Lista1_CET147

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UFRB
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II CURSO:
PROFESSOR: Gilberto Pina DATA: / /
NOME: TURMA:
Lista de Exercícios I
Atualizada em 7 de julho de 2013
Questões:
EP 1. Por uma mudança de variáveis conveniente, encontre a família de primitivas para cada função:
(a)
Z
3x2
3
√
x3 − 1dx
(b)
Z
e1/x + 2
x2
dx
(c)
Z
arcsen(x)
2
√
1− x2 dx
(d)
Z
È
5t4 + t2dt
(e)
Z
ex
e2x + 36
dx
(f)
Z
dt
t ℓn(t)
(g)
Z
€
e2x + 2
Š4
e2xdx
(h)
Z
8x2
È
6x3 + 5dx
(i)
Z
sen(2x)
(7− sen2(x))3 dx
(j)
Z
x2(sen(2x3) + 5x2)dx
(k)
Z
x
(1 + 4x2)2
dx
(l)
Z
sen2(x) cos(x)dx
(m)
Z
sen2(x) cos3(x)dx
(n)
Z
sen3(x) cos3(x)dx
(o)
Z
sen(2x)
È
1 + cos2(x)dx
(p)
Z
tg3(x) sec2(x)dx
(q)
Z
x
x+ 1
dx
(r)
Z
2x+ 3
x+ 1
dx
(s)
Z
x2
x+ 1
dx
(t)
Z
2
4 + x2
dx
(u)
Z
1
2 + 5x2
dx
(v)
Z
x
5 + x2
dx
(w)
Z
3x+ 2
1 + x2
dx
(x)
Z
x
x2 + 2x+ 3
dx
(y)
Z
2x
x4 + 2x2 + 1
dx
(z)
Z
1
x2 + x+ 1
dx
(a’)
Z
x3
1 + x8
dx
(b’)
Z
dx
2x2 + 4x+ 1
(c’)
Z
1√
−2x2 − 4x+ 8dx
(d’)
Z
xe−2xdx
(e’)
Z
€
x2 + 4
Š2
2xdx
(f’)
Z
dx√
3x− 5
(g’)
Z
tg(x)dx
(h’)
Z
sec(x)dx
(i’)
Z
e
√
x
√
x
dx
(j’)
Z
ecos(x) sen(x)dx
(k’)
Z
ax
2
xdx
(l’)
Z
�
e2x
�2
dx
(m’)
Z
e2x
2 + e2x
dx
(n’)
Z
ex√
1− e2x dx
(o’)
Z
È
1 +
√
x√
x
dx
(p’)
Z
cos3(x)
sen4(x)
dx
EP 2. Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:
(a)
Z
x sen(5x)dx
(b)
Z
te4tdt
(c)
Z
(x+ 1) cos(2x)dx
(d)
Z
ex cos

x
2
‹
dx
(e)
Z
ℓnxdx
(f)
Z
ℓn(1− x)dx
(g)
Z
x ℓnxdx
(h)
Z
ℓn(ax+ b)√
ax+ b
dx
(i)
Z
x sec2 xdx
(j)
Z
x arctg xdx
(k)
Z
sec3 xdx
(l)
Z
cossec3 xdx
(m)
Z √
x ℓnxdx
(n)
Z
ℓn(x2 + 1)dx
(o)
Z
x2 ℓnxdx
(p)
Z
(x− 1) sec2 xdx
(q)
Z
x(ℓnx)2dx
(r)
Z
e−2x senxdx
(s)
Z
x3ex
2
dx
(t)
Z
x3 cos(x2)dx
(u)
Z
e−x cos(2x)dx
(v)
Z
x2 senxdx
(w)
Z
arctg(3x)dx
(x)
Z
x2 sen(1− x)dx
EP 3. Calcule as integrais das seguintes funções racionais:
(a)
Z
x− 1
x3 + x2 − 4x− 4dx
(b)
Z
3x3
2x3 − x2 − 2x+ 1dx
(c)
Z
1
x3 − 4x2 dx
(d)
Z
x3 + 2x2 + 4
2x2 − 2 dx
(e)
Z
5
x3 + 4x
dx
(f)
Z
x− 3
x2 − 2x+ 5dx
(g)
Z
1
x3 + 9x
dx
(h)
Z
1
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx
(i)
Z
