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Solucionário Demidovitch 2

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Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli 
Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III 
Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por 
E.WEBER.
Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.
Geometría Vectorial en R2 
Geometría Vectorial en R3
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ANALISIS MATEMATICO II
S O L U C I O N A R I O D E M I D O V I C H
T O M O I I
CO
W n
n - \
♦ I N T E G R A L I N D E F I N I D A
♦ I N T E G R A L D E F I N I D A
♦ I N T E G R A L I M P R O P I A
♦ A P L I C A C I O N E S
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S
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INDICE
C A P Í T U L O I V
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
1.1. Reglas Principales para la Integración. 1
1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8
1.3. Métodos de Sustitución. 45
1.4. Integración por Partes. 57
1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79
1.6. Integración de Funciones Racionales. 88
1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116
1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129
1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134
1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157
1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el
Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx + c )d x . 161
’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167
1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176
1.14. Integración de distintas Funciones. 180
C A P Í T U L O V
L A IN T EG R A L D E FIN ID A
2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 218
2.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 223
2.3. Integrales Impropias. 234
2.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 248
2.5. Integración por Partes. 261
2.6. Teorema del Valor Medio. 268
C A P Í T U L O V I
. 3 1 , .
[A P L IC A C IO N E S D E LA IN T EG R A L D E FIN ID A
3.1. Areas de las Figuras Planas. 276
3.2. Longitud de Arco de una Curva. 310
3.3. Volumen de Revolución. 325
3.4. Area de una Superficie de Revolución. 347
3.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 357
3.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física.
377
Integral Indefinida
1
C A P Í T U L O I V
4 . I N T E G R A L I N D E F I N I D A .
4.1. REG LA S PR IN C IPA LE S PA R A LA IN T E G R A C IO N .
0 F '(je) = / ( x) entonces j" f (x)dx = F(x) + c , c constante.
( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.
@ J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .
© Si J / ( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
Sea u una función de x.
© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c
2 Eduardo Espinoza Ramos
1031
J u 2 +a
du
y[a2 - u 2
audu = -
■ = are. sen f u ' + c = -are. eos
- + c , a > 0
+ c, ;a > 0
10) \ e ud u = e u +cJ
12) I eosu du = senu+c
J = ln(w + y¡u2+a) + c ,a ? í0
J
J ln(fl)
^s zn (u )du = -cos(m) + c (l2) j"
j t g u d u = — ln|cosw| + c = lnjsecMj + C! ^4) tg u.du = ln |sen m| + c
Jsec u.du = tgu + c J csc2 u.du = -c tg u +c
Jcscu.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c (l^ jcscu.du = Ln\cscu-clgu\ + c
Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)
j c s c 2 h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2 h(u)du = tgh(n)
Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración:
J
) + c
) + c
I5a2x2dx
Desarrollo
Integral Indefinida 3
1032
1033
1034
1035
1036
(i6x2 + 8jc + 3 )dx.
Desarrollo
(6x2 + 8* + 3 )dx = 6 J x 2dx + 8 J xdx + 3 J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x
x(x + a)(x + b)dx
Desarrollo
+ c
í<
C i ? x a + b 3 ab 2 í
x(x + a) (x + b)dx= \ ( x 3 +(a+b)x2 +abx)dx = — + - — x + y * +c
(a + bx^)2dx.
Desarrollo
=I<(a + bx3)2dx = I (a2 +2abx3 +b2x6)dx = a2x + Y x* + ^ - j - + c
J2 p x dx.
Desarrollo
\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J xU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x + c
<fx
Desarrollo
4 Eduardo Espinoza Ramos
1037
1038
1039
1040
I
\ - n
(nx) n dx.
Desarrollo
P P j p l l í i
I (nx) n d x = \ u n — = — I m " du = (nx)n + c 
í
(a2,3- x 2/3)3dx.
J ( a 2/3 — x2/3 )3dx = j (a2 —
Desarrollo
3a4/3x 2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx
2 9 4 /3 5 /3 9 2/3 7 /3 X 3= a x — a x +—a x ----- + c
5 7
J (yfx + 1) (x - \ [ x + \)dx.
Desarrollo
J" (%/3c -H1) ( x - \ f x + \)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C = —^ - J x + x + i
J (x2 + \ ) ( x2 - 2 ) j-------- -------- dx3^7
Desarrollo
J U +l)^ _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx = J (*10/3- X 4'3 - 2 x-2,3)dx
Integral Indefinida
= — X4y¡X-----x 2\fx~ 6 y jx + c
13 7
1041 i
T x
Desarrollo
.m „n \2 2« r í ü d 2m+2n~1 £2=*
(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m - xn )2 , f jc2"1 - 2jtm+n + *2n fJ— ----7i-- dx i
2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x
4m +1 2m + 2n +1 4« +1
1042 4 x f _ dx
yjax
Desarrollo
+ c
\f-
f(V a-V jc)4 d _ f fl2 -4ayfax + 6ax-4x\[ax + x 2 ^
J \[ax J 4ax
= J [a2( a x y in - 4 a + 6-Jax - 4 x + x 2 (ax)“1/2 ] dx
2x3
= 2a Ja x - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = + c
5 yfax
1043
J í ! +7
Desarrollo
6 Eduardo Espinoza Ramos
1044
1045
1046
1047
Í dxjr2 —10
Desarrollo
¡ T T o ' Í T - - 
í
dx 1
(Vio)2 2V10
ln x +Vio
C-VÍO
+ c
\¡4 + x 2
Desarrollo
Por la fórmula 7 se tiene: | = In I x + \ lx2 +4 I + c
J (x +4)
I V8-JC2
t e - /
Desarrollo
X•--------------- = ore. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.
7(272)2 -* 2 2V2
J
í
■s/2 + x 2 - J 2 - X 2 
•Ja-x*
dx
Desarrollo
yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 J C /J2 + X2 y / 2 - x 2dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2
» V^4-X4 V 4 - r4
dx
= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x + y¡2 + x 2
J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2
+ c
por fórmulas 7 y 8.
Integral Indefinida 1
1048 a) 1 tg2
J
Desarrollo
r r
J , 8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .
b) I tgh2
Desarrollo
Jtgh2 xdx = J(l-sec! Ax)iír = x-tgh+ c.
1049 a) 1 c tg" xdx.
*
Desarrollo t V v *
[c tg 2x d x - J (c sc2 x - \ ) d x C t g X - j : + C.
b) 1 c tgh xdx.
w
Desarrollo
J , ,g
1050 ¡3xexdx
Desarrollo
Í3 xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -J J ln(3e)
8 Eduardo Espinoza Ramos
4.2. IN T EG R A C IO N M ED IA N TE LA IN T R O D U C C IÓ N BA JO 
EL SIG N O DE LA DIFER EN C IA L.
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:
J* f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x)
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la 
diferencial.
, , adx 1051 ------
1054
J -J a- x
Desarrollo
sea u = a - x —> du = -d x —> dx = -du
f adx f dx f du , , cI ------ = a I ------- = -a I — = — aLn + aLn - aLn \------
J a - x J a - x J u a - .
f 2x + 3
J 2x+l1052 Idx
Desarrollo------------
[ l —^ d x f ( - — + — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| 
J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4
f xdx 
J a +bx
Desarrollo
f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .
I --------= I [------- (-------- )]dx —------ —Ln\a + bx\+c
J a + bx J b b a + bx b b
+c
11055 I — + b dxax+ ¡5
Integral Indefinida 9
1056
1057
1058
1059
Desarrollo
J ax + l3 J a a a + ¡i a a
\ ^ d x
J x - l
Desarrollo
2
f X + 1 dx = f(x + l + —1— )dx = — + x + 21n | x - l |+ c
J x - l J x - l X
f x2 + 5x + 7 ,I --------------dx
J x + 3
Desarrollo
f x +^X + '! dx= j*(x + 2 h— -—)dx = — + 2x + In | x + 3 1
J x+ 3 J x+ 3 2
J x - l
Desarrollo
[ x U x 2 + 1 dx= f(x 3 + x 2 +2x + 2 + - Í -
J x - l J x + l
+c
)dx
í
r 4 r 3
= — + — + x2 +2x + 3 1 n |x - l |+ c 
4 3
(a + -~ -)2dx
X - fl
Desarrollo
r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | -+ c
J x - a J x - a (x - f l)“ x ~ a
10 Eduardo Espinoza Ramos
1060
1061
1062
J X dx(jt + 1)2
Desarrollo
sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l
\ ~ T du= f ( ~— = ln | w | +—+ c = ln|* + l|+ —— + c 
i (JC + 1)2 J u2 J U u2 u x + l
f bdy
J Vw
Desarrollo
Sea u = 1 - y => dy = - du
J = b ~ y^ ll2(iy = ~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y ] l-y + c
JVa -bxdx.
Desarrollo
Sea u - a - bx => dx = ~ —
b
f s¡a-bxdx= fwl/2( -^ -) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — (a -b x )Ja -b x 
J J b b j 3b 3b
+c
1063 dx
Desarrollo
Integral Indefinida 11
1064
1065
1066
1067
f - ¡ J L = d x = í (x 2 + i r 1/2^ = \u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+c
J V 7 7 T J J 2
f y / x + lnx
J X
-dx
Desarrollo
C yfx+ lnx , f . 1 ln * \ , 0 r , ln x- ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c
J X J yjx X 2
Í —J 3x2 + 5
Desarrollo
í —t — = í r f X— = —J —¡= a rc tg C ^-) + c =-^= arctg(x í^ ) + c
J 3x + 5 J (J3x)2 +(J5)2 S S \¡5 %/I5 V5
f dx
J 7*2 +8
Desarrollo
dx j*______ dx______- ^ * in i V7jf —2>/2
1 x 2 - 8 J (V7x)2 -(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2
dx _ ,--------------------- - ; 0 < b < a
(a + b ) - ( a - b ) x
+c
Desarrollo
dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________
J (a + b ) - (a ~ b )x2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2 J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2
1 . yja+b + sja—bx .
~ ln ,----- ---- f = = - \+c
2yja-b.\¡a + b \la + b - y /a -b x
12 Eduardo Espinoza Ramos
1068
1069
1070
1071
1 . . yfa + b + y j a - b x .In | ------ -----— | +c
2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x
rx 2dx x 2 + 2
Desarrollo
I
x3dx
~2 F a - x
Desarrollo
f x3dx f
J
Jt2 - 5 x + 6
2 2 2 / x v f x a t o .
(* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a |) + c
x~ - a 2 2
i x 2 + 4 dx
Desarrollo
Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2
I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d xJ x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4
f dx
J yJl + Zx2
= In | *2 + 4 1 +arc.tg(—) + c 2 2
Desarrollo
2yfldxr dx f - 1 f
j yll + Sx2 j yjl + (2y¡2x)2 2\¡2 J y¡7 + (2^/2x)2
Integral Indefinida 13
1072
1073
1074
= 1 Ln 12- 2x + 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 72v2
Í
dx
yjl - 5 x 2
Desarrollo
r dx _ j*______dx _ 1 |* '¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c
J 3* - 2
Desarrollo
yftdx
1 , , . 5 . . y ¡3x-y¡2 ,
= - ln 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l+c3 2>/3.V2 \¡3x + yj2oHonr,a»q
1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x= —In - 2l- 2^ lnl ^ + V2 +c
Í
3 - 2x , dx
5x +7
Desarrollo
f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15 ^ + 71 +cJ 5jc2 + 7 SJ 5Jí! + 7 5V7 7^ 5.X _
5 5
3 a rc tg (^ x ) - ^ In 15x2 + 7 | +c
>/35
14 Eduardo Espinoza Ramos
1075
1076
1077
1078
J 3.x:+ 1 dx\lsx2 +1
Desarrollo
( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm.
