AlgebraLinear Cap II

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II-Espaços Vetoriais
Prof. Hugo Pedro Boff
Um espaço vetorial de dimensão n (notado Vn) sobre um corpo de escalares F , é um
conjunto dotado da operação de adição , fechado para a soma de seus elementos
(chamados vetores) e para a multiplicação escalar.
Vamos primeiro definir o que é um corpo.
2.1 Corpos
Um conjunto F munido das operações () e () entre seus elementos é chamado corpo
se os seguintes axiomas forem satisfeitos:
i ∀x,y ∈ F, x  y  y  x
x  y  y  x (comutatividade)
ii ∀x,y, z ∈ F, x  y  z  x  y  x  z
(distributividade de  em relação à )
iii ∃ x ∈ F e ∃ x∘ ∈ F elementos neutros para () e () respectivamente, tais que:
∀x ∈ F, x  x  x e x  x∘  x
iv ∀x ≠ 0,x ∈ F existem xs ∈ F e x∘s ∈ F , elementos ditos simétricos para () e ()
respectivamente, tais que:
x  xs  x e x  x∘s  x∘.
Se F for um conjunto de números, então,  é a operação soma e x  0;xs  −x ; 
é a operação multiplicação e x∘  1, , e x∘s  1/x. Neste caso, F é dito corpo de escalares.
Exemplos: , Q são corpos. , Z não são corpos (Por quê?).
2.2 Espaços vetoriais
Seja V um conjunto não vazio de elementos u, v, w etc. (chamados vetores) e F um
corpo qualquer, sobre o qual estão definidas as operações () entre os elementos de V e ()
entre um elemento de F e um de V de maneira que:
i u,v ∈ V → ∃! u  v ∈ V
ii u ∈ V, k ∈ F → ku ∈ V
Se estas operações satisfazem os seguintes postulados:
1. u,v ∈ V → u  v  v  u (comutatividade)
2. u,v,w ∈ V → u  v  w  u  v  w (associatividade)
3. ∃ 0 ∈ V : v  0  v (contém a origem)
4. v ∈ V → −v ∈ V : v  −v  0 (simétrico para )
5. u,v ∈ V, k ∈ F → ku  v  ku  kv
então, V é dito espaço vetorial sobre F.
Notas:
1. Pelos axiomas i- ii V é um espaço fechado para a soma e a multiplicação escalar.
Pelas condições 1 à 4, V é um grupo aditivo unitário;
2. Note que um vetorial deve necessariamente conter a origem 0 (por 3) e o negativo de
cada vetor (por 4).
Exemplos:
1. Seja P o conjunto dos polinômios em x de ordem inteira, com coeficientes reais,
ai ∈ R. Um elemento típico de P é Pmx  a0  a1x  a2x2 . . .amxm. É fácil verificar
que P é um espaço vetorial: Pm,Pn ∈ P → Pm  Pn é um polinômio a coeficientes reais de
ordem  maxn,m. Logo Pm  Pn ∈ P. Pm também é um polinômio. Todavia, se
definirmos P como o conjunto dos polinômios em x com coeficientes inteiros, então P não
será um espaço vetorial (Por quê?).
2. Seja C  f : a,b → , contínua, é um vetorial. Com efeito, kf , f  g e −f são
contínuas se f e g o forem. Por outro lado, 0 é uma função contínua.
2.3 Subespaços vetoriais
Seja V um vetorial sobre um corpo F. O conjunto S é um subespaço vetorial de V , se
as seguintes condições forem verificadas:
i S ⊂ V
ii u,v ∈ S → u  v ∈ S
iii v ∈ S, k ∈ F → kv ∈ S
As condições i − iii são necessárias e suficientes para erigir S em subespaço de V.
Tomando k  −1, por iii teremos −v ∈ S e, usando ii, v  −v  0 ∈ S.
Exemplos:
1. Seja Vn  n o espaço vetorial de dimensão n. Um elemento do vetorial é,
x  x1,x2, . . . ,xn′. O conjunto S  x  y, x,y ∈ n é um subespaço do n( S é um
cone);
2. Subespaço gerado por uma família de r vetores do n r ≤ n. Sejam xii1r r
vetores do n. O conjunto S  y ∈ n : y  ∑ i1r ixi; i ∈ F é um subvetorial den, chamado, subespaço gerado por x1,x2, . . . ,xr;
3. Sejam Vn  n e Sy  x ∈ n : x  y  0, y ∈ n. Sy é o subvetorial ortogonal
ao vetor y.
2.4 Soma e interseção de subvetoriais
Sejam S e T dois subespaços de um espaço vetorial V sobre o corpo F. Então
S  T  v  vs  vt, vs ∈ S, vt ∈ T é chamado subespaço soma de S e T e
S ∩ T  v ∈ V : v ∈ S, v ∈ T é chamado subespaço interseção.
É fácil verificar que S  T e S ∩ T são subvetoriais.
Exercício 2.1: Verifique que S  T e S ∩ T são subvetoriais do Vn.
Os elementos de S  T são gerados como soma entre um elemento de S e um elemento
de T . O subvetorial S ∩ T é constituído dos vetores de S que podem ser gerados como
combinação linear de vetores de T ou vice-versa (dos vetores de T que podem ser gerados
como combinação linear de vetores de S .
Na figura abaixo, S e T são dois planos não paralelos no 3. O subvetorial S  T é o
próprio V3F. Se a interseção de ambos inclui a origem então o subespaço S ∩ T é a reta
interseção.
S⌠ ⎞TT
S
O
S + T
s
t
s+ t
Fig.2.1: S  T (Espaço usual); S
Exemplo 1: Seja o sistema linear homogêneo de r equações nas n incógnitas
x1,x2, . . . ,xn
a11x1  a12x2 . . .a1nxn  0
a21x1  a22x2 . . .a2nxn  0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ar1x1  ar2x2 . . .arnxn  0
Definido-se ai  ai1,ai2, . . . ,ain e x  x1,x2, . . . ,xn então Si  x ∈ Rn : xai  0 é
o espaço solução da equação i. Naturalmente, o espaço solução do sistema é o espaço
interseção dos r subvetoriais Si : S  ∩i1r Si. Mostraremos à frente que se r  n, então S é
um subvetorial.
Soma direta
Se os subevetoriais S e T são tais que S ∩ T  0 (vetor nulo) então o espaço soma
leva o nome de soma direta, e nota-se S ⊕ T .
Neste caso, pode-se mostrar que se v ∈ S ⊕ T, então v pode ser escrito de maneira
única como v  s  t, s ∈ S, t ∈ T.
Com efeito, suponha S ∩ T  0 e v  s  t  s′  t ′. Então, s − s′  t ′ − t. Como
s − s′ ∈ S e t ′ − t ∈ T e ambos são iguais, então s − s′ ∈ S ∩ T → s − s′  0 → t ′ − t  0.
