Lista7-MudancaCoordenadasSuperficies

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Se´tima Lista de Geometria Anal´ıtica
Prof.a Mariana
Mudanc¸a de Sistema de Coordenadas
1. Sejam Σ1 = (O1, ~e1, ~e2, ~e3) e Σ2 = (O2, ~f1, ~f2, ~f3) sistemas de coordenadas tais que
O2 = (1, 0, 0)Σ1
~f1 = ~e1 ~f2 = −~e3 ~f3 = ~e2
Obtenha, em relac¸a˜o a Σ2,
(a) uma equac¸a˜o vetorial de r : [(x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(0, 1,−1)]Σ1 ;
(b) uma equac¸a˜o vetorial de r : [x− 2y − 3z = 0 = x+ y + 4z − 3]Σ1 ;
(c) uma equac¸a˜o geral de pi : [2x− y + z = 0]Σ1 .
2. Sejam Σ1 = (O1, ~e1, ~e2, ~e3) e Σ2 = (O2, ~f1, ~f2, ~f3) sistemas de coordenadas tais que
O2 = (1, 1, 1)Σ1
~f1 = ~e1 + ~e2 ~f2 = ~e2 ~f3 = ~e2 + ~e3
Obtenha, em relac¸a˜o a Σ2,
(a) equac¸o˜es de r : [(x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(0, 1, 1)]Σ1 ;
(b) uma equac¸a˜o geral de pi : [2x− y + z = 0]Σ1 .
3. Σ1 = (O1, ~e1, ~e2, ~e3) e Σ2 = (O2, ~f1, ~f2, ~f3) sa˜o dois sistemas de coordenadas tais que O2 = (1, 1, 1)Σ1 e a matriz
de mudanc¸a da base E = (~e1, ~e2, ~e3) para a base F = (~f1, ~f2, ~f3) e´ 1 0 01 1 1
0 0 1

Obtenha, em relac¸a˜o ao sistema Σ1, equac¸o˜es vetoriais dos eixos coordenados O2u, O2v e O2w, e equac¸o˜es
gerais dos planos coordenados O2uv, O2uw e O2vw do sistema Σ2.
4. Dadas equac¸o˜es do conjunto Ω em relac¸a˜o a um dos sistemas de coordenadas Σ1 = (O1, ~e1, ~e2, ~e3) e Σ2 =
(O2, ~f1, ~f2, ~f3), obtenha equac¸o˜es de Ω em relac¸a˜o ao outro e identifique o conjunto.
(a) Ω : [2yz + 6y − 6z − y2 = 9]Σ1 , O2 = (2, 3, 0)Σ1 , ~f1 = ~e2 − ~e1, ~f2 = ~e2 + ~e3, ~f3 = ~e1.
(b) Ω : [(2u+ v)2 = −w(4u+ 2v + w)]Σ2 , O2 = (0, 0, 0)Σ1 , ~f1 = ~e1 + ~e2, ~f2 = ~e3, ~f3 = ~e2.
5. Seja Σ2 o sistema obtido pela translac¸a˜o do sistema ortogonal Σ1 para um ponto O2 pertencente a` reta
r : [(x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(1, 4, 2)]Σ1 . Determine, em cada caso, as coordenadas de O2 em relac¸a˜o a Σ1.
(a) P = (−1,−2, 0)Σ1 dista 3 de O2vw.
(b) Q = (2, 1, 1)Σ2 dista 3 de O1xz.
Superf´ıcies
6. Nos casos em que a equac¸a˜o dada descreve uma superf´ıcie esfe´rica, determine o centro e o raio.
(a) (x− 2)2 + (y + 6)2 + z2 = 25
(b) x2 + y2 + z2 − 2x− 4y + 10 = 0
(c) x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z + 16 = 0
(d) 4x2 + 4y2 + 4z2 − 8x− 8y − 8z + 10 = 0
(e) x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y + 5 = 0
7. Seja ρ um nu´mero real na˜o-negativo. Mostre que, ∀φ, θ ∈ R, o ponto P de coordenadas x = ρ sinφ cos θ,
y = ρ sinφ sin θ e z = ρ cosφ pertence a` superf´ıcie esfe´rica de centro O = (0, 0, 0) e raio ρ. Deˆ uma interpretac¸a˜o
geome´trica para ρ, φ e θ.
