AlgebraLinear Cap III

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III-Matrizes e Sistemas Lineares
Prof. Hugo Pedro Boff
Este capítulo trata inicialmente de matrizes e das relações algébricas entre elas.
3.1 Matrizes e álgebra das matrizes
Uma matriz de dimensão mn, A é uma tabela de números contendo m linhas e n
colunas, notada Am,n. Um elemento aij de A é um escalar pertencente a um corpo F (p.ex,
o corpo dos reais), posicionado na iésima linha e jésima coluna. Escrevemos então
A  aijm,n
A 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
O conjuntoMmn de todas as matrizes Am,n sobre o corpo dos reais  forma um
espaço vetorial de dimensão mn (veja seção 6.2).
Uma base natural deMmn é dada pelas matrizes Bij   lk onde
 lk  1 se l  i, k  j
0 se l ≠ i, k ≠ j . Com efeito, é fácil verificar que Biji,j1,1
m,n é um sistema
gerador LI.
Se A ≠ aij ∈ Mmn, então A  ∑ i,j aijBij. Temos também∑ i,j ijBij  0  ij  0;∀i, j.
As características principais das matrizes são detalhadas na sequência.
As matrizes Am,n podem ser retangulares m ≠ n ou quadradas m  n. Neste
último caso, se dirá que a matriz An,n é de ordem n.
Considere a matriz A  aijn,n de ordem n.
a) Simetria: A é simétrica se aij  aji ; ∀i, j
ex. A 
1 2 3
2 4 5
3 5 6
;
b) Triangularidade: A é triangular superior (inferior) se aij  0 ∀i  j∀i  j
ex. A 
1 2 3
0 4 5
0 0 6
;
c) Diagonalidade: A é diagonal sse aij  0 ∀i ≠ j. Se além disso aij  1;∀i, então
A é a matriz identidade (notada I).
I 
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
.
Se A  aijm,n é uma matriz deMmn, a transposta de A (notada A ′) é a matriz obtida
permutando cada linha com a coluna correspondente. A ′  aij′ n,m onde aij′  aji. Segue-se
que A ′ ∈ Mnm.
Note que um vetor-linha com n elementos pertence ao espaçoM1n, enquanto que o
vetor-coluna com m elementos pertence aoMm1. Doravante, os vetores a,b,c,x,y, . . .
designarão vetores- coluna e a′,b′,c ′,x ′,y ′, . . . os vetores-linha correspondentes.
Operações algébricas
1. Soma e multiplicação escalar
Sejam A  aijm,n, B  bijm,n, C  cijm,n matrizes deMmn. Então
A  B  aij  bijm,n
Exemplo: Sejam A  1 0 3
3 4 5
e B  −1 −1 0
0 10 3
.
Logo, A  B  0 −1 3
8 14 8
.
Como a matriz soma de duas matrizes é construída pela soma termo à termo dos
elementos de cada uma, só pode se realizada entre matrizes de um mesmo vetorial isto é, de
mesma dimensão.
Naturalmente, A  B  B  A (comutatividade ; A  B  C  A  B  C
(associatividade) ; A  0  A; A − A  0.
Temos também, para k,k ′ ∈ F, kA  kaijm,n (multiplicação escalar), de maneira que
k  k ′A  kA  k ′A.
Assim,Mmn é um grupo comutativo sobre o corpo F. Dotado das operações de soma e
de multiplicação escalar definidas acima,Mmn é um espaço vetorial.
2. Produto
Sejam Am,n e Bp,q duas matrizes. O produto A  B (ou, mais abreviadamente AB está
definido sse n  p. Neste caso AB  C  cijm,q é uma matriz do vetorialMmq tal que
cij  ∑k1n aikbkj.
Por outro lado a matriz BA está definida sse q  m. Neste caso, BA  D  dijp,n é
uma matriz deMpn tal que dij  ∑k1n bikakj.
De um modo geral, o produto AB está definido se o número de colunas da matriz que
pré multiplica (A) é igual ao número de linhas da matriz que pós-multiplica (B).
Exemplos:
1a A  1 2 3
4 5 6
; B 
1 2
3 5
0 1
. Então AB2,2  7 15
19 39
e
BA3,3 
9 12 15
23 31 39
4 5 6
1b A 
1
2
3
; B  6 −1 2
Note que AB 
6 −1 2
12 −2 4
18 −3 6
é uma matriz 3,3 enquanto que BA  10 é um
escalar (matriz 1,1).
Proposição 3.1(transposição de produtos)
Seja Am,n e Bn,p duas matrizes sobre um corpo F. Então AB ′  B ′A ′.
Prova: Escrevemos A 
a1′
a2′
. . .
an′
e B  b1 b2 . . . bp nas forma linha e
coluna respectivamente. Temos
AB 
a1′
a2′
. . .
an′
b1 b2 . . . bp 
a1′ b1 a1′ b2 . . . . a1′ bp
a2′ b1 a2′ b2 . . . . a2′ bp
. . . . . . . . . . . . .
am′ b1 am′ b2 . . . . am′ bp
Logo,
AB ′ 
b1′ a1 b1′ a2 . . . . b1′ am
b2′ a1 b2′ a2 . . . . bp′ am
. . . . . . . . . . . . .
bp′ a1 bp′ a2 . . . . bp′ am

b1′
b2′
. . .
bp′
a1 a2 . . . am  B ′A ′ .
Note que os produtos AA ′ e A ′A sempre existem. Para matrizes A e B de dimensão
compatível com a pré multiplicação pela matriz C e pós multiplicação pela matriz D temos
a seguinte propriedade distributiva:
CA  B  CA  CB e A  BD  AD  BD
Traço de uma matriz
Define-se a operação traço de uma matriz quadrada A ( TrA ) como a soma dos
elementos da diagonal principal:
TrA  ∑ i1n aii
Propriedades:
(i) Linearidade: TrA  B  TrA  TrB; TrA  TrA;
(ii) Comutatividade: TrAB  TrBA;
Com efeito, escreva A  a1,a2, . . . ,an′ e B  b1,b2, . . . ,bn. Então, AB  ai′bjn,n e
BA  ∑ i1n biai′. Logo, TrBA  ∑ i1n Trbiai′  ∑ i∑k aikbki  ∑ i1n ai′bi  TrAB.
(iii) TrA  TrA ′.
Matrizes idempotentes
A matriz A, de ordem n , é idempotente sse A2  A. Por exemplo, a matriz identidade I
é idempotente.
Exercício 3.1 : (i) Construa uma matriz de ordem 2 (diferente da matriz identidade) que
seja idempotente. (ii) Mostre que as colunas (ou linhas) desta matriz são necessariamente
LD.
Solução: (i) Seja x  x1,x2′ um vetor do V2. A matriz
1
x′x
xx ′  1
x′x
x12 x1x2
x2x1 x22
é uma matriz idempotente. Com efeito,
 1
x′x
xx ′ 1
x′x
xx ′   1
x′x
2xx ′xx ′  1
x′x
xx ′, que é a matriz original. Numéricamente, tome
x  1,2′ → 1
x′x
xx ′  15
1 2
2 4
a qual é idempotente.
(ii) Partamos de uma matriz A  a b
c d
arbitrária idempotente. Se |A| designa o
determinante da matriz A (vide seção 4.1), temos aqui: |A|  ad − cb. Pela idempotência de
A temos AA  a
2  bc ab  bd
ac  dc cb  d2 
a b
c d
. Assim,
ab  bd  b
ac  dc  c → a  d  1e
a2  bc  a → a2 − a  bc  0
d2  cb  d → d2 − d  bc  0
→ a2  d2  2bc  1 1 . Ora, a  d2  a2  d2  2ad  1
→ a2  d2  1 − 2ad 2. Usando 2 em 1: ad  bc → |A|  0. Sendo o
determinante nulo, os dois vetores linha (ou coluna) de A são LD (veja proposição 4.1).
