2009-1-algebra-moderna-apostila

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Mogi das Cruzes – SP 
2000 – 2009 
 
E
f(E)
G
F
H
x
y
z
gof
 
 
Notas de AulasNotas de AulasNotas de AulasNotas de Aulas 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luiz Antonio de MoraisProf. Luiz Antonio de MoraisProf. Luiz Antonio de MoraisProf. Luiz Antonio de Morais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luiz Antonio de Morais 
 
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 contato: lamorais@arithimus.com 
 email: lamorais@ymail.com 
 messenger: lademorais@hotmail.com 
 
 
 
 
Notas de aulas de Álgebra Moderna - 2000 a 2009
Prof. Luiz Antônio de Morais
http://www.arithimus.com
 
2 
ÁLGEBRA MODERNA 
 
Notas de aulas 
 
 
Índice: 
 
3. Nota do autor: 
3. Requisitos: 
4. Noções sobre conjuntos: 
5. Subconjuntos: 
5. Conjuntos iguais: 
6. Conjunto das partes de um conjunto: 
6. Operações entre conjuntos: 
6. Reunião de dois conjuntos: 
7. Intersecção de dois conjuntos: 
7. Diferença de dois conjuntos: 
7. Complementar de dois conjuntos: 
8. Diferença simétrica: 
9. Propriedades das operações entre conjuntos: 
12.Relações: 
12.Conjunto produto: 
15.Relação binária: 
16.Relações de equivalência: 
16.Relações de ordem: 
21.Aplicações: 
22.Imagem de uma aplicação: 
27.Aplicações sobrejetoras, injetoras ou bijetoras: 
30.Aplicações inversas: 
32.Composição de aplicações: 
35.Leis de composições internas e operações internas: 
38.Propriedades de leis e operações internas : 
46.Homomorfismo e isomorfismo: 
48. Grupos: 
48. Grupos comutativos, finitos e infinitos: 
 
 
 
 
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Nota do autor: 
 
O texto que segue no contexto deste manual de iniciação a álgebra moderna foi criado para 
atender as necessidades mínimas dos alunos do curso de licenciatura da Universidade Braz 
Cubas de Mogi das Cruzes. Pode ser utilizado também pelas classes finais do ensino médio ou de 
cursos equivalentes. Não foi criado para ensino dogmático e sim como instrumento de trabalho 
facilitador e agilizador no desenvolvimento dos conteúdos da álgebra. 
Serão tratados neste manual, assuntos básicos que serão o alicerce para um estudo posterior de 
Álgebra porém da maneira mais objetiva possível. Como este material é destinado ao aluno que 
está iniciando seus estudos de álgebra, os problemas e exercícios não estão resolvidos para que 
ele possa praticar os conceitos dados nas aulas. 
 
Nada de novo está sendo criado. Todos os conceitos aqui mostrados encontram-se disponíveis 
nos milhares livros e textos de Álgebra existentes. 
 
 
Requisitos: 
 
Para o desenvolvimento ideal deste curso, o leitor deverá ter: 
� Conhecimento de Álgebra elementar 
� Conhecimento de Números 
� Conhecimento de funções 
� Conhecimento de gráficos de funções 
� Noções de limites de funções 
� Noções de derivadas 
� Noções de aplicações de derivadas 
 
 
 
 
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Parte 1 - Noções de Conjuntos 
 
 Não definiremos um conjunto. Trataremos aqui os conjuntos de forma intuitiva utilizando 
exemplos. 
 
 Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, que chamamos de elementos. Os elementos 
de um conjunto estão relacionados com o conjunto ao qual pertencem por uma relação 
denominada relação de pertinência. Assim, se x é um dos elementos do conjunto A, dizemos que 
x pertence a A e, escrevemos x∈A . Se, porém, x não é um dos elementos do conjunto A, 
dizemos que x não pertence a A e, escrevemos x∉A . 
 
 Um conjunto A fica bem caracterizado quando se dá uma regra que permite decidir se um 
objeto arbitrário x pertence ou não ao conjunto A . 
 
Exemplo: 
 
Seja A o conjunto dos triângulos retângulos. Note que o conjunto A está bem definido, pois um 
objeto x para pertencer a A tem que ser triângulo e possuir um ângulo reto. 
 
 Usa-se a notação A = {a, b, c,...} para representar o conjunto A cujos elementos são os objetos 
a, b, c, etc. 
 
Exemplo: 
 
Seja o conjunto A = {♣,♥,♠,♦}. Os naipes de baralho ♣,♥,♠,♦ são os elementos do conjunto 
A. Podemos ainda escrever ♣∈A, ♥∈A, ♠∈A, ♦∈A. 
 
Conjuntos numéricos são aqueles cujos elementos são somente números. 
 
