Revisão para P2 de Mat II

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Exerc´ıcios de Revisa˜o para Matema´tica 2 - IC252
1. Determine as derivadas par-
ciais
(a) f(x, y) = (x2 + y2)exy
(b) f(x, y) = x3−3xy+x2y
(c) f(x, y) = y2 ln(x2+y2−
xy)
(d) f(x, y, z) =
z
√
9− x2 − y2
(e) f(x, y, z) = ln(xyz)
2. Dado z = xex
2
−y2 , calcule
um valor aproximado para a
variac¸a˜o ∆z em z, quando se
passa de x = 1 e y = 1 para
x = 1, 01 e y = 1, 002.
3. Um recipiente fechado na
forma de um so´lido retan-
gular deve ter um compri-
mento interno de 8 m, uma
largura interna de 5 m, uma
altura de 4 m e uma espes-
sura de 4 cm. Use diferenci-
ais para aproximar a quanti-
dade de material necessa´rio
para construir o recipiente.
4. Seja z = xy, onde x = f(u)
e y = g(u). supondo que f
e g diferencia´veis, f(1) = 2,
g(1) = −2, f ′(1) = −1 e
g′(1) = 5, calcule dz
du
(1).
5. Sejam f : R3 −→ R dife-
rencia´vel e P0 = (0, 0, 0) tais
que ∂f
∂x
(P0) = 2 e
∂f
∂y
(P0) =
∂f
∂z
(P0) = 0. Defina
g(u, v) = f(u−v, u2−1, 3v−3)
e calcule ∂g
∂u
(1, 1) e ∂g
∂v
(1, 1).
6. Estude a natureza dos pon-
tos cr´ıticos das seguintes
func¸o˜es:
(a) f(x, y) = 4xy2−2x2y−
x
(b) f(x, y) = x ln y
(c) f(x, y) = xy − x3 − y2
(d) f(x, y) = 4y2ex
2
+y2
7. Use a Regra da Cadeia para
encontrar cada derivada in-
dicada:
(a) dz
dt
, onde z = x3y2 −
3xy + y2, x = 2t e y =
6t2.
(b) dw
dx
, onde w = u2 −
2uv + v2, u =
√
x e
v = x3.
8. Estude com relac¸a˜o a
ma´ximos e mı´nimos a func¸a˜o
dada com as restric¸o˜es da-
das.
(a) f(x, y) = 3x+ y e x2 +
2y2 = 1
(b) f(x, y) = x2 + 2y2 e
3x+ y = 1
(c) f(x, y) = xy e x2 +
4y2 = 8
(d) f(x, y) = x2 − 2xy+ y2
e x2 + y2 = 1
9. Determine o ponto do plano
x+2y−3z = 4 mais pro´ximo
da origem.
10. Determine os extremantes
de
f(x, y) = 3x+ 2y
com a restric¸a˜o x2 + y2 = 1.
11. Encontre os pontos da curva
xy = 1 que se encontram
mais pro´ximos da origem .
12. Calcule as integrais duplas
iteradas
(a)
∫ 1
0
∫ 2
1
(x+ y + 1)dxdy
(b)
∫ 1
0
∫ 2
0
(x+ 2y)dydx
(c)
∫ 5
0
∫ 4
2
(x+ 2y)dydx
(d)
∫ ln 2
0
∫ 2
0
(x+ 2y)dydx
(e)
∫ 1
0
∫ 3
−3
xy2
x2 + 1
dxdy
(f)
∫ 3
0
∫ 3x
0
xy2dydx
(g)
∫ 9
0
∫ y
0
√
4 + y2dxdy
13. Use integral duplas para en-
contrar a a´rea da regia˜o limi-
tadas pelas curvas.
(a) y = x2 e y = x3
(b) y = x2 − 4 e y = 4− x2
14. Calcule o volume do con-
junto dado.
(a)

(x, y, z) ∈ R3
∣∣∣∣∣∣
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1,
0 ≤ z ≤ x+ 2y


(b)

(x, y, z) ∈ R3
∣∣∣∣∣∣
0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤ 1,
0 ≤ z ≤ √xy


1