3.2 Sistemas de equações lineares
Seja o sistema de m equações lineares nas n incógnitas x1,x2, . . . ,xn:
S
a11x1  a12x2 . . .a1nxn  c1
a21x1  a22x2 . . .a2nxn  c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1  am2x2 . . .amnxn  cm
onde os coeficientes aij são reais e c1,c2, . . . ,cm são constantes dadas. O sistema S
admite a seguinte representação matricial:
S : Ax  c
onde A  aijé a matriz dos coeficientes c  c1,c2, . . . ,cm′ é o vetor das constantes e
x o vetor-coluna das incógnitas.
Definimos a matriz aumentada M  A,c e o vetor y  x−1 , com n  1
componentes. Então, o sistema S pode ser escrito como Ax − c  0 ou:
S′ : My  0.
Logo, o espaço solução de S é idêntico ao espaço solução do sistema homogêneo S′.
Vamos estudar a solução de S pelo método de Gauss, também chamado
escalonamento. Este método é implementado através de transformações elementares das
linhas (colunas) da matriz associada ao sistema S′.
Transformações elementares consistem em se multiplicar uma linha (coluna) fixa da
matriz por uma constante e substituir cada outra linha pela resultante da soma da linha
original com esta linha transformada. Fixada a linha da transformação, as constantes de
multiplicação serão escolhidas para cada uma das outras linhas de maneira a se obter o
formato reduzido escalonado, a ser definido na sequência.
Matrizes equivalentes
Definição 1 : Uma matriz R é dita equivalente à uma matriz A de mesma dimensão se R
pode ser obtida de A mediante um número finito de transformações elementares das linhas
de A. Notamos R~A.
A relaçãode equivalência é comutativa e transitiva: se R~A → A~R; se A~R e R~B,
então A~B.
Formas normais
Definição 2 : Um matriz RAl é dita reduzida escalonada por linha de A se RAl for uma
matriz equivalente à A RAl ~A tal que:
i Todos os vetores linha nulos de RAl (se existem) ocorrem abaixo dos vetores não
nulos;
ii O primeiro elemento não nulo de cada linha (à partir da esquerda) é igual a 1;
iii Se o primeiro elemento não nulo na iésima linha estiver na jésima coluna, então todo
outro elemento na jésima coluna é zero;
iv Se o primeiro elemento não nulo na iésima linha estiver na jésima coluna, então:
j1  j2 . . . jn.
A matriz RAl é também chamada forma normal de A. A forma normal típica de uma
matriz A de dimensão m,n, com n  m e r linhas LI r  m é: RAl  Ir Br
0
onde Ir é a matriz identidade de ordem r, 0 é uma matriz nula m − r,n e Br é uma matriz
r,n − r de constantes.
Notemos que o escalonamento por coluna de uma matriz não precisa ser detalhado, pois
transformações elementares das colunas de A são transformações elementares das linhas de
A ′.
Mais precisamente, o escalonamento por linha de uma matriz A contendo m e n colunas
(m  n e r linhas LI ( r  m envolve m etapas. Particionemos inicialmente A como
A  a1,A1, onde a1 é a primeira coluna.
Na primeira etapa, define-se a matriz da transformação T1, de ordem m, de maneira a
que T1a1  E1, onde E1 é a primeira coluna da matriz identidade Im. A pré-multiplicação
de A por T1 resulta em A1  T1A  E1,A2, onde A2  T1A1.
Na segunda etapa, escolhe-se a matriz da transformação T2 de maneira a que, se a2
1
designa a segunda coluna de A1, tenhamos T2a2
1  E2, sendo E2 a segunda coluna de Im.
A pré-multiplicação de A1 por T2 resulta em A2  T2A1  E1,E2,A3, onde
E2,A3  T2A2.
Procedemos assim sucessivamente até a resima etapa.
Se r  m, a forma normal (reduzida escalonada) de A será RAl  Im Am .
Se r  m, RAl terá o formato dado acima. Não será possível ir adiante, porque os
primeiros r  1 elementos da (r  1ésima linha de Ar são nulos e, deste modo, não é
possível definir uma transformação Tr1 tal que Tr1ar1
r  Er1.
As matrizes Ti são construídas em cada etapa i i  1,2, . . . , r. Se notarmos Ti  tjki  ,
é possível verificar que, de acordo com a definição 2, a matriz da transformação na etapa i
tem, na sua entrada j,k, o seguinte formato: tjki 
ii se j  k  i
ji se j ≠ k  i
e
tjki 
1 se j  k ≠ i
0 se j ≠ k ≠ i , onde os coeficientes  são não nulos. Por exemplo, se m  3 as
matrizes T são: T1 
11 0 0
21 1 0
31 0 1
; T2 
1 12 0
0 22 0
0 32 1
;T3 
1 0 13
0 1 23
0 0 33
.
A aplicação sucessiva das matrizes Ti sobre as linhas das matrizes transformadas Ai−1
permite escrever: RAl  Ar  TrAr−1, com A0  A.
Temos então: RAl  TrTr−1. . .T1A ou, colocando B  TrTr−1. . .T1 :
RAl  BA
Esta expressão evidencia a natureza linear das transformações efetuadas.
Note que se m  n  r, RAl  Im, de maneira que a matriz B é tal que BA  Im, isto é, B
será a matriz inversa de A ( B  A−1, vide seção 3.7 adiante).
Resolução dos sistemas lineares por escalonamento
A forma normal de uma matriz A associada à um sistema linear (RAl  é usada para obter
as soluções do sistema (quando existem).
No caso do sistema S ou seu equivalente homogêneo S′, se m  n, o escalonamento
da matriz M  A,c leva à forma normal equivalente RMl  RAl ,b , onde b é um vetor de
constantes.
Naturalmente, o sistema My  0 é equivalente ao sistema normal RMl y  0. Assim, as
soluções x do sistema S : Ax  c serão dadas resolvendo-se RAl x  b.
Os sistemas lineares podem ter nenhuma, uma única ou múltiplas soluções.
Os exemplos seguintes ilustram o processo do escalonamento e da resolução dos
sistemas. No primeiro dos casos, ao lado das matrizes transformadasMi figuram, na forma
matricial, os operadores de transformação (Ti) utilizados , em cada etapa i.
Exemplo 1( solução única): Considere o sistema:
2x − y  3z  4
3x  2y  z  6
5x  y − 2z  3
. A matriz aumentada do sistema é: M 
2 −1 3 4
3 2 1 6
5 1 −2 3
. O
escalonamento envolve 3 etapas:
1a etapa: Operações com a 1a linha: T1 
1/2 0 0
−3/2 1 0
−5/2 0 1
1
2 L1 →
L2 − 32 L1 →
L3 − 52 L1 →
1 −1/2 3/2 4/2
0 7/2 −7/2 0
0 7/2 −19/2 −7
 M1
2a etapa: Operações com a 2a linha:
L1  17 L2 →
2
7 L2 →
L3 − L2 →
1 0 1 2
0 1 −1 0
0 0 −6 −7
 M2;T2 
1 1/7 0
0 2/7 0
0 −1 1
3a etapa: Operações com a 3a linha:
L1  16 L3 →
L2 − 16 L3 →
− 16 L3 →
1 0 0 5/6
0 1 0 7/6
0 0 1 7/6
 RMl ;T3 
1 0 1/6
0 1 −1/6
0 0 −1/6
Temos RAl  I3 e a solução será o ponto: xc   56 , 76 , 76 .