 
Alguns conjuntos numéricos importantes: 
 
� Conjunto dos números naturais: N = {1,2,3,4,5,...} 
� Conjunto dos números inteiros: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
� Conjunto dos números racionais: }0q,q,p;
q
p
{ ≠∈∈= ZZQ 
� Conjunto dos números reais: R = Q ∪ {Irracionais} 
� Conjunto dos números complexos: }b,a;biaz:z{ RC ∈+== 
 
 
 Muitos dos conjuntos encontrados na Matemática não podem ser definidos especificando-se, 
um a um seus elementos. A maneira geralmente utilizada para descrever um conjunto é através 
de uma propriedade característica K comum e exclusiva de seus elementos. Assim, se um objeto 
x∈B, é porque x goza da propriedade K. Escreve-se 
 
B = {x : x goza da propriedade K} 
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Se a propriedade K se refere a elementos de um conjunto universo Ε. Neste caso, escreve-se: 
 
X = {x∈Ε : x goza da propriedade K} 
 
Exemplo: 
Seja o conjunto B = {x∈Z : x > 3}. A propriedade K desse conjunto é o número ser inteiro e 
maior que 3. Neste caso podemos escrever: 
 
B = {x∈Z : x > 3} = {4,5,6,7,8,9,...} 
 
 Quando nenhum elemento do conjunto B goza da propriedade K, o conjunto não possui 
nenhum elemento. Nesse caso B é um conjunto vazio e, neste caso representamos: 
 
B = φ ou B = { } 
 
Exemplo: 
 
Seja o conjunto A = {x∈Z : 3 < x < 4}. Note que a propriedade K desse conjunto diz que os 
seus elementos são números inteiros compreendidos entre 3 e 4. Mas, não existe número inteiro 
compreendido entre 3 e 4. Logo A é um conjunto vazio. 
 
A = {x∈Z : 3 < x < 4} = φ 
 
 
Subconjuntos (Relação de inclusão) 
 
 Dados dois conjuntos A e B. Dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A 
é também elemento de B. 
 
Representamos A ⊂ B e lemos “A está contido em B” ou B ⊃ A que lemos “B contém A”. 
A negação de A ⊂ B é A ⊄ B. 
 
Exemplos: 
 
1. Os conjuntos N, Z e Q citados anteriormente satisfazem a relação de inclusão N ⊂ Z ⊂ Q 
2. Sejam: A o conjunto dos quadrados e B o conjunto dos retângulos. Como todo quadrado é 
retângulo, temos: A ⊂ B 
 
 
Conjuntos iguais 
 
A relação de inclusão pode ser aplicada a conjuntos iguais. E, neste caso sendo A = B, então 
teremos A ⊂ B e B ⊂ A. Da teoria da lógica clássica tiramos a equivalência lógica: 
)pq()qp(qp →∧→⇔↔ 
 
Adaptando esta propriedade da lógica à teoria dos conjuntos, podemos escrever: 
A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A 
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Conjunto das partes de um conjunto 
 
 Dado um conjunto A, indica-se por P(A) o conjunto de todas as partes de A. Este conjunto é 
formado por todos os subconjuntos possíveis de A inclusive o vazio e o próprio A. 
 
Exemplo: 
 
Seja A = {1,2,3,4} um conjunto. O conjunto das partes do conjunto A é: 
P(A) = {φ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4}, 
{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}} 
 
Observações: 
 
i) Afirmar X ∈ P(A) é afirmar X ⊂ A 
ii) P(A) nunca é vazio, pois φ ∈ P(A) 
iii) O número de elementos de P(A) é determinado por n(A)2 
 
 
Partição de um conjunto 
 
 Seja E um conjunto. Uma partição de E é uma coleção de subconjuntos não vazios de E tais 
que dois a dois são disjuntos e a reunião é o próprio conjunto E. 
 
Exemplos: 
 
Seja o conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
{1}, {2, 3}, {4, 5, 6} é uma partição de E 
 
{1}, {2}, {3}, {4}, {5, 6} também é umapartição de E 
 
 
Operações entre conjuntos 
 
Reunião de dois conjuntos 
 
 A reunião de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B, formado pelos elementos de A mais 
os elementos de B. 
 
 Simbolicamente escrevemos A ∪ B = {x : x∈A ou x∈B} 
 
 Em diagrama temos 
 
 
A
B
A B
A B
A B
ou
 
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Intersecção de dois conjuntos 
 
 A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∩ B, formado pelos elementos que são 
comuns a A e B. 
 
 Simbolicamente escrevemos A ∩ B = {x : x∈A e x∈B} 
 
 Em diagrama temos 
 
 
A B
A B 
 
Nota: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B. 
 
 
Diferença de dois conjuntos 
 
 A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto A - B, formado pelos elementos de A que 
não pertencem a B. 
 
 Simbolicamente escrevemos A - B = {x : x∈A e x∉B} 
 
 Em diagrama temos 
 
 
A
B
A B- 
 
 
Complementar de um conjunto 
 
 Se o conjunto B estiver contido no conjunto A; ou seja, B ⊂ A, a diferença A - B será 
chamada complementar de B em relação a A . Nesse caso, escrevemos 
 
 
A - B = B
A 
 
Em diagrama temos 
 
 
A
B
A - B = B
A
 
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Em conjuntos é comum admitirmos a existência de um conjunto universo E, que contém todos os 
conjuntos que ocorrem numa certa discussão. Neste caso, a diferença E - X é chamada 
simplesmente complementar de X e, é simbolizada por: 
 
 
E - X = X
 
 
 
Diferença simétrica 
 
Chama-se diferença simétrica de dois conjuntos A e B e indica-se por A ∆ B o conjunto dos 
elementos que pertencem somente aos conjuntos A e B. 
 