8. Obtenha uma equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica de centro (1, 1, 2) que conte´m o ponto (1, 1, 3).
9. Obtenha equac¸o˜es da reta perpendicular ao plano pi : 10x − 2y + 4z − 1 = 0, que conte´m um diaˆmetro da
superf´ıcie esfe´rica S : x2 + y2 + z2 + 2x− 6y + z − 11 = 0.
10. Calcule a distaˆncia de P = (1,−1, 3) a` superf´ıcie esfe´rica S : x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 10z − 62 = 0 (isto e´, a
menor das distaˆncias de P aos pontos de S).
11. Obtenha uma equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica que conte´m P,Q,R e S.
(a) P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), R = (1/2, 1/2,
√
2/2), S = (0, 0, 1)
(b) P = (0, 2,−1), Q = (1, 1,−1), R = (1,−1, 1), S = (−1, 1, 1)
12. Nos casos em que a intersec¸a˜o do plano pi com o elipso´ide Ω for uma elipse, determine seu centro, focos e
ve´rtices. Se for uma circunfereˆncia, determine o centro e o raio.
(a) Ω : x2/64 + y2/100 + z2/4 = 1 pi : y − 5 = 0
(b) Ω : x2 + 9y2 + 4z2 = 36 pi : x+ 2
√
5 = 0
(c) Ω : 4x2 + 4y2 + 9z2 − 2 = 0 pi : z + 1/3 = 0
13. Seja Ω a qua´drica de equac¸a˜o 4x2 + y2 + 4z2 − 8x− 4y− 8z+ 8 = 0. Complete quadrados para provar que Ω e´
um elipso´ide.
14. Descreva a curva intersec¸a˜o do hiperbolo´ide Ω com o plano pi e determine, quando for o caso: centro, focos,
ass´ıntotas, raio.
(a) Ω : x2 − 4y2 + 5z2 = 1 pi : z + 1/√5 = 0
(b) Ω : −3x2 − 4z2 + 5y2 = −43 pi : y = 1
(c) Ω : x2/2− y2/2− z2 = 1 pi : y + 2 = 0
15. Seja Ω a qua´drica de equac¸a˜o 11x2 + 24xy + 4y2 + 20z2/9 + 20 = 0. Fac¸a um esboc¸o de Ω e desenhe, em vista
frontal, suas projec¸o˜es ortogonais sobre os planos Oxy, Oxz e Oyz.
16. Descreva a curva intersec¸a˜o do parabolo´ide Ω com o plano pi e determine, quando for o caso, centro, focos,
ve´rtices, ass´ıntotas, raio etc.
(a) Ω : z + x2 + 3y2 = 0 pi : z + 9 = 0
(b) Ω : 4y − 4x2 − z2 = 0 pi : z − 1 = 0
(c) Ω : x+ y2 + 2z2 = 0 pi : x− 1 = 0
17. Prove que Ω : z = 8x2 − 2xy + 8y2 e´ um parabolo´ide el´ıptico e fac¸a um esboc¸o.
18. Identifique a qua´drica descrita pela equac¸a˜o dada.
(a) x2 + 2xy − y2 + 6x− 2y − 3 = 0,
(b) −10 + 8x− 8z − x2 + 6xz − z2 = 0,
(c) x2 − 2xy + y2 = 0,
(d) 3x2 + y2 − 2xy − 6x+ 2y − 1 = 0,
(e) y2 + 2yz + z2 + y − z − 2 = 0,
(f) x2 + 4xy + 4y2 + 6x+ 12y + 5 = 0.