Exemplo 2 (solução única) : Escalonando as linhas da matriz aumentada associada ao
sistema:
x1 − 2x2 − x3 − x4  3
x1  3x2  2x3  x4  −2
2x1 − x2  x3  2x4  1
3x1  2x3 − 3x4  −1
obtemos, sucessivamente:
L1 →
L2 − L1 →
L3 − 2L1 →
L4 − 3L1 →
1 −2 −1 −1 3
0 5 3 2 −5
0 3 3 4 −5
0 6 5 0 −10
 M1
L1  25 L2 →
1
5 L2 →
L3 − 35 L2 →
L4 − 65 L2 →
1 0 1/5 −1/5 1
0 1 3/5 2/5 −1
0 0 6/5 14/5 −2
0 0 7/5 −12/5 −4
 M2
L1 − 16 L3 →
L2 − 36 L3 →
5
6 L3 →
L4 − 76 L3 →
1 0 0 −2/3 4/3
0 1 0 −1 0
0 0 1 7/3 −5/3
0 0 0 −17/3 −5/3
 M3
L1 − 217 L4 →
L2 − 317 L4 →
L3  717 L4 →
− 317 L4 →
1 0 0 0 78/51
0 1 0 0 5/17
0 0 1 0 −120/51
0 0 0 1 5/17
 RMl
A solução única é dada pelo ponto: xc   7851 , 1551 , −12051 , 1551 .
Exemplo 3 (nenhuma solução) : Considere o sistema:
2x − y  3z  4
x  2y − z  1
3x − 4y  7z  5
. A matriz
associada é M 
2 −1 3 4
1 2 −1 1
3 −4 7 5
.
Operações com a 1a linha:
1
2 L1 →
L2 − 12 L1 →
L3 − 32 L1 →
1 −1/2 3/2 2
0 5/2 −5/2 −1
0 −5/2 5/2 −1
 M1
Operações com a 2a linha:
L1  15 L2 →
2
5 L2 →
L3  L2 →
1 0 1 9/5
0 1 −1 −2/5
0 0 0 −2
 M2
Operações com a 3a linha:
L1  910 L3 →
L2 − 15 L3 →
− 12 L3 →
1 0 1 0
0 1 −1 0
0 0 0 1
 RMl .
Resolvendo RAl x  b vem: x1  x3  0 ; x2 − x3  0 ; 0x1  0x2  0x3  1, o que é
impossível. Neste caso, conclui-se que o vetor c  4,1,5′ não pertence ao espaço gerado
pelas colunas da matriz A (formada pelas três primeiras colunas de M associada ao
sistema.
Exemplo 4 (múltiplas soluções):
Considere o sistema formado por 4 equações em 4 incógnitas: x1 − 2x2 − x3 − x4  3;
x1  3x2  2x3  x4  −2 ; 2x1  x2  x3  1; 3x1  4x2  3x3  3x4  −1.
A matriz aumentada do sistema é M 
1 −2 −1 −1 3
1 3 2 1 −2
2 1 1 0 1
3 4 3 3 −1
A sequência de matrizes equivalentes é:
L1 →
L2 − L1 →
L3 − 2L1 →
L4 − 3L1 →
1 −2 −1 −1 3
0 5 3 2 −5
0 5 3 2 −5
0 10 6 6 −10
 M1
L1  25 L2 →
1
5 L2 →
L4 − L2 →
L3 − L2 →
1 0 1/5 −1/5 1
0 1 3/5 2/5 −1
0 0 0 2 0
0 0 0 0 0
 M2
L1 − 110 L3 →
L2 − 15 L3 →
1
2 L3 →
L4 →
1 0 1/5 0 1
0 1 3/5 0 −1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
 M3  RMl
Temos então a resolver em xc , RAl xc  1,−1,0,0′ ou:
x1  15 x3  1
x2  35 x3  −1
1x4  0
, o que leva à uma infinidade de soluções, visto termos 2 equações
e 3 incógnitas x1,x2, , x3 x4  0. Por exemplo, colocando x3  5t obtemos x1  1 − t
e x2  −1 − 3t, de maneira que as soluções xt podem ser expressas, na forma vetorial,
como:
xt  1,−1,0,0  t−1,−3,5,0.
Conjuntos solução
Para o sistema linear Ax  c definimos o conjunto solução, na forma vetorial, por:
S  xc ∈ Vn : Axc  c.
S é um subconjunto do Vn.
Nos exemplos 1 e 2, S se reduz à um ponto-vetor; no exemplo 3, o conjunto solução é
vazio ( S  ∅ ).
Note que se c  0, então S contém a origem (solução trivial x  0). Neste caso, S é um
subvetorial.
Exercício 3.2: Mostre que o conjunto-solução do sistema homogêneo Ax  0 é um
subespaço vetorial.
Definição 3: O espaço solução do sistema Ax 0 é chamado espaço nulo da matriz A, e
será notado NA.
3.3 Espaços linha, coluna, posto de uma matriz
Seja A  aijm,n uma matriz de dimensão m,n, com elementos em F  .
Transformações lineares de linhas e colunas
Uma aplicação  : VnF → VmF : x → x  Ax é dita transformação linear das
colunas de A.
A aplicação  verifica:
i x,y ∈ VnF → x  y  x  y.
ii x ∈ VnF, k ∈ F → kx  kx.
Ao escrevermos a matriz A  a1,a2, . . . ,an onde aj será a jésima coluna de A, vemos
que um vetor v  Ax  x1a1  x2a2 . . . xnan é uma combinação linear das colunas de A.
Análogamente, podemos definir a transformação linear das linhas da matriz A pela
aplicação:  : VmF → VnF : y → y  y ′A.
Naturalmente, como a transformação  também tansforma linearmente as colunas de
uma matriz B  A ′, ela goza das mesmas propriedades i, ii, embora  e  estejam
definidas sobre espaços vetoriais distintos.
Definimos o espaço coluna de A notado Acl como o subespaço do VmF tal que
v ∈ Acl  v  Ax para um vetor coordenada x do VnF na base natural.
Análogamente, o espaço linha de A Al  é o subespaço do VnF tal que
v ∈ Acl  v  A ′x para um vetor coordenada x do VmF na base natural.
O espaço nulo da matriz A NA é o subespaço VnF tal que x ∈ NA  Ax  0. Isto
significa que os vetores do espaço nulo de A são ortogonais aos vetores-linha de A.
Espaços linha e posto
Se RAl designa a matriz reduzida escalonada por linha da matriz A, temos o seguinte
resultado:
Proposição 3.2 (base do espaço-linha)
Os vetores linha não nulos de RAl são LI e formam uma base de Al .
Prova: Se RAl tem r vetores não nulos, então ela tem o seguinte formato:
RA  Ir, Br,n−r
0
m−r
r
. Então, o iésimo vetor linha será: Ei,bi, onde
Ei  0,0, . . . , 1, 0, . . . , 0 com 1 na iésima coluna e bi  bir1. . .bin. Para i ∈ , não todos
nulos, 0  ∑ i1r iEi,bi  ∑ i1r iEi,ibi  1  2 . . . r  0. Como as matrizes
RAl e A são equivalentes RAl ~A seus espaços-linha são idênticos. Logo as linhas de RAl
geram os vetores de Al e constituem, portanto, uma base de Al .
Assim, uma base de Al é obtida escalonando-se a matriz A por linha .Os vetores linha
de RAl são então os vetores desta base. Por exemplo, uma base do espaço linha gerado pela
matriz associada ao sistema linear do exemplo 3 anterior são 1,0,1 e 0,1,−1.