Inversamente, se v tem representação única, então S ∩ T  0. Com efeito, tome
v ∈ S ∩ T. Como 0 ∈ S ∩ T, temos v  0 ∈ S ∩ T e 0  v ∈ S ∩ T com v  0  0  v.
Como a representação é única vem v  0, ou S ∩ T  0. 
O
S
T
S⊕ Τt
s
s+ t
Fig.2.2: Soma direta de dois
Quando S ⊕ T  V, os subvetoriais S e T são ditos suplementares.
Exemplo 2: Sejam Vn  n e, dado o vetor n, os espaços S  x ∈ n : x  n  0 e
S  v ∈ n : v  tn; t ∈ F. S é dito o complemento ortogonal de S em Vn:
S ⊕ S  Vn. Temos S ∩ S  0: o único vetor pertencente ao hiperplano S que está
sobre a reta de suporte da normal n é o 0. Logo, todo vetor v do Vn pode ser escrito de
maneira unívoca como v  x  n, x ∈ S, n ∈ S.
2.5 Sistemas equivalentes
Dois sistemas de equações lineares em x1,x2, . . . ,xn são ditos equivalentes se eles
tiverem as mesmas soluções. Isto significa que seus espaços solução coincidem. A
equivalência é obtida mostrando-se que o segundo sistema pode ser obtido efetuando-se
operações algébricas elementares sobre as equações do primeiro.
As operações elementares consistem em se multiplicar uma equação por uma constante
e em somá-la com outra do sistema, de modo que uma icógnita x seja eliminada da equação
resultante.
Exemplo 3: Os sistemas
6x  y − 4z  0 1
2x  y − 8z  0 2 e
10x  y  0 1′
x  z  0 2′ são
equivalentes; portanto, tem o mesmo espaço solução. O segundo sistema é obtido do
primeiro mediante as seguintes operações elementares: 1′  21 − 2 e 2′  1 − 2.
2.6 Sistemas lineares homogêneos
Um sistema de r equações lineares nas n incógnitas x1,x2, . . . ,xn é dito homogêneo se
x̂  x̂1, x̂2, . . . , x̂n e x̄  x̄1, x̄2, . . . , x̄n forem duas soluções do sistema então toda
combinação linear c1x̂  c2x̄ também é uma solução do sistema. De um modo geral, se o
sistema tiver mais de duas soluções distintas, então toda combinação linear entre estas
soluções é também uma solução.
Seja o sistema homogêneo
S
a11x1  a12x2 . . .a1nxn  0
a21x1  a22x2 . . .a2nxn  0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ar1x1  ar2x2 . . .arnxn  0
Coloque Li  ai1x1  ai2x2 . . .ainxn , e suponha a11 ≠ 0. Considere o
seguinte sistema transformado, com r equações e n incógnitas: L1  0
S′
L2 − a21a11 L1  0.x1  b22x2 . . .b2nxn  0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lr − ar1a11 L1  0.x1  br2x2 . . .brnxn  0
Os sistemas S e S′ são equivalentes.
Teorema 2.1 (existencia de soluções não triviais)
Seja o sistema linear homogêneo S de r equações em n incógnitas, com coeficientes
aij reais. Se n  r, então S possui pelo menos uma solução x̂ não trivial x̂ ≠ 0.
Prova: (por indução)
O teorema é válido para r  1. Neste caso, dados x2, . . . ,xn, temos:
x1  −1a11 a12x2 . . .a1nxn ∗
Suponha o teorema válido para um sistema de r − 1 equações com n incógnitas. Seja
então x̂2, . . . , x̂n a solução das r − 1 equações de S′, e x̂1 a solução obtida por ∗, de
modo que L1  0. Então, x̂1, x̂2, . . . , x̂n que resolve S′, também resolve o sitema S, com r
equações. Inversamente, se x̂1, x̂2, . . . , x̂n resolve S, L1  L2 . . . Lr  0 e esta solução
também resolve S′. 
Pode-se mostrar que o espaço-solução S de um sistema homogêneo linear com n  r, é
um subespaço vetorial.
Com efeito, se x̄, x̂ ∈ S, então x̂ ∈ S  ∈ F, x̂  x̄ ∈ S, −x̂ ∈ S e
x̂  −x̂  0 ∈ S. Logo, S é um grupo comutativo. Sendo F um corpo, SF é um espaço
vetorial.
Exemplo 4: Descreva o espaço solução do sistema: x − 2y  z − t  0
1; 2x  4y − 3z  0 2; 3x  2y  2z − t  0 3 .
Fazendo 2 − 21 : 8y − 5z  2t  0 4; fazendo 3 − 31 : 8y − z  2t  0 5.
Assim, 5 − 4 implica: 4z  0 → z  0, t  −4y, x  −2y. Todo vetor na direção de
−2,1,0,−4 é uma solução; logo, na notação vetorial o espaço-solução é: S  x̂ ∈ 4 :
x̂  −2,1,0,−4;  ∈ .
2.7 Dependência linear
Seja VF um vetorial sobre um corpo F, e xii1r uma família de r vetores de V.
Definição 1: A família xii1r é linearmente dependente LD sse ∃
1,2, . . . ,r i ∈ F não todos nulos tal que ∑ i1r ixi  0.
Caso contrário, i.e., se ∑ i1r ixi  0  1  2 . . . r  0 então a família de
vetores é dita linearmente independente LI.
Note que se a família de vetores for LI, então a única combinação linear entre seus
membros apta a gerar o vetor O é a combinação trivial.
Exemplo 1: Considere a família de 3 vetores do V4 seguinte: x1  1,2,0,4,
x2  −1,0,5,1 e x3  1,6,10,14. Vamos determinar 1,2,3 tais que 1x1  2x2 
3x3  0. Esta equação gera o seguinte sistema: 1 − 2  3  0 ; 21  6 3  0 ; 52 
103  0 e 41  2  143  0. É fácil verificar que se 3  −1, então 2  2 e 1  3
resolvem o sistema (evidentemente, qualquer múltiplo destes valores também resolve).
Assim, 3x1  2x2 − x3  0, e a família é LD.
Exemplo 2: A família de vetores do V3, x1  2,1,4, x2  1,−1,2 e
x3  3,1,−2 é LI.
Com efeito, temos a resolver: 21  2  33  0 1, 1 − 2  3  0 2 e
41  22 − 23  0 3. Mas, 12 3  2 leva à 31  0. Então, 1  0 em 2 e 1 leva à2  3 e 2  −33 respectivamente. Logo, 3  2  0.
São verdadeiras as seguintes proposições:
1. Uma família finita de vetores do VF é LD sse um dos vetores pertencer ao
subespaço gerado pelos outros elementos da família.
Com efeito, se a família xii1r é LD então existe k ≠ 0 tal que a equação∑ i1r ixi  0 pode ser escrita como xk  −1k ∑ ii≠k ixi. Assim, xk pertence ao subvetorial
gerado por x1, . . . ,xk−1,xk1, . . . ,xr. Inversamente, se a equação de xk é válida, então ∑ixi
e xii1r é LD.