Jy j5 x2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2 +1
- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \yÍ5x+y¡5x2 + 1 1 +c 
5 \ 5
I x + 3 -dxs ¡ J ^ 4
Desarrollo
i r ? ' dx + 3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+ c , por la fórmula
j \ x - 4 J y j x 2 - 4
í x2 - 5
Desarrollo
f ^ - = i f — —ln |x 2 —5 |+ c 
J a:2 - 5 2 J x — 5 2 '
J 2jc2 +3
Desarrollo
J a x + b
1079
Desarrollo
Integral Indefinida
1080
1081
1082
1083
) a 2x 2 +b2 ) a"x +b" J a2x2 +b2
1 , 9 o » ? i 1= — l n |a ' j r + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 
2a a b
f jcdx
J 4 7 ^ 7
Desarrollo
(* xdx _ 1 f 2 xdx _ J_
J Va4-*4 _2j^4_;c4 "2
2
= -^arc. sen(— ) + c 
úT
J i « 6
Desarrollo
„2 ,
f iL * L = f A </Y- = l f J £ ^ = Ia rc tg U 3) + c 
J l + x6 J l + U 3)2 3 j l + (x ) 3
j" x 2dx
J VTm
Desarrollo
f x 1 f 3a = - ln | x3 + \¡xb - l | + c , por la fórmula 7
j V*6 - l 3 J V(;t3)2 -1 3
f jares'
J vT :
arcsen* , dx
x2
J S p * = | <arcsenJ.
Desarrollo
dx
16 Eduardo Espinoza Ramos
donde u = arcsen x => du =
2
í
\¡ \ — X
- 2 - 2 u 2du = —u 2 +c = — (arcsen x)2 + c 
3 3
f arctg(~) 
1084 --------é~dx
4 + x2
Desarrollo
f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2dx arctg2(
” t C
1085
l + 4x2
Desarrollo
f Jr-7 a rc tg 2 Jr d,j = 1 f j £ * i f (arclg 2 f ) 3 - i *
J 1 + 4x2 8 J 1 + 4* 2 Jl + 4x2
3
= - ln |l + 4jt2 I -- (a rc tg 2 x )2 +c
8 3
1086
h
dx
yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2 )
Desarrollo
f ■ ^ ,____ - ¡ I M x + J u x 1 )] ----- -
J y/(l + x 2) ln (x+ Jl + x 2) J v l + x
Integral Indefinida 17
1087
1088
1089
1090
donde u = ln(x + vi-+ x2) => du
dx
\ll + x 2
+ x2 ) + c2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl 
J ae~mxdx
Desarrollo
du
Sea u = -mx => dx = -----
m
\a e -mxdx = a fe“ (-—) = - - \ e udu = - - e u 
J J m m J m
\
+ c = - - e~mx+c 
m
42~3xdx
Desarrollo
du
J 42 3^ <íjc = 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'-
16 4“ - 4 2.4~3* 42~3*
J ( e ' ~ e ~ ' )d t - j e ' d t - je~ 'd t - e ’ +e~'
3 ln(4) 31n4 31n4
- + c
)dt
Desarrollo
+ c
m *
I (ea +e a)2dx
Desarrollo
18 Eduardo Espinoza Ramos
1091
1092
1093
1094
m x x m 2 x 2 x 2 x 2 x
i (ea +e a )2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c
2 2
-x ,_^2
-dxf (ax ~ b x)2
J axbx
Desarrollo
2 (■ 2* ^„x<x..2x
\ ^ x - b± d x = dx= f(( a- y - 2 + £ Y ) d x
J axbx J a 'b x J b a
¿ Y i - ) x j fl b
- b _ + ^ — - 2 x + c = ± r - ( £ ) x + ( - ) x) - 2 x + c
ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a
b a
[ alX~ XA
J - J T *
Desarrollo
3 x x
i x X „ y 2 o y
— + ------- + c
In a In a
f a -1 f , a 1 , f . y -§ w 2 a_ _ r f * = ( - = — -j=)dx= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~
j ¿ Y J y f c 7 7 J 3 lr
Je + ^ x d x
Desarrollo
Sea u = -(a '2 +1) => du = -2x dx => xdx = ~ —
2
J e~^+l)xdx = J e \ ~ ) = — fe^du = ~ \ eU + c = _ ^ " (Jrí+1> +c
I*.7* <£t
Desarrollo
Integral Indefinida 19
Sea u — x~ => du = 2xdx => xdx = —
2
í x . lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7 “ — = - Í 7 " d « = - —J J J 2 2 J 21n('
1- + c = ----------7 + c
2 ln(7) 21n(7)
l
1095 I 7dx1
Desarrollo
1 dx dxSea u = — => du= — ■? => — = -du
X X X
1096 I 5 ^ —
J e— dx = j e u (-du) = - J eudu = —
dx
T x
\_
+ c = - e 1 + c
1
Desarrollo
r dx dxSea u = yjx => d u - —=• => 2d u = —j= 
2\¡x s¡x
{ 5J~xdx = \ 5“.2du = 2 ( 5“ du= —
J V i J J ln(5;
1097 f — — dx
J ex - \
Desarrollo
Sea « = £ * -1 => du = e xdx
í C> — - = f — = In | m | +c = In | e* - 1 1 +c
J ex - l J «
+ c = — 5 ^ + 0 
ln(5) ln(5)
20 Eduardo Espinoza Ramos
1098
1099
1100
bexdx
Desarrollo
, . r . X . dUSea u = a - b e => du = -be dx => e dx —-----
b
[ ( a - b e x)^exd x - [u^ [u^du = —— u^ +c = -^ - -J (a -b e x)3 +c
J J b b J 3b 3b
I
X 1 X
(ea +1 y>eadx
Desarrollo
¿ - dxSea u = e a + 1 => du = ea — => adu = ea dx
a
f - - — f - f - 3a - 3a —
I (ea + l)3eadx = I u 3adu = a \ u 3du = -^ -u i +c = — (ea -1 )
J
* * 
3 +c
dx 
2X +3
Desarrollo
f — — f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X + 31)
J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2
+ c
110. l - a ™
J \ + a
Desarrollo
Integral Indefinida 21
1102
1103
1104
f axdx 1 f du 1 1 ,
------— = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c
J l + a m a j \ + u lna lna
f- J 1-e~fa¿jc I + e~2hx
Desarrollo
Sea u = e hx => du= -be~ hxdx => e~bxdx = - —
f <rto<¿r l f á 1 , x 1 , -
h — h — 2’ = _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ ) +c J 1+e ¿ J 1 + w b b
f- J 1-«dt
Desarrollo
-e2'
Sea w = e' => du = e ‘dt
f e!í/í C du 1, , 1 + u . 1, . 1 + e‘ .
I — = I ----- í- = - ln ----- +c = —l n -------1 +c
J l — e J l - u 2 2 1-M 2 ' l - e' '
J sen(a + bx)dx
Desarrollo
Sea u = a +bx => du = b dx => d x - —
b
f r du 1 fJ sen(a + bx)dx = J sen(w)— = — I sen(u)du
= - —cos(«) + c = -icos(« + kO + c
6 fe
22 Eduardo Espinoza Ramos
1105
1106
1107
1108
J JtCOS( ~7=)dxv5
Desarrollo
Sea u - -—= => 
\¡5
J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c 
J (cos(oa) + sen(ax))2 dx
Desarrollo
J"(cos(a.v) + sen(ax))2 dx - J*(cos(a.v) + sen(<u))~ dx = I (eos (ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx
i
= I (1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2<ru) + c
2 a
Jcos(Vx). dx
4~x
Desarrollo
r dx dx _ ,Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡= = 2du 
2 \Jx y X
j* cos(Vx).-^- = J* cos(u).2du = 2 J eos (u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx) 
í
+ c
sen(log x).— 
x
Desarrollo
Sea u = logx => d u - ——— => — = ln(10)í/w 
ln(10)x a-
Integral Indefinida 23
1109
1110
1111
1112
J senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen (u)du
isen2 xdx
= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c
Desarrollo
., , ? 1 - cos2jcUsar la identidad: sen x = -----------
Jsen2.xí¿t = j i ­
j e o s 2 xdx
- cos(2jc) , x sen(2x)------------ d x - --------------- + c
2 2 4
Desarrollo
2 1 + cos(2jc)
Usar la identidad eos x = --------------2
J*cos2 jc</x = J - 
í
2 2 4
s ecz(ax+b)dx
Desarrollo
du
Sea u = ax + b => dx = — 
a
[ see2 (ax + b)dx = fsec2u — = - | see2 udu = - t g n + c = -tg (o x + fc) + c 
J J a a J a a
j c t g 2(ax)dx
24 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
Usar la identidad: 1 + c tg 2 x = ese2 x
je tg2 (ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c
1113 f dx 
sen(-)
Desarrollo
_ x _ , x „ , x ,Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) 
a 2a 2a
i — - \' sen(-) J
dx
2sen(— ).cos(— 
2a 2 a > 2 ¡
s e c (^ ) 
2 a
sen(— ) 
2a
dx
- l i
2, Xsee (— ) 
2 a
sen(— ).sec(— 
2a 2 a
-d x = - f 
) 2 j
j f sec2( ^ )
1 ‘ 2a dx
Sea u = tg(— ) 
2a
du = see (— ).— 
2a 2a
? JCDe donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 
2a
Integral Indefinida
25
1114
1115
1116
dx
K
3co s(5 x -—)
4
Desarrollo
dx 1 i 5x JT. i" ------ = — ln |tg [— + - ] |+ c
o /« * * 1 5 2 83cos(5x---- )
4
dx
sen(ax + b)
Desarrollo
ax + b ax + b
Se conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ )
f ■ - f
J sen(ox + b) J
dx
,ax + b s ax + b 
2 sen(— -—).cos(—- )
, r s e c = ( í ^ >, . sec(—- — ) , [>sec - > , , a x + b . .=1 f - - - 2— dx= - i - - - - h r dx = - lnltg(— )!+c
2 J sn ,(£ £ ± * ) . g ( H ± í , “ 2
J
xdx
~)
Desarrollo
cos2(x2)
26 Eduardo Espinoza Ramos
1117
1118
1119
1120
J*sen (l-jr)í£c
Desarrollo
Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —
f »J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2 )xdx = J sen
1 f j 1 1 2J $enud u = — cosu+c = —cos(l- X ) + c
I sen(;t
r - \ ) 2dx 
sen(xv2)
Desarrollo
J (¡enxv^ ~ 1)2 ^dX = J (CSC ^ ~ 1)2 ^dX = J (CS° 2 ^(Xs^ ) " 2 csc(;cV2) + IWjc 
= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | l n | ,g(^ )|+ c
/ tgxdx
Desarrollo
eos * +cf * * * = f — dx = -ln
J J eos Jf
tg xdx
Desarrollo
\ c ig x d x = = ln | sen jc| +c
J J senjr
Integral Indefinida 27
1121
1122
1123
1124
1‘W^ r )dxb
Desarrollo
Sea u = — =* dx = (a -b)du 
a - b
J c tg(—^ -j-)dx = Je tg a.(a - b)du = ( a - ¿?) J cigudu
X
= ( a - b ) In I senu | +c = (a - b ) ln | sen(------ ) | +c
a - b
I
dx
,x .