A dimensão do espaço linha de A é dada pelo número de linhas não nulas da matriz
reduzida escalonada por linha, RAl .
Definição 4: O posto da matriz A, notado pA é a dimensão do seu espaço linha:
pA  dimAl
Mais adiante veremos que dimAcl  dimAl , de maneira que pA  pA ′.
Proposição 3.3 (posto de matrizes equivalentes)
Matrizes equivalentes têm o mesmo espaço linha; portanto, o mesmo posto.
(A prova é deixada como exercício para o leitor).
Como consequência da proposição 3.3, podemos escrever: pA  número de
vetores-linha não nulos de RAl .
Em particular, se An,n e pA  n, então RAl  In, a matriz identidade de ordem n.
Exemplo 5: Nos exemplos 1 e 2 anteriores obtivemos RAl  I3 e RAl  I4, de maneira
que pA  3 e pA  4, respectivamente. No exemplo 3, RAl 
1 0 1
0 1 −1
0 0 0
→
dimAl  2  pA. No exemplo 4, RAl 
1 0 1/5 0
0 1 3/5 0
0 0 0 1
0 0 0 0
→ dimAl  3  pA.
Espaço coluna e espaço nulo
Análogamente, uma base de Acl é obtida escalonando-se as colunas da matriz A. As
colunas da matriz reduzida escalonada por coluna RAcl são uma base natural para Acl.
Note todavia que o escalonamento de A por coluna é equivalente ao escalonamento de
A ′ por linha. Logo,
Acl  A′l .
Vemos que o espaço coluna de A é idêntico ao espaço linha de A ′. Assim, os vetores
linha de RA′
l formam uma base natural para Acl.
Temos a identidade : RAcl  RA′l  ′.
Por exemplo, a base natural do espaço coluna gerado pela matriz associada ao sistema
linear do exemplo 3 anterior é: 1,0,2′ e 0,1,−1′.
Aqui também, dimAcl  número de linhas não nulas em RA′l  pA ′.
A base natural do espaço nulo da matriz A será idêntica, por definição, à base natural
do espaço solução S do sistema homogêneo Ax  0.
Como esta última base é obtida resolvendo-se o sistema equivalente RAl x  0, segue-se
que os vetores solução deste sistema constituem a base natural de NA.
Por exemplo, a matriz RAl relativa à matriz associada ao sistema linear do exemplo 3
anterior é formada pelos vetores linha 1,0,1 , 0,1,−1, e 0,0,0. Resolvendo-se
RAl x  0 obtemos x1  x3  0 e x2 − x3  0. A base natural do espaço nulo de A é formada
pelo único vetor: −1,1,1.
3.4 Sistemas homogêneos
Vimos na seção 3.2 que o conjunto solução de um sistema homogêneo de m equações
em n incógnitas Ax  0 m ≤ n, é um subespaço vetorial do Vn.
Lembremos que o espaço solução S de um sistema linear homogêneo com matriz
associada A é igual ao espaço nulo da matriz A S  NA.
O teorema seguinte estabelece uma equação para a dimensão do espaço-solução dos
sistemas homogêneos.
Teorema 3.1 (dimensão do espaço-solução)
Se no sistema homogêneo com m equações e n incógnitas Ax  0 tivermos pA  r,
então seu espaço-solução S tem dimensão n − r.
Prova: Como o posto de A é r ≤ m, então a matriz RA tem o seguinte formato:
RA  Ir, − Br,n−r
0
m−r
r
.
Logo, a solução x̂ é dada por RAx̂  x̂r − Bx̂n−r  0 ou x̂r  Bx̂n−r, o que mostra
que as r primeiras coordenadas são expressas como combinações lineares das n − r outras
coordenadas. Para cada vetor arbitrário x̂n−r obtemos uma solução x̂r. Podemos tomar
n − r os vetores da base natural do Vn−r, E1,E2, . . . ,En−r e, em cada caso, obteremos
x̂r  BEi  bi, i  1,2, . . . ,n − r, onde os bi são as colunas correspondentes da matriz B.
Assim, teremos n − r vetores solução independentes, do tipo si  Eibi . Como s1, s2, . . . , sn−r
é um sistema gerador, é uma base de S, e dimS  n − r. 
Definição 5 : A dimensão do espaço nulo da matriz A é chamado nulidade de A:
pNA  nulidade de A.
O teorema 3.1, de grande importância, mostra que para um sistema homogêneo com n
incógnitas vale a equação:
pA  nulidade de A  n.
Note que se pA  n, então dimS  n − n  0; neste caso, x  0 é a única solução do
sistema homogêneo.
Exercício 3.3 : Considere o sistema homogêneo:
x1  2x2 − x3  x4 − 2x5  0
2x1  5x2 − 3x3 − x4  x5  0.
Determine as bases do espaço-linha da matriz A associada ao sistema e do
espaço-solução.
Solução: O escalonamento da matriz A leva à forma reduzida
RAl  1 0 1 7 −12
0 1 −1 −3 5 Logo, uma base de A
l é dada pelas duas linhas desta
matriz. Temos: dimAl  pA  2 e, pelo teorema anterior, dimS  5 − 2  3. Uma base
de S  NA é obtida buscando-se 3 soluções independentes para RAx  0.
Colocando x3  1 e x4  x5  0 → xo  −1,1,1,0,0.
Colocando x4  1 e x3  x5  0 → yo  −7,3,0,1,0.
Colocando x5  1 e x3  x4  0 → zo  12,−5,0,0,1.
Estes três vetores formam uma base de S. Logo, o espaço nulo da matriz associada ao
sistema acima tem dimensão 3.
Todo vetor v deste vetorial tem a seguinte representação:
v  c1−1,1,1,0,0 c2−7,3,0,1,0  c312,−5,0,0,1.
De maneira extensiva, este conjunto escreve-se: NA  v ∈ V5 : v 
12c3 − c1 − 7c2;c1  3c2 − 5c3;c1;c2;c3;c1,c2,c3 ∈ F.
3.5 Espaços gerados por matrizes e dimensões
Na seção 3.3 vimos que as transformações lineares  e  das colunas e das linhas de
uma dada matriz A engendram novos espaços: os espaços linha (Al  e coluna (Acl.
Exercício 3.4: Mostre que Al e Acl são espaços vetoriais.
Se A é de dimensão m,n, Al é um subespaço do VnF e será um subespaço próprio
(i.e. Al incluído mais não igual à Vn sempre que sua dimensão for menor que n (note que
dimAl  m ). Quando este for o caso, existem vetores do Vn que não pertencem à Al . O
exercício seguinte ilustra esta idéia.
Exercício3.5 : (a) Determine quais dos 3 vetores x1  2,1,4; x2  7,3,−2 e
x3  7,3,5 pertence ao vetorial T gerado por: 4,3,−1 e 3,−2,12;
(b) Se S é o vetorial gerado por x1, x2 e x3 determine uma base para S ∩ T .
Solução: (a) Vamos obter a matriz escalonada por linha de A  4 3 −1
3 −2 12 ;
1
4 L1 →
L2 − 34 L1 →
1 3/4 −1/4
0 −17/4 51/4 ;
L1  317 L2 →
− 417 L2 →
1 0 2
0 1 −3 .
Logo, uma base de T é 1,0,2 e 0,1,−3. Os vetores deste vetorial serão do tipo
v  11,0,2  20,1,−3  1,2, 21 − 32.
x1,x2 ∉ Al mas que x3 ∈ Al . Com efeito, para 1  7; 2  3, vem:
21 − 32  14 − 9  5; Note que se poderia chegar à este resultado usando-se os vetores
de T , sem prévia obtenção da forma normal dando que, sendo LI, constituem uma base
deste subvetorial (efetuamos o escalonamento prévio por comodidade apenas);
(b) É fácil então verificar que os vetores 1,0,2 e 0,1,−3 formam uma base S ∩ T .