2. Qualquer família de vetores que contenha uma subfamília LD é LD;
Esta proposição é consequência da anterior. Se a subfamília xjj1k da família xjj1r for
LD k ≤ r, então existem 1,2, . . . ,k não todos nulos tais que 1x1 . . .kxk  0  xk1
. . .0  xr  0. Logo, x1, . . . ,xk−1,xk1, . . . ,xr é LD.
3. Toda família de vetores contendo O é LD.
Com efeito, 0  x1 . . .0  xr    0  0 para  ≠ 0. Logo, xjj1r é LD.
2.8 Bases e dimensão de um espaço vetorial
Nesta seção apresentamos dois conceitos fundamentais em álgebra linear. O conceito de
base e o conceito de dimensão.
Bases
Definição 2: Um conjunto de vetores x1,x2, . . . ,xn é um sistema gerador do espaço
vetorial VF se ∀y ∈ VF, ∃ 1,2, . . . ,n ∈ F tal que y  ∑ i1n ixi.
O vetorial VF é finito se ele conter um sistema gerador x1,x2, . . . ,xn finito n  .
Qualquer vetor do VF pode ser gerado como combinação linear dos n vetores do sistema
gerador.
Exemplo 1: Os vetores x1  1,1 e x2  1,−1 formam um sistema gerador do V2F.
Com efeito, qualquer vetor y  y1,y2 pode ser expresso como y  1x1  2x2 onde
1  12 y1  y2 e 2  12 y1 − y2. Se x3 é um outro vetor qualquer do V2R, o conjuntox1,x2,x3 também gera o V2F.
Definição 3: Seja x1,x2, . . . ,xn um sistema gerador de VF. Se esta família de vetores
for LI, então x1,x2, . . . ,xn é uma base de VF.
O teorema seguinte institui uma base B de V como o maior subconjunto de vetores LI
contido em um sistema gerador de VF.
Teorema 2.2 (finitude das bases)
Todo espaço vetorial não nulo e finito tem uma base finita.
Prova : Sendo VF de dimensão finita, o sistema gerador x1,x2, . . . ,xn é finito. Seja B
o maior conjunto de vetores LI contido no sistema gerador: B  xii1m , com m ≤ n. Logo,
os conjuntos x1,x2, . . . ,xm,xmp p  1,2, . . . ,n − m são todos LD, isto é,∑ i1m ixi  mpxmp  0 para escalares 1,2, . . . ,m,mp não nulos. Isto significa que
xmp  − 1mp 1x1 . . .mxm. Como B gera todos os outros vetores xm1, . . . ,xn do
conjunto gerador, segue-se que B também gera VF. Como os vetores de B são LI, B é
uma base finita de VF. 
Como corolário deste teorema, temos que todo sistema gerador finito do VF ( de
dimensão finita) contém um subconjunto que é uma base de V.
Exemplo 2: Qualquer conjunto de n vetores LI do VnF forma uma base deste espaço.
O conjunto de vetores E1  1,0,0, . . . . , 0; E2  0,1,0, . . . . , 0; E3  0,0,1, . . . . , 0;
. . . ; En−1  0,0,0, . . . . , 1, 0;En  0,0,0, . . . . , 1 é chamado base natural (ou canônica) do
VnF.
Com efeito, qualquer vetor y  y1, . . . ,yn do VnF pode ser gerado por uma
combinação linear dos vetores desta base: y  y1E1 . . .ynEn. Naturalmente
E1,E2, . . . ,En,y é um conjunto gerador de VnF mas não é uma base deste espaço.
Teorema 2.3 (minimalidade das bases)
Se VF tem uma base B contendo n vetores, x1, . . .xn então qualquer conjunto
contendo n  p vetores y1,y2, . . . ,ynp, p  1,2, . . . ,m é LD.
Prova :
Visto que B é uma base, temos
y1  11x1  12x2 . . .1nxn
y2  21x1  22x2 . . .2nxn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn  n1x1  n2x2 . . .nnxn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ynp  np1x1  np2x2 . . .np,nxn
Interessemo-nos às combinações lineares: c1y1  c2y2 . . .cnpynp. Esta combinação
(não trivial) gera o vetor nulo sse o sistema de n equações com n  p incógnitas
c1,c2, . . . ,cnp :
11c1  21c2 . . .np,2cnp  0
12c1  22c2 . . .np,2cnp  0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1nc1  2nc2 . . .np,ncnp  0 tiver ao menos uma solução não trivial. Ora, como
n  p  n, pelo teorema 2.1 anterior esta solução existe, de modo que o conjunto acima é
LD. 
Como corolário deste teorema temos que todas as bases de um vetorial VF de
dimensão finita contém o mesmo número de vetores.
Dimensão de um espaço vetorial
A dimensão dim V de um vetorial finito VF é igual ao número de vetores de qualquer
base B de V:
dimV  no de vetores em B.
O lema seguinte é de utilidade.
Lema (ampliação de familias LI)
Seja x1,x2, . . . ,xr um conjunto de r vetores LI do VF. Se xr1 não está no subespaço
gerado por x1,x2, . . . ,xr, então x1,x2, . . . ,xr,xr1 é LI.
Prova:
Como ∀1,2, . . .,r ∈ F temos 1x1  2x2 . . .rxr ≠ xr1. Então
1x1  2x2 . . .rxr − xr1 ≠ 0 para  ’s todos não nulos. Logo, x1,x2, . . . ,xr,xr1 é LI.
O teorema seguinte estabelece a multiplicidade de bases.
Teorema 2.4 (multiplicidade das bases)
Se dimV  n, então qualquer conjunto de n vetores LI de V é uma base de VF.
Prova:
Sejam x1,x2, . . . ,xn um conjunto LI e y ∈ VF. Como dimV  n, as bases de Vn
contêm n vetores. Então, pelo lema, o conjunto x1,x2, . . . ,xn,y é LD e assim
x1,x2, . . . ,xn é um conjunto gerador LI. Logo, é uma base de VnF. 
Exercício 2.2 . Demonstre as seguintes proposições:
1. Seja VnF um vetorial de dimensão n. Todo conjunto de vetores LI de Vn é
subconjunto de uma base de VnF;
2. Se S ⊂V e dimV  n  , e se B for uma base de S, então existe uma base B ′ de
Vntal que B ⊂ B ′.
O teorema seguinte estabelece um resultado fundamental em álgebra linear.
Teorema 2.5 (dimensões dos espaços soma e interseção)
Se S e T forem subespaços de um vetorial VnF de dimensão n finita, então
dimS  dimT  dimS  T  dimS ∩ T.
Prova: Seja dimS  s, dimT  t, dimS ∩ T  m. Devemos mostrar que
s  t  dimS  T  m. Seja x1,x2, . . . ,xm uma base de S ∩ T . Como S ∩ T ⊂ S, pela
proposição 2 do exercício acima podemos formar uma base de S na forma
x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m. Análogamente, seja x1,x2, . . . ,xm, z1, z2, . . . , zt−m uma base
de T .