W j)
Desarrollo
r , r f co s( |)
I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c
J t g í í ) J 5 J s e n A 5tgCj)
J tg(\fx). dX
VI
Desarrollo
i— i dx dx ~ ,
Sea z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z
2yjx yjx
J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2 j tg zdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c 
JxCtg(A'2v" +1 )dx
Desarrollo
28 Eduardo Espinoza Ramos
1125
1126
1127
1128
Sea u = x 2 +1 => x dx — ——
2
J xc tg(x2 + 1 )dx = J r tg(x2 + l)xdx = j c l g u . du
~2
= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c
í
dx
sen x. eos x
Desarrollo
f dx f secx , f see x , , , ,
I -------------= I -------dx = I --------dx = ln tg x \+c
J sen xcos.r J senx J tg jc
ícos(—).sen(—)
J a a
-)dx
Desarrollo
fcos(—).sen(—)dx = — sen2(— 
J a a 2 a
I sen3(6x).cos(6x)í¿v
Desarrollo
Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx
J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju
J
i du u4 sen4(6jc)
— = — + c - --------- — - + C
6 24 24
cos(ax) , 
dx
sen5(ax)
Desarrollo
Integral Indefinida 29
1129
1130
1131
p o s t a d L a * « , ) ) - * .* * « ) * . = — J-+C = --------!¡
J sen (ax) J J a u a a sen
, + c 
(ax)
du
donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —
a
I
sen(3x)djc 
3 + cos(3jc)
Desarrollo
dz
Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——
f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I ln l z l + c = - i l n | 3 + COS(3x) |+c 
J 3 + cos(3jc) 3J z 3 3
I
sen*, eos jc .r dx
Veos2 Jt-sen2 x
Desarrollo
Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x — sen x — cos(2.r)
f sen xcosx = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx 
J Veos2 Jt.sen2 x ~ >/cos(2x) 2 J
yJcos(2x)
2 ~
V
1 + 3 eos2 x sen(2*)dx
Desarrollo
Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx
30 Eduardo Espinoza Ramos
1132
1133
1134
1135
du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx
J*(l + 3cos2 x)2 ,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 +c = - ^ y j ( l + 3cos2 jc)3 +<
,sec2(—)dx
3
Desarrollo
Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx
J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u 4 3 a . X.+ c = - t g ( - ) + c 
4 3
dx
x
Desarrollo
eos2 X
f ^ ^ = f(tgx)2.sec2 xdx = — tg2(x) + c
J eos" x J 3
í
2
sen (x)
Desarrollo
c c t s 3 (x) r - ~ ^ ~
I r---- |c t g 3(x).csc (x)dx = — ctg3(x) + c
J sen (x) J 5
J1+ sen(3x) , dxcos2(3.y)
Desarrollo
Integral Indefinida
1136
1137
1138
1139
f l + sen(3.t) ¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = 
J cos2(3x) J
tg(3x) | sec(3x) | c
í
(cos(üx) + sen(ax))2 
sen(ax)
Desarrollo
r (cos(ojc) + sen(ax)) _ f l + 2sen(ax).cos(flx) ^
J sen(cijc) J sen(ox)
J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = — (ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c
f csc3(3x) _ ^
J b - a c tg(3x)
Desarrollo
dU 2 V 1
Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~ ^¡~ csc
f _ £ ! £ ! 2 íL .^ = _L f = ._Lln | u | +c = J -ln |b-- aCtg(3x) | 
J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a
J (2 senh(5x) - 3 cosh(5x))t/x
+c
Desarrollo
f 2 3
(2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c
1senh2 xdx
Desarrollo
32 Eduardo Espinoza Ramos
1140
1141
1142
1143
Jsenh2 xdx = J (—i 
í
cosh(2*)N , x senh(2x)
H-------------)dx —----- 1--------------1- c
2 2 4
senh(jc)
Desarrollo
d'X = ln | tghí^) | +<~
senh(x) 2
dx
cosh(jt)
Desarrollo
f — —— = f ------- dx - 2 f e— - dx - 2 arctg(g*) + c
JcoshU ) J \ + e2x J l + e2* 
i senh(jc).cosh(jc)
Desarrollo
f dx f seeh(x) J Csech2( x ) , , . , , .I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + c
J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)
J tgh(A‘)¿V
Desarrollo
J" tgh(x)dx = J* Senj ^* | dx = ln | cosh(x) | +c
1144 \ctgh(x)dx
Desarrollo
Integral Indefinida 33
1145
1146
1147
í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c 
J J senh(x)
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
í ' ^
■x2dx
Desarrollo
J x\¡5 - x 2dx = J* (5 - X 2 )5 xdx = —^ j*(5 - x2 )5 (-2 x)dx =
J x - 4* +1
a2)6 +C
Desarrollo
Sea u = x 4 - 4 x + l =$ - = (x3 - l )d x
4
f — - — í— dx = — f — = — ln |m |+c = — ln | a 4 - 4 x + \ \ 
J x4 — 4jc + 1 4 J u 4 4
1
+c
A + 5
Desarrollo
f x3dx _ f
J ^ 5 _ J
x 3dx 1 , x A
tg (.-!=)+ C
(a4)2 +(y¡5)2 4^5 J s
1148 í xe x dx
Desarrollo
34 Eduardo Espinoza Ramos
1149
1150
j xe x dx = j e x xdx = —i je u 1 « 1du =— e +c = — e +c 
2 2
J 3 -> /2 + 3.í 2 dx
2 + 3*2
Desarrollo
dx
72 + 3*‘J 2 + 3* J 2 + 3* J
Usando las formulas 4 y 7, se tiene:
f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx
J 2 + 3* J 2 + 3* J V2 + 3*2
= a rc tg (* ^-) - ln | \¡3x + y¡2 + 3x2 \ +c
f ¡ L ± d x 
J * + 1
Desarrollo
(* - * + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c
* + 1 3 2
Desarrollo
Integral Indefinida 35
1152
1153
1154
1155
f 1 -sen * 
J * + cos*
dx
Desarrollo
S e a z = x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx 
fj—sen. x_ ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +c
J * + cos* J z
f tg(3*)-ctg(3*)^
J sen(3*)
Desarrollo
f jg(3*)—ctg(3*) _ f (Sec(3^ _ c tg(3x)csc(3*))d*
J sen(3*) J
= - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c
3 sen(3*)
J
dx
* ln2 *
Desarrollo
f d\ - = f(lnx) = f«
J * ln ' * J x J
- 2 . 1 1du = — + c ---------- 1-c
u ln(*)
dx
donde u = ln x => d u - —
*
J
see2 xdx
y¡ig2 x - 2
Desarrollo
Sea u = tg x => du= see2 xdx
f see2 xdx f du , , rI — - I — In I u + \lu
J s]tg2 x - 2 J yju2 - 2
2 - 2 | +c = ln | lgx + \jtg2 x - 2 l+c
36 Eduardo Espinoza Ramos
1156
1157
1158
1159
J(2h----- — )- *2x +1 2x +1
Desarrollo
f x dx C dx f xdx
J *"+ 2x2 +1 2x2 +1 ~ J 2x2 +1 + J (2x2 +1)2
= \Í2 arctg(W2)--------—— + c
4(2x“ +1)
íasenx eos xdx
Desarrollo
Sea u - a sen x => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xdx
In a
f sen* f du 1 asenxl a cos xdx = I -----= ------u + c - -------
J J \na lna lna
J* x2dx
J W T \
+ c
Desarrollo
„ 3 , dU ■ySea u = x +1 => — = x~dx 
3
f X dx f 3 -r 2 . f du 1I —...-..... - I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — uJ J 3 2
x4
Desarrollo
Integral Indefinida 37
1160
1161
1162
1163
f xdx 1 f 2 xdx 1 2\I ,____ = — I —= = = = = = — aresen(x ) + c
J V Í I 7 2 2
íXg2(ax)dx
Desarrollo
tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax'> - x + cJ" tg2(ax)dx = J*(
J sen2('(^r)dx
2
Desarrollo
« , , i 1-cos(2jc)Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:
J sen2(-^)ífa = J -
J
— eos x . x sen* 
--------- dx = ---------------h c
2 2
see2 xdx 
\ ¡ 4 - t g 2 x
f see*
Desarrollo
2 xdx = aresen(-----) + c
f dx 
^ eos(—)
Desarrollo
38 Eduardo Espinoza Ramos
1164
1165
1166
1167
1
y¡\ + In x ---------- dx
Desarrollo
Sea u = 1 + ln x => du = l~
x
J Vi + ln x — - J*“ 
J y f x - l
l 3 - 3 -
3d u - —u 3’ +c= — (1 + lnx)3 +c 
4 4
x -1 ) .-
J x - l
Desarrollo
dx „ , dx
Sea z - y j x - l => dz= Jí— => 2dz = - 
2yjx~l y j x - l
J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c
i xdx )
Desarrollo
sen(x2)
f xdx 1 , , , r %l 1 , ,
I -------j - = -In I tg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c
J se n (x ) 2 2 2
J
sen(x ) 2
e ^ ' + x l n ü + x V l
1 + x2
dx
Desarrollo
Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = f
J 1+x2 X ~ J
. , . e aMgv x ln(l + x2) 1 w
dx = | (------ - + --------- - + --------)dx
1 + X 1 + x~ 1 + X
arctot ln (1 + X ~ )= e ° + ------------- + arctg * + c
Integral Indefinida 39
1168
1169
1170
1171
1
sen x -e o s x ,--------------- dx
sen x + eos x
Desarrollo
Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx
f sen x - eos x , f du , , . ,--------------- dx = I ------= - ln w + c = - ln |s e n x + cosx |+ c
J senx + cosx J u
í
(1 - sen(-~ ))2
---------
se „ < - |)
Desarrollo
,( l- s e n (™ ))2
f -----------— — = í ( ---- -------- 2 + sen {-^=))dx
sen(-^ =) sen(^=)
"72
= V2 ln | fg (~ = ) | -2 x - yjl eos( -j=) + c
I
2
x dx 
x 2 - 2
Desarrollo
f (1 + A-)2
J x(l + x2
dx - 1(1 + —^— )dx = x + -^= ln j —— | +c 
x —2 V2 x+V 2
-dx 
x(l + x¿)
Desarrollo
40 Eduardo Espinoza Ramos
1172 j"esen* sen lxdx
Desarrollo
Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx 
5
Vi"-3^
f 5 -3 * f d* f xdx 5 V3* I------- 7
I ~~r ' ti* = 5 I ..... - 3 I = -=arcsen(——) + V 4-3 *
J V4 - 3*2 J V 4 - 3 7 V3 2
f ¿*
J e* +1
1173 f - .5 3A dx
J J 4 - 3 r 2
1174
1175
Desarrollo
+ c
Desarrollo
f dx f ,I —----= I ------- -í/* = - ln 1 + e ■* +c = -{\n(} + e x) - l n e x] + c
J e +1 J l + e
= - [ ln |l + e JC |-* ] + c = * - l n | l + e* |+c
h (a + b) + (a-b)x~
Desarrollo
f _____ * ____ _ = _ L f _
J (a + b) + (a-b)x~ a - b j a-
dx 1 1 t
= arctg (~ t ) + c
(a + b) + ( a - b ) x 1 a - b j a + b | a - b ¡a + b " ¡a+b
1 a ~ b . -arctg(* /------ ) + c
■Ja2 - b 2 Vfl + ¿
Integral Indefinida
1176 í , e — - dx
1177
£ 
s¡e2x- 2
Desarrollo
f e ' d x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡ 2^ 2 | + c
J 4 e l x - 2 J J(eA )2 - 2
¡
dx
sen(fl.v). cosía*)
Desarrollo
f dx = f sec(^2</* = f Scc2(a- ^ = — ln | tg(ax) | +c
J sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*) «
1 2tt? , 1178 sen(— + yf0)dt
i '
Desarrollo
2 Kt 2n . , rj. du
Sea u —-----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~
T T ¿n
j s e n ( - ^ + 1/ 0 )dt = J sen u.T — = ~ J sen u du
eos 11 T , 2tt/
= - r ------ + c = ------ cos(-— +v^0) + c
27T 2n 1
1179
r rf*
J *(4-ln2.*(4-ln~ *)
Desarrollo
dx
Sea u = !n x => du = —
42 Eduardo Espinoza Ramos
1180
1181
1182
1183
f . f _ * l | „ | i ± ü 
J x (4 - ln 'x ) J 4 -u ~ 4 2 - u
1, , 2 + ln x ,+ c - — l n --------- +c
4 2 - ln x
. arccos(—)
Desarrollo
dx
Sea u = arccos(—) => du = — — d u = -
2 / l _ ( | ) 2 V ^ X 2
-arccos(-) f «2 1 -
I —-j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 +c
J V 4 - r 2 J 2 2 2
í
V4
e~lg 1 see2 xdx
Desarrollo
Sea u = - tg x =» du= — sec2 xdx
J*e~tg' .sec2 xdx = -J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c
f senx.
