13 INTRODUÇÃO À TOPOGRAFIA

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INTRODUÇÃO À
TOPOGRAFIA
ALTIMETRIA – PARTE 1
ALTIMETRIA
A elaboração de projetos de engenharia tem como pré requisito o 
estudo detalhado da área onde a obra será implantada. Além da 
posição de cada elemento existente na área é preciso conhecer as 
variações que o relevo apresenta. Isso permite verificar: o movimento 
da água nos solos, o cálculo do volume de solos a ser movimentado, 
identificação de área de PP, áreas de risco, etc..
DEFINIÇÃO.
 De acordo com COMASTRI, 1999: “Altimetria é a parte da 
Topografia que trata dos métodos e instrumentos empregados no 
estudo e na representação do relevo do solo”.
 UTILIZAÇÃO: Associada à planimetria influencia no uso 
e ocupação dos solos.
O RELEVO PODE SER REPRESENTADO:
 Pontos cotados;
 Curvas de níveis;
 Perfis e seções transversais.
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DO 
RELEVO
PONTOS 
COTADOS é a 
forma mais 
simples de 
representação do 
relevo; as 
projeções dos 
pontos no terreno 
têm representado 
ao seu lado as 
suas cotas ou 
altitudes (figura 
1).
Figura 1. Representação em X e Y de pontos com cotas
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DO RELEVO
X1
Y1
Y2
X2
96,20 m
99,40 m
99,40 m
96,20 m
96,70 m
99,20 m
99,00 m
99,60 m
99,70 m
100,00 m
99,90m
99,70 m
98,60 m
98,50 m
98,40 m
98,30 m
98,10 m
97,40 m
96,30 m
97,20 m
96,70 m
94,60 m
94,70 m
96,10 m
97,00 m
96,20 m
CURVAS DE 
NÍVEIS, podem ser 
determinadas a partir 
dos pontos cotados. 
Representam 
lugares geométricos 
de mesma altura 
(figura 2).
Figura 2. Planta com as curvas de níveis.
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DO RELEVO
Perfis longitudinais e seções transversais: são cortes 
verticais do terreno ao longo de uma determinada linha. 
Um perfil longitudinal é obtido a partir da interseção de um 
plano vertical com o terreno (figura 3). É de grande 
utilidade em arquitetura, geologia e engenharia.
Figura3. Representação esquemática de um plano vertical interceptando o terreno.
DEFINIÇÕES
 Para estudar e representar o relevo é necessário 
conhecer as alturas dos pontos que o definem.
 Altura de um ponto ou cota:
 Distância vertical que separa esse ponto de uma 
superfície denominada superfície de comparação.
DEFINIÇÕES
 Superfície de nível real ou verdadeira: superfície 
correspondente ao nível médio dos mares (geóide);
 superfície curva
 pode ser obtida por meio de aparelhos topográficos e 
técnicas adequadas.
 Superfície de nível aparente: plano de referência 
arbitrário e hipotético situado abaixo ou acima do nível 
médio dos mares
DEFINIÇÕES
 Altitude: distância vertical da superfície de nível de 
comparação até o ponto na superfície terrestre. Nesse 
caso a SNC corresponde ao NMM.
DEFINIÇÕES
Modelos terrestres utilizados:
a)Modelo Real
Forma exata da Terra; -Não existe modelagem matemática 
(não pode ser definido matematicamente) devido à
irregularidade da superfície terrestre; 
b)Modelo Geoidal
Permite que a superfície terrestre seja representada por uma 
superfície fictícia definida pelo prolongamento do nível médio 
dos mares (NMM) por sobre os continentes. -Determinado 
matematicamente através de medidas gravimétricas (força da 
gravidade) realizadas sobre a superfície terrestre; -
Específicos da Geodésia. 
c)Modelo Elipsoidal 
É o mais usual de todos os modelos que serão apresentados. 
Nele, a Terra é representada por uma superfície gerada a 
partir de um elipsóide de revolução, com deformações 
relativamente maiores que o modelo geoidal. 
d) Esfera modelo.