Com efeito, sendo os vetores x1,x2 e LI, S tem dimensão 3 e base E1, E2 e E3. Igualando
cE1  c2E2  c3E3  c41,0,2  c50,1,−3 obtemos:
c1 − c4, c2 − c5, c3 − 2c4  3c5  0,0,0, o que leva à c1  c4 ; c2  c5 e
c3  2c1  3c2. Logo, a forma geral dos vetores pertencentes à interseção são os vetores da
base do próprio T (o qual tem dimensão 2):
c1E1  c2E2  2c1  3c2E3  c11,0,2  c20,1,−3. Óbviamente, dimS ∩ T  2.
O teorema seguinte permite demonstrar que, embora incluídos em espaços diferentes, os
vetoriais Al e Acl tem a mesma dimensão.
Teorema 3.2 (decomposição pelo espaço coluna)
Para qualquer matriz Am,n temos a identidade:
dimAcl  dimNA  n.
Prova: Seja dimNA  s. Por um resultado anterior, podemos encontrar uma base de
VnF : x1,x2, . . . ,xs,xs1, . . . ,xn, tal que os s primeiros vetores x1,x2, . . . ,xs fornecem
uma base de NA.
Temos então: x ∈ VnF → x  ∑ i cixi. Tome v ∈ Acl  v  Ax  ∑ i ciAxi.
Todavia, Axi  0 para todo i  1,2, . . . , s de modo que os vetores de Acl são gerados apenas
pelos n − s vetores Axs1, . . . ,Axn : v  ∑ j1n−s csjAxsj. Resta então provar que estes
vetores são LI. Seja 1,2, . . . ,n−s ∈ F e 1Axs1,2Axs2, . . . ,n−sAxn  0. Então
A1xs1 . . .n−sxn  0 e, neste caso, 1xs1 . . .n−sxn ∈ NA. Logo, este vetor pode
ser gerado por uma base de NA, de maneira que 1xs1 . . .n−sxn  −b1x1 −. . .−bsxs.
Todavia esta igualdade implica 1  2 . . . n−s  b1 . . . bs  0 dado que
x1,x2, . . . ,xs,xs1, . . . ,xn é uma base de Vn. Logo, os vetores Axs1, . . . ,Axn são LI e portanto
constituem uma base de Acl. Assim, dimAcl  n − s. 
Duas consequências advém imediatamente deste teorema:
1. dimAcl  dimAl .
Com efeito, pelo teorema 3.1 temos a equação dimAl  nulidade de A  n. Como
s  nulidade de A, obtemos o resultado.
2. Se m  n, (A é quadrada) então os vetores-coluna de A são LI sse os vetores-linha
são LI.
Propriedades do posto:
Sejam A e B duas matrizes de dimensão m,n e n,p respectivamente. Temos as
seguintes propriedades do posto:
(i) pAB ≤ minpA,pB
(ii) Se A e B forem de ordem n e A for regular, então pAB  pBA  pB
Prova: Seja C  AB. Se escrevermos A na forma linha A 
a1′
. . . .
am′
e B na forma
coluna B  b1, . . . ,bp é fácil ver que as linhas de C são combinações lineares das linhas
de B. Logo, Cl ⊂ Bl o que implica pC ≤ pB. Por outro lado, as colunas de C são
combinações lineares das colunas de A. Então, Ccl ⊂ Acl e na sequência, pC ≤ pA.
Logo, pC ≤ minpA,pB. A propriedade ii é um corolário de i : Temos:
B  A−1C → pB  pA−1C  minpA−1,pC  pC  pA  n pois A e A−1 tem
o mesmo posto. Logo, por i vem: pC  pB.
Cabe observar que se A e B forem matrizes de mesma dimensão com postos pA, pB,
nada sabemos sobre o posto de A  B.
3.6 Sistemas não homogêneos
Já apresentamos o conjunto solução de um sistema linear não homogêneo
Ax  c c ≠ 0 , com m equações e n incógnitas, e vimos que se A  a1,a2, . . . ,an
então o sistema pode ser escrito como: x1a1  x2a2 . . . xnan  c. Logo, o sistema tem
solução x1,x2, . . . ,xn sse o vetor de constantes c pertencer ao espaço-coluna de A. Temos o
seguinte teorema:
Teorema 3.3 (soluções dos sistemas não homogêneos)
O sistema Ax  c tem solução sse pM  pA, onde M  A,c é a matriz aumentada.
O sistema não homogêneo Ax  c c ≠ 0 pode também ser escrito como um
sistema homogêneo My  0, onde M  A,c e y  x−1 . Se x̂ for uma solução do
sistema não homogêneo, então ŷ  x̂−1 é uma solução do sistema homogêneo.
As seguintes situações são possíveis:
1. pM  pA : a matriz M possui pA  1 colunas LI de maneira que o vetor solução
c não pode ser gerado pelas pA colunas livres de A. O sistema é dito incompatível;
2. pM  pA  n : neste caso o sistema é compatível e possui uma solução única x .
O conjunto solução consiste em um ponto-vetor do Vn : S  x;
3. Se pM  pA  n : o sistema é compatível e possui uma infinidade de soluções.
Coloquemos n − pA  s. Aqui, s equações do sistema são redundantes. Dize-se que
existe infinidade simples, dupla, tripla,... de soluções (às vezes nota-se 1,2,3, . . . )
segundo que s  1,2,3, . . . ,n − 1.
Representação geral das soluções
Note que todo vetor x pertencente ao conjunto solução pode ser escrito comox  xc  x0, onde x0 ∈ NA (portanto, x0 resolve o sistema homogêneo) e xc representa uma
solução particular: Axc  c.
Com efeito, se houver soluções múltiplas, e.g. xc e x , teremos
0  c − c  Ax − Axc  Ax − xc. Colocando x0  x − xc ∈ NA, podemos obter a
representação desejada: x  x0  xc.
Vimos anteriormente que NA é um subvetorial de dimensão s  n − pA no Vn.
Dada a solução particular xc, o conjunto de soluções S  xc  xo : xo ∈ NA é
chamado uma variedade linear de xc, módulo NA e é notado: xc  NA.
Note que S não é um espaço vetorial. Se a solução for única, teremos x0  0 e então S
se reduz à xc.
Exemplo 6. No exemplo 5 vimos que o espaço gerado pelos vetores-linha da matriz
associada ao sistema do exemplo 4 tem dimensão 3. Pelo teorema 3.1 a nulidade de A é
então igual à 1. Para se obter uma base de NA determina-se as soluções (x0) do sistema
homogêneo, resolvendo: RAx0  0, i.e., x1  15 x3  0; x2  35 x3  0 e x4  0 e
0x1  0x2  0x3  0x4  0. Colocando x3  5t como antes, as soluções homogêneas serão
dadas pelos vetores x0t  t−1,−3,5,0, para qualquer t ∈ F. Como as soluções gerais
são do tipo xt  1,−1,0,0  t−1,−3,5,0, temos a solução particular xc  1,−1,0,0.
Exemplo 7 . Vamos caracterizar o espaço solução do sistema
x1  x2  x3  x4  1;2x1 − x2  x3 − x4  2. Escalonando por linha a matriz aumentada
M  1 1 1 1 1
2 −1 1 −1 2 obtemos a forma normal: RM
l  1 0 2/3 0 1
0 1 1/3 1 0
. O
sistema RAl x  b é aqui: x1  2/3x3  1 e x2  1/3x3  x4  0. Colocando x3  c1 e
x4  c2, podemos escrever as soluções comox  1 − 2/3c1,−1/3c1 − c2,c1,c2  1,0,0,0  c1−2/3, −1/3, 1, 0  c20, −1,0,1.