J V2 - sen4 x
eos .v , dx
Desarrollo
,------ ----- - dx = — arcsen(— =—) + c
V 2-sen4* 2 V2
dx
sen2 .v.cos2 *
Desarrollo
Integral Indefinida 43
1184
1185
1186
sen 2*sen x.cos * = --------
f -------—-------= 4 f — ^ -= 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + c
J sen2 x.cos2 x J sen“(2x) J
í
aresen x + x , dx
Desarrollo
•x2
¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c 
f secx.tgx ,
J i 2.......J vsec x + 1
Desarrollo
f secx.tgx , f secx.tgx . / 2 „ . , 1 , „I — </r= I 0 — d x - In j ser r + vsec x + l |+C
J Vsee2 x + 1 J y(secx)2+1
I
cos(2x) dx
4 + cos2(2x)
Desarrollo
f cos(2x)</x f cos(2x) f cos(2x)rfx 1 ^ i ^+ sen d x )
J 4 + cos2(2x) J 4 + 1 —sen2(2x) J 5 -se n 2(2x1 4^5 V5-sen(2x)
+c
1187 f — í i 
J 1 + cos
Desarrollo
44 Eduardo Espinoza Ramos
1188
1189
1190
f
¡n(x + -Jx2 +1)
Sea a = ln(x + yfx2
Desarrollo
na;- l
+1) => du =
dx
x 2
f ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^ ,
i ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1 ))2 —p------ = I u du —
j v i + x 2 j 7 , ^ 7 J
— ■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c
3
í jc2 cosh(;t3 + 3)<£c
Desarrollo
o 3 -> d u 2 ,Sea u — x +3 => — = x dx
f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)I x cosh(x + 3 ) d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ -------- 
J J 3 3 3
^tgh(A)
+ C
í , dx cosh“(jc)
Desarrollo
Sea u = tgh x => du = see l r (x )d x
j* -jtglUjr) /• » ~u i tgh x
I - 1— , -dx= I 3'gb *.see hx2dx = 13 “ du = --------- + c --------+ c
J cosh“(.v) J J ln3 ln3
{NI 
I r*-i
Integral Indefinida 45
4.3. M E T O D O D E SU STIT U C IO N .-
PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA 
INTEGRACION INDEFINIDA.
Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función 
continua diferenciable,
f ( x ) d x = J f(\f/(t))xif\t)dt . . . ( 1)
La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) 
tome una forma más adecuada para la integración.
SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
1 Si la integral contiene el radical \[a2 -
x
dx= a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—)
a
x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0
a
2 Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: sec0 = —, x= a see 0
dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-)
a
\/x2 - a2
a
46 Eduardo Espinoza Ramos
1191
3 Si la integral contiene el radical 4 a2 + x2 se toma: tgd = —
x = a tg 0 ; dx = a see2 6 d6 ; 9 ~ arctg(—)
a
Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.
a)
i* dx 1
J x J T ^ . ' x ~~>
Desarrollo
1 A d t A - 1x — - => dx = — — ademas t = —
t r x
dt
-dt 1
xyjx2 - 2 J 2r2 J V l-2 r2 V2
(V2í)-arccos(v2 ?) + c
b)
1 V2 /--7=arccos(— ) + c , x> \J2 
V2 x
f dx
J ex +1 x = - ln t
Desarrollo
Integral Indefinida 47
dt
L + / l+c = - ln \ \ + e~x I +c
J e ' + l J e " ln,+1 J l + í
c) I x(5x2 - 3)7 dx , 5x2 - 3 = t
i ‘
Desarrollo
? , dt 5x - 3 = t => jcí/x = — 
10
\ x (5 x2 - 3 ) 1dx= f / 7- = 4J J 10 80
(5x -3 )
+ c = ---------- — + c
80
f xdx i---- rd) I , t = J x + \
J Vx + 1
Desarrollo
t = yjx+1 => dt = ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f 2 -1
2y¡X + \
f eos xdx 
e) / ’ 1 = sen x 
J VI + sen a
Desarrollo
t = sen x => dt = eos x dx
f eos xdx f dt _
J Vi + sen2 x J \¡\+t~
= In I ? + Vl + r I +c = ln | sen x + + sen2 x | +c
48 Eduardo Espinoza Ramos
1192
1193
Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas 
adecuadas.
I x(2x + 5 )wdx
Desarrollo
t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 
2 2
f x(2x + 5)}0dx= f — = - f ( /n - 5 t w )dt = - [ - ----- — í“ ] + c
J J 2 2 4 j 4 12 11
; i í a * ± s F _ ± (2x+ n
4 12 11
I
1 + X dx
l + yfx
Desarrollo
Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt
J 1 + yJX ' J 1 + t J í + 1
T 2 /3 t2
2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /-2 1 n |f + l|] + <?
= 2[— -----— + 2\[x - 2 \n | \ + \[x |] + c
1194 f dx
J x\J2x + l
Desarrollo
Integral Indefinida 49
1195
1196
1197
2 .i------- i t — 1Sea t = yj2.V + 1 = > r = 2 a + 1 ; x = ------ => dx = td t
f dX - f -y —— = 2 f -y— - In 1 [ +c = ln | i * + 1
J x \ j 2 x + 1 J r - 1 í - 1 V2 a + 1 - 1
yj2x + 1 + 1 . +c
- i 
2
í
dx
•je* -1
Desarrollo
Sea t = \Je' -1 t ~ —e x — 1 e x —t +1 
2tdt
t2 + 1
e cdx = 2 id / => dx = - 
2tdt
f —I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t + c = 2arctg(V?7
J V ^ - l J f J r + l
fln(2x) dx 
J ln(4x) a
Desarrollo
ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2
fln(2x) dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ ln2 ^dx
J ln(4x) x J l n x + 2 ln 2 a J l n A + 21n2 x
= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c
f(arcsenx)2 ,J
Desarrollo
■l) + c
50 Eduardo Espinoza Ramos
Sea t = arcsen x => d t - dx
v r
1198
1199
f (arcsen r f f 2 /
J J T 7 - 1 ■
í
V l - x
e2xdx
(arcsen*)3 
+ c = --------------- í-c
Vex +]
Desarrollo
Sea t 2 = ex + 1 => ex = t 2 -1 => exdx = 2rdt
r e2xdx Cf_-
J V77I J r
I
1 l td t = 2(t- - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x
sen xdx
Desarrollo
Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos *
=> í 4 = eos2 * - 1-sen* * ; sen~* = l - í 4
j W « f a = f l z í l . (_2„ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(>4 
J v cosx J t J
= y Veos *(cos2 * - 5) + c
- 2 ) + c
5) + c
1200 f y -
J *Vi+*~
Desarrollo
Integral indefinida 51
dt
t.-z-
f - 7 ^ = = í -?==== = - f “ 7=== = “ In Ir + V í^+T| +c
j *vtt7 j r r
. i Vi+*2 1, , , i + V i+ *2 , . , * .= —ln | — h----------1 -t-c = — ln ¡-------------- ¡ +c = ln |------ = = ¡ + c
* * * 1+V1 + * 2
Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.
1201 I" x2dxJ VHv
Desarrollo
cos0 = V i - * 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d 0
fW O .c o s I ) ^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’)
J V i-* 2 j cose J J 2
de
0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi:-------------------hC = ------------* -------
2 2 2 2
1202 í x ' dx&
52 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
\Í2 eos8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡2sen9 => dx = \Í2cos9d9
í
x dx
y¡2-
2>/2 J sen3 0 d6 = 2V2J (1 - 
= 2\¡2(-
scn} OdO = 2V2 I ( l -c o s ¿ 9 )s e n 9 d 9 = 2a /2 (-cos0 + ~"-) + c
7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ c
V2 2 ' 3V2
1203 I
Desarrollo
x2 - a2
a.tg# = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0
7 2 - X 2
f 2V2 sen3 0.V2 eos 6 d 0 
J V2cos0
Integral Indefinida 53
f \ jx 2 - a2 _ j>a íg 0 .íisec0 .tg 0 í/0 _ f ^ 2
J x J a sec0 J 6 d 6
= « | (see2 0 - 1 )d9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx 2 - a 2 - a.are see( —) + c
J a
1204
f dx
J x T T T Í
= 7 ^ 2 - « 2 -a.arecos(—) + c
x
Desarrollo
c tg 0 = - ¡ = L = ; cos0= — 9 = árceos—
7 7 7 1 x a
x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0
1205
f — — = fcos0rtg9.scc0.tg0dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—) + t
J x T ^ T J ~ ~ J
7 x2 +1 ,— dx
Desarrollo
tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1
1
54 Eduardo Espinoza Ramos
f í £ i . sec= í ) < » = r
J X J tg 0 J
J ( see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd
sec0(l + tg~0)úí0 
t20
] _eos f)
= ln ¡c s c 0 -c tg 0 | + sec0+ c = ln| —------ -|+ sec0 + c
sen0
- _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln | 
1 + C OS 0
1206 f -----p------
x2y ¡ 4 - x 2
Desarrollo
x = 2 sen 0 => dx = 2 co s0 d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0
l + Vx ^+ l
+c
f — = f — 1 
J x2y¡4-x2 J 4 sen2
2c°s0 1 f 2 ctg 0 J 4 -X 2
------------- do = - ese 6 dO = ----- — + c = ------------
0 -2 c o s0 4 J 4 4x
+c
1207 x 1 dx
Desarrollo
x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2
Integral Indefinida 55
1208
1209
J \ ¡ l - x 2dx = J
0 sen 0. eos 0 aresen x x \ ¡ l - x 2
2 + *
Calcular la integra! I
- + c = - + c
J V I V T I
Desarrollo
Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt,
2 2 
valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .
como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI
f — * L _ = f - 2 sen ' - i— - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresen VI
J VIVICI J sen r V i-sen2/ J sen/.cosí
+ c
j V ? + x 2dx
Desarrollo
Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:
Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt
2 f 1 + cosh 2í , a2 , senh2fJ Va2 +x2dx = a2 J cosh2 f dt = «2 J -rfí = — (/+- 2 2 ) + r
56 Eduardo Espinoza Ramos
1210
= — (t + senhí.coshO + í' = — ln (x + yja2 + x 2) +—4 a 2 + a2 + c
2 2 2
t, , x v « “ + X“donde, senh t - —, cosh t = ------------
a a
e' = cosh t + senh t x + yfa2 + x2
í ;
2x~dx
Hallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t
J T ^ a 2
Desarrollo
x = a cosh t => dx = a senh t. dt
f x 'dx f a2 cosh2 í.senhí dt 7 f ,= I ------------------------= a I cosh t dt
J y j x 2 - a 2 J senhí J
= ° f
+ cosh2í , a2 . senh2í, a2dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c
2 2 2 2
como x = a cosh t => cosh t = —, además
a
 ^ L , x x"> +x"senhf = „ l + ( ~ y
V V
V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +ae = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ----------------
a
f x~dx _ a 
i J x 2 - a 2
a 2 , x + 4 x 2 +a2 . xyja2 + x 2
[ln i---------------- 1+--------r----- ] + cI o 7 o L 1 1 „2ix - a
i2
a
= — ln | .v + \[x~ + a 2 | + —yja2 + x~ +k
Integral Indefinida 57
4.4. IN T E G R A C IO N PO R PA R TES.-
Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = <p(x); son funciones 
diferenciables, tendremos que:
» »
u dv = uv~ vdu
•
Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por 
partes.
1211 J- xdx
Haciendo
u = ln x =» d u - —
x
Desarrollo
dx
dv — dx => v = x 
\nxdx = A ln x - | x —- = jc.ln* —Jt + cJ*ln xdx - A‘ln x — J x — - .