Note que x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m, z1, z2, . . . , zt−m é um sistema gerador de S  T.
Vamos mostrar que este sistema é LI e que portanto, constitui uma base de S  T . Notemos
a1x1  a2x2 . . .amxm  b1y1  b2y2 . . .bs−mys−m  v e c1z1  c2z2 . . .ct−mzt−m  −w.
Suponha v − w  0. Isto implica v  w. Neste caso, v ∈ S , w ∈ T , e a igualdade entre
ambos leva à v  w ∈ S ∩ T . Logo, existem coeficientes 1,2, . . . ,m não todos nulos tais
que 1x1 . . .mxm  w. Mas, x1,x2, . . . ,xm, z1, z2, . . . , zt−m é uma base de T de maneira
que 1x1 . . .mxm  −w  0 implica 1  2 . . . m  c1  c2 . . .  ct−m  0 e
assim w  0. Por outro lado x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m é uma base de S e v  0 implica
então a1  a2 . . . am  b1  b2 . . . bs−m  0. Provamos assim que
x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m, z1, z2, . . . , zt−m é LI e, portanto, uma base de S  T . Esta
base tem m  s − m  t − m  s  t − m vetores. Logo, dimS  T  dimS  dimT −
dimS ∩ T. 
Exercício 2.3 : Se S for o subvetorial do V3 gerado pelos vetores x1  1,2,−1 e
x2  3,0,1 e T for o subvetorial gerado por y1  −1,1,0 e y2  2,1,3, ache um vetor
não nulo pertencente à S ∩ T .
Solução: Um vetor de S ∩ T deverá ser gerado por combinações lineares dos vetores
gerados de S e de T . Logo, vamos determinar 3 que resolve a equação:
1x1  2x2  y2 − 3y1, ou 1x1  2x2  3y1  y2.
1 3 −1
2 0 1
−1 1 0
1
2
3

2
1
3
. Usando a regra de Cramér obtemos:
3 
1 3 2
2 0 1
−1 1 3

1 3 −1
2 0 1
−1 1 0
 −34−1−18−3−2−1  −18−6  3
Logo, os vetores de S ∩ T têm a direção de u  y2 − 3y1, ou u  5,−2,3.
Formalmente, S ∩ T  v ∈ V3 : v  5,−2,3;  ∈ . Temos dimS  dimT  2 de
modo que dimS  T  dimS  dimT − dimS ∩ T  2  2 − 1  3.
2.9 Bases e coordenadas
Seja V um vetorial de n dimensões sobre o corpo dos reais, Vn e F1,F2, . . . ,Fn uma
base ordenada qualquer de Vn.
Como F1,F2, . . . ,Fn é um sistema gerador LI, ∀v ∈ Vn, ∃1,2, . . . ,n ∈  tal que
v  1F1  2F2 . . .nFn.
Notemos que os escalares 1,2, . . . ,n são únicos. Com efeito, se 1′ ,2′ , . . . ,n′
também geram Vn pela base F, então v − v  0  ∑ i1n i − i′Fi. Mas como os F’s são LI
então i  i′ ∀i  1,2, . . . ,n o que demonstra a unicidade da representação.
Os escalares 1,2, . . . ,n são chamados coordenadas do vetor v na base F1,F2, . . . ,Fn.
Note que a base F1,F2, . . . ,Fn não é (necessariamente) um sistema de vetores ortogonais.
2.10 Mudança de base
Seja y  y1,y2, . . . ,yn′ o vetor coluna das coordenadas do vetor v na base ordenada
F1,F2, . . . ,Fn e z  z1, z2, . . . , zn′ o vetor das coordenadas deste mesmo vetor em outra
base G1,G2, . . . ,Gn. Temos v  ∑ i1n yiFi ∑ i1n ziGi. Escrevendo os vetores das bases Fe
G em coluna, construímos as matrizes n,n : F  F1,F2, . . . ,Fn e G  G1,G2, . . . ,Gn
de maneira que são válidas as seguintes equações matriciais: v  Fy  Gz.
Como as matrizes F e G são regulares, |F| ≠ 0 e |G| ≠ 0 são inversíveis (veja seção
3.7) de modo que podemos obter as coordenadas de um vetor na base G pelas coordenadas
deste vetor na base F pela relação: z  G−1Fy e, as coordenadas na base F pelas
coordenadas do vetor na base G: y  F−1Gz.
Exemplo 1: Vamos explicitar as coordenadas do vetor v  2,3′ relativas à base:
G1  −1,5′ ; G2  3,1′ do V2. Representamos graficamente a solução usando as
mesmas unidades de medida dos vetores da base natural E  E1,E2.
Solução: Aqui, v  2E1  3E2  E2,3′  G1z1  G2z2  Gz. Logo, z  G−1E2,3′ 
G−12,3′. Usando o método de inversão pela matriz adjunta (veja seção 4.2) obtemos:
G−1  −1 3
5 1
−1
 −116
1 −3
−5 −1 e então
z  116
−1 3
5 1
2
3
 116
7
13
e v  716 G1  1316 G2
Para a representação de v nas coordenadas da base G, usando as mesmas unidades de
medida empregadas na sua representação na base natural E, precisamos tomar os vetores de
base G com comprimento unitário: G1∗  1‖G1‖ G1 e G2∗  1‖G2‖ G2, onde
‖G1‖  −12  52  26 e ‖G2‖  32  12  10 . Logo, v  716 26 G1∗ 
13
16 10 G2
∗  2,23G1∗  2,57G2∗.
A figura 2.3 abaixo ilustra a transformação das coordenadas usando as mesmas
unidades de medida.
G*2
1o
(2,3)
V
3E2
2E1
2,23 G*1
2,57 G*2
G*1
2
Fig.2.3: Mudança de Base: E → G
Explicitamente, se x1,x2,x3 forem as coordenadas de um vetor v ∈ V3 na base
natural e y1,y2,y3 suas coordenadas em uma base F1,F2,F3 qualquer, temos as seguintes
relações:
F1  f11E1  f21E2  f31E3
F2  f12E1  f22E2  f32E3
F3  f13E1  f23E2  f33E3. Então
v  x1E1  x2E2  x3E3  y1F1  y2F2  y3F3  y1f11E1  f21E2  f31E3
y2f12E1  f22E2  f32E3  y3f13E1  f23E2  f33E3  y1f11  y2f12  y3f13E1 
y1f21  y2f22  y3f23E2  y1f31  y2f32  y3f33E3, donde saem as seguintes equações:
x1  y1f11  y2f12  y3f13
x2  y1f21  y2f22  y3f23
x3  y1f31  y2f32  y3f33
→ F1 F2 F3
y1
y2
y3

x1
x2
x3
ou, em forma
compacta: x  Fy.
