ 7 se x ≤ 4,kx− 1 se 4 < x,
b) f(x) =

x se x ≤ 1,
cx+ k se 1 < x < 4,
−2x se 4 ≤ x,
5) Enuncie o teorema do valor intermediário. Em seguida, mostre que o teorema do
valor intermediário garante que a equação x3 +−4x+ x+ 3 = 0 tenha raiz entre 1 e 2.
6) Sabendo que lim
x→0
senx
x
= 1, mostre que lim
x→0
1− cos x
x
= 0.
7) Calcule o limite:
a) lim
x→0
sen 4x
x
b) lim
x→0
sen 9x
sen 7x
c) lim
x→0
3x
sen 5x
d) lim
x→0
x2
sen2 3x
e) lim
x→0
sen3 x
x2
3
f) lim
x→0
1− cos 4x
x
.
g) lim
x→0
3x2
1− cos2 x
2
h) lim
x→0
tg x
2x
i) lim
x→0+
sen x
x2
j) lim
x→0
1− cos 2x
sen 3x
k) lim
x→pi
2
1− senx
pi
2
− x (Sugestão: faça t =
pi
2
− x)
l) lim
x→pi+
sen x
pi − x (Sugestão: faça t = x− pi)
m) lim
x→0
x2 + 3x
sen x
n) lim
x→0
sen(sen x)
x