1212 I arctg xdx
Desarrollo
Haciendo
u - arctg x => du =
dv = dx => v = a-
dx
(1 + JC2)
J
r x ¿x i . ,, ?,arctg a* dx = x. arctgx - I ----- = X arctg x - — ln 11 + x~ | +c
1 4" X~
J1213 are sen a dx
Desarrollo
58 Eduardo Espinoza Ramos
1214
1216
1217
Haciendo
u = arcsen x =$ du = dx
dv = dx => v - x 
arcsen xdx - x. arcsen x - í
xdx r. 2= x arcsen x + v i - x +c
xsen xdx
Desarrollo
Haciendo
u - x => d u - d x
dv = eos 3x dx v = sen3x
í
I;
xcos 3x dx = -xsen3x fsen3x , xsen3x cos3xí -dx - + c
-dx
Desarrollo
Haciendo
u = x => du = dx
II dx — => i
ex
- - I
dx x 1
J “ 7 ~ ex ex + C ~
x + 1- + c
í x.2 ' dx
Haciendo
Desarrollo
u = x => du= dx
dv = 2 x dx => v = — -
ln 2
Integral Indefinida 59
1218
1219
L 2- ^ = - x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . -
J ln2 J in 2 ln2
P
2~* xln2 + l
+ c = ---------r— + c
In -2 2jr ln2 2
Desarrollo
Haciendo
u = x_ => <ím = 2xáx
c/v = e3xc/x
,3*
V = ■
xe ’xdx
Haciendo -
u = x => du= dx
j 3r . edv - e ' dx => v = —
3x
1
r2 0 <* -.3*2„3* > X „3jx W x = — eJJC- - [
3 3 3 -P - d x \ = - e 3x~ e3* + -------+ c3 3 9 27
2x 2e3x
e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 
27
2x + 5)e Xdx
Desarrollo
Haciendo
j u = x - 2 x + 5 du = 2(x-X)dx 
\dv = e~xdx => v = -e~x
60 Eduardo Espinoza Ramos
1220
Haciendo
« = * -1 => du = dx 
dv = e~xdx => v = -e~
J
(x¿ - 2 x + 5)e Xdx = - e X(x2 - 2 x + 5) + 2 (x - l) ( -e x) - 2 e x +c
X
x3e 3dx
Haciendo
= -e~x(x2 +5 ) + c
Desarrollo
u = x3 => du - 3x2dx
X X
dv = e 3dx => v = —3e 3
e 3dx = -3 x 3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx
Haciendo
u = x" => du = 2xdx
X X
d v - e 3dx => v = -3e 3
J' J ’
Haciendo
u = x => d u - d x
X
dv = e 3dx => v = -3e 3
m _ X X X
\ x 3e 3dx = - 3 x 2e 3 (x + 3) + 54(-3x<? 3 -9 e 3) + c 
- - X 
= - 3 x 2e 3 (x + 3 ) -5 4 e 3(3x + 9) + c = -e~3(3x3 + 9x2 + 162x + 486) + c
X
= —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c
Integral Indefinida 61
1221
1222
Jxsen x. cosxdx
Desarrollo
Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x
í x sen x. eos x d x ~ — í x sen 2x dx2 J
Haciendo
u = x du = dx
dv = sen2xdx => v -
eos 2x
f 1 f N , 1 , x . sen2xN
j xsenx.cosxdlx = — J xsen(2x)dx = — (——cos2xh----- — ) + c
2 2
x . sen2x= — cos(2x) + ---------- ve
4 8
í (x2 + 5x + 6)cos2xdx
Desarrollo
Haciendo
u = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5)dx
dv — eos 2 xdx => v =
sen 2x
i (x‘ + 5x + 6) eos 2x dx =
x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx 
2 2 a
Haciendo
u = 2x + 5 => du = 2í/x 
dv = sen2xdx => v =
eos 2x
i
i
62 Eduardo Espinoza Ramos
i (x2+5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) +c2 2 2 2
2x2 +lOx + l \ „ 2x + 5
= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c
4 4
1223 j x 2 lnxdx
Desarrollo
Haciendo
u = ln x => du — —
dv = x 2dx => v = —
1224
f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I -------* — ln jc------
J ’ J 3 x 3 9
J ln1 x dx
+ c
Desarrollo
Haciendo M = ln*x => du = 2lnx. 
d v - d x => v = x
dx
j l n 2 x.dx = x l a 2 x - j x . 2 l n x.— = x \n2 x - 2 J* ln xdx
Haciendo m = ln x => d u = —x
d v - d x => v — x
ln2 x.dx = xln2 x-2xlnx+2x+c
Integral Indefinida 63
1225
1226
1227
flnj
J x3
dx
Desarrollo
Haciendo
u = lnx => du
_¿x
X
1- ll
^1
8- => v = 1
2x2
lnx dx _
2x2 . ! 2x2 X
- + c
4 x
dx
Haciendo
u = ln x => du= — 
x
dv = => v = 2 VI
\lx
Desarrollo
dx
dx = 2 V i ln x - 1 2 V i ^ = 2 V I ln x - 2 J V i y = ln ^ + ‘
í xarctgx</x
Haciendo
Desarrollo
. dxu = arctg x => du ------- -
1 + x2
dv - x d x => v — 2
Jxarctgx<it = ^ -arctgx-2 J ——- d x arctgx ^J(1 ^_ x ^ dx
64 Eduardo Espinoza Ramos
x2 1 * * + 1 , x- — arctg*H— atctg*— + c = --------arctg * - — + c
2 2 2 2 2
11228 * arcsen* dx
Haciendo
u - arcsen x => du = 
dv = xdx => v = —
Desarrollo
dx
s í i ^ x 2
dxf ¿ X 1 l C X 2cI x arcsen xdx = — arcsen*— —¡=J 2 2 J ^ Z x2
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
V i-se n 2 9
= f « n ’ #« ,»= í í ^ í " , »-2 ““sen2 O.cosOdd = j sen" t) dt) = j ----—
9 sen 20 9 sen 9 eos 9 arcsen* * v l - * 2
2 4 2
2
Luego: * arcsen xdx = — arcsen * - —(
J 2 2 2
1 arcsen* *V l - * 2 ) + c
arcsen* * r , T
+ - V 1 - * +c
1229 J ln(* + Vi + *2 W*
Desarrollo
Haciendo
u = ln(*+ Vl + *2 => =
dv = dx => v = *
dx
V1+*2
Integral Indefinida 65
1230
1231
1232
f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2) - 'J \ + x~ +c
J J V i+ * 2
í
xdx 
en2 *
Desarrollo
*cos ec2xdx
Haciendo
íw = * =i> du = dx
líiv = cosec2xdx =£ v = - c tg *
J - A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c
j sen * J
f xcosxdx
J sen2 *
Desarrollo
f * c o s * ^ _ f xc o se c x c Xgxdx 
J sen"* J
Haciendo
u = x => du = dx
dv = cosecx.ctgxdx => v = - c o s ecx
f.vcosx , f ,I —dx = -e o sec x- I -e o secxdx
J sen * J
X x
= -xcosecx + ln I eos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡ tg— | +c
sen* 2
íex sen xdx
Desarrollo
66
1233
Eduardo Espinoza Ramos
Haciendo
u = sen x => du = eos x dx
I
dv = e dx => v = e 
ex senx d x - e x s e n x - j e * cosxdx
u = eos x => du = - sen xdx
Haciendo
I
d v - e * d x => v = e* 
e* sen xdx = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)J‘
J‘= e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (senx -eo s x) + c2
13* eos xdx
Desarrollo
Haciendo
u — eosx => du = - s e n x d x
3*
13X eos xdx =
dv = 3xdx => v 
3* eos x
ln3 I-
ln3
3X , 3X eos
—— sen xdx = --------
ln 3 ln 3
í + — f 
ln 3 j
3X sen xdx
Haciendo
w =senx => du = eos xdx 
3X
dv = 3xdx v = -
ln3
, 3*cosx 3* sen x
3 cos x d x - --------- -H---------—
ln3 ln3 - ¡ y
3X eos xdx
, 3* (sen x + ln3cosx)3 cosxdx = ----------- ----------------- \-c
ln 3 +1
Integral Indefinida 67
1234
1235
í
eax sen(bx)dx
Desarrollo
m = sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx
Haciendo
dv = emdx =* v = ----
a
f eax sen(bx)dx = sen bx - \ b e— cosbxdx = e- ^ ^ - b f
•* a J a a a J
Haciendo
u = eos bx => du = - b sen bxdx
e“*dv = eaxdx => v = -
a
Jeax sen bx dx = e™ senbx b . e ^ cosbx b--- (■a a a + — f e sen bxdx)
e“* sen bx b m b2 f „
-----—e eos bx— - l e sen bxdx
a~ J
7>J(1 + —r) I e“* sen bxdx =
a a
aeax sen bx - beax eos bx
l ax , , ax.asenbx-bcosbx ,J e sen bx dx = e°* (--------- — —------ ) + c
a2 +b2
J sen(ln x)dx
Desarrollo
eos bxdx
Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz
68 Eduardo Espinoza Ramos
f f ez sen ^— e" eos 7
J sen(ln x)dx = I ez sen zd z = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234.
í
e njrsen(lnx)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)sen(ln x)dx = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c
2 2
Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:
J a - ' ,1236 I x e~x dx 
'
Haciendo •
Desarrollo
h = x 2 => du = 2xdx
e-*dv = xe~* dx => v = ■
j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - - X 1 e x e x ■>e ----------i-c = -------- (x~ + 1) + c
2 2
1237 I e ^ d x
Desarrollo
Sea z 2 = x => dx = 2zdz
J"e ^ d x = 2 f zezdz
Haciendo
u = z => du — dz 
dv = e zdz => v = ez
^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(zez - e z ) + c = 2(yfxe'^x - e ^ ) + c = 2e' x^ (\[x - l ) + t
Integral Indefinida 69
1238
1239
J (x -2 x + 3 )ln x d x
Desarrollo
Haciendo
u = ln x => d u = —
x
dv = (x2 - 2x + 3)dx => v = —— x2 +3xi .
3
J*(jc2 - 2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n — J * — jc + 3 )dx
fx ln ( |—:-)dx 
J 1 + x
r 3 3 2
= (------x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c
3 9 2
Desarrollo
J x ln(|—- )dx = J" jcln(l — x)dx - J x ln(l + x)dx 
integrando J x ln (l-x )d x
(1)
Haciendo
u = ln(l - x ) => du = -
dv - xdx => v= —
2
dx
\ - x
Ixln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^2 J 1-2 x2dx = — ln (l-x )+ [ x 2 1 f(_x_l+J-2 J 1-; )dx]
(2)
70 Eduardo Espinoza Ramos
iintegrando I xln(l + x)í/x
Haciendo
u = ln(l + x) du =
dv = xdx => v = — 
2
dx
í+ x
I x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f . 2 J 1
x2 x2— dx = — ln(l + x)- 
+ x 2
- f ( x - l + —
2 J 1 + ;
■)dx
X X X 1= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x)
2 4 2 2
... (3)
reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:
fxln(-—-)<£t = — ln (l-x )-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H---------H—ln(l+x)
J 1+x 2 ' " " "4 2 2 4 2 2
x2 , 1 -x 1, , 1 - x . x2 - l . , 1 - * .= — ln---------x — ln(-- ) + c = ---------- l n |-------1 - x + c
2 1 + x 2 \ + x 1 + x
1240 I
\n¿x dx
Haciendo
Desarrollo
dxu = ln x => d u - 2lnx.