Exemplo 2: Determinamos uma equação do círculo x12  x22  9 no sistema de
coordenadas y cuja base é F1  2,1′ e F2  3,2′ do V2.
Solução: Temos, x1  2y1  3y2 ; x2  y1  2y2.
Então, 2y1  3y22  y1  2y22  5y12  16y1y2  13y22  9 é a equação do círculo nas
novas coordenadas. Para dimensões maiores, existe vantagem em se usar a forma vetorial.
Neste caso, teremos: x.x  9 ↔ Fy. Fy  y ′F ′Fy  y1,y2 5 8
8 13
y1
y2
 9,
que é a equação acima.
Rotação dos eixos coordenados
Seja v um vetor do Vn e x1E1  x2E2 . . .xnEn sua representação na base natural.
Uma rotação de um ângulo  dos eixos coordenados é uma transformação ortogonal dos
vetores da base natural (que preserve as unidades de medida) na direção deste ângulo. A
base F1,F2, . . . ,Fn obtida é construida pelos senos e cossenos diretores do ângulo  da
rotação.
No caso n  2, para F1  f11, f21 e F2  f12, f22 temos as seguintes relações:
f11  ‖F1‖cos, f21  ‖F1‖ sin, f12  ‖F2‖− sin, f22  ‖F2‖cos.
A figura 2.4 abaixo ilustra a rotação efetuada no sentido anti-horário   0:
0
θ
θ
θ
θ
θ
c o s
c o s
s e n
s e n
||F 1 ||
| |F 1 ||
| |F 2 ||-
||F 2 ||
F 1
F 2
1
2
Fig.2.4: Rotação E → F de ângulo .
Queremos que a nova base F1,F2 preserve as unidades de medida. Deste modo
impomos a condição: ‖F1‖  ‖F2‖  1. Assim, F1 cos, sin′ e F2  − sin, cos′.
Então, todo vetor v  x1,x2′ de coordenadas y1,y2 na base F escreve-se: v  y1F1  y2F2,
ou :
x1  y1 cos − y2 sin
x2  y1 sin  y2 cos
,
e a transformação inversa será:
y1  x1 cos  x2 sin
y2  −x1 sin  x2 cos
Exemplo 3: Calculamos as coordenadas y1,y2 do vetor v  1,3′ no sistema
ortonormal F1,F2 obtido com a rotação de 45∘ dos vetores da base natural.
Solução : Temos   4 → cos  sin  12 . Então,
y1  1  12  3  12  42  2 2
y2  −1  12  3  12  22  2
Exemplo 4: Vamos obter o ângulo da rotação efetuada com a transformação dos
vetores da base natural E1, E2 para a base F1  1/ 5 ,2/ 5 , F2  −2/ 5 ,1/ 5 .
Solução: Note que a base é ortonormal: ‖F1‖  ‖F2‖  1 e F1  F2  0. Então
tan  f21f11 
2/ 5
1/ 5
 2 →   Arc tan2 ≅ 63,435o.
No capítulo VI , dedicado aos operadores lineares, analisaremos mais detalhadamente
rotações, reflexões e outras transformações lineares que envolvem mudanças na base
vetorial.
2.11 Isomorfismos
Sejam S e T dois subvetoriais do VF e  uma aplicação de S em T :
 : S → T : s → s.
Definição 4: A aplicação  é uma transformação biunívoca (ou injetiva) se ∀s1, s2 ∈ S,
s1  s2 → s1  s2.
A equação s  t não somente define a imagem t de um dado vetor s ∈ S de maneira
única como também define s de modo único como a contra-imagem por −1 de um vetor t ∈
T .
A transformação  é sobrejetora se S  T isto é, se todo vetor t de T é imagem
de um vetor s de S.
A transformação, −1 : T → S é a transformação recíproca (ou inversa) satisfazendo
−1t  s sse s  t.
Note que −1 existe sse  for biunívoca e sobrejetora, isto é, se  for bijetora. Neste
caso, ∀s ∈ S, t ∈ T, −1t  t e −1s  s.
Definição 5: Uma transformação bijetora  : S → T é chamada um isomorfismo sse
∀s, s′ ∈ S, k ∈ F,
i ks  ks
ii s  s′  s  s′.
Exemplos:
1. x  x  ∈ F. Esta transformação linear é um isomorfismo;
2. x    x  ≠ 0,  ∈ F é uma transformação afim. Esta transformação não é
um isomorfismo (Por quê?).
Note que se  é um isomorfismo então −1 também o é. Com efeito, sendo  biunívoca
temos:
s  t  −1t  s. Então, ks  ks  kt  −1kt  ks  k−1t. Por outro
lado, se t  s e t ′  s′ então s  s′  t  t ′  −1t  t ′  s  s′  −1t  −1t ′
o que erige −1 em isomorfismo de T sobre S. Os espaços S e T são ditos isomorfos.
Uma propriedade importante do isomorfismo  estabelece que a imagem da origem 0 de
S é a própria origem 0′ de T , isto é: 0  0′.
Com efeito, suponha 0  t ≠ 0′. Então, para k,k ′ ∈ F, k ≠ k ′ → k0  kt e
k ′0  k ′t . Mas  é injetiva, de maneira que k0  k ′0 deve implicar kt  k ′t, isto
é: t  0′. 
Teorema 2.6 (dependencia linear em isomorfismos)
Se  : S → T for um isomorfismo entre S e T , um conjunto de vetores
s1,s2, . . . ,sr é LD em T sse o conjunto de vetores s1, s2, . . . , sr for LD em S.
Prova: Assuma que s1, s2, . . . , sr seja LD em S . Então existe c1,c2, . . . ,cr ∈ F não todos
nulos tal que c1s1  c2s2 . . . crsr  0 ∗. Logo,
c1s1  c2s2 . . .crsr  c1s1  c2s2  . . .crsr  0′ ∗ ∗, o que implica que
s1,s2, . . . ,sr é LD em T . Inversamente se ∗ ∗ é válida então, como  é um
isomorfismo −10′  0 e então ∗ é válida. 
Como corolário deste teorema, são válidas as seguintes proposições:
1. O conjunto de vetores s1,s2, . . . ,sr é LI em T sse s1, s2, . . . , sr é LI em S;
2. Se F1,F2, . . . ,Fr for uma base de S, então F1,F2, . . . ,Fr é uma base de T.
Com efeito, se s ∈ S, então s  ∑ i1r ciFi. Logo, s  ∑ i1r ciFi e o vetor t  s
é gerado univocamente pelos vetores Fi. Como estes são LI (pela afirmação 1), o
sistema gerador F1,F2, . . . ,Fr forma uma base de T.
Exercício 2.4: Sejam V e W vetoriais sobre o corpo F e  : V → W um isomorfismo.