O conjunto solução é a variedade linear S  1,0,0,0  NA. Os vetores −2/3, −1/3, 1, 0
e 0, −1,0,1 formam um base de NA. A representação de S não é única.
Teorema 3.4 (posto, unicidade das soluções e nulidade)
Se A for de ordem n, as três afirmações são equivalentes:
(a) pA  n;
(b) Ax  c tem solução única;
(c) Ax  0 só tem solução trivial.
Prova:
a → b : Como A é quadrada pA  pA,c  n. Pelo teorema anterior, ∃xc :
Axc  c. A solução xc é única.
Suponha que xc′ também seja solução. Então Axc − xc′   0. Mas pA  n implica
(pelo teorema 3.2) dimNA  0. Logo xc − xc′  0;
b → c : Suponha xc a solução particular e que existe x0 ≠ 0 : Ax0  0. Então
x0  xc é também uma solução. Como xc é único, isto leva à uma contradição. Logo,
x0  0;
c → a : Se dimNA  0, pelo teorema 3.1 temos dimAl  pA  n. 
3.7 Matrizes regularese inversão matricial
Seja A uma matriz de ordem n com coeficientes aij reais.
Definição 6: A é dita regular (ou, não singular) se pA  n.
Matrizes regulares têm posto pleno, isto é, todas as suas linhas (colunas) são LI. Se
pA  n a matriz é dita singular.
Definição 7: A matriz notada A−1 é dita matriz inversa de A se A−1A  AA−1  In.
Teorema 3.5 (inversão e não singularidade)
A matriz A tem inversa sse A for regular.
Prova:
i Suponha que A−1 exista. Então A−1A  I e pA−1A  pI  n ≤ minpA−1;pA.
Logo, pA  pA−1  n e A é regular;
ii Suponha A regular. Então, os n sistemas não homogêneos Abi  Ei tem solução
única em bi, i  1,2, . . . ,n, pelo teorema 3.4(b). Logo, se B  b1,b2, . . . ,bn temos
AB  I , o que implica B  A−1. 
Propriedades da inversão:
A demonstração do teorema 3.5 evidencia duas propriedades da inversão:
i A−1 é única. (Com efeito, se B é também inversa de A então B  BI  BAA−1 
BAA−1  IA−1  A−1).
ii A−1 é regular;
Outras propriedades adicionais são:
iii A−1 ′  A ′−1.
Com efeito, AA−1 ′  I′  I → A−1′A ′  I → A−1 ′  A ′−1.
iv Se A e B forem matrizes regulares, AB−1  B−1A−1.
Com efeito, AB−1AB  I  B−1A−1AB, de modo que B−1A−1 também é inversa de
AB. Pela propriedade i temos então AB−1  B−1A−1 .
v A−1m  Am−1.
vi A−1  1 A−1;  ≠ 0.
Métodos de inversão
Dentre os vários algoritmos existentes para se obter a inversa de uma matriz regular A
(escalonamento, Cramér, pivô, etc.) consideraremos dois dos mais importantes: o primeiro,
baseado no escalonamento da matriz aumentada A, I será apresentado na sequência; o
segundo, baseado na regra de Cramér, será apresentado no próximo capítulo.
1. Matriz companheira . Seja A uma matriz regular de ordem n. A segunda parte da
demonstração do teorema 3.5 mostrou que, sendo Ei e ai a iesima coluna das matrizes In e
A−1 respectivamente, as matrizes A,Ei e In,ai são equivalentes. Como esta relação é
válida para i  1,2, . . .n, podemos afirmar que as matrizes aumentadas A, In e In,A−1
também são equivalentes.
Assim, um primeiro algoritmo de inversão (chamado método da matriz companheira)
consiste no escalonamento da matriz A, I. Ao término de n etapas obteremos I, A−1.
Este método explicita o fato de que matrizes singulares não são inversíveis.
Com efeito, na seção 3.2 evidenciamos, no caso m  n, que se a matriz A possui apenas
r linhas LI, então n − r linhas da sua forma normal RAl serão nulas, de maneira que as
expressões Im ≠ RAl  BA mostram que B  Tr.Tr−1. . .T1 não é a matriz inversa de A.
Naturalmente, temos B  A−1 sse r  m  n.
O exemplo seguinte explicita a inversão pelo método da matriz companheira.
Claramente, o procedimento adotado com o escalonamento da matriz aumentada A, I a
ser visto na sequência é idêntico ao do escalonamento de A com a retenção, em cada etapa,
da matriz da transformação T correspondente. Ao final da nésima etapa se obtém a matriz
inversa A−1 calculando o produto das matrizes T : A−1  TnTn−1Tn−2. . .T1.
Exemplo 8: Vamos inverter A 
1 2 1
1 3 3
1 3 4
pelo método da matriz companheira:
Seja A, I 
1 2 1 1 0 0
1 3 3 0 1 0
1 3 4 0 0 1
;
Escalonando por linhas:
L1 →
L2 − L1 →
L3 − L1 →
1 2 1 1 0 0
0 1 2 −1 1 0
0 1 3 −1 0 1
;
L1 − 2L2 →
L2 →
L3 − L2 →
1 0 −3 3 −2 0
0 1 2 −1 1 0
0 0 1 0 −1 1
;
L1  3L3 →
L2 − 2L3 →
L3 →
1 0 0 3 −5 3
0 1 0 −1 3 −2
0 0 1 0 −1 1
.
Temos então A−1 
3 −5 3
−1 3 −2
0 −1 1
. Por multiplicação direta, podemos checar as
relações AA−1  A−1A  I.
O outro método de inversão, baseado na regra de Cramér, será apresentado na seção
4.2. Sua implementação requer o cálculo de determinantes, os quais farão objeto do
próximo capítulo.
Exercício 3.6 Usando as matrizes das transformações T : a calcule o inverso das
matrizes associadas aos sistemas nos exemplos 1, 2 da seção 2.3. b em cada caso, confira
a solução ( xc) obtida com o recurso da matriz inversa: xc  A−1b.
♣♣♣
Exercícios propostos
Seção 3.1: Matrizes e álgebra das matrizes
1. Sejam as matrizes A 
1 −2 5
3 1 0
2 2 3
; B 
2 1
−1 4
6 2
; C  4 −1
2 3
; a
Quais dos produtos AB,AC,CA,BA,BC, CB,CB ′,AA,BB estão definidos ?; b Calcule os
produtos AB e CB ′;
2. Se x  3,1,2,4′ e y  −1,2,−1,6′, calcule os produtos x ′y e xy ′. Este último
produto é simétrico ?
3. Dadas as matrizes A,B e C do problema 1, calcule as matrizes: a C2 − B ′B; b
A  BB ′.
4. (a) Mostre que a matriz A 
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
é idempotente;
(b) Ache duas outras matriz B e C (de ordem 3) tais que AB e AC também sejam
idempotentes.
5. Uma matriz A  aij de ordem n é tal que aij  1 se j  i  1 e aij  0 se j ≠ i  1 (
i, j  1,2, . . . ,n ). a Dê o formato desta matriz; b Calcule Ar (sendo r  n).
6. Seja a matriz particionada A  B C
0 I
, onde B,C, 0 e I são submatrizes. Dê a
expressão de An ( n inteiro positivo).
7. Se A e B são duas matrizes de ordem n, quais das identidades abaixo são sempre
verdadeiras: a A  B2  A2  2AB  B2; b A  A22  A2  2A3  A4; c
A  B2  A2  AB BA  B2 .