dv
dx 1
Integral Indefinida 71
1241
1242
Haciendo
u = ln x => du= — 
x
. dx 1d v - — =* V —----
x¿ X
ñ
ln2 x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2-dx = — — + 2(—
x- x
f ln(ln x)
í
y
-dx
Desarrollo
Haciendo
u = ln(ln x) => du =
i dx idv — — => v = ln x
x
dx 
xln x
ln(in jc) dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-
J
dx
xlnx
= (ln(ln x) - 1) ln x + c
= ln x. ln(ln x) - ln x + c
x arctg(3x)í£c
Desarrollo
Haciendo
u = arctg(3x) => du =
j 2 , x dv = x dx => v = -—-
3 dx 
l + 9x2
J
, x3
x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -
f x dx _ x'
J l+9x - f ( - — — - J 9 162 1
18x
+ 9x2
-)dx
J x 1
- — arctg(3x)-------1----- ln 11 + 9x2 | +c
3 18 162
72 Eduardo Espinoza Ramos
1243
i ■
1244
I x(arctg x)2dx
Desarrollo
Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz 
JA(arctg x)2dx = J z 2 tg z.sec2 z dz
u - z 2 => du = 2zdz
Haciendo
7 t g 2 Zdv = tgz.sec zdz => v = ——
2
7 2 - 2
= — tg2 z + ~ - I zsecz zdz
j*x(arctgx)2í¿x = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zdz = ~ ~ tg 2 z - j"(zsec2 z~z )dz
- I '
integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes 
Jx(arctg x)2 dx = - y (tg2 z +1) - z tg z - In | cos z | +c
Í
(arcsen x)2dx
z2= — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c
= i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2 ln (l + x 2) + c
Desarrollo
Integral Indefinida 73
1245
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz 
J (arcsen x)2 dx = J z2 cos z dz
Haciendo u = z2 =* du = 2z<iz 
dv = cos zdz => v = senz
J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 J z sen z dz
I'm = z => du=dz 
\dv = sen z */z => v = -cos z
J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 (-z cos z - J - cos zdz)
Haciendo
z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x)2 + 2V1 - x2 arcsen x -2 x + c 
f arcsen x IX
Desarrollo
J „ -dx x2
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
farcsen x^ _ f /- Co szd z= f zctgz.coseczcfz 
J x J sen z J
Haciendo
U - z => du = dz
dv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz
f arcsen x . f , z , f dz»-------- dx = -zcosecz — I -coseczdz =------- + >----I ---------- dx = -zco s ecz - I -cos ecz az = ---------+ i -------
J x2 J sen z J sen z
+ ln |tg ( - ) |+ c
senz 2
74 Eduardo Espinoza Ramos
1246
1247
farcsenx , z , , . , arcsen* , , * L ,I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c t g z | = -------------+ ln ¡------ - |+c
J * sene * 1 + V 1-*
f arcsenJ jr r x dx
Desarrollo
Sea
[ z = arcsen V* => V* = sen z 
* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz
f arcsen V* , f z-2senz.cosz , „ f ,I — -------dx - I — -dz = 2 I zsenzaz
J v i - * J V i-se n 2 z J
Haciendo
u = z => d u = d z
dv = senzdz => v = -cosz
f arC^ en - * dx = 2(-z eos z - f -eos z dz) = -2 z eos z + 2 sen z + c
J Vl~ * J
= -2arcsen V*Vl~* +2\ fx + c
Jx tg 2*rf*
Desarrollo
(*sec2 2x - x ) d x
Haciendo
u = x => du = d x
dv = sec2 2xdx => v = ^
Integral Indefinida 75
1248
1249
Isen2 x , --------dx
Desarrollo
i 2 x , f l-c o s2 *f sen" x f 1 - cos 2x 1 f 1 f ,I -------- dx= I ------------ dx = — \e d x ---- l e eos 2 xdx
J ex J 2ex 2 J 2 j
4 1 -
e
~2
e JCcos2xdx ... (1)
1integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene:
Haciendo
u = eos 2x => du = -2 sen 2x dx 
dv = e~xdx v — —e x
j e ~ x cos2xdx = e ' ' co&2x+2je~x sealxdx
integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)
f sen2 x , e~x / c o s 2 * -2 se n 2 * - l 
reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■y
r
Jeos2 (ln x)dx
Desarrollo
, J 2 1 + eos 2*Usar la identidad eos x = ------------
J eos2 (ln x)dx = J 1 + COS^ 2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx ... (1)
76 Eduardo Espinoza Ramos
Sea z = ln x => x — e l => dx — e 'd z 
J cos(2 ln x)dx = J e z eos 2z dz
« = ez => du = ezdz
Haciendo
dv = cos2xdx => v = - sen2z
J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - — J e~ sen 2zdz
Haciendo
u - e z =$ du = ezdz. 
d v - s t n l z d z =* v = -
cos2z
Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( - — cos2z + - (Vcos22<fe)2 J 2 2 J
= - sen 2(ln x) + - cos( 2 ln x) - - f eos 2(ln *)cfx
2 4 4 J
1cos(2 ln x)dx -
2x sen(2 ln x) + x cos(ln x) . . . (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
‘ l + cos(21nx) x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x)
1250
j*eos2 (ln x)dx = J -
I x dx(1 + *2)2
-dx = — + - 
2
Desarrollo
10
+ c
Integral Indefinida 77
Haciendo
u = x => du = dx
dv =
xdx
(1 + Jr2)2
=> v = — 1
2(x +1)
1251
— f - + ( 
J ( l + x2)2 2(x +1) J
í
dx
2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2
x 1
-^---- + —arctgx + c
dx
(x2 + a 2)2
Desarrollo
Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 dd
f dx _ f a sec~ 9 d9 f a s
J ( x 2 + a 2)2 J (a2 tg: 0 + a 2)2 J a
see2 Odd
4 sec4 9
= 4r [cos2Odd = -2 - f(l + cos26)dd = -— ■ +
a3 J 2a3 J 2a3
9 sen 9 cos 9---- ----- + c
2a3,
arctg(-) arctg(-)
/7 CL\ 1 /i X
--------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h —-------- ^ ) + C
2a' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x
1252 J J a 2 - x 2dx
Desarrollo
Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0
X Xsen9 = — => 9 = arcsen(—) 
a a
J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 9 .acos9d9 - a2 j c o s 2 9 d9
¡
7g Eduardo Espinoza Ramos
2 f l + cos20 a" a" a= a2 I ------------¿Q = — 0H----- sen0cos0+ í
J 2 2 2
« * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + — v a -•* +c
2 a 2
1253 |V a + ;c2</;c
Desarrollo
Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see2 9 d9
tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=)
Va Va
J yj A + x 2dx = J s¡A + A ig29.yfÁ sec2 dO = J A see3 9 dO
se integra por partes:
J A see3 0 d9 = A J (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9
= A ln |sec0 + tg0 |+ A tg 0 s e c 0 -A js e c 30 ¿ 0
= y [ ln |s e e 0 + tg0 | + tg0sec0] + c
J V Â 7 7 d x -= | [ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c
— 1 n I a: + y fÂ+ x2 \ +—VÁ+~? + k
2 2
Integral Indefinida 79
1254 1
x 2dx
y ¡9 -x 2
Desarrollo
x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9
X x
sen 0 = — => 0 = arcsen(—)
3 3
f x2dx (*9sen 20 f ,
I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen ' 0 ¿0
J V 9-.Ï2 J 3eos0 J
= 1 1 -
90 9
2 eos 9)d9 = —- — sen0eos0 + c
2 2
9 -v 9 x y ¡9 - x2 9 i jc r 7= — aresen(—) — ( - ) -----+ c - - a rc s e n ( - ) — yJ9-x~ +c
2 3 2 3 3 2 3 2
4.5. IN T EG R A L ES EL E M E N T A L E S Q U E C O N T IEN E N UN 
T R IN O M IO C U A D R A D O .-
0 INTEGRALES DEL TIPO.
171X + Yl .
dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio der ,
J ax +bx + c
segundo grado ax2 + b x + c , se reduce a la forma
2 "yax +bx + c = a(x+k) + L , donde k, L; son constantes y esto se
consigue completando cuadrados.
© INTEGRALES DEL TIPO.-
í
mx + n
d x , los caiculos son analogos del 1 ) y después son
\fax2 +bx + c 
integrales inmediatos.
80 Eduardo Espinoza Ramos
© INTEGRALES DEL TIPO.
(mx + n)
, se usa la sustitución inversa-------- = t
(mx + n)\¡ax2 +bx + c ,nx + n
© INTEGRALES DEL TIPO.-
1255 I
ax1 +bx + c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una 
de las integralesprincipales. 
dx
x2 + 2.x + 5
1256
Desarrollo
x +2x + 5 J (x + 1) + 4 2
dx
Ix
Desarrollo
x 2 + 2x
f dx _ f dx _ f dx _ 1 1 | x +1 — 1 
J x 2+2x J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2 -1 2 x + 1 + 1 2 x+2
1257
1258 J
3x2 — x + 1
dx
3x2 — x + 1
xdx
x 2 - 7 x + 13
Desarrollo
dx 1 f dx 3 6 x - l .
U n
3 3 6 36
Desarrollo
Integral Indefinida 81
1259
1260
1261
f xdx _ 1 2 x ~ l 7
J x 2 - 7 x + 13 2 ] x2 - l x + \ 3 + ~x2 - 7 x + l3 )dX
j* 3x
J x 2 -
2' 4
3x — 2
-dx
4x + 5
Desarrollo
- i f - î ï = i _ * + 4 f *J x -4 x + 5 J x~ - 4 x +5 2 j x 2 - 4 x + 5 J x 2 - 4 x + 5
= - ¡ n l x 2 - 4 x + 5 j + 4 j — = |ln |x 2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c
f (x -1 )2dx
J x2 + 3x+4
Desarrollo
9
f (x -1 Ÿ dx _ f 5x + 3 5 f 2x + 3 Ô
J ^ + í «+4 - J <1" ? T 5 7 r ï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1
f ^ - 3 a + í f — ± —
^ + 3 ^+ 4 2 J u + 3 )¡ + 7
2 4
- x - - ln | x2 + 3x + 4 1 + ~ a rc tg ( -^ Í l) + c
2 V7 V7
f x2dxJ x 2 - 6 x + 10
Desarrollo
82 Eduardo Espinoza Ramos
f x2dx f 6 x -1 0 w f f 6 x -1 0 J
I í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T-~--------- dx
J x - 6 x + 10 J x - 6 x + 10 J J x~ - 6x + 10
f 2 x -6 f dx= x + 3 —----------- dx + 8 -------- 
J x - 6 x + 10 J (x -3 ) +1
1262 J
( x - 3 ) ¿
= x + 31n | x 2 -6 x + 10 |+8arctg(x-3) + c
dx
y¡2 + 3 x - 2 x 2
Desarrollo
1263
f dx (* dx 1 f dx
\¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2
72 í
í
x 1 , 4 x - 3 ,
r I i ~ -------= —¡= arcsen(--------- ) + c
y j x - x 2
Desarrollo
dx
1264
¡ f s
dx
= arcsen(2x -1 ) + c
+ px + q
Desarrollo
' ~ = f~j-------- ~ X = \ n \ x + £ + 4 x 2 + px + q l + c
J \ X + DX + a J l r> ^ n
Integral Indefinida 83
f 3 x -6 
J \[x2 - 4 x + ‘.
1265 I ------ dx
h5
Desarrollo
~ 2 w — dxJ ’ í i S — s L f
J y¡x - 4 x + 5 * \lx - 4x + 5
/------------- x —2Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx
Vx2 - 4 x + 5
f —-j2~^L= Jt= dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Idu = 3u + c = 3-v/*2 - 4 x + 5 + < 
J \¡x2 - 4 x + 5 * v x 2 - 4 x + 5 J
1266 J 2X 6...- dx2 x -8
Vi - x — x”
Desarrollo
f = f e * +1)- y = f-7J £ Ü _*=9 f
J y j l - x - x 2 J >jl—x - x ? * j \ - x - x 2 J « f ) 2 - U + 2- ) , )5
= -2 -v /l-x -x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + c
yf5
í1267 I -= = = J = = = = d xV5x2 - 2 x + l
Desarrollo
f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx
» v5x2 - 2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1
^ ..... * + l f .
^ J v 5 x 2 - 2 x + l V5x2 - 2 x + 1
84 Eduardo Espinoza Ramos
= -- >/5jc2 —2 x +l h— í= f - . =
4 ^ 7 ^ + J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c
- ) 2 + ( - ) 2 5 5
1268 J
dx
x \ J l - x 2
Desarrollo
Sea x = - => dx = —~ 
t t2
J-
dt
= - l n | i + ——— | +c = ln | ----- vX | +c
. * * Í + V i^ ^
- 1 1 +c
1269 1
d;c
x\¡x2 + JC+1
i
Sea x = - => dx = ~ — 
t t2
Desarrollo
J
dt_
dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt
4 2
/ 2 í - ^ ,2 - j r= - arcsen(—= -) + c - ~ arcsen( ) + c
v5 V5x
Integral Indefinida 85
1270
1271
1272
f ___ dx
J (x —(x - l ) y¡x2 - 2
Desarrollo
1 1 i j dtSea t - ----- => - = x - l => dx = — -
x - l t t2
_dt
í ____ * ____ , r y , . = j
J í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J
= -arcsen( — ) + c
1
(jc-I)Vjc2 - 2 J l ^ l + 1)2 _ 2 J Vl + 2 í - í 2 J 2 ( x - D
dx
(x + l )4 x2 + 2x
Desarrollo
i
1 di '
Sea x +1 = - => dx - — — 
í í2
dt
1
- arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + c
x + lr _ _ _ ¿ __________ r * — .