Se S e T forem subespaços de V, prove que i S ∩ T  S ∩T ; ii
S  T  S  T
Solução: i Seja x ∈ S ∩ T. Então existe vs ∈ S e vt ∈ T:
x  vs  vt  0  vs − vt  vs − vt  vs  vt  v (digamos) e x  v
onde v ∈ S ∩ T. Logo x ∈ S ∩ T. Inversamente, suponha x ∈ S ∩ T. Então,
∃v ∈ S ∩ T tal que x  v. Ora, v ∈ S dado que v ∈ S e v ∈ T dado que v ∈ T.
Logo, v  x ∈ S ∩ T. 
ii Suponha x ∈ S  T. Então, ∃vs ∈ S,vt ∈ T : x  vs  vt. Mas
vs  vt  vs  vt. Como vs ∈ S e vt ∈ Tvem x ∈ S  T. Inversamente,
suponha x ∈ S  T. Então x  xs  xt onde xs ∈ S  T  xs  vs, vs ∈ S e
xt  vt, vt ∈ T. Logo, x  vs  vt  vs  vt ∈ S  T. 
♣♣♣
Exercícios propostos
Seção 2.1: Corpos
1. Quais dos seguintes subconjuntos de C (conjunto dos números complexos) são
corpos com relação à adição e à multiplicação ordinárias: a N, conjunto dos inteiros
positivos; b Z, conjunto de todos os inteiros (positivos, negativos e 0; c D 0,1; d
Q, conjunto de todos os números racionais; e Cn x ∈ C : x  a  bi; a,b ∈ N; f
Cq  x ∈ C : x  a  bi; a,b ∈ Q; gRr  x ∈ R : x  a  b 2 ; a,b ∈ Q;
2. Se m for um inteiro não negativo, prove que x ∈ R : x  a  b m ; a,b ∈ Q é um
subcorpo de C;
3. Se no problema 2 m for um inteiro qualquer e m for substituído por 3 m , o
conjunto resultante é um corpo ?
Seção 2.2: Espaços vetoriais
1. Sejam (a) Vn  −xo, 0,xo, onde xo é um vetor fixo do n é um vetorial sobre o
corpo ? Justifique;
(b) idem para Vn  xo :  ∈ .
2. Mostre que o conjunto A  x ∈ 3 : x1  2x2 − x3  0 é um vetorial sobre o
corpo ?. O que dizer do conjunto B  x ∈ 3 : x1  2x2 − x3  1?
3. Generalize o resultado do exercício anterior. Qual a condição sobre os coeficientes ci
e sobre a constante c para que o conjunto solução da equação c1x1  c2x2 . . .cnxn  c
seja um vetorial sobre um corpo F ?
4. Seja Pn o conjunto dos polinômios de grau m m  n na variável x, com
coeficientes reais (um elemento típico de Pn é: px  ∑ j0m ajxj ; aj ∈ ). Verifique se Pn
é um vetorial sobre corpo F ;
5. Considere o conjunto das funções Cn   f :  →  : x → fx tal que fi  dif
dxi
é
contínua, i  1,2, . . . ,n e o subconjunto das funções y  fx que resolvem a equação
diferencial linear d
ny
dxn x  cn d
n−1y
dxn−1
x . . .c2 dydx x  c1y  0 , onde as constantes
c1, . . . ,cn são reais. Usando as propriedades da diferencial, mostre que:
(a) Cn é um vetorial;
(b) O conjunto solução da equação diferencial é um subvetorial em Cn.
Seção 2.3: Subespaços vetoriais
1. a Seja S um subespaço do V2 que contém 2 vetores não colineares. Prove que S
 V2; b Idem se S for um subespaço do V3 contendo três vetores não colineares;
2. Prove que se S for um subvetorial do V3, então S é:
a S  0; b ou S é o conjunto dos vetores pertencentes à alguma reta de suporte
passando pela origem; c ou S é o conjunto dos vetores pertencentes à algum plano
passando pela origem; d ou S  V3.
3. Seja S o conjunto de todos os vetores do V4F na forma:
a x, x  y, y, 2x  2y; b x, y, x  1, 2x − y; c 0, 0,−x, 0; d x, y, x2  y2,
2x onde, x,y ∈ F. Verifique, em cada caso, se S é um subespaço vetorial.
4. Seja VF um vetorial e x1,x2, . . . ,xr vetores de V. a Se S é o conjunto de todos os
vetores na forma c1x1  c2x2  . . . crxr, onde c1, . . . ,cr são números inteiros, S é um
vetorial ? Explique;
b Se S  v ∈ V : v  c1x1  c2x2  . . . crxr  c; c1, . . . ,cr ∈ F, qual a condição
para que S seja um vetorial ?
Seção 2.4: Somas e interseções de subespaços
1. Considere os seguintes subvetoriais do V3 : S  x ∈ V3 : x1 − 2x2  x3  0 e
T  x ∈ V3 : 2x1  6x2 3x3  0. (a) Explicite os subespaços S  T e S ∩ T ;
(b) Interprete geométricamente estesconjuntos;
2. Se S, T e U forem subvetoriais de um vetorial V e se T ⊂ S, prove que
S ∩ T  U  T  S ∩ U.
3. Mostre que o conjunto solução S da equação x  y − 3z  0 pode ser escrito como a
soma de dois subvetoriais unidimensionais S1 e S2 sobre o corpo F , de maneira que vale a
equação: S  S1  S2. A soma direta aqui é possível ?
4. Considere o subespaço S do exercício 1.
(a) Explicite o seu complemento ortogonal S;
(b) Mostre que S ∩ S  0 e que V3  S ⊕ S.
Seção 2.5: Sistemas equivalentes
1. Prove que os dois sistemas de equações:
1 : x  y − 3z  0
2 : 2x − y  z  0 e
3x − 2z  0
7x − 2y  0
são equivalentes.
Seção 2.6: Sistemas lineares homogêneos
1. Ache o conjunto solução S (na forma vetorial) dos seguintes sistemas de equações:
a
2x − y  z − t  0
y − z  4t  0
3x − y − t  0
; b
x  y  2t − u  0
y − z − t  2u  0
x − 2z − t − u  0
c ix  3iy − 2z  0
2x − 3iy  iz  0 d
x  2y  0
2x  3iz  0
x − iy  iw  0
2. Se Ar,n é uma matriz com elementos reais, prove que todo vetor solução complexo
do sistema Ax  0 tem a forma x  x1, . . . ,xn, onde x  s  it, s  s1, s2, . . . , sn′ e
t  t1, t2, . . . , tn′ são vetores solução reais do sistema;
Seção 2.7: Dependência linear
1. Verifique quais combinações lineares não triviais entre vetores dos conjuntos abaixo
geram o vetor nulo:
a x1  2,1; x2  −1,3; x3  4,2;
b x1  2,1,1; x2  3,−4,6; x3  4,−9,11;
c x1  1,0,2,4; x2  0,1,9,2; x3  −5,2,8,16;
2. (a) Mostre que os vetores x1  1,1,−1; x2  2,−3,5; x3  −2,1,4 são LI no
V3; (b) Mostre que os vetores x1  1,1,−2; x2  2,−3,−4; x3  −2,1,4 são LD;
3. Se os três vetores X, Y e Z são LI , prove que X, Y  aX e Z  bY  cX são também
LI, quaisquer sejam os valores das constantes a,b e c.