x3 + x2 + 2x+ 1
x3 − 1 dx
(j)
Z
(2x− 1)dx
(x− 1)(x− 2)
(k)
Z
dx
(x− 1)2(x− 2)
(l)
Z
xdx
(x2 + 1)(x − 1)
(m)
Z
15
x2 + 3x− 4dx
(n)
Z
15
x2 + 4x+ 9
dx
(o)
Z
1
2x2 + 6x− 2dx
(p)
Z
x
x2 + 4x− 5dx
(q)
Z
3x3
3x2 + 18x+ 27
dx
(r)
Z
s4 + 81
s(s2 + 9)2
ds
EP 4. Resolva as integrais abaixo que envolvem funções trigonométricas:
(a)
Z
sen(2x)
cos x
dx
(b)
Z
sen(eω + 8)dω
(c)
Z
sen3(2x+ 1)dx
(d)
Z
cos5(3− 3x)dx
(e)
Z
2x sen4(x2 − 1)dx
(f)
Z
tg3 x cos4 xdx
(g)
Z
cos4 xdx
(h)
Z
tg4 xdx
(i)
Z
sen2 x
cos4 x
dx
(j)
Z
sen(3x) cos(5x)dx
(k)
Z
sen(ωt) sen(ωt+ θ)dt
(l)
Z
cos3 x
sen4 x
dx
EP 5. Resolva as seguintes integrais irracionais:
Lista de Exercícios I # Cálculo Diferencial e Integral II 2
(a)
Z
dx√
x(
√
x+ 4 4
√
x+ 3)
(b)
Z
4
√
x
2 +
√
x
dx
(c)
Z
√
x+ 1
2 +
√
x+ 1
dx
(d)
Z
1
x
√
1− xdx
(e)
Z
1−√x
1 +
√
x
dx
(f)
Z
x
x+
√
x− 1dx
(g)
Z
dx
x
√
9− x2
(h)
Z
√
x2 − 16
x2
dx
(i)
Z
x2
È
1− (x− 1)2
dx
(j)
Z
dx
x2
√
x2 + 9
(k)
Z
1√
x2 − 2x− 8dx
(l)
Z
1√
x2 + 2x+ 10
dx
(m)
Z
1√
−x2 − 3x+ 4dx
(n)
Z
1√
x2 − x+ 2dx
(o)
Z
x+ 1√
x2 − 4x+ 1dx
(p)
Z
x− 2√
x2 − 2x+ 3dx
(q)
Z
dx
x
√
x2 − 1
(r)
Z
2 dx√
x+ 4x
√
x
EP 6. Use um método adequado e resolva as seguintes integrais:
(a)
Z
sen(x2 + 4x− 6)
(x+ 2)−1
dx
(b)
Z
√
ℓnx+ 1
x
dx
(c)
Z
ℓnx2
x
dx
(d)
Z √
x ℓnxdx
(e)
Z
x2 arctg xdx
(f)
Z
ℓn(x+
È
1 + x2)dx
(g)
Z
x sec2 xdx
(h)
Z
x− 1
2x2 + 4x+ 20
dx
(i)
Z
dx√
x2 + 2x
(j)
Z
x+ 1
x2 + 4x− 7dx
(k)
Z
dx√
−x2 + 2x
(l)
Z
4x2 + 3x+ 1
x3 + x2
dx
(m)
Z
arcsenxdx
(n)
Z
ℓn(x2 + 2x− 8)dx
(o)
Z
tg x ℓn(cos x)dx
(p)
Z
ℓn(
È
x2 + 2x)dx
(q)
Z
√
1− x2
x2
dx
(r)
Z
cos x
1 + cos x
dx
(s)
Z
sen2(2x) cos(2x)dx
(t)
Z
cos θdθ
sen θ cos θ + sen θ
(u)
Z
3dx√
9x2 − 1
EP 7. Use a substituição trigonométrica t = tg
€
x
2
Š
e resolva as integrais a seguir:
(a)
Z
1 + senx
senx(1 + cosx)
dx
(b)
Z
2
senx+ tg x
dx
(c)
Z
1 + cos x
1− senxdx
(d)
Z
1
3 + sen(2x)
dx
(e)
Z
dx
3 + senx+ cos x
(f)
Z
ex
4 sen(ex)− 3 cos(ex)dx
(g)
Z
cos x
1 + cos x
dx
(h)
Z
dx
4− senx+ cos x
(i)
Z
dx
1 + senx+ cos x
EP 8. Seja f : [0, 1) → R definida por f(x) = 1√
1− x2 . Verifique se
Z 1
0
f(x)dx existe.