FORMAS DA TERRA
 GEÓIDE;
 ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO;
 ESFERA MODELO;
 PLANO TOPOGRÁFICO;
 SUPERFÍCIE REAL: superfície onde são realizadas as 
atividades humanas
O GEÓIDE
 superfície de nível em que se abstrai as ondulações do terreno: 
podendo ser definida pela superfície do nível médio das águas do 
mar, suposta prolongada debaixo dos continentes.
O ELIPSÓIDE
 Diferentes regiões do globo se 
obtêm elipsóides diferentes. 
 DATUM LOCAL
 DATUM GLOBAL
1. Contém a forma e tamanho de um 
Elipsóide
2. Contém a posição do elipsóide relativa 
ao geóide.
 Assim temos, entre outros, os 
elipsóides de Bessel, Clarke, 
Fisher, Hayford e o WGS-84 com 
as seguintes características:
 é o sólido gerado pela rotação de uma semi-elipse em torno de um 
dos seus eixos. Para o caso em estudo a rotação é feita em torno de 
eixo polar N-S, sendo a e b respectivamente o semi-eixo equatorial e 
o semi-eixo polar.
ESFERA MODELO
 É a redução do modelo elipsoidal 
para um modelo matemático mais 
simples.
 R=(M*N)1/2, sendo 
 R o raio da esfera,
 M o raio equatorial,
 N o raio polar
ERRO DE NÍVEL APARENTE
FORMAS DE DETERMINAÇÃO DAS DIFERENÇAS DE 
NÍVEL E COTAS
1. Estadimetria ou taqueometria, 
2. Nivelamento geométrico simples e composto 
3. Nivelamento trigonométrico
4. e Nivelamento barométrico
NIVELAMENTO TAQUEOMÉTRICO
APLICAÇÃO DAS FÓRMULAS
 Obtenção das cotas:
msenDnlisengmDn 70,350,154,1
2
´)303(2*100*600,0
2
2**
0
10 

 

Cota1=Cota0+Dn0-1
 Cálculo da tolerância,
 Correção das cotas, MÉTODO PRÁTICO
1500 

n
pT
Exemplo- caderneta de campo
-2º55`1.5402.21001.6051.000357º00`5-0
CASA+1º00`1.6201.8001.5401.280338º40`4-c
-3º00`1.6202.1501.5751.000277º25`4-5
-4º40`1.6502.0441.6721.300201º20`3-4
+4º00`1.6002.0941.6671.240161º20`2-3
POSTE+3º10`1.6001.9301.6201.310205º 00`2-b
+6º23`1.6002.1101.7051.30069º15`1-2
CASA+2º10`1.6001.7801.5401.300200º20`1-a
+3º30`1.5401.8001.5001.200109º 50`0-1
FIFMFS
ESTACA OBS.:ANG
VERT
ALT
INST
LEITURA DA MIRAAZIMUTE
CORR
Exemplo – caderneta de escritório
534,05∑
20,0020,186,21120,69357º00`5-0
CASA33,2333,350,9951,98338º40`4-C
26,2426,395,97114,69277º25`4-5
32,2432,366,0673,91201º20`3-4
38,3338,425,8884,98161º20`2-3
POSTE35,8835,943,4061,81205º 00`2-B
32,4832,548,8480,0069º15`1-2
CASA25,5425,571,8747,93200º20`1-A
23,6723,703,7059,78109º 50`0-1
-+
OBSCOTAS
CORR
COTASDIF DE NÍVELDIST
RED
AZIMUTE
CORR
EST
Curvas de Nível
Definição
Curva de Nível é uma linha que une os pontos de 
mesma cota ou altitude;
Cada uma destas linhas, pertencendo a um mesmo 
plano horizontal tem, evidentemente, todos os seus 
pontos situados na mesma cota altimétrica, ou seja, 
todos os pontos estão no mesmo nível.