' - J ( ~ - l ) 2 + 2 ( - - l ) ^
í V t t
y x 2 +2x + 5dx
Desarrollo
* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) 2 +4dx
yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+cX + l
2 v 2
= £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5 | +c
2
86 Eduardo Espinoza Ramos
1273
1274
1275
1276
S ' / * - * 2
dx
Desarrollo 
1
j \ f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c
2 x - l I 2 1
- — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8
-ji1 dx
Desarrollo
l
{ ' f a - x - x dx= í j — -(* + —)-dx =—- 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(-^ -í-í-) + c 
J J V 4 z 2 2 4 3
_ 2x + l £ 7 9 2 * + l-------— \ 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c
4 8 3
; xdx 
J x4 - 4x24x2 +3
Desarrollo
f _ xdx _ f xdx 1 1 x 2 - 2 - 1 . _
J - 4^+3 - J Í7TÍ7TT=i -2ln I TTiTI1+" i ln 17T71+c
I
(a2 - 2 ) 2 - 1 2 2 ' x2 - 2 + 1' !~ 4 ' x 2 —1
eos xdx
í + 12 •
Desarrollo
sen2 x -6 se n jc + 12
Integral Indefinida 87
1277
1278
1279
T exdx 
J y¡Vve*~+e2x
Desarrollo
- + yjl + ex +e2* I +c
í
senjedx 
Veos2 x + 4cos.x + l
Desarrollo
f sen a ¿y _ f sen .y dx
J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3
= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c
f lnjcrtx 
J * V l-4 1 n x - ln 2 x
Desarrollo
ln xdxf ln xdx f ____J|
J x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2
dx , t
Sea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2
x
f lnAdt j" ln xdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du
J vVl-4ln;c-ln2 a J xy¡5-( \nx+2)2 J y j5-u2 J y¡5-u^ J y¡5-u2
,lnA + 2 x
- -y¡5 - ii' - 2 arcsen( -^ =r) + c = -V 1 - 4 ln a - ln" a - 2 arcscn( j - ) + c
88 Eduardo Espinoza Ramos
4.6. IN T EG R A C IO N D E FU N C IO N ES R A C IO N A LES.
® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
Consideremos dos funciones polinómicas:
P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amx m +amAxm~{ + ...+alx+ a0
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es 
P(x)decir
Q(x)
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función 
racional se denomina función racional propia, en caso contrario se 
denomina impropia.
Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el 
denominador se puede representar la función dada como la suma de un 
polinomio y de una función racional.
P(x) R(x)Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el
Q(x) 
grado de Q(x).
Q(x)
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias: 
P(x)
í Q(x)
d x , para esto consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
distintos.
Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2) . . . (x -an) , para este caso escribiremos:
donde Al ,A 2,...,An , son constantes]
P(x)
Q(x) x - a ¡ x - a 2 x - a n
que se van a determinar.
Integral Indefinida 89
SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que ( jc - a , ) es el factor que se repite P 
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
A A, AP— — + -----3 _ + ... + ------c—
x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p
donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.
TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos
irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor 
cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma:
Ax + B 
x2 +bx + c
CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y 
cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si x 2 +bx + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las 
fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
A|X +P| A2x + B2 ^ j
ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m
( 2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-
Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
\ P^ d x = X M + ... (a )
• Q(x) Qx(x) J Q2(x )
donde Qt (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su
derivada Q'(x).
90 Eduardo Espinoza Ramos
1280
1281
& (*) = -“ :* 0 i W . X(x) e Y(x)Qi(x)
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son 
menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x ) , respectivamente, los 
coeficientes indeterminados de X(x),Y(x) se calcula derivando la 
identidad (a).
Hallar las integrales: 
dx
J (x + a)(x + b)
Desarrollo
^ , efectuando y agrupando:
Cx + a)(x + b) x + a x + b
A + B = 0 } i i
1 A = -------- , B = -
Ab+ Ba = l! a —b a — b
f, * - M — i-* ---L . f J Ü - + - L . fj
J (x + a)(x + b) J x + a x + b a - b J x + a a - b j a
dx
T b
1 > i i l . i , i \ \ x + b ,- ln | jc + « | h------- \n \x + b\+c = -------ln | -------¡+c, a ^ b
a - b a - b a - b x+ a
I
x 2 - 5 jc + 9 
x 2 - 5 jc + 6
dx
Desarrollo
Integral Indefinida 91
1282
1283
1
dx
(jc — 1)(jc + 2)(jc + 3)
1
Desarrollo
A h— — + — — , efectuando y agrupando:
( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3) jc — 1 x + 2 x + 3 
1 = (A + B + C )x2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C)
A + B + C — 0 
5 A + 2 B + C = 0 
6 A - 3 B - 2 C = 0
A = — ; B = - ~ ; C = - 
12 3 4
J
dx
(jc-l)(;t+2)(x + 3)
B C u+ ------- 1------- )dx
x+ 2 x+3
_L f dx 1 f dx + J_ f 
12 J jc -l 3 J x + 2 4 J dx „t + 3
1 ln ! jc — 11 - - - I n ! x + 2 |+ — ln | x + 3| +ci i 3 i 412
= - | - [ ln |x - l ¡ - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|- 
12 12 (x+3)
1 , . (jc-IX jc+3)3 |+c
r 2x2
J ( x - i )
+ 4 U - 9 1
1)(jc + 3 )(jc- 4 )
2jc + 41jc—91
-dx
Desarrollo
A B Ch------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:
( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x + 3 x - 4 
2 x2 +41jc-91 = (A + B + C )x2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l2 ( A - 4 B + 3C)
92 Eduardo Espinoza Ramos
1284
A + B + C = 2 
de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C -4 1
-(12A -4B + 2C) = -91
resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5
2x2 + 41x-91
(x - l) (x + 3)(x + 4)
-dx
■ M r -J JC — 1 X + + 3 ,n | í i t ^ - 4)5 |+cx + 3 x - 4 (x + 3)
5x +2
x3 + 5x2 + 4x
dx
Desarrollo
5x3 +2 . 25.x2 -2 0 * + 2 , 25x2 -2 0 * + 2
— ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------
x - 5 x +4x x - 5x“ + 4x x(x 4)(.\ I)
25x2 - 20x + 2 A B C
x (x - l) (x -4 ) x x -1 c - 4
de donde
25 .v" — 20 x + 2 — {A + B + C)x~ + (5 A — 4B~ ( )x ■+ 4 A
A + B + C = 25 
- 5 A - 3 B - C = -20 
4A = 2
1 „ 7 ^ 161, resolviendo el sistema: A .11 . C = —
2 3 6
Integral Indefinida 93
1285
1286
í
dx 
x(x + l)
1
Desarrollo
= — h— — + — —— , efectuando la operación
x (x + l)2 A' X + l (x + l)‘
l = A (x + l ) 2 + B x (x + l) + Cx => 1 =( A + B )x2 +(2A + B + C)x + A , de donde: 
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1
A+B = 0
2A + B + C = 0 
A = 1
dx
JJ x(x + l)2 J * X+l (x + l)
,A B C( _ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^
J X x 1 (x + l)"
)dx
= ln x - ln I x + l I + —— + c = ln | ----- ¡ + -------+ c
1 1 x + l x + l x + l
f —J 4x3 - A
dx
Desarrollo
* _ i 
x3 — 1 1 4- = - + - ^ x - 4
4x3 x 4 4x' x x(x + 2 ) (x _ ^ )
A B C 
1 . ~ x + 1 + 1x + — x — 
2 2
B C\ Ade donde x - 4 = (A+B + C)x2 + ( - — + —)x ——
2 2 A
A + B + C = 0 
_ B C =1
2 + 2
resolviendo el sistema: A =16, B =-9, C =-7
94 Eduardo Espinoza Ramos
1287
\ - ^ T ^ d x = IV
J 4 x - x J 4
A B C w . t i H-----1------ — -i------ 7~)dx — — i— | 1 .
4 x , 1 „ 1 4 16J , l v 1,
í -
x - 4
í/x
x + — x — 
2 2
x(x + - ) ( x - - ) 
2 2
x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti ,—h— I (— +-— -------- r)dx = — h— [16lnx-9ln(x+ — ) - 7 ln ( x - ~ )]
4 16 J x 1 1 4 16 2 2xH— x — 
2 2
x 1 .= —+— ln 
4 16
„16
(x + i ) 9( x - i ) 7 
2 2
| +c = — + — ln |
4 16 (2x + l) (2 x - l)
y \ + c
f x4 - 6x3
J x3 - 6x2
+ 12x‘ + 6
+ 12x -8
dx
Desarrollo
x4 - 6x3 + 12x2 + 6 
x3 - 6x2 + 12x -8
: x + - 8x + 6
x - 6x‘ + 12x - 8
= x + -
8x + 6
(x~ 2)3
í
x4 - 6x3 + 12x2 +6 
x3 - 6x2 + 12x -8 í ‘dx = I (x +
8x + 6 
( x - 2)3
)dx
__x1 + 
2
B
( x - 2)2 ( x - 2)3
)dx
8x + 6 A + — ! L _ +_ C _ =>sx + 6 = A x2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C
( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3
A = 0 
.B-4A = 8 
2 A - 2 B + C = 6
, resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22
x4 - 6x3 + 12x2 + 6 , x2 f \ 8 22 w—------ --------------dx = — + (-------- - + ------— )dx
Integral Indefinida 95
1288
1289
___8 11
2 x - 2 ( x - 2)2 C
f (5x2 + 6x + 9 )dx
J (x -3 )2(x + 1)2
Desarrollo
5x2+6x + 9 _ A B C D
(x - 3 )2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1 + (x + 1)2
5x2 + 6x + 9 = (A + C)x3 + (-A + B - 5 C + D)x2 +
+(-5 A + 2B + 3 C - 6 D)x + (-3 A + B + 9C + 9D)
A + C = 0
- A + 5 - 5 C + D = 5 
-5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6 
-3 A + B + 9C + 9D = 9
9 lresolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = — , D = —
2 2
f 5x2 + 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 ,
------------ ------------r - d x = - ------------T + - I ---------------------------------------------------------- — = -( ---------- ) -( -------------) + C
j (x -3 )2(x + 1)2 2 J (x -3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1
f + 7 
J (x2 - 3 x - 1 0 )2 X
Desarrollo
f x2 - 8x + 7 J f x2 - 8 x + 7 ,
I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx
J (x -3 x -1 0 ) J (x -5 )2(x + 2 )2
96 Eduardo Espinoza Ramos
1290
1291
, A B t C | D 
x - 5 + ( x - 5 ) 2+ x+ 2 (x + 2)2
x 2 - 8jc + 7 = A(x + 5){x + 2)2 + B(x + 2)2 + C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5)2
i ! « = _ A C = - — __
343 ’ 49 ’ 343 ’ 49
f x 2 - S x + 1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , ,
J *= 5 4 3 ln 1' - 5 1 - - 3 « ln 1A+21"
= _ » ________ - — + ü L i „ |— j *
49(jc —5) 49U + 2) ~ ~
J (aT
30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - -
49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2
2jc —3 —rdx 
2)
Desarrollo
— dx 
(x~ — 3a:+ 2)
Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x -3 )d x
J (ac — 3ac+ 2) J w3 2/ r
Como
1
1 (x2 - 3jc + 2)3 ~' J «3 2m2 +C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2
I
X3 + AT +1
a:(a:2 + 1)
dx
Desarrollo
fAT3+JC+l (" 1 w f d.V-----r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- -----
J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)