 Simbolicamente escrevemos: 
 
BA ∆ = )BA( ∩
)BA( ∪ 
 
 Em diagrama temos: 
 
 
A
B
BA ∆ 
 
Outra maneira de escrever a diferença simétrica: 
 
A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) 
 
 
Exemplos de operações entre conjuntos: 
 
a) Sejam os conjuntos A = {x∈N: x ≤ 10} e B = { x∈N: x > 5}. Então, temos A ∪ B = N; A 
∩ B = {6,7,8,9,10} e A - B = {1,2,3,4,5}. 
 
b) Dados os conjuntos X, Y e Z, determinar: (X ∩ Y), (X ∩ Z), (X – Y), (X – Z) e (X ∆ Y). 
 X = {x∈N : x ≤ 15} 
 Y = {x∈N : x ≥ 8} 
 Z = {x∈Z : -3 < x ≤ 6} 
 
 
 Solução: 
 
 X ∩ Y = {8,9,10,11,12,13,14,15} 
 X ∩ Z = {1,2,3,4,5,6} 
 X – Y = {1,2,3,4,5,6,7} 
 X – Z = {7,8,9,10,11,12,13,14,15}. 
 X ∆ Y = {16, 17, 18, 19, 20, ...} 
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Propriedades das operações entre conjuntos 
 
 1) A ∪ φ = A 
 2) A ∪ A= A 
 3) A ∪ B = B ∪ A 
 4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
 5) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 6) A ∩ φ = φ 
 7) A ∩ A = A 
 8) A ∩ B = B ∩ A 
 9) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
= AA10)
 
AB11) ⇔⊂ BA 
A B12) =∪BA 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Representar nos diagramas abaixo os conjuntos: (A ∪ C) – (A ∩ B) e (A ∪ B) ∩ (C ∩ D). 
 
 
A B
C 
A
B
C
D 
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2) Sejam os conjuntos: A = {x∈N : x < 10}, B = {x∈Z : -2 ≤≤≤≤ x ≤ 5}, C = {x∈Q : -3 < x ≤ 6}, 
D = [-1, 4] e E = (1, 4], determinar: 
a) A – B 
b) C – (A ∩ B) 
c) (B − A) ∪ (C − D) 
d) (A ∪ B) ∩ (C ∩ D) 
e) D ∩ E ∩ C 
 
 
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3) Determinar o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d} 
 
 
 
 
 
4) Representar o conjunto X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} por uma propriedade característica. 
 
 
 
 
 
5) Demonstrar as propriedades abaixo: 
a) A ∪ φ = A 
b) A ∩ B = B ∩ A 
c) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
= AAe)
 
 
 
 
 
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Parte 2 - Relações 
 
Par ordenado 
 
 Dados os objetos a e b do conjunto E o par ordenado (a, b) fica formado, quando se escolhe o 
objeto a para ser a primeira coordenada do par e conseqüentemente b para ser a segunda 
coordenada. 
Assim (a, b) ≠ (b, a) e ainda (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d 
 
Representações gráficas 
 
Para objetos quaisquer podemos utilizar a Tabela de dupla entrada abaixo. 
 
E b 
a (a, b) 
 
Para objetos ordenados ou ordenáveis tais como números, por exemplo, podemos utilizar 
também o Gráfico cartesiano abaixo. 
 
 
Conjunto produto ou Produto Cartesiano 
 
 O produto cartesiano dos conjuntos A e B é o conjunto A X B cujos elementos são todos os 
pares ordenados (a, b) onde a∈A e b∈B. 
 
Simbolicamente: A X B = {(a, b) : a∈A e b∈B} 
 
 
Exemplos: 
 
1) Sejam A = {a, b, c} e B = {x, y}. O conjunto produto ou produto cartesiano de A por B é: 
 
Na forma de conjunto: 
 
A X B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)} 
 
Na forma de tabela de dupla entrada: 
 
A B
a
b
c
x y
(a, x) (a, y)
(b, x) (b, y)
(c, y)(c, x)
 
 
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2) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}. O produto cartesiano de A por B é: 
 
Na forma de conjunto: 
 
A X B = {(1, 2), (1, 4), (2,2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} 
 
 Na representação como gráfico cartesiano: 
 
 
1 2 3
4
2
0
y
x 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Consideremos os seguintes subconjuntos }2x2:Zx{B},4x2:x{A ≤<−∈=<<∈= N e 
}4x1:x{C ≤<−∈= Q . Determinar os conjuntos produtos: 
a) A X B 
b) B X C 
 
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2) Consideremos os seguintes subconjuntos: }1x3:x{A ≤<−∈= Z ; )3,1[Ce]3,1(B −== . 
Determinar os conjuntos produtos: 
a) A X B 
b) B X C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Sendo N o conjunto dos naturais, escreva o produto cartesiano N X N. 
 
 
 
 
 
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Relação binária 
 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Diz-se que relação binária é qualquer subconjunto 
do produto cartesiano A X B. 
 
Exemplos: 
 
1) Sejam A = N e B = Z. São relações binárias: 
R1 = {(1, -1), (2, 0), (3, 1)} 
R2 = {(a, b) ∈ A X B : a
2 = b2 } 
R3 = φ 
R4 = A X B 
 
Representações gráficas de uma relação 
 
Podemos representar uma relação de algumas maneiras distintas: Para exemplificar vamos 
considerar o conjunto A = {-2, -1, 0, 1, 2} e a relação R em A X A definida por a2 = b2. 
 
Como conjunto: 
 
R = {(-2, -2), (-2, 2), (-1, -1), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)} 
 
Como tabela de dupla entrada: 
 
A -2 -1 0 1 2 
-2 x x 
-1 x x 
0 x 
1 x x 
2 x x 
 
 
 Como diagrama de flechas: 
 
 
-1-2
0
1 2
A
 
 
Se os conjuntos utilizados possuem os elementos ordenados, podemos também representar; 
Como gráfico cartesiano como vimos na representação de produtos cartesianos. (Vide Exercício 
(2), página 11). 
 