Curvas de Nível
 Os planos horizontais de interseção são 
sempre paralelos e eqüidistantes e a 
distância entre um plano e outro denomina-se 
Eqüidistância Vertical.
Eqüidistância 
Vertical de 20m
Curvas de Nível
 A eqüidistância vertical das curvas de nível 
varia com a escala da planta e recomendam-
se os valores da tabela abaixo
Curvas de Nível
 As curvas de nível, segundo o seu 
traçado, são classificadas em:
 mestras: todas as curvas 
múltiplas de 1, 5 ou 10 metros. 
São representadas por linhas 
mais fortes e a cada 4 curvas 
intermediárias, tem-se uma curva 
mestra;
 intermediárias: todas as curvas 
múltiplas da eqüidistância 
vertical, excluindo-se as mestras.
 meia-eqüidistância: utilizadas 
na densificação de terrenos 
muito planos. Possui metade da 
eqüidistância vertical
As Curvas são representadas em tons 
de marrom ou sépia (plantas coloridas) 
e preto (plantas monocromáticas).
As curvas mestras são representadas 
por traços mais espessos e são todas 
cotadas
As Curvas são representadas em tons 
de marrom ou sépia (plantas coloridas) 
e preto (plantas monocromáticas).
As curvas mestras são representadas 
por traços mais espessos e são todas 
cotadas
ELABORAÇÃO DA PLANTA COM CURVAS DE NÍVEIS
ELABORAÇÃO DA PLANTA COM CURVAS 
DE NÍVEIS
A partir das cotas 
determina-se a projeção 
em planta das curvas de 
níveis. O método 
adotado para realizar 
esse processo é o da 
interpolação numérica
Curvas de Nível
 Normas para o desenho de uma curva de nível:
 Duas curvas de nível jamais devem se cruzar.;
 Duas ou mais curvas de nível jamais poderão convergir para 
formar uma curva única, com exceção das paredes verticais 
de rocha;
 Uma curva de nível inicia e termina no mesmo ponto, 
portanto, ela não pode surgir do nada e desaparecerrepentinamente;
 Nos cumes e nas depressões o relevo é representado por 
pontos cotados;
X !
X
ELABORAÇÃO DA PLANTA COM CURVAS DE NÍVEIS
ELABORAÇÃO DA PLANTA COM CURVAS DE NÍVEIS
ELABORAÇÃO DA PLANTA COM CURVAS DE NÍVEIS
 Interpolação numérica
 Alinhamento 0-1
 Distância gráfica 0-1 = 6,0 cm
 Diferença de nível = 23,74-20,00 = 3,74 m
3,74 m ------------ 6,0 cm
1,00 m ------------x => x=1,60 cm
 Alinhamento 1-2
8,0 cm -------- 8,88 m
y-------------1,00m => y = 0,90 cm
1,00 m -----------------0,90 cm
0,26 m------------------z => z = 0,23cm
INTERPOLAÇÃO NUMÉRICA
SNA
TERRENO
A(103,35)
B(108,96)
C(?)
DH
DN
ELABORAÇÃO DA PERFIL LONGITUDINAL
ELABORAÇÃO DA PERFIL LONGITUDINAL
ALGUMAS FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
EM CURVAS DE NIVEIS
Figura10. Elevação Figura11. Depressão
Figura12. Linha de talvegue Figura13. Linha divisor de águas
ALGUMAS FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
EM CURVAS DE NIVEIS
Figura14. Garganta
CÁLCULO DECLIVIDADES
100*(%)
DH
DVD 
)arctan()(0
DH
DVD 
 DV = Diferença de nível ou distância vertical
 DH = Distância horizontal ou reduzida
 DV = Cota do ponto de vante – cota ponto de ré
GREIDES, CORTES E ATERROS
23
24
25
26
27
28
S
up
er
f1
E
st
ac
a
C
oo
rd
0
23
.6
37
24
.4
63
25
.1
26
25
.5
44
26
.0
03
26
.6
91
27
.5
28
27
.8
66
27
.5
18
27
.1
42
27
.1
21
A
B C
Classes de declividades_geoprocessamento
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
 Levantamentos Altimétricos (Nivelamentos):é a operação que 
determina as diferenças de nível ou distâncias verticais entre pontos 
do terreno, incluindo também, o transporte da cota ou altitude de um 
ponto conhecido (RN Referência de Nível) para os pontos 
nivelados.