EP 9. Para cada um dos itens a seguir, determine o valor de cada integral, se existir:
(a)
Z
√
2
1
xe−x
2
dx
(b)
Z 1
−1
x2√
x3 + 9
dx
(c)
Z
π
4
0
tg2 x sec2 xdx
(d)
Z 2
1
�√
x+
1
3
√
x
+ 4
√
x
�
dx
(e)
Z
4
3
3
4
1
x
√
1 + x2
dx
(f)
Z 3
0
x√
x+ 1
dx
(g)
Z 1
0
x senxdx
(h)
Z
π
3
0
tg xdx
(i)
Z 4
1
x√
2 + 4x
dx
Lista de Exercícios I # Cálculo Diferencial e Integral II 3
EP 10. Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
(a)
Z 1
0
�
x+
√
x− 1
3
√
x
�
dx
(b)
Z 2
0
x2 ℓnxdx
(c)
Z +∞
1
1
x2
cos

1
x
‹
dx
(d)
Z
√
2
2
0
1√
1− x2 dx
(e)
Z +∞
−2
1
(x+ 1)2
dx
(f)
Z +∞
−∞
xe−|x−4|dx
(g)
Z 5
1
1√
5− xdx
(h)
Z +∞
0
e−xdx
(i)
Z 4
0
x√
16− x2dx
(j)
Z +∞
0
xe−xdx
(k)
Z +∞
1
1
x
√
x2 − 1dx
(l)
Z 1
0
1√
1− xdx
(m)
Z 1
−∞
exdx
(n)
Z 1
−1
1
x4
dx
(o)
Z 1
0
1
x3
dx
EP 11. Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá
gás natural a uma taxa dada por f(t) = 700e−
1
5
t milhares de metros cúbicos, onde t é o tempo desde
o início da produção. estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.
EP 12. Dada a integral
Z +∞
1
1
xp
dx, p ≥ 0, determine:
(a) Todos os valores de p para os quais a integral é convergente.
(b) Todos os valores de p para os quais a integral é divergente.
EP 13. Dada a integral
Z +∞
e
1
x (ℓnx)p
dx, p ≥ 0, determine:
(a) Todos os valores de p para os quais a integral é convergente.
(b) Todos os valores de p para os quais a integral é divergente.
EP 14. Calcule, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais impróprias:
(a)
Z +∞
1
xe−x
2
dx
(b)
Z +∞
−∞
arctg x
x2 + 1
dx
(c)
Z
π
2
−∞
sen(2x)dx
(d)
Z 1
0
x ℓnxdx
(e)
Z 9
0
e
√
x
√
x
dx
(f)
Z π
0
cos x√
1− senxdx
EP 15. Em equações diferenciais, define-se a Transformada de Laplace de uma função f por
F (s) = L(f(x)) =
Z +∞
0
e−sxf(x)dx,
para os valores de s ∈ R tais que a integral imprópria é convergente. Encontre a Transformada de
Laplace das seguintes funções:
(a) f(x) = eax (b) f(x) = cos x (c) f(x) = senx
EP 16. A função gama, denotada pela letra Γ, é definida para todo x > 0 por
Γ(x) =
Z +∞
0
tx−1e−tdt.