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Relação de Equivalência 
 
Uma relação diz-se relação de equivalência num conjunto E quando admite as propriedades: 
Reflexiva, Simétrica e Transitiva. 
 
Podemos simbolizar as propriedades citadas como segue: 
Reflexiva: ∀x∈E, x R x 
Simétrica: ∀x,y∈E; xR y ⇒ y R x 
Transitiva: ∀x,y,z∈E; xR y e y R z ⇒ x R zExemplos: 
 
1) A relação de igualdade em N é uma relação de equivalência 
 
De fato: 
∀x∈N, x = x (Vale a propriedade reflexiva) 
∀x,y∈N; x = y ⇒ y = x (Vale a propriedade simétrica) 
∀x,y,z∈N; x = y e y = z ⇒ x = z (Vale a propriedade transitiva) 
 
 
2) Seja o conjunto E = {-1, 0, 1, 2}. Consideremos em E a relação de divisibilidade R 
definida por “y | x” (y divide x). Esta relação não é de equivalência. 
 
De fato: 
 
A relação é: R = {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2)} 
 
Note que ela não é reflexiva, pois: 0 | 0 é uma afirmação falsa 
Note que ela não é simétrica, pois: 1 | 0 ⇒ 0 | 1 é uma afirmação falsa 
Note que ela é transitiva, pois ∀x,y,z∈E; x | y e y | z ⇒ x | z é uma afirmação verdadeira. 
 
 
 
 
Relação de Ordem 
 
Definições: 
 
Num conjunto E, chama-se relação de ordem ampla, uma relação que admita as 
propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva. 
 
Costuma-se simbolizar a propriedade anti-simétrica por: ∀x,y∈E; x R y e y R x ⇒ x = y 
Num conjunto E, chama-se relação de ordem estrita, uma relação: não reflexiva, não 
simétrica e transitiva. 
 
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Exemplos: 
 
1) Em N, a relação x ≤ y é uma relação de ordem ampla, pois ela é: 
 
Reflexiva: ∀x∈N, x ≤ x é uma afirmação verdadeira 
Anti-simétrica: ∀x,y∈N; x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y é uma afirmação verdadeira 
Transitiva: ∀x,y,z∈N; x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z é uma afirmação verdadeira. 
 
 
2) Em N, a relação x > y é uma relação de ordem estrita, pois ela é: 
 
Não reflexiva: ∀x∈N, x > x é uma afirmação falsa 
Não simétrica: ∀x,y∈N; x > y e y > x ⇒ x = y é uma afirmação falsa 
Transitiva: ∀x,y,z∈N; x > y e y > z ⇒ x > z é uma afirmação verdadeira. 
 
Nota: 
Quando uma relação é de ordem estrita ou de ordem ampla costuma-se afirmar que ela é uma 
relação de ordem. 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Seja uma relação num conjunto E. Numa tabela de dupla entrada de E X E, os pares 
ordenados que satisfazem a relação ocupam certas casas. Qual a disposição dessas casas para 
que se reconheça que a relação é: 
a) Reflexiva? 
b) Simétrica? 
c) Transitiva? 
 
 
 
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2) Considere um conjunto E constituído de cinco paralelepípedos, onde cada um deles é 
caracterizado pelas suas dimensões x, y e z. 
a: x = 2 cm; y = 3 cm e z = 4 cm 
b: x = 1 cm; y = 3 cm e z = 8 cm 
c: x = 4 cm; y = 2 cm e z = 6 cm 
d: x = 2 cm; y = 3 cm e z = 6 cm 
e: x = 4 cm; y = 4 cm e z = 3 cm 
 
Em E = {a, b, c, d, e} consideremos a relação “Ter o mesmo volume”. A relação assim 
definida é uma relação de equivalência? E de ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja E = {a, b, c, d, e, f} o conjunto das retas da figura abaixo. Consideremos em E a relação 
de paralelismo “x é paralela a y se tem a mesma direção de y”. Mostre que esta relação é de 
equivalência, mas não é de ordem. 
 
a b
c
de
f
 
 
 
 
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4) Num conjunto E, define-se que toda relação de equivalência determina uma partição. Os 
elementos equivalentes entre si formam subconjuntos chamados classes de equivalência. 
Duas classes de equivalência distintas são disjuntas. A reunião de todas as classes é E. 
Determine as classes de equivalência do exercício (3) anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) No conjunto E = {-2, -1, 0, 1, 2} a relação a2 + a = b2 + b é uma relação de equivalência? E 
de ordem? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
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6) Estudar quanto as propriedades reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica, em N, as 
relações “x é múltiplo de y” e a relação “x é divisor de y”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Em E = {x : x∈N e x ≤ 10}, estudar as relações: 
a) xy = 12 b) x2 + y2 ≤ 100 c) mdc(x, y) ≤ x 
 
Use este quadriculado para a tabela dupla entrada 
 
 
 
 
 
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Parte 3 - Aplicações ou funções 
 
Definição: 
 
Dados dois conjuntos E e F, chama-se aplicação de E em F uma correspondência f que associa a 
cada elemento x de E um único elemento y de F. 
 