___ !___ = A + Bx + C = (A + B)x -+ C x+ A ^ l = x 2 (A+C) + Cx +A
JC(.V2 +1) * X2 + l Af( A-2 +1)
Integral Indefinida 97
1292
A + B = 0] 
de donde: C = 0
A = 1
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0
fAT3 +JC+l f 1 x| ---- r-----dx = x+ | ( ------ —
J x(x2 +1) J X X2 H
)dx = x+lnx — ln(jc +l) + c 
+ 1 2
= x + ln |
Va:2 +1
\+c
f x 4dx
J x 4- 1
Desarrollo
\ s d x = L ' ) dx =x +
J * 4 - l J JC4 — 1 J a4 -1
1 A B Cx+D- + ----- + -
(ac-1)(a. + 1)(at + 1) * - 1 JC- 1 x2 +1
1 = (A + B + C)x3 + (A — B + D)x2 + (A + B + C)x + A — B — D
A + B + C =0 
A - B + D = 0 
A + B - C = 0 
A - B - D = 1
, resolviendo el sistema: A = — , B = — , C = 0, D
4 4
f ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx—— dx = x+ | ( ----- + ------+ —------)dx = x + - ---------- -------------I - —
J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + \ 2 J x - + l
1 , . JT- 1 . 1= x + - ln | ---- -1- - a r c t g x + c
4 AC + 1 2
98 Eduardo Espinoza Ramos
f_______ * _______
J (x2 — 4x + 3)(x2 + 4x + 5)
Desarrollo
1 _ A + B + Cx+D
(jc2 - 4 x + 3)(x2 + 4x + 5) x - 3 x - \ x2+4x + 5
efectuando operaciones y simplificando se tiene:
A(x3 + 4x + 5x) - A(x2 + 4x + 5) + fí(x3 + 4 + 5x) - 3fi(x2 + 4x + 5) +
+ C(x3 - 4x2 + 3x) + D(x2 - 4x + 3) = 1
(A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 + ( A - 7 B + 3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B + 3D = l
A + B + C = 0 
3A + B - 4 C + D = 0 
A - 7 B + 3C - 4 D = 0 
-5 A - 1 5 B + 3D = 1
1 1 2 3
resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = —
52 20 65 36
f dx f , A B Cx+D—-----------------------------= (------+ ------ + —----------- )dx
J (x - 4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5
= _L f_*L+ f 65I j L d x
5 2 j x - 3 20j x - 1 J x 2+4x + 5
1 1 1 f 2x + 4 7 f dx
= — ln (x -3 )----- ln(x-l)H -----I —------------ dx + ~— I —------------
52 20 65 J x + 4x +5 1 3 0 jx 2 +4x + 5
= — ln (x -3 )— — ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2)
52 20 65 130
Integral Indefinida 99
1294
1295
f dx
J77T
i i
Desarrollo
A Bx + C
x3 + l (x + l)(x2 - x + l) * + l X2 - X + l
1 — (A + B)x~ + (“ A + B + C )x + A + C
A + B = 0 
-A + ¿f + C = 0 
A + C = 1
1 „ 1 „ 2
, resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = —
3 3 3
x 2
\ ^ - = f ( - ^ - + B2X+C )dx = ] - [ — + f 3 3 dx
J X +1 J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x - x +1
= — ln(x + l)~ — ln(x2 - x + 1) + —^ arctg(-:~ -) + c
3 6 V3 V3
1 , , (x + 1)2 1= —l n . - - , ,
6 x“ - x +1 v3
2x - l
f dx
J x 4+1
Desarrollo
Ax + B Cx+D- + -
x4 + l (x2 +\Jlx + l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + \ x 2 - y ¡ l x + 1
l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y¡2A)x2 +(A + C + y¡2A-yÍ2B)x+B+D 
A + C = 0
B + D + \¡2C - \Í2A = 0 
A + C + y¡2D-y¡2B = 0 
B + D = 1
100 Eduardo Espinoza Ramos
1296
resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - —2V2 ’ 2 ’ 272
1 1 1 1
X + — -----T = X + -
f dx i* Ax + B Cx+D C 2V2 2 2\¡2 2 ,
Jx4+l“J x2+V2x+l + x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l
1 f X + SÍ2 _ 1 f X - y ¡ 2 .
' í T í j I?— T *+ yflx + 1 2\/2 J .Y“ — yflx + 1
2 ■ + y f l ,X + 1 * V2 X y f í .
In I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c
J
4V2 X2 - y í l x + \ 4 1 -x 2
dx
! +1
Desarrollo
x4 + x2 +1
x4 +x2 + l = x4 + 2x2 + l-x2 =(x2 +1)2 -x2
x4 + x2 +1=(x2 + x+ l)(x2 — x +1)
Ax+ B Cx+D - + -
X4 + X 2 +1 X~ + X + 1 X — X + 1
1 — (Ax + fí)(x — x + 1) + (Cx + D)(x~ + x +1)
1 = (í4 + C)x3 + ( B - A + C + D )x2 + ( A - B + C + D)x+B + D
A + C = 0 
B - A + C + D = 0 
A - B + C + D = 0 
B + D = l
integral Indefinida 101
1297
1298
resolviendo el sistema se tiene: A = — , B = — , C = ——, D =
2 2 2 2
f dx f . Ax+ B Cx+D N , 1 f x + 1 , 1 f x —1
—------5— = (—---------------------------------------------------- + -3--------- )dx = - , d x - - —— ---- dx
J x + x +1 J x ' + x + l x -x + 1 2 J x‘ + x +1 2 J x' - x + 1
I
1 , . x + x + l . 1 x - l
= - ln | —---------1 + — j= arctgí— -=-) + c
x x —x+1 2V3 x%/3
dx
7
Desarrollo
(l + .v2)2
Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO
í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dO
J (l + x“)~ J ( l + tg‘ 0)" J sec“0 J
f l + cos20 9 sen0 eos9 arctgx x= ------------ d G = - + --------------- + c = -— — + --------r -
J 2 2 2 2 2(1 + x )
r 3 x +5
I —r----------r—^ d x
J (x“ +2x + 2)
Desarrollo
(x2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx
f — — 2 = 3 í —T ~ ~ — ~ t x^+ f J (x 2 + 2x + 2) J (x 2 + 2x + 2)‘ J (x 2 + 2x + 2)~
= _______2_____ + 2 f _____ * _____
2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2
102 Eduardo Espinoza Ramos
1299
3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx
2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x + 2) J(z2+1)2
= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a + 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1)
■ J ; :+ 2 arctg z — 21 —--- - ... (1)2(x2 + 2x + 2) ” ~ J ( z 2+ 1)2
1
, „ , z 2d z Z arctg;integrando por partes; —----- =--- ---- h--—
' (z2+l)2 2(z +1) 2
Luego reemplazando en (1) se tiene:
J
í
3 a + 5 3 „ 2x+2— ----------- dx = ------ ----- — + 2 arctg( a + 1) + — -------------- arctgU + 1)+c
(x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 )
2x + \
= ---- ,------------ + arctg(.v + 1) + c
2(x~ + 2x + 2)
dx
Ha + 1 )2
Desarrollo
A Bx + C Dx + B- + -
( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2
( a + 1 ) ( a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A' + 1 (x2+ x + l)2
efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene:
1 = A(x2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x + l) + (x + l)(Dx+E)
Integral Indefinida 103
A + B = 0 
2 A + 2 B + C = 0
agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 0
2A+ B + 2C + D + E = 0 
A + C + E = 1
resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0
f - _____
J ( A + 1 ) ( x 2 + A + l ) 2 J A + l
Bx + C Dx + E- + —---------+ — ---------- -]dx
(A + 1 ) ( a ” + A + 1 ) “ J A + l A + A + 1 (A ^ + A + 1)
í t 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/xA + l X~+X+l (x~ + X+1)
, . i r 2a + i i w i r; ln | x + 1 I (—- ---------- ) d x - ~
2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J
, 2 a + 1 1( --------- ------ ---------- -)dx
(A + X + 1) ( a + A + 1 ) “
i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2: In a + i j — ln x + A + l + — =rarctg(— ?=^ -) + ------------------- ;--------+ c
2 3V3 v3 3( a + a + 1)
l
x3 +1
1 3 0 0 ! -----------------d x
Desarrollo
( a 2 — 4 a + 5 ) 2
a 3 + 1 Ax + B Cx+D
( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2
efectuando operaciones y eliminado denominadores:
a 3 + l = (A x + i? ) (x 2 + x + 1) + Cx +Z>
a 3 + 1 = A*3 + (-4 A + B) x 2 + (5 A -4 B + C)x + 5B + D
104 Eduardo Espinoza Ramos
por identidad se obtiene:
A = 1
-4 A + f í= 0 
5 A - 4 B + C = 0 
5B + D = l
A = 1
B = 4A => B = 4 
C = 11 
D = - 49
J (x ~ -4 x + 5)- J
. Ax+i? Cx+D ,
( - -----------+ —5------------ 7)dx
x2- 4 x + 5 (x — 4x + 5)
, x + 4 l lx -1 9 ,
= H — ------ + - T — ----- - r )d *1«x2 - 4x + 5 (x2 - 4x + 5)2
1 f , 2x — 4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx
= - (-5-----------+ — ------------- ¿ v + 3 I —--------------2 J x - 4 x + 5 x ~ -4 x + 5 2 J (x~-4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5)
= —Inlx2 -4 x + 5 |+ ó arc tg (x -2 )-— (—-——------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----2 1 5 2 ;c2_ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5)
1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x-17= — ln x - 4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ --------------he
2 ' 2 2(x - 4 x + 5)
Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:
f dx
J (x + l)2(x2+ l)2
Desarrollo
f dx _ Ax2 + Bx + C ^ f Dx2 + Ex + F
J (x +1)2 (x2 +1)2 (x + l)(x2 +1) J (x + l)(x2 + 1)
derivando y agrupando se tiene:
Integral Indefinida 105
Dx5 +(E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 +
(x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2
+(A + E + F - B + D - 3 C ) x ‘-+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C 
(x + l)2(x2+ l)2
de donde se tiene:
1 = Dx +(E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B)x +(A + E + F — B + D — 3C)x~ +
D = 0
E + D - A = 0 
E + D + F - 2 B = 0 
A + E + F + D - B - 2 C =0 
2A + E + F - 2C = 0 
B + F - C = 1
+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C
1 1 1 3resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - — , C = 0 , E = — , F = —
4 4 4 4
Como: dx
__________________ A x 2 + Bx + C |* Dx2 + E x + F
i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+ l) J (x + l)(x2+ l /
- X 2 + X__________ r x —3
4(x + l)(x2+ l) 4 J (x + l)(x~ + 1) dx
- X +x 1 f -2 -I i ------dx +
4(x + l)(x2 +1) 4 ' J x + l 1 7 h * - ¡
------^ -+ —In I x + l | ~ —ln |x 2 + 1 | + —arctgx + c
4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6
106 Eduardo Espinoza Ramos
1302 f dx
í
dx
Desarrollo
A x ’ + Bx2 +Cx+D f Ex’ + Fx2 +Gx+H
(x4 - l ) 2 x4 - l +J x4 +l
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
1 _ 3A(x6 - x2) + 2B(x5 ~ x) + C(x4 - l ) - 4 A x 6 + 4Bx5 - 4 Cx4 - 4 / l r 3
(x4- l )2 (x4 - \ ) 2
Ex3 + Fx2 + Gx + H
x4 —l
1 = E x7 + (F - A)x6 + ( G - 2B)x5 + ( H - 3C)x4 + (-3 D - E )x3 +
+ (—3A — F ) x 2 + (—2 B - G ) x - C — H
E = 0 
F - A = 0 
G - 2 B = 0 
H - 3 C = 0 
-3 A - E = 0 
- 3 A - F = 0 
- 2 B - G = 0 
- C - H = 1
, resolviendo el sistema se tiene:
A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - -
4 4
Ax3 + Bx2 +Cx + D f Ex3 + Fx2 +Gx+H
x4 - l
Integral Indefinida 107
I 1 _ I
, ------1 — + Í - 4 - * = -------í -------2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx
4(x — 1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x + l x - \ x + 1
X 3 f 1 1 w 3 f dx----- ----- + — I (-------- — )dx + ~ I —-----
4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8 J jc +1
x 3 , i x + l , 3- + — ln | ----- |+ -a rc tg x + c
4(x4 - 1) 16 x - 1
3 x 3 , x - l-a rc tg x ------------------- ln ------

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