(a) Calcule Γ(1) e Γ(2).
(b) Prove que, para todo n inteiro positivo, Γ(n+ 1) = nΓ(n).
Lista de Exercícios I # Cálculo Diferencial e Integral II 4
EP 17. Em cada um dos itens a seguir, verifique se a integral dada converge ou diverge:
(a)
Z +∞
0
xdx
x3 + 2
(b)
Z +∞
0
xdx
x2 + x+ 1
(c)
Z +∞
0
x2 − x− 1
x4 + 1
dx
(d)
Z +∞
1
cos2 x
x
√
x
dx
(e)
Z +∞
0
1 + 2 cos(
√
x2 + 1)
(x+ 1)2
dx
(f)
Z +∞
1
ℓnx
x3
dx
(g)
Z +∞
1
ℓnx
x
√
x
dx
(h)
Z +∞
1
(ℓnx)8
x
√
x
dx
(i)
Z +∞
1
ℓnxr
x1+ε
dx, r > 0, ε > 0
(j)
Z +∞
1
x ℓnx
(x+ 1)2
dx
(k)
Z +∞
10
dx
(x− 5)3/2
(l)
Z 0
−∞
(x+ 1)2dx
x4 + 1
(m)
Z +∞
1
xdx
(x+ senx)2
(n)
Z +∞
1
xdx
(x+ cos x)3
(o)
Z +∞
0
(x4 + x3 + 1)e−xdx
(p)
Z +∞
0
e−
√
x
È
1 + x2dx
(q)
Z +∞
−∞
e−x
2
(x+ 1)2dx
(r)
Z +∞
−∞
ex + e−x
x2 + 1
dx
(s)
Z 0
−∞
e−xdx
x4 + 1
(t)
Z 0
−∞
ex(x4 + 1)dx
(u)
Z +∞
0
senx
x2 + 1
dx
(v)
Z +∞
0
cos x
x
√
x+ 1
dx
(w)
Z +∞
0
1− 3 senx
(x+ 1)2
dx
(x)
Z +∞
0
sen(x2 + 1)
(x+ 1)3/2
dx
(y)
Z +∞
1
1− senx
xπ
dx
(z)
Z +∞
2
dx
x ℓnx
(a’)
Z +∞
2
dx
x(ℓnx)r
, r > 1
EP 18. Estabeleça a convergência das seguintes integrais:
(a)
Z +∞
1
xxe−xdx
(b)
Z +∞
1
cos x
x
dx
(c)
Z +∞
−∞
senx
x
dx
(d)
Z +∞
1
senx√
x
dx
(e)
Z +∞
1
senx
3
√
x
dx
(f)
Z +∞
1
sen(x2)dx
EP 19.