Toda aplicação f : E → F consta de três partes: 
 
i) Um conjunto E, chamado o conjunto de partida; 
ii) Um conjunto F, chamado o conjunto de chegada; e 
iii) Uma regra que permite associar a cada elemento x∈E, um único elemento y = f(x)∈F, 
chamado o valor da aplicação no ponto x. 
 
A natureza da regra deve satisfazer a duas condições: 
 
I) Não deve haver exceções – se E é o conjunto de partida da aplicação f, então a regra deve 
fornecer y = f(x) para todo x em A. 
II) Não deve haver ambigüidade – para cada elemento x de E, ela deve fazer corresponder um 
único y = f(x) em F. 
 
Notações usuais para aplicações: 
 
Para designar a aplicação f de E em F podemos escrever: 
 
EEouFE:f
f
→→ 
 
Para indicar que o elemento x de E tem como imagem o elemento y de F, escrevemos: 
)x(fyouyxouyx:f
f
=→→ 
 
 
Exemplos: 
 
1) Seja P o conjunto dos polígonos e seja R o conjunto dos números reais. Podemos dizer que f : 
P → R é a aplicação que associa a cada polígono x∈P , sua área y = f(x). 
 
2) Seja Q o conjunto dos números racionais. 
 f : Q – {0} → Q tal que 
x
1
)x(f = é uma aplicação. Por outro lado, 
 g: Q → Q tal que 
x
1
)x(g = , não é uma aplicação, pois não satisfaz I. 
 
3) Sejam T o conjunto dos triângulos do plano e R+ o conjunto dos números reais positivos. 
f : R+ → T tal que a cada número real x > 0 faça corresponder o triângulo f(x) , cuja área é x; 
não é função pois não satisfaz II. 
 
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22 
Imagem de uma aplicação 
 
 Dada uma aplicação f : A → B e uma parte X ⊂ A, chama-se imagem de X pela aplicação f ao 
conjunto f(X) formado pelos valores f(x) que f assume nos pontos x∈X. 
Assim, se f : A → B é uma aplicação; o seu conjunto imagem será f(A). 
 
Exemplo: 
 
Sejam R o conjunto dos reais e a aplicação 2x)x(f.q.tRR:f =→ 
A imagem de f é f(R) = {f(x)∈R : f(x) ≥ 0}. Podemos escrever também f(R) = {y∈R : y ≥ 0} 
 
OBS: Se não houver dúvida pode-se representar f(A) por uma abreviação como If ou Imf. 
 
Nota: 
 
Toda aplicação f de um conjunto E num conjunto F determina em E uma relação de equivalência. 
Dois elementos x1 e x2 de E são equivalentes se têm a mesma imagem em F. 
 
Exemplo: 
Sejam os conjuntos E = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, F = N ∪{0} e a regra 
2
x|x|
yx:f
+
=→ . Os 
elementos de E estão repartidos em quatro classes de equivalência: 
 
}3{C};2{C};1{C};0 1,- 2,- -3,{C 4321 ==== 
 
Note que: }3{)C(f};2{)C(f};1{)C(f};0{)C(f 4321 ==== 
 
 
Exercícios: 
 
1) Sejam o conjunto E = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} e a aplicação de E em Z definida por 
15x8x14x8xx:f 234 −++−→ . Quais são as classes de equivalência induzidas por f em 
E? 
 
 
 
 
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23 
2) Sejam as aplicações de Z em Z: 22 )3x(x:ge9xx:f +→+→ . Determinar as classes 
de equivalência induzidas em Z por f e por g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A todo número inteiro x do conjunto Z dos inteiros façamos corresponderseu quadrado y de 
Z. Qual é o conjunto imagem desta aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Consideremos o conjunto E dos círculos do plano e o conjunto R dos números reais. A todo 
círculo c, c∈E do plano façamos corresponder um número real r, o raio do círculo, r∈R. 
Pergunta-se: Esta correspondência é uma aplicação de E em R? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
5) Dada a aplicação )2x(
2
1
)x(f que tal:f −−=→QN , determine f(N) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determinar o conjunto imagem da aplicação f : R→ R t.q. 1x)x(f 2 −−= 
 
 
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7) Determine o conjunto imagem da aplicação 
1x
4
)x(f onde R}1{R:f
−
=→− 
 
 
 
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8) Determine o conjunto imagem da aplicação 
1x
x
)x(f onde R}1{R:f
2 +
=→− 
 
 
 
 
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Aplicação sobrejetora ou sobrejetiva 
 
Definição: 
Chama-se aplicação sobrejetora, uma aplicação de um conjunto E em um conjunto F tal que todo 
elemento y de F seja imagem de pelo menos um elemento x de E. 
 
Em outras palavras, uma função f : E → F é sobrejetora se para todo y∈F existe pelo menos um 
x∈E tal que f(x) = y. 
 
 
Aplicação injetora ou injetiva 
 
Definição: 
Seja uma aplicação f de E em F. Se cada elemento y de f(E) é a imagem de um único elemento x 
de E, diz-se que a aplicação é injetora. 
 
Em outras palavras, uma função f : E → F é injetora ou injetiva se dados x e y quaisquer em E, 
x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y); ou pela contrapositiva da Lógica Clássica, f(x) = f(y) ⇒ x = y; ou de outro 
modo, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. 
 
 
Aplicação bijetora ou bijetiva 
 
Definição: 
Uma aplicação é bijetora se é injetora e sobrejetora simultaneamente. 
 