INSTRUMENTOS
Nível de Precisão e Mira
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES: 
 Este processo é utilizado quando não há mudança de estação, ou 
seja, quando uma estação é suficiente para visar todos os pontos 
desejados para o projeto a ser executado. Por diferença de leituras 
da mira, obtém-se as diferenças de nível entre os pontos visados.
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES:
101,002,00B
100,00103,003,00A
Cota (m)Vante (m)AI (m)Ré (m)Estação
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO:
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO:
?1,800P3
?0,500P4
?1,000?3,200P2
100,00?1,500P1
VPP - PMInter
CotasVanteAIRéEstação
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO:
101,901,800P3
103,200,500P4
100,501,000103,703,200P2
100,00101,5001,500P1
VPP - PMInter
CotasVanteAIRéEstação
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
 ETAPAS PARA O NIVELAMENTO GEOMÉTRICO:
 Materializar pontos a serem nivelados:
 Os pontos devem estar alinhados ou formando 
malhas retangulares entre si. As distâncias entre 
eles devem ser medidas ou estabelecidas a priori.
 Instalar o nível fora do alinhamento de modo que se 
possa ver o maior número de posições da mira.
 Colocar a mira em cada ponto e fazer a leitura da 
projeção do FM sobre a mira.
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
COMPOSTO: CASO DE UM POLÍGONO
?1,900P4
?3,950?3,100P3
?0,500P1
?0,800?0,150P2
35,00?2,300P1
VPP - PMInter
CotasVanteAIRéEstação
RESULTADO DAS COTAS E ERRO
33,901,900P4
32,703,95035,8003,100P3
35,300,500P1
36,500,80036,6500,150P2
35,0037,3002,300P1
VPP - PMInter
CotasVanteAIRéEstação
RESULTADO COMPENSADO
33,601,900P4
32,503,95035,5003,000P3
35,000,500P1
36,400,80036,4500,050P2
35,0037,2002,200P1
VPP - PMInter
CotasVanteAIRéEstação
CLASSIFICAÇÃO DOS NIVELAMENTOS
 1°classe - referenciados à superfície de nível verdadeiro. Ex: 
barométrico
 2°classe - referenciados ao nível aparente. Ex: taqueométrico, 
trigonométrico e o geométrico (ou diferencial)
 a) Classe IN -nivelamento geométrico para implantação de 
referências de nível (RN) de apoio altimétrico. 
 b) Classe IIN -nivelamento geométrico para a determinação de 
altitudes ou cotas em pontos de segurança (Ps) e vértices de 
poligonais para levantamentos topográficos destinados a 
projetos básicos executivos e obras de engenharia. 
 c) Classe IIIN -Nivelamento trigonométrico para a determinação 
de altitudes ou cotas em poligonais de levantamento, 
levantamento de perfis para estudos preliminares e/ou de 
viabilidade de projetos. 
 d) Classe IVN -Nivelamento taqueométrico destinado a 
levantamento de perfis para estudos expeditos. 