EP 20. Em cada umdos itens a seguir, verifique se a integral dada converge ou diverge:
(a)
Z 1
0
cos t√
t
dt
(b)
Z 1
0
sen(
√
x2 + 1)
x2/3(x2 + 1)
dx
(c)
Z 1
0
ex
x3/2(x2 + 1)
dx
(d)
Z 1
0
ℓn (1− t)√
1− t2 dt
(e)
Z 1
0
dx√
x+ senx
(f)
Z 1
0
cos x
xr
dx, r ≥ 1
Gabarito e Sugestões
1. (a)
3
2
(x3− 1)2/3 + k (b) −e1/x− 2
x
+ k (c)
(arcsen(x))2
4
+ k (d)
1
15
(5t2 +1)3/2 + k (e)
1
6
arctg
�
ex
6
�
+ k (f)
ℓn(ℓn |t|)+ k (g) 1
10
�
e2x + 2
�5
+ k (h)
8
27
�
6x3 + 5
�3/2
+ k (i)
1
2(7 + sen2(x))2
+ k (j) −1
6
cos(2x3)+x5 + k (k)
− 1
8(4x2 + 1)
+ k (l)
sen3(x)
3
+ k (m)
sen3(x)
3
− sen
5(x)
5
+ k (n)
sen4(x)
4
− sen
6(x)
6
+ k (o) −2
3
(1+ cos2(x))3/2 + k
(p)
tg4(x)
4
+ k (q) x− ℓn |x+ 1|+ k (r) 2x+ ℓn |x+ 1|+ k (s) x
2
2
− x+ ℓn |x+ 1|+ k (t) arctg
€x
2
Š
+ k (u)
√
10
10
arctg
√
10x
2
‹
+k (v) ℓn(
√
5 + x2)+k (w)
3
2
ℓn(x2+1)+2 arctg(x)+k (x)
1
2
ℓn |x2+2x+3|− 1√
2
arctg
�
x+ 1√
2
�
+k
(y) − 1
x2 + 1
+ k (z)
2
√
3
3
arctg

2
√
3x+
√
3
3
‹
+ k (a’)
1
4
arctg(x4) + k (b’)
√
2
4
ℓn
�
�
�
�
2(x+ 1)−√2
2(x+ 1) +
√
2
�
�
�
�
+ k (c’)
1√
2
arcsen
�
x+ 1√
5
�
+ k (d’) −1
4
e−2x(2x− 1)+ k (e’) (x
2 + 4)3
3
+ k (f’)
2
3
√
3x− 5+ k (g’) − ℓn | cos x|+ k (h’)
Lista de Exercícios I # Cálculo Diferencial e Integral II 5
ℓn | tg x + sec x|+ k (i’) 2e
√
x + k (j’) −ecos x + k (k’) 1
2
ax
2
ℓn(a) + k (l’)
1
4
e4x + k (m’) ℓn
�√
2 + e2x
�
+ k
(n’) arcsen(e2x) + k (o’)
4
3
(1 +
√
x)
p
1 +
√
x+ k (p’) − cossec
3(x)
3
+ cossec x+ k
2. (a) −x cos(5x)
5
+
sen(5x)
25
+k (b)
e4t
4
�
t− 1
4
�
+k (c)
1
2
(x+1) sen(2x)+
1
4
cos(2x)+k (d)
2
5
ex sen
€x
2
Š
+
4
5
ex cos
€x
2
Š
+k
(e) x(ℓn |x| − 1) + k (f) (x − 1) ℓn |x− 1| − x+ k (g) x
2
2
�
ℓn |x| − 1
2
�
+ k (h)
2
√
ax+ b
a
(ℓn |ax+ b| − 2) + k (i)
x tg x+ ℓn | cos x|+ k (j) 1
2
[(x2 + 1) arctg(x) − x] + k (k) 1
2
tg x sec x+
1
2
ℓn | secx+ tg x|+ k (l) − cotg x cossecx
2
+
1
2
ℓn | cossecx− cotg x|+ k (m) 2
3
x3/2 ℓn |x| − 4
9
x3/2 + k (n) x ℓn(x2 +1)− 2x+2arctg(x)+ k (o) x