Exemplo: 
Seja f : Z → Z definida por 2x)x(f = 
f não é injetora, pois f(-3) = f(3) embora -3 ≠ 3 
f não é sobrejetora, pois não existe x∈Z tal que 1x 2 −= 
 
 
Exercícios: 
 
Nas questões seguintes N, Z, Q e R são, respectivamente os conjuntos dos números Naturais, 
Inteiros, Racionais e Reais. 
 
1) Seja f : N → Z t. q. 1x3)x(f += . Verifique se f é sobrejetora. 
 
 
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28 
2) Dada a aplicação f : Q → Q definida por f(x) = 5x +3. Mostre que f é bijetora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verifique se a aplicação g : Z → Z t. q. 2x)x(g 3 −= é bijetora. 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
4) Verifique se a aplicação h : Q – {2} → Q tal que h(x) = 
2x
x2
−
 é bijetora. 
 
 
 
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Aplicações inversas 
 
Definição: 
Se f é uma aplicação bijetora de E em F tal que f : x → y, então existe uma aplicação também 
bijetora de F em E tal que y → x. Esta aplicação é a aplicação inversa da aplicação f e, é 
representada por f -1. 
 
Exemplo: 
 
Seja a aplicação 1x2)x(fpordefinida:f +=→QQ . Vamos determinar a inversa de f. 
Primeiro, nós vamos verificar se f é invertível; ou seja, verificar se f é bijetora. 
 
yxy2x21y21x2)y(f)x(f =⇒=⇒+=+⇒= (f é injetora) 
Q∈
−
=⇒−=⇒=+⇒=
2
1y
x1yx2y1x2y)x(f (f é sobrejetora) 
Como f é sobrejetora e injetora, então f é bijetora e, portanto possui inversa. 
 
A relação entre x e y da inversa pode ser obtida a partir do processo de verificação da 
sobrejetora, trocando-se o x pelo y. 
Assim a inversa de f é: 
2
1x
)x(f que tal:f 11
−
=→ −− QQ 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determine a inversa da aplicação 2x4)x(f que tal:f −=→QQ 
 
 
 
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2) Determine, caso exista, a inversa da aplicação 2x)x(gpor definida :g 3 +=→RR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dada a aplicação 
2x
1x2
)x(h que tal}2{:h
−
+
=→− RR : 
i) Verifique se h é invertível 
ii) Caso não seja invertível, modifique o conjunto de chegada para que seja 
iii) Determine a inversa da nova aplicação obtida no item b. 
 
 
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32 
Composição de aplicações 
 
Sejam f : E → F e g : G → H duas aplicações. Se f(E) ⊂ G, pode-se definir uma nova aplicação h 
de E em H; ou seja, h : E → H, compondo-se f e g. 
 
Seja x um elemento de E e seja y a imagem de x por f, tal que G)E(fyeyx:f ⊂∈→ . Ao 
elemento y corresponde por g a imagem z em H tal que H)G(gzezy:g ⊂∈→ . Temos então: 
z = g(y) = g[f(x)]. 
 
Define-se dessa maneira a aplicação composta de g e f que é indicada por h = g ο f. 
 
E
f(E)
G
F
H
x
y
z
gof 
 
 
Exemplo: 
 
Sejam as aplicações 1x2)x(g que tal:g e 3x)x(f que tal:f 2 +=→+=→ RRRQ . Como 
gf composição a então )(g oQR ⊄ não é uma composição válida. Dizemos então que ela não 
existe. Por outro lado fg composição a então )(f oRQ ⊂ é uma composição válida. Neste caso 
dizemos que a composição existe e determinamos sua sentença que é: 
7x2)x(h que tal:h 2 +=→RQ 
 
 
Exercícios: 
 
1) Sejam 2x2)x(g que tal:g e 1x)x(f que tal:f 2 −=→+=→ ZZZZ , verificar, se 
existirem as composições: gfefg oo 
 
 
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33 
2) Sejam 4x3)x(g que tal:g e 2x)x(f que tal:f 2 +=→−=→ QQQQ , determinar, se 
existirem as composições: ggefg;gf;ff oooo 
 
 
 
 
 
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34 
3) Determinar, se existirem, as composições gfefg oo sendo f e g as aplicações: 
2x
5
)x(g que tal}2{:g e 
1x
3
)x(f que tal}1{:f
−
=→−
−
=→− RRRR 
 
 
 
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35 
Parte 4 - Leis de Composições e Operações Internas 
 
Definição: 
 
Chamamos lei de composição interna e representamos por ∗ uma lei que faz corresponder a 
certos pares ordenados (x, y) do conjunto produto EXE um único elemento z de E. Tal lei é uma 
aplicação de um subconjunto S de EXE em E. 
 
Em símbolos temos: 
 
yxzy) (x, tesimplesmenou yxz que talz,S)y,x( ∗=→∗=∃∈∀ 
 
Se S = EXE, dizemos que a lei de composição interna é completamente definida. Uma lei de 
composição completamente definida é uma aplicação de EXE em E. E, neste caso, dizemos que a 
lei de composição interna é uma operação interna. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Em N, a adição faz corresponder a dois números x e y um terceiro número z, chamado a 
soma de x e y. A adição é uma lei de composição interna e, neste caso a lei é completamente 
definida, pois é uma aplicação que faz corresponder a todo par ordenado (x, y) de NXN um 
elemento z de N. Portanto a adição em N é uma operação interna. 
 