CLASSIFICAÇÃO DO NIVELAMENTO 
CONFORME A PRECISÃO
 Alta Precisão: o erro médio admitido é de ±1,5mm/km
 Primeira ordem: o erro médio admitido é de ±2,5mm/km
 Segunda ordem: o erro médio admitido é de 1,0cm/km
 Terceira ordem: o erro médio admitido é de 3,0cm/km
 Quarta ordem: o erro médio admitido é de 10,0cm/km
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
FMiTanDHDN AB  *
FMiTanDHDN AB  *
Visada ascendente
Visada descendente
Ângulo Zenital
EXEMPLO DE UM NIVELAMENTO 
TRIGONOMÉTRICO
NIVELAMENTO BAROMÉTRICO
 Baseia-se na diferença de pressão com a altitude, tendo 
como princípio que, para um determinado ponto da 
superfície terrestre, o valor da altitude é inversamente 
proporcional ao valor da pressão atmosférica. Este 
método, em função dos equipamentos que utiliza, 
permite obter valores em campo que estão diretamente 
relacionados ao nível verdadeiro
INSTRUMENTOS
Nivelamento Barométrico: 
 Barômetros de Mercúrio
 Barômetros Aneróides
 Analógicos
 Digitais
FÓRMULAS NIVELAMENTO BAROMÉTRICO
 Temperaturas não Lidas:
 Temperaturas Lidas:
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
Figura10. Seções transversais, corte e aterro respectivamente
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 Taludes de corte tem relação 1/1 e talude de aterro 
relação 2/3
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 Método das Seções Transversais
A aplicação desta fórmula supõe seções planas 
paralelas entre si, espaçadas de uma distância “d”
 Para uma mesma seção pode-se 
ter área de corte e aterro
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 O mais complicado e demorado deste método é o cálculo das 
áreas das seções transversais. A aplicação da fórmula em si é
muito simples. Antes de partirmos para um exemplo de cálculo, 
vejamos a nomenclatura utilizada nas seções transversais a 
serem calculadas
DETERMINAÇÃO DO VOLUME DE CORTE
 Exercício - Uma vala foi aberta para a passagem de uma 
tubulação, conforme mostra a figura abaixo.Pede-se para calcular o 
volume de escavação efetuado. Para efeitos de cálculo, tanto o 
terreno quanto a base da escavação são planos.
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 Superfícies Eqüidistantes, utilizando seções horizontais
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 Exemplo:
Foi projetada uma represa entre os pontos A e B, indicados no mapa 
abaixo. Sabendo que a cota de inundação será 112m, calcular o 
volume de água a ser represada pela barragem. As unidades do 
mapa estão em metros.
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
A primeira etapa é marcar a posição da barragen sobre o mapa. 
Sabendo-se que a cota de inundação é 112m, então tudo que 
estiver compreendido entre a curva de nível de cota 112m e abaixo 
desta cota será inundado. Para calcular o volume de inundação 
temos que determinar qual é a área que cada curva de nível define 
em relação a barragem.
Via programa CAD
V = 1101461,1 m³
A FIGURA A SEGUIR REPRESENTA EM 3D 
A ÁREA A SER REPRESADA.
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 Método das alturas ponderadas
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
Figura11. Exemplo de taludes de corte e aterro
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
Figura. Exemplo de taludes de corte e aterro
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
Primeiro passo: estaqueamento
Segundo passo: nivelamento
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 Calcular o volume de corte para a malha dada abaixo. A cota de 
escavação é 100m e o lado da malha quadrada mede 20 m. São 
dadas as cotas, em metros, de cada um dos vértices da malha.
Volume = 6160,0 m³
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 DETERMINAÇÃO DA COTA DE PASSAGEM
 Determinar volumes de corte e aterro iguais
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
Para uma cota de escavação Co encontramos um 
volume Vo. Agora queremos calcular um valor de 
cota de passagem (Cp) para qual o volume de corte 
compensariao volume de aterro.
Vo = S . h, onde S = área total da malha
Então, h = Vo / S
Este valor de h está referenciado ao plano de cota 
Co, então o valor final da cota de passagem será:
Cp = Co + h
Cp = Co + Vo/S
DETERMINAÇÃO DO VOLUME
 Outra forma de calcular a cota de passagem é fazendo uma média 
ponderada dos valores das cotas dos pontos da malha, onde o peso
de cada cota segue o mesmo raciocínio dos pesos mostrados 
anteriormente, ou seja, pontos do canto da malha, peso 1, pontos
das bordas da malha peso 2 e assim por diante. Vejamos o cálculo 
para o mesmo exercício
Cota de passagem = Σ Cota. Peso / Σ Pesos