3
3
�
ℓn(x)− 1
3
�
+ k
(p) (x− 1) tg x+ ℓn | cos x|+ k (q) x
2
2
�
(ℓn |x|)2 − ℓn |x|+ 1
2
�
+ k (r) − e
−2x
5
(cos x+ 2 senx) + k (s)
ex
2
2
(x2 − 1) + k
(t)
1
2
(x2 sen(x2) + cos(x2)) + k (u)
e−x
5
(2 sen(2x)− cos(2x)) + k (v) −x2 cos x+ 2x senx+ 2 cos x+ k
(w) x arctg(3x) − 1
6
ℓn(1 + 9x2) + k (x) x2 cos(1 − x) + 2x sen(1− x)− 2 cos(1− x) + k
3. (a)
1
12
ℓn |x−2|+2
3
ℓn |x+1|− 3
4
ℓn |x+2|+k (b) 3
2
x− 1
4
ℓn
�
�
�
x− 1
2
�
�
�
− 1
2
ℓn |x+1|+3
2
ℓn |x−1|+k (c) 1
16
ℓn
�
�
�
x− 4
x
�
�
�
+
1
4x
+k
(d)
x2
4
+ x+ ℓn
�
�
�
�
x− 1
x+ 1
4
É
(x− 1)3
x+ 1
�
�
�
�
+ k (e)
5
4
ℓn |x| − 5
8
ℓn(x2 + 4) + k (f)
1
2
ℓn |x2 − 2x+ 5| − arctg
�
x− 1
2
�
+ k (g)
1
9
ℓn |x| − 1
18
ℓn(x2 + 9) + k (h)
1
6
€
2 arctg(x)− arctg
€x
2
ŠŠ
+ k (i) x +
5
3
ℓn |x − 1| − 1
3
ℓn(x2 + x + 1) + k (j)
3 ℓn |x − 2| − ℓn |x − 1| + k (k) ℓn
�
�
�
x− 2
x− 1
�
�
�
+
1
x− 1 + k (l)
1
4
�
2 ℓn |x− 1| − ℓn(x2 + 1) + 2 arctg(x)
�
+ k (m)
3 ℓn
�
�
�
x− 1
x+ 4
�
�
�
+ k (n) 3
√
5 arctg
�
x+ 2√
5
�
+ k (o)
√
13
52
ℓn
�
�
�
�
x+ 3−√13
x+ 3 +
√
13
�
�
�
�
+ k (p)
1
6
+ ℓn |x− 1|+ 5
6
ℓn |x+ 5|+ k (q)
x2
2
− 6x+ 27 ℓn |x+ 3|+ 27
x+ 3
+ k (r) ℓn |s|+ 1
s2 + 9
+ k
4. (a) −2 cos x+k (b) −1
e
cos(ωe+8)+k (c) −1
2
cos(2x+1)+
1
6
cos3(2x+1)+k (d) −1
3
[sen(3−3x)− 2
3
sen3(3−3x)+
1
5
sen5(3− 3x)] + k (e) 3x
2
8
− sen(2x
2 − 2)
4
+
4x2 − 4
32
+ k (f)
sen4(x)
4
+ k (g)
1
4
h
3x
2
+ sen(2x) +
sen(4x)
8
i
+ k (h)
1
3
tg3(x)− tg x+ x+ k (i) 1
3
tg3(x)+ k (j)
1
2
h
cos(2x)
2
− cos(8x)
8
i
+ k (k)
cos(θ)
2
h
t− sen(2ωt)
2ω
i
+sen(θ)
sen2(ωt)
2ω
+ k
(l) cossecx− 1
3
cossec3(x) + k
5. (a)
3
2
ℓn
�
�
4
√
x+ 3
�
�− 1
2
ℓn
�
�
4
√
x+ 1
�
�+k (b)
4
4
√
x3
3
−8 4√x+8√2 arctg
�
4
√
x√
2
�
+k (c) x−4√x+ 1+8 ℓn
�
�
√
x+ 1 + 2
�
�+k (d)
ℓn
�
�
�
�
1−√1− x
1 +
√
1− x
�
�
�
�
+k (e) −x+4√x−4 ℓn
�
�
√
x+ 1
�
�+k (f) x−2√x− 1+ℓn
�
�x+
√
x− 1
�
�+
2
√
3
3
arctg

2
√
x− 1 + 1√
3
‹
+k (g)
1
3
ℓn
�
�
�
�
3−√9− x
x
�
�
�
�
+k (h) ℓn
�
�x+
√
x2 − 16
�
�−
√
x2 − 16
x
+k (i