 
2) Em N, a subtração faz corresponder a dois números x e y um terceiro número z, chamado a 
diferença de x e y. Neste caso a lei não é completamente definida, pois ela faz corresponder a 
certos pares ordenados (x, y) de NXN um elemento z de N. Portanto a adição em N éuma lei 
de composição interna, mas não é operação interna. 
 
 
3) Em R, a média aritmética é uma operação interna. Podemos facilmente verificar que 
RRRR ∈
+
=∗⇒∈∈
+
=∗∈∀
2
yx
yx)y,x(ou 
2
yx
yx,)y,x( 
 
 
4) Em R, a média geométrica é uma lei de composição interna, mas não é operação interna, pois 
RRR ∉−=−=∗−∈− 16)8).(2()8()2( entanto no ,X)8,2( 
 
 
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36 
Exercícios: 
 
1) Mostrar que em E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a formação do máximo divisor comum (mdc) é uma 
operação interna, mas a formação do mínimo múltiplo comum (mmc) não é completamente 
definida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dado E = {a, b, c}, verificar se em P(E) a intersecção, a reunião e a diferença simétrica são 
operações internas. 
 
 
 
 
 
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37 
3) Em }Zm,
3
m
{E ∈= a adição é uma operação interna? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Em }Nn,n2x:x{E ∈== a média aritmética é uma operação interna? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) No conjunto dos números inteiros não múltiplos de 5 a multiplicação é uma operação 
interna? Justifique. 
 
 
 
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38 
Propriedades de leis e operações internas 
 
1. Comutatividade de uma lei de composição interna 
 
Definição: 
 
Uma lei de composição interna, indicada por ∗, é comutativa se tivermos: 
xyyx ∗=∗ 
cada vez que os dois membros da igualdade estiverem definidos. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Em R, a adição e a multiplicação são comutativas. 
De fato: 
Paratodo par ordenado (x, y) de R, temos: 
x + y = y + x 
xy = yx 
 
2) Em R+ a média aritmética é comutativa. 
2
yx
2
xy
xye
2
yx
yx
+
=
+
=∗
+
=∗ 
 
3) Em R a subtração não é comutativa. 
 
 
 
2. Associatividade de uma lei de composição interna 
 
Definição: 
 
Uma lei de composição interna, indicada por ∗, é associativa se tivermos: 
)zy(xz)yx( ∗∗=∗∗ 
cada vez que os dois membros da igualdade estiverem definidos. 
 
 
Exemplos: 
1) A adição em R é associativa, pois )zy(xz)yx(;R)z,y,x( ++=++∈∀ 
 
2) A operação x ∗ y = x em R é associativa. 
 De fato: 
 (x ∗ y) ∗ z = x ∗ z = x e; 
 x ∗ (y ∗ z ) = x ∗ y = x 
 
 
 
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39 
3. Elemento neutro de uma operação interna 
 
Definição: 
 
Chamamos elemento neutro de uma operação interna ∗, um elemento e tal que: 
xxeex,x =∗=∗∀ 
 
 
Exemplos: 
 
1) Em R, munido da adição, o número 0 é o elemento neutro. 
∀x, x + 0 = 0 + x = x 
 
2) Em R, munido da multiplicação, o número 1 é o elemento neutro. 
∀x, x⋅1 = 1⋅x = x 
 
3) Em P(E), munido da reunião, o conjunto vazio é o elemento neutro. 
∀X, X ∪ φ = φ ∪ X = X 
 
Unicidade do elemento neutro: 
Uma operação interna admite no máximo um elemento neutro. 
 
 
 
4. Elemento absorvente de uma operação interna 
 
Definição: 
 
Chamamos elemento absorvente de uma operação interna ∗, um elemento α tal que: 
α=∗α=α∗∀ xx,x 
 
 
Exemplos 
 
1) Em R, munido da multiplicação, o número 0 é o elemento absorvente. 
∀x, x⋅0 = 0⋅x = 0 
2) Em P(E), munido da intersecção, o conjunto vazio é o elemento absorvente. 
∀X, X ∩ φ = φ ∩ X = φ 
 
Unicidade do elemento absorvente: 
Uma operação interna admite no máximo um elemento absorvente. 
 
 
 
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40 
5. Distributividade de uma operação em relação a outra operação interna 
 
Definições: 
 
Seja E um conjunto munido de duas operações internas ∗ e ∆. 
 
Dizemos que a operação ∆ é distributiva à esquerda em relação a operação ∗ se tivermos: 
)zy()zx(z)yx(;z,y,x ∆∗∆=∆∗∀ 
 
Dizemos que a operação interna ∆ é distributiva à direita em relação a operação ∗ se: 
)zx()yx()zy(x;z,y,x ∆∗∆=∗∆∀ 
 
Dizemos que a operação ∆ é distributiva em relação à operação ∗ se ela for distributiva à 
esquerda e à direita em relação a ∗. Isto acontece, em particular se ∆ for comutativa. 
 
 
Exemplo: 
Seja Z munido da adição e da operação x ∆ y = x. A operação ∆ é distributiva à esquerda em 
relação à adição. 
yx)zy()zx(eyx)zy()zx(z)yx( +=∆+∆+=∆+∆=∆+ 
 
Mas a operação ∆ não é distributiva à direita em relação à adição. 
x2xx)zx()yx(ex)zy(x =+=∆+∆=+∆ 
Daí a operação ∆ não é distributiva em relação à adição em Z. 
 