8. SeM2 é o vetorial de todas as matrizes de ordem 2 com elementos em F, mostre que
dimM2  4 explicitando 4 matrizes que formam uma base deM2.
9. SeMmn é o vetorial das matrizes de dimensão mn sobre um corpo F mostre que
dimMmn  mn e ache uma base deMmn.
10. SejaMmno é o espaço das matrizes de dimensão mn sobre um corpo F tais que∑ j1n mjj  0. Prove queMmno é um vetorial sobre F e que dimMmn  mn − 1.
Seção 3.2: Sistemas de equações lineares
1. Indique quais das seguintes matrizes são reduzidas escalonadas por linha: a
1 −3
0 1
; b
1 2 0
0 0 1
0 0 0
; c
0 0 0
0 1 0
0 0 1
; d
0 1 5 0 0 6
0 0 0 1 0 4
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0
;
e
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 9 0
0 0 0 1
.
2. Para cada uma das matrizes do exercício 1 que não estejam na forma adequada,
aplique as transformações elementares necessárias.
3. Uma matriz reduzida escalonada deve satisfazer as condições i − iv enunciadas na
sua definição (vide texto). Escreva 4 matrizes de dimensão 3,4 de maneira que cada uma
delas viole uma condição distinta e satisfaça as 3 outras.
4. Obtenha as formas reduzidas escalonadas associadas às matrizes A e B do exercício
3.1.1; a por linha ( R∗l  ; b por coluna R∗cl.
5. Com base nas formas reduzidas obtidas no exercício anterior escreva, na forma
extensiva, os conjuntos solução dos sistemas: a Ax  0 ; b Bx  0 e B ′y  1,2′;
6. Para cada um dos sistemas lineares abaixo, descreva na forma extensiva, o conjunto
solução S, indicando se é (ou não) um espaço vetorial. Em caso afirmativo, dê a dimensão
deste espaço.
1 x  y − z  6
2x  4y − 2z  10 ; 2
x  y − 2z  t  0
2x  2y − 5z  3t  0 ;
3 x  2y  6
3x  7y  14 ; 4
x − 3y  2
−2x  6y  12 ;
5 0x  7; 6 0x  0.
7. Mesmas questões que do exercício anterior para os seguintes sistemas:
1
x  y  z  1
2x − 3y  7z  0
3x − 2y  8z  4
; 2
x  2y  z  0
2x  5y  4z  0
x  4y  6z  0
;
3
x  3y  z  2
2x  7y  4z  6
x  y − 4z  1
; 4
x − y  2z  4
3x  y  4z  6
x  y  z  1
;
5
x  2y − 4z  t  0
3x  2y  z  2t  0
2x  5z  t  0
4x  4y − 3z  3t  0
; 6
x  2y − z  7t  4
2x  2y  z  3t  4
x − y − z  t  1
3x  y − 2z  4t  3
.
Seção 3.3: Espaços-linha, coluna, posto de uma matriz
1. Ache as bases normais dos espaços linha, espaços coluna e espaços nulos das
seguintes matrizes:
a 3 1 5
3 −2 4 ; b
1 −3 −1
2 1 5
2 −5 −1
; c
1 2 4 −3
−1 3 2 5
5 0 8 −19
2. Determine o posto das matrizes a − c do exercício anterior.
3. Sejam as matrizes: A 
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 2 2 1
; B 
1 4 5
2 1 7
1 −10−1
. a Dê o posto
das matrizes A e B; b Determine, em cada caso, a dimensão do espaço ortogonal às linhas
de cada matriz.
4. Determine o posto das seguintes matrizes: a
1 3 1 −2
2 −1 4 1
3 2 5 −1
7 7 11 −4
; b
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 2 2 1
;
Seção 3.4: Espaços solução dos sistemas homogêneos
1. Ache uma base do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas:
a 3x − y  z  4t  0; b x  5y  0
3x − 4y  0 ;
c x  2y − z  t − 2u  0
2x  5y − 3z − t  u  0 ; d
x  y  z  4t − u  0
2x  y  z − t  2u  0
x − 2y − 3z  2t  u  0
e 3x − y  2z  0
5x − y  3z  0 .
2. Dê a dimensão do espaço solução obtido nos casos a − f do exercício anterior. Em
cada caso, dê a dimensão do espaço linha e a dimensão do espaço coluna gerados pela
matriz associada ao sistema.
3. Prove que um sistema homogêneo Ax  0 tem um vetor solução não nulo sse os
vetores da matriz A forem LD.
4. Mostre que se A é uma matriz qualquer de ordem n então; a RAl é idempotente; b
pRAl   TrRAl .
Seção 3.5: Espaços gerados por matrizes e dimensões
1. Ache uma base para cada um dos espaços gerados pelas matrizes: A 
2 3 5
−1 5 3
3 −2 1
; B  1 2
1 2
; C 
1 −1 2 2
3 5 2 −4
5 3 6 0
;
2. Determine se o vetor 5,−1,6 está no espaço gerado pelas linhas da matriz
1 2 4
2 −1 2 ;
3.Idem que na questão anterior para o vetor 9,−8,3 e a matriz 2 1 4
1 3 5
;
4. Sejam S e T os espaços gerados pelas linhas das matrizes
1 5 2 −2
−3 7 4 −10
3 4 1 2
e
−2 1 1 −4
2 0 5 −1 ; a Determine uma base de S e outra de T ;
b Dê a dimensões de S e de T e explicite uma base para S ∩T;
c Dê dimS T.
5. Mesmas questões que as do exercício anterior se S é o vetorial gerado pelas linhas de
2 1 0
−1 0 1 e T é o vetorial gerado por
−3 1 0
−3/2 0 1 ;
6. Imponha as condições necessárias e suficientes sobre os escalares a,b,c e d de
maneira a que o vetor a,b,c,d pertença ao vetorial gerado pelos vetores 1,2,3,−4 ;
2,1,5,−1.
7. Seja A uma matriz m,n e B uma matriz cujas linhas formam uma base do espaço
nulo de A. Prove que o espaço nulo de B é igual ao espaço linha de A. (Sugestão: Prove
primeiro que Al ⊂ NB e, em seguida, que dimAl  dimNB.
Seção 3.6: Sistemas lineares não homogêneos
1. (a) Dê a forma reduzida escalonada por linhas da matriz aumentada relativa a cada
um dos seguintes sistemas não homogênos: 1 x  y − z  6
2x  5y − 2z  10 ; 2
x  y  2
2x  3y  5 ; 3
x  y  z  1
2x − 3y  7z  0
3x − 2y  8z  4
; 4
x − y  2z  1
x  y  z  2
2x − y  z  5
; 5
x − y  2z  4
3x  y  4z  6
x  y  z  1
. (b) Em cada caso, quando existe, expresse a solução geral (x como
a soma da solução homogênea (x0 com uma solução particular (xc : x  x0  xc.
2. Descreva na forma extensiva o conjunto solução do sistema:
x  y − 2z  t  4
2x  3y  z − t  10 .
Expresse as soluções como a soma da solução homogênea e de uma solução particular.
3. Prove que se os vetores coluna de A forem LI, o sistema Ax  c tem uma única
solução.
4. Se A for uma matriz de ordem n, prove que A é não singular sse NA  0.
propriedades do posto
5. Se A e B forem matrizes de ordem n e A for não singular, prove que
pAB  postoBA  pB.
6. Se A e B forem matrizes de ordem n não singulares, mostre por meio de exemplos
que nada se sabe sobre o posto de A  B.
7. Mostre que se A  B 0
0 C
então pA  pB  pC.
