Geometria Analítica - LISTA 3

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Terceira Lista de Exerc´ıcios - Geometria Anal´ıtica
Profa. Mariana Ramos
Nos exerc´ıcios seguintes suponha fixada uma base ortonormal.
1. Calcule ‖ →u ‖ nos seguintes casos:
a)
→
u=
→
e1 +
→
e2 +
→
33= (1, 1, 1) b)
→
u= − →e1 + →e2
c)
→
u= 3
→
31 +4
→
e3 d)
→
u= −4 →e1 +2 →e2 − →e3
2. Verificar se sa˜o unita´rios os seguintes vetores:
a)
→
u= (1, 1, 1) e
→
v=
(
1√
6
,− 2√
6
, 1√
6
)
3. Determinar o valor de n para que o vetor
→
v= (n, 12 ,
3
4 ) seja unita´rio.
4. Dado o vetor
→
v= (2,−1,−3), determinar o vetor paralelo a →v que tenha:
a)sentido contra´rio ao de
→
v e treˆs vezes o mo´dulo de
→
v ;
b)o mesmo sentido de
→
v e mo´dulo 4;
c)sentido contra´rio ao de
→
v e mo´dulo 5.
5. Dados os vetores
→
u= (2,−3,−1) e →v= (1,−1, 4), calcular:
a)2
→
u .(− →v )
b)(
→
u +
→
v ).(
→
u − →v )
6. Sabendo que
∥∥∥→u∥∥∥ = 2, ∥∥∥→v ∥∥∥ = 3 e →u . →v= −1, calcular:
a)(
→
u −3 →v ). →u
b)(
→
u +
→
v ).(
→
v −4 →u)
7. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores
→
u e
→
v e´ de 60o, determinar o aˆngulo formado pelos vetores:
a)
→
u e − →v ;
b)− →u e →v ;
c)− →u e − →v ;
d)2
→
u e 3
→
v .
8. Ache a medida em radianos do aˆngulo entre
→
u e
→
v nos casos seguintes:
a)
→
u= (1, 0, 1),
→
v= (−2, 10, 2)
b)
→
u= (3, 3, 0),
→
v= (2, 1,−2)
c)
→
u= (−1, 1, 1), →v= (1, 1, 1)
9. Calcular o valor de m de modo que seja 120o o aˆngulo entre os vetores
→
u= (1,−2, 1) e →v= (−2, 1,m + 1).
10. Ache x de modo que
→
u ⊥ →v nos casos:
a)
→
u= (x, 0, 3) e
→
v= (1, x, 3)
b)
→
u= (x, x, 4) e
→
v= (4, x, 1)
11. Ache
→
u ortogonal a
→
v= (4,−1, 5) e a →w= (1,−2, 3), e que satifaz →u ·(1, 1, 1) = −1.
12. Ache
→
u de norma
√
5, ortogonal a (2, 1,−1), tal que {→u, (1, 1, 1), (0, 1,−1)} seja LD.
13. Ache
→
u tal que
∥∥∥→u∥∥∥ = √2, a medida em graus do aˆngulo entre →u e (1,−1, 0) seja 45◦, e →u ⊥(1, 1, 0).
14. Determinar um vetor ortogonal aos vetores
→
u= (1,−1, 0) e →v= (1, 0, 1).
15. Calcule
∥∥∥2 →u +4 →v ∥∥∥2 , sabendo que ∥∥∥→u∥∥∥ = 1, ∥∥∥→v ∥∥∥ = 2 e a medida em radianos do aˆngulo entre →u e →v e´ 2pi3 .
16. Seja o vetor
→
v= (2,−1, 1). Obter:
a)um vetor ortogonal a
→
v ;
b)um vetor unita´rio ortogonal a
→
v ;
c)um vetor de mo´dulo 4 ortogonal a
→
v .
17. Calcular os aˆngulos internos do triaˆngulo de ve´rtices A = (2, 1, 3), B = (1, 0,−1) e C = (−1, 2, 1).
18. Calcule
→
u ∧ →v , sendo →u= (1, 2, 3),→v= (−1, 1, 2).
19. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores (
→
u +2
→
v ) e (
→
v − →u), sendo →u= (−3, 2, 0) e
→
v= (0,−1,−2).(resp. um deles (−12,−18, 9))
20. A medida em radianos do aˆngulo entre
→
u e
→
v e´ pi6 . Sendo
∥∥∥→u∥∥∥ = 1,∥∥∥→v ∥∥∥ = 7, calcule ∥∥∥→u ∧ →v ∥∥∥ .
21. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo
→
AB= (1, 1,−1) e
→
AD= (2, 1, 4).
22. Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC, sendo
→
AC= (−1, 1, 0) E
→
AB= (0, 1, 3).
23. Seja um triaˆngulo equila´tero ABC de lado 10. Calcular
∥∥∥∥ →AB ∧ →AC∥∥∥∥ .
24. Dados os pontos A = (2, 1, 1), B = (3,−1, 0) e C = (4, 2,−2), determinar:
a) a a´rea do triaˆngulo ABC.(resp. 52
√
3u.a)
b)a altura do triaˆngulo relativa ao ve´rtice C.(resp. 52
√
2u.c)
25. Dados os vetores
→
u= (1,−1, 1) e →v= (2,−3, 4), calcular:
a)a a´rea do paralelogramo determinado por
→
u e
→
v .(resp.
√
6u.a)
b)a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor
→
u .(resp.
√
2 u.c)
26. Dados os vetores
→
u= (3,−1, 1), →v= (1, 2, 2) e →w= (2, 0,−3), calcular
a)[
→
u,
→
v ,
→
w](resp. -29)
b)[
→
w,
→
u,
→
v ] (resp. -29)
27. Verificar se sa˜o coplanares os vetores
a)
→
u= (2,−1, 1), →v= (1, 0,−1) e →w= (2,−1, 4).(resp. na˜o sa˜o coplanares)
b))
→
u= (2,−1, 3), →v= (3, 1,−2) e →w= (7,−1, 4).(sa˜o coplanares)
28. Qual deve ser o valor de m para que os vetores
→
u= (2,m, 0),
→
v= (1,−1, 2) e→w= (−1, 3,−1) sejam coplanares?(resp.
m = 10)
29. Verificar se os pontos A = (1, 2, 4), B = (−1, 0,−2), C = (0, 2, 2) e D = (−2, 1,−3) esta˜o no mesmo plano.(resp.
sa˜o coplanares)