4. Se os três vetores X, Y e Z são LI , dê a condição sobre as constantes a,b e c para
que os vetores X  Z, bY  aX e bZ  Y  cX sejam LD ;
5. a Prove que dois vetores do V2F são LD sse eles estão sobre uma reta passando
pela origem; b Prove que 3 vetores do V3F são LD sse eles são coplanares.
6. a Prove que qualquer conjunto de três vetores do V2F é LD; b Prove que se r e
n forem inteiros positivos e r  n, então qualquer conjunto de r vetores do VnF é LD
(Sugestão: use o teorema 2.3).
7. Pn designa o conjunto dos polinômios de grau m m  n na variável x, com
coeficientes reais. Prove que n  2 polinômios de Pn (por exemplo, px  ∑ j0m ajxj ; aj
reais) são necessáriamente LD (veja problema 2.2.4).
8. Se pmx é um polinômio do conjunto Pn definido no exercício anterior, prove que
pmx e suas m primeiras derivadas são vetores LI de Pn.
9. Se , e  são três constantes reais distintas, prove que senx  , senx   e
senx   são vetores LD no espaço das funções contínuas definidas para x ∈ a,b ⊂ .
10. (a) Prove que as funções senx, sen2x e sen3x são LI no intervalo 0,; (b)
Generalize provando (por indução) que senx, sen2x, sen3x, . . . senrx são LI r inteiro
qualquer).
Seção 2.8: Bases e dimensão
1. Dados os vetores X  2,−1,4,0; Y  1,1,2,3 e Z  4,−5,8,−6 : a Mostre que
estes três vetores são LD; b Mostre que dois quaisquer dos três vetores formam uma base
do espaço S gerado pelos três; c Contém S um vetor não nulo da forma a,b, 0, 0 ? d
Contém S um vetor não nulo da forma 0,c, 0,d ?; e Se T é o subespaço do V4
consistindo de vetores da forma 0,c, 0,d, c,d ∈ , ache as dimensões de T ,S, T  S e
T ∩ S.
2. Ache os valores de a, b e c de maneira que os vetores a, 1, 0,0, b, 0, 1,0 e
c, 0, 0,1 pertençam ao espaço solução ( S ) da equação 2x1 − x2  3x3 − 5x4  0. Mostre
que estes três vetores geram S e dê a dimensão de S.
3. Seja S o vetorial gerado pelos vetores 1,2,−1 e 3,0,1 e T o vetorial gerado por
2,1,3 e −1,1,0.
a Explicite uma base para S e uma base para T; b Ache uma base para S ∩ T ; c
Dê as dimensões de S  T e de S ∩ T.
4. Seja S o vetorial gerado pelos vetores 1,2,2,5 e −1,4,2,0 e T o vetorial gerado
por 2,0,−1,−2 e 5,2,0,1.
a Ache uma base para S e uma base para T;
b Ache uma base para S ∩ T e dê as dimensões de S  T e de S ∩ T;
5. Prove que se S for um subespaço próprio de um vetorial V (S ≠ V de dimensão
finita, então dimS  dimV.
6. Prove que se a1,a2, . . . ,an são números reais não todos nulos, o espaço solução da
equação a1x1  a2x2 . . .anxn  0 é um subvetorial de dimensão n − 1 do Vn.
7. Se S for um subespaço de um vetorial V de dimensão finita, prove que existe um
subvetorial T de V tal que S  T  S ⊕ T.
8. Seja x1,x2, . . . ,xn uma base do Vn e yj  ∑ i1n aijxi. Dê a condição sobre os escalares
aij garantindo que y1,y2, . . . ,yn seja uma base do Vn.
Seção 2.9: Bases e coordenadas
1. Ache as coordenadas do vetor 4,1 do V2 relativas à base F1  1,−1′ e
F2  3,5′. Represente este vetor no plano usando as mesmas unidades de medida das
coordenadas retangulares.
2. Ache as coordenadas do vetor 2,1,−6 do V3 relativas à base F1  1,1,2 ,
F2  3,−1,0 e F3  2,0,−1;
3. Ache as coordenadas do ponto 3,4 relativas aos eixos que tem equação y  −2x e
y  2x nas coordenadas retangulares (usando as mesmas unidades de medida em ambos os
sistemas). Represente o vetor 3,4 no plano usual.
Seção 2.10: Mudança de base
1. Se E1, E2 e E3 for uma base qualquer do V3 e F1, F2 e F3 for uma segunda base tal
que Fi  aiE1  biE2  ciE3; i  1,2,3, ache as equações que ligam as coordenadas
x,y, z de um vetor arbitrário v relativas à base E com as coordenadas x ′,y ′, z′ de v
relativas à base F.
2. Ache uma equação do círculo x2  y2  r2 relativa aos eixos coordenados que fazem
ângulos  e  com o eixo original dos x, usando em ambos os sistemas as mesmas unidades
de medida.
3. Expresse a equação da hipérbole equilátera yx  1 nas coordenadas da base F do
exercício 2.9.1 (usando as mesmas unidades de medida).
4. Considere uma aplicação  : V2 → V2 que transforma os vetores F1  12 1,1 e
F2  12 −1,1 nos vetores G1  110 1,3 e G2  110 −3,1, respectivamente. a
Verifique que ambas as bases são ortonormais; b Calcule o ângulo da rotação dos eixos
realizada pela transformação . Represente no plano a mudança dos eixos; c Se x e y
designam as coordenadas dos vetores do V2 no sistema retangular, dê a equação da elipse
3x2  y2  2 nas coordenadas y1,y2 da base F e nas coordenadas z1, z2 da base G.
Seção 2.11: Isomorfismos
1. Se V e W são espaços vetoriais sobre um corpo F e  : V →W um isomorfismo. a
Se S for um subvetorial de V e S o conjunto dos vetores v tais que v ∈ S, prove que S é
um subvetorial deW; b Prove que dimS  dim(S ) ; c Se T for um subespaço deW
e −1T o conjunto dos vetores v ∈ V tais que v ∈ T , prove que −1T é um subvetorial de
V. d Prove que dim−1T  dim(T ) .
2. Se  e  são transformações de V →W e W → U respectivamente, mostre que se 
é biunívoca então  é biunívoca.
ℶ✓ℷℵℸ
Respostas aos exercícios
Seção 2.1:
1/ Sómente os conjuntos Q , Cq e Rr são corpos;
2/ Contém os neutros para a soma e a multiplicação ( 0 e 1 e os simétricos para a soma
e multiplicação (para este último, xos  1ab m  aa2− mb2 − ba2− mb2 m pertence ao
conjunto pois as duas últimas frações são números racionais);
3/ Não. Para m ≠ q3 ( q ∈ Q ) nada garante que 1
abm1/3 pertença ao conjunto.