 
Exercícios: 
 
1) Verifique se a lei x ∗ y = x + 2y é comutativa em Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Verifique se a lei |yx|yx −=∗ é comutativa em R. 
 
 
 
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41 
3) Verifique se a lei 22 yxyxyx +−=∗ é comutativa em R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Verifique se a lei 
2
y
3
x
yx ⋅=∗ é comutativa em Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Verifique se a lei x ∗ y = 3x + 2y é associativa em Q. 
 
 
 
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42 
6) Mostre que a operação interna definida por x ∗ y = x + y – xy é associativa em R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Verifique se a lei 
xy1
yx
yx
+
+
=∗ é associativa em R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Verifique que a média aritmética em Q não é associativa. 
 
 
 
 
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43 
9) Verifique se a lei 22 yxyx +=∗ é associativa em R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Verifique se a operação x ∗ y = x + y + xy possui elemento neutro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Mostre que para as leis 
xy1
yx
yxexyyxyx
+
+
=−+=∗ o o elemento neutro é o 0. 
 
 
 
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44 
12) Verifique se as leis 
xy1
yx
yxexyyxyx
+
+
=−+=∗ o têm elementos absorventes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Prove que os elementos neutro e absorvente são únicos. 
 
 
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45 
14) Verifique se em Q, a lei y2x2y xlei à relação em vadistributi é 
2
xy
yx +=∗=o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Verifique se em Q, a lei 1yxy xlei à relação em vadistributi é xyyx ++=∗=o 
 
 
 
 
 
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46 
Parte 5 - Homomorfismo e Isomorfismo 
 
Definição: 
 
Sejam um conjunto E munido de uma operação interna ∗ e um conjunto F munido de uma 
operação interna o . Uma aplicação f de E em F é um homomorfismo se a imagem do composto 
de dois elementos quaisquer de E for igual ao composto das imagens destes elementos em F. 
 
Assim temos: f é um homomorfismo )y(f)x(f)yx(f;y,x o=∗∀⇔ 
 
Se a aplicação f que estabelece um homomorfismo é bijetora, dizemos que f é um isomorfismo. 
 
 
Exercícios: 
 
1) Sejam N ∪ {0}, munido da adição e o conjunto }}0{n,2{F n ∪∈= N munido da 
multiplicação. A aplicação f de N ∪ {0} sobre F é um isomorfismo? 
 
 
 
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2) Mostre que em R+ munido da multiplicação a aplicação xx:f → é um isomorfismo de R+ 
sobre si mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verifique se R+ munido da multiplicação e da adição a aplicação xln)x(f = é um 
isomorfismo de R+ sobre si mesmo. 
 
 
 
 
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48 
Parte 6 – Grupos 
 
Estrutura de grupo 
 
Definição: 
 
Diz-se que um conjunto G é munido de uma estrutura de grupo (ou é um grupo) se el satisfaz às 
seguinte condições: 
 
a) Existe uma operação interna ∗ 
b) A operação ∗ é associativa; ou seja, )zy(xz)yx(;Gz,y,x ∗∗=∗∗∈∀ 
c) Existe um elemento neutro em e em G; ou seja, xexxe;Gx =∗=∗∈∀ 
d) Todo elemento x admite um elemento x’ (inverso ou oposto) tal que e'xxx'x =∗=∗ 
 
Ao afirmarmos: (G, ∗) é um grupo, estamos dizendo que o conjunto G possui uma operação ∗ e a 
operação ∗ é associativa, possui elemento neutro e elemento inverso ou oposto. 
 
 
 
Grupos comutativos ou abelianos 
 
Definição: 
 
Seja um conjunto G e uma operação ∗. Se (G, ∗) é um grupo e se a operação ∗ é comutativa; ou 
seja, xyyx;Gy,x ∗=∗∈∀ então diz-se que G é um grupo comutativo ou abeliano. 
 
Nota: 
 abeliano em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802 – 1829) 
 
 
Exemplo: 
 
Seja G = {2, 4, 6, 8} e consideremos a operação ∗ determinada pela seguinte tábua: 
 
∗ 2 4 6 8 
2 4 8 2 6 
4 8 6 4 2 
6 2 4 6 8 
8 6 2 8 4 
 
A operação ∗ determinada pela tábua define uma estrutura de grupo comutativo sobre o conjunto 
G. 
 
 
Grupos finitos ou infinitos 
 
Se (G, ∗) é um grupo e se G é finito, diz-se que G é um grupo finito, caso contrário o G é um 
grupo infinito. 
 
 
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Exercícios: 
1) Em R consideremos a operação ∗ definida por 3yxyx −+=∗ . Mostrar que (R, ∗) é um 
grupo comutativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) No conjunto 1}x:x{G ≠∈= R consideremos a operação ∗ definida por xyyxyx −+=∗ . 
Mostrar que (R, ∗) é um grupo comutativo. 
 
 
 
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Bibliografia 
 
1. MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos. 
1974. 
 
2. AYRES JR, F. Álgebra Moderna. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 1971. 
 
3. DOMINGUES, H. H. e IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo. Atual.1982. 
 
4. ALENCAR Fº, E. Relações Binárias. São Paulo. Livraria Nobel S.A. 1984. 
 
5. HEFEZ, A. Curso de Álgebra. Vol. 1. Coleção Matemática Universitária. Instituto de 
Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro. 1997.