8. Mostre (sem usar redução canônica) que se A é idempotente de ordem n e posto r
r ≤ n então pA  TrA;
9. Se x1,x2, . . . ,xm forem vetores LI, prove que os vetores y1,y2, . . . ,ym onde
yi  ∑ j1m aijxj são LI i  1,2, . . . ,m sse a matriz A  aij for não singular.
10. Se A for uma matriz de dimensão (m,n) e posto r e B uma matriz n,p tal que
AB  0, prove que pB  n − r. Sempre é possível encontrar uma matriz B com posto
igual à n − r tal que AB  0 ? (Nota: Se AB  0, as colunas de B estão no espaço nulo de
A.
11. Uma matriz A é chamada divisor de zéro à esquerda (à direita) se existir uma
matriz não nula B tal que AB  0 ( BA  0. Se A tiver dimensão m,n prove que: a se
m  n, A é um divisor de zero à esquerda; b se m  n, A é um divisor de zero à direita;
c se m  m, A é um divisor de zéro à esquerda e à direita sse A for singular.
Seção 3.7: Matrizes regulares e inversão
1. Pelo método da matriz companheira (Gauss) obtenha a inversa das seguintes
matrizes: a 5 3
2 1
; b 4 1
5 2
; c
1 2 4
3 1 4
5 2 7
;
2. Considere a matriz A 
1 2 1
2 5 2
1 3 3
. (a) Obtenha a inversa A−1; (b) Use a inversa
para obter a solução dos sistemas: Ax  10,14,30′ e Ay  2,−1,6′;
3. Mostre que se A for quadrada e regular, então: aA ′A é regular; b AA ′ é regular.
5. Prove que se A for quadrada e regular, então pA  pA−1.
∡♣ℷ
Respostas aos exercícios
Seção 3.1 :
1/ (a) AB, BC, CB ′, AA; (b) AB 
34 3
5 7
20 16
; CB ′  7 −8 22
7 10 18
;
2/ x ′y  21; xy ′ 
−3 6 −3 18
−1 2 −1 6
−2 4 −2 12
−4 8 −4 24
não é simétrica;
3/ (a)
−27 −17
4 −14 ; (b)
6 0 19
5 18 2
16 4 43
.
4/ (b) B  15
4 2 0
2 1 0
0 0 0
; C  117
16 0 4
0 0 0
4 0 1
;
5/ (a)
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . 0
. . . . . . . . . . . . 1
0 0 0 0 0
; (b) Ar  0.
6/ An  B
n ∑ j0n−1 BjC
0 I
;
7/ b e c;
8/
1 0
0 0
;
0 1
0 0
;
0 0
1 0
;
0 0
0 1
;
9/ ei  0,0, . . . 1, . . . 0′ vetor 1,m com iésima componente  1; fj  0,0, . . . 1, 0′ vetor
1,n com jésima componente  1. Base : mn matrizes eifj′.
10/ Expresse um vetor arbitrário deMo na base obtida no exercício anterior e, em
seguida, use a restrição.
Seção 3.2 :
1/ b e d;
2/ a T  1 3
0 1
; b T 
0 1 0
0 0 1
0 0 0
; c 
1/2 0 0 0
0 1/5 0 0
0 0 1/9 0
0 0 0 1
;
3/ i
1 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
; ii
0 3 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
; iii
1 0 0 0
0 1 0 0
0 3 1 0
; iv
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
;
4/ a A : I3; B :
1 0
0 1
0 0
; b A : I3; B :
1 0
0 1
26/9 −2/9
;
5/ a S   0 ; b Bx : S   0 ; B ′y : S    23 , 13 , 0  NB′ com
NB′   t− 269 , 29 , 1; t ∈ ;
6/ 1 7,−1,0  t1,0,1; t ∈  (variedade linear); 2
r−1,1,0,0  s1,0,1,1; r, s ∈ ; dim  2; 3 14,−4 (ponto); 4  (sem
solução}; 5  (sem solução}; 6 ; dim  1;
7/ 1  (sem solução}; 2 0; dim  0; 3 −19,8,−3 (ponto); 4
 52 ,− 32 , 0  t− 32 , 12 , 1; t ∈  (variedade linear);5 r− 52 , 134 , 1,0  s− 12 ,− 14 , 0,1; r, s ∈ ; dim  2; 6  67 ,− 37 , 1, 57  (ponto).
Seção 3.3 :
1/ a espaço-linha: 1,0, 149 ; 0,1, 13 ; espaço-coluna: 1,0′; 0,1′; espaço nulo:14,3,−9; b espaço-linha: 1,0,2; 0,1,1; espaço-coluna: 1,0, 127 ′; 0,1, 17 ′; espaço
nulo: 2,1,−1; c espaço-linha: 1,0, 85 ,− 195 ; 0,1, 65 , 25 ; espaço-coluna:1,0,3′; 0,1,−2′; espaço nulo: 8,6,−5,0; 19,−2,0,5;
2/ a −c posto  2;
3/ a pA  3; pB  2; b A : dim  1; B : dim  1;
4/ a 2; b 3.
Seção 3.4 :
1/ a  13 , 1,0,0, − 13 , 0,1,0; − 43 , 0,0,1; b 0,0; c −1,1,1,0,0; −7,3,0,1,0;12,−5,0,0,1; d 5,−34,25,1,0; −3,14,−10,0,1; e −1,1,2;
2/ a dimS  3; diml  dimcl  1; b 0; 2; c 3; 2; d 2; 3; e 1; 2;
Seção 3.5 :
1/ A : 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1; B : 1,1′; C : 1,0,2′; 0,1,1′;
2/ Não pertence;
3/ Pertence;
4/ a base S : 1,0,− 311 , 1811 ; 0,1, 511 ,− 811 ; base T : −2,1,1,−4; 2,0,5,−1; b
dimS  dimT  2; base S ∩ T : −2,1,1,−4; c dim S  T  3;
5/ a base S : 2,1,0; −1,0,1; base T : −3,1,0; − 32 , 0,1; b dimS  dimT 
2; base S ∩ T : 12,1,−10; c dim S  T  3;
6/ a  117 7c  d; b  117 2c − 7d;
Seção 3.6 :
1/ a (1) 1 0 −120
3
0 1 0 − 23
; (2)
1 0 1
0 1 1
; (3)
1 0 2 0
0 1 −1 0
0 0 0 1
; (4)
1 0 0 3
0 1 0 0
0 0 1 −1
;
1 0 32
5
2
0 1 − 12 − 32
0 0 0 0
;
b (1)  203 ,− 23 , 0  t1,0,1 (2) 1,1  t0; (3) sem solução; (4) 3,0,−1  t0; (5) 52 ,− 32 , 0  t− 32 , 12 , 1;
2/ S 2,2,0,0  r7,−5,1,0  s−4,3,0,1 : r, s ∈ ;
3/ Suponha (por absurdo) que o sistema tenha duas soluções distintas;
4/Use o teorema 3.1;
5/ Use a propriedade (i) do posto;
6/ Tome, por exemplo: A  0 0
1 0
e B  0 1
0 0
;
7/ Escreva a matriz reduzida escalonada de A como uma matriz bloco-diagonal;
8/ Use a idempotência de RAl ;
Seção 3.7
1/ a −1 3
2 −5 ; b
1
3
2 −1
−5 4 ; c
−1 −6 4
−1 −13 8
1 8 −5
;
2/ (a) 12
9 −3 −1
−4 2 0
1 −1 1
; b x : 9,−6,13; y :  152 ,−5, 92 .
3/ Use o fato que A e A ′ são inversíveis;
4/ Use o fato que RAl  I.