Seção 2.2:
1/ (a) Não; (b) Sim;
2/ A é um vetorial ; B não é (p.ex.: 0 ∉ B );
3/ c  0 (nenhuma condição sobre os coeficientes ci);
4/ Pn é fechado para a soma e a multiplicação escalar, contém o polinômio nulo e o
negativo de todo seu elemento;
5/ (a) Para f, g ∈ Cn e  ∈ F , basta notar que 0 ∈ Cn, fi  fi → f ∈ Cn,
f  gi  fi  gi → f  g ∈ Cn;
(b) Defina S   f ∈ Cn : fnx  cnfn−1x . . .c2f1x  c1fx  0;x ∈  .
Dado o resultado de (a) é imediato que S é um subvetorial (veja o problema 3 anterior).
Seção 2.3:
1/ (a) Dados x1 e x2 ∈ S , e v ∈ V2, mostre que existem k1,k2 reais tais que
v  k1x1  k2x2 ∈ S . Logo, V2 ⊂ S ⊂ V2 → S  V2; (b) Análogamente se S ⊂ V3;
2/ Escreva v ∈ S como: v  xE1  yE2  zE3, onde E1  1,0,0; E2  0,1,0;
E3  0,0,1 e x,y, z ∈ . Então: (a) x  y  z  0 → S 0; (b) x  y  0
→ S zE3 : z ∈  é a forma vetorial de uma reta; Análogamente para (c) e (d);
3/ Sòmente (a) e (c) são vetoriais;
4/ (a) Não, porque Z não é um corpo. (Por exemplo, escreva S  Xc : c ∈ Zr onde
X  x1,x2, . . .xr matriz com r colunas e c  c1,c2, . . .cr′. Se s  Xc, e  ∈ F , o vetor
s  Xc pode não pertencer à S se  não for inteiro);
(b) c  0.
Seção 2.4:
1/ (a) S T  2,1,0  −1,0,1  1,0,0; ,, ∈  (resp.múltiplas); S ∩T
  s12,1,−10; s ∈ ;
(b) S T  V3 : soma de dois planos não paralelos;
S ∩T  Rs  12s, s,−10s; s ∈  reta interseção
de dois planos;
3/ S1   s−1,1,0; s ∈  e S2   t3,0,1; t ∈ . A soma direta é possível
porque S1 ∩ S2  0;
4/ (a) n  1,−2,1 vetor normal ao plano. S   rn : r ∈ ; (b) v ∈ S → v.n  0;
v ∈ S→ v  rn. Logo, rn.n  r6  0 → r  0. Então, v  0 e S1 ∩ S  0. Enfim,
S1 ⊕ S  s2,1,0  t−1,0,1  r1,−2,1; r, s, t ∈   V3;
Seção 2.5:
1/ 1  2  primeira equação; 1  32  segunda equação;
Seção 2.6:
1/ (a) S   t− 32 , − 112 , − 32 , 1 ; t ∈ ; (b) S   t− 53 , − 13 , − 43 , 1,0 
u 73 ,− 43 , 23 , 0, 1; t,u ∈ ; (c) S   z 2i12i−1 , 12i−1 , 1 ; z ∈ C; (d) S   w 22i−1 , − 12i−1 ,
4i
32i−1 ; 1 ; w ∈ C;
2/ Sendo A matriz real, a igualdade As  −iAt é possível sse As  At  0;
Seção 2.7:
1/ (a) 2x1 − x3  0; (b) x1 − 2x2  x3  0; (c) Os vetores são LI;
2/ (a) Mostre que o sistema 1  22 − 23  0; 1 − 32  3  0 ;−
1  52  43  0 só possui solução trivial; (b) 4x1  3x2  5x3  0;
3/ 3  0; 2  b3  0 ; 1  a2  c3  0 implicam 1  2  3  0 ;
4/ b2  a − bc  0;
5/ (a) x1 − x2  0 → vetor direção da reta: , 1; (b) vo,v1,v2 são LD ↔ ∃1,2 :
vo  1v1  2v2 ( vo está no plano formado por v1 e v2 );
6/ (a) O sistema 1x1  2x2  3x3  0 sempre tem solução não trivial; (b) Use o
teorema 2.3;
7/ Mostre que existe uma combinação linear não trivial dos polinômios pix  aixi (
i  0,1,2, . . . ,n  1 que gera o polinômio nulo;
8/ Use indução. Mostre primeiro que px e p1x são LI. Suponha verdadeiro para p,
p1, . . . pm−1. Mostre então que também o será para p, p1, . . . pm−1, pm;
9/ Use sinx    sinx. cos  sin. cosx;
10/ (b) Use o resultado de (a) e suponha válido para r − 1. Mostre então que o é para r.
Seção 2.8:
1/ (a) 3X − 2Y − Z  0; (b) v ∈ S → v  1X  2Y  Z  1  3X  2 − 2Y (em
virtude de (a)); (c) Não; (d) Sim. d0, 12 , 0, 1; (e) dimS  2; dimT  2 ; dimS ∩ T 1;dimS  T  3;
2/ a  12 ; b  − 32 ; c  52 ; dim S  3;
3/ (a) base de S: 1,2,−1; 3,0,1; base de T: −1,1,0; 2,1,3; (b) 5,−2,3; (c)
dimS ∩ T  1; dimS  T  3;
4/ (a) base de S: 1,2,2,5; −1,4,2,0; base de T: 2,0,−1,−2; 5,2,0,1; (b)
1,2,2,5; (c) dimS ∩ T  1;dimS  T  3;
5/ Use o fato que se B é uma base de V e B′ uma base de S, B′ ⊆ B;
6/ Os n − 1 vetores − a2a1 , 1, 0, . . . 0, − a3a1 , 0, 1, . . . , 0, . . . , − ana1 , 0, 0, . . . , 1 formam uma
base do espaço solução;
7/ Defina T   vetores não nulos de V que não são gerados por uma base X1, . . .Xs de
S ;
8/ Os vetores coluna da matriz A  a1,a2, . . .an devem ser LI (↔ |A|≠ 0, cf. cap.IV);
Seção 2.9:
1/ 3, 3.64;
2/ −2.143; −5.93; 9.5;
3/  52 , 5 52 .
Seção 2.10:
1/ x  a1x ′  a2y ′  a3z′; y  b1x ′  b2y ′  b3z′; z  c1x ′  c2y ′  c3z′;
2/ x ′2  y ′2  2x ′y ′ cos −   r2;
3/ 1534 x ′2 − 12 y ′2  117 x ′y ′  1
4/ (a) F1.F2  G1.G2  0;‖F1‖ ‖F2‖ ‖G1‖ ‖G2‖ 1; (b) cos  25 ; (c) base
F : y12  y22 − y1y2  1; base G : 3z12  7z22 − 3z1z2  5.