Geometria Analítica - LISTA 5

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Quinta Lista de Exerc´ıcios - Geometria Anal´ıtica
Prof.a Mariana
PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE
1. Verifique se as retas r e s sa˜o ortogonais; em caso afirmativo, verifique se sa˜o tambe´m perpendiculares.
a)r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + γ(−1, 1,−1)
b)r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e s : X = (−1, 1, 0) + γ(1, 0, 1)
c)r :
x− 1
2
=
y − 3
5
=
z
7
e s : X = (1, 3, 0) + γ(0,−7, 5)
2. Deˆ equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por P e e´ perpendicular a r nos casos:
a) P = (2, 6, 1) e r : X = (−3, 0, 0) + λ(1, 1, 3)
b) P = (1, 0, 1) e r passa por A = (0, 0,−1) e B = (1, 0, 0)
3. Ache equac¸o˜es sob forma sime´trica da reta perpendicular comum a`s retas reversas
r :
 x = 2 + λy = λ
z = −1 + λ
e s :
{
x+ y = 2
z = 0
4. Verifique se r e´ perpendicular a pi nos casos:
a)r : X = (3, 1, 4) + λ(1,−1, 1) pi : X = (1, 1, 1) + γ(0, 1, 0) + µ(1, 1, 1)
b)r : X = (3, 1, 4) + λ(−1, 0, 1) pi : X = (1, 1, 1) + γ(0, 2, 0) + µ(1, 1, 1)
c)r :
 x = 1 + 3λy = 1− 3λ
z = λ
e pi : 6x− 6y + 2z − 1 = 0
5. Ache equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por P e e´ perpendicular ao plano pi nos casos:
a)P = (1,−1, 0) pi : X = (1,−1, 1) + γ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1)
b)P = (1, 3, 7) pi : 2x− 2y + 4z = 1
6. Ache uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa por P e e´ perpendicular a` reta r nos seguintes casos:
a)P = (0, 1,−1) e r : X = (0, 0, 0) + λ(1,−1, 1)
b)P = (0, 0, 0) e r passa por A = (1,−1, 1) e B = (−1, 1,−1)
7. Dados os planos pi1 : x − y + z + 1 = 0 e pi2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´
ortogonal ao vetor (1,1,-1).
8. Verifique se os planos dados sa˜o perpendiculares nos casos:
a) X = (1,−3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) e X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1,−1, 0)
b) X = (1, 1, 1) + λ(−1, 0,−1) + µ(4, 1, 1) e X = (3, 1, 1) + λ(1,−3,−1) + µ(3, 1, 0)
9. Ache uma equac¸a˜o geral do plano por (2, 1, 0) que e´ perpendicular aos planos x+ 2y − 3z + 4 = 0 e 8x− 4y +
16z − 1 = 0.
10. Dados os planos pi1 : x− y + z + 1 = 0, pi2 : x+ y − z − 1 = 0 e pi3 : x+ y + 2z − 2 = 0. Ache uma equac¸a˜o do
plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´ perpendicular a pi3.
DISTAˆNCIAS
1. Calcule a distaˆncia entre os pontos P e Q nos casos:
a) P = (0,−1, 0) Q = (−1, 1, 0)
b) P = (−1,−3, 4) Q = (1, 2,−8).
2. Calcule a distaˆncia entre o ponto P = (1,−1, 4) e a reta r :
{
x− 2
4
=
y
−3 =
z − 1
−2
(resp. d(r, s) =
√
270
29 ).
3. Calcule a distaˆncia entre o ponto P = (−2, 0, 1) e a reta r :
 x = 3t+ 1y = 2t− 2
z = t
4. Calcule a distaˆncia entre o ponto P = (0,−1, 0) e s :
{
x = 2z − 1
y = z + 1
5. Calcule a distaˆncia entre as retas paralelas nos casos:
a)r :
{
x =
y − 3
2
= z − 2 e s :
{
x− 3 = y + 1
2
= z − 2
(resp. d(r, s) = 5
√
30
6 )
b)
x− 1
−2 =
y
1
2
= z e X = (0, 0, 2) + λ(−2, 12 , 1)
6. Calcule a distaˆncia entre o ponto o plano nos casos:
a)P = (1, 1, 1516 ) e pi : {4x− 6y + 12z + 21 = 0
(resp. d(P, pi) = 72 )
b)P = (1, 1, 156 ) e pi : 4x− 6y + 12z + 21 = 0.
c)P = (9, 2,−2) e pi : X = (0,−5, 0) + λ(0, 512 ) + µ(1, 0, 0).
7. Calcule a distaˆncia entre a reta e o plano paralelos nos seguintes casos:
a)r :
 x = 1 + ty = 1 + 3t
z = 1 + 4t
e pi : {2x− 2y + z − 10 = 0
(resp. d(r, pi) = 3)
8. Calcule a distaˆncia entre os planos paralelos nos seguintes casos:
a)pi1 : {2x− y + 2z + 9 = 0 e pi2 : {4x− 2y + 4z − 21 = 0
(resp. d(pi1, pi2) =
13
2 )
b)r :
 x = 2− λ− µy = µ
z = λ
e x+ y + z = 52
9. Calcule m para que a distaˆncia entre o ponto P = (m, 3m,m − 2) e o plano pi : {2x+ y − z + 3 = 0 seja√
6.(resp.m = 14 ou m = −114 )
10. Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1).
11. Ache os pontos de r : x− 1 = 2y = z que equidistam dos pontos A = (1, 1, 0) e B = (0, 1, 1).
12. Determine o ponto de pi : 2x− y + z − 2 = 0 tal que a soma de suas distaˆncias a P e Q seja mı´nima nos casos:
a) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1, 1)
b) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1, 2)
13. Ache os pontos da reta r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam
√
6 de pi : x− 2y − z = 1.
14. Ache os pontos da reta r : x − 1 = 2y = z que equidistam dos planos pi1 : 2x − 3y − 4z − 3 = 0 e pi2 :
4x− 3y − 2z + 3 = 0.
15. Ache uma equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m a reta r : X = (1, 0, 1) + λ(1, 1,−1) e que dista √2 do ponto
P = (1, 1,−1).
16. Deˆ uma equac¸a˜o geral do plano que passa pelos pontos P = (1, 1,−1) e Q = (2, 1, 1) e que dista 1 da reta
r : X = (1, 0, 2) + λ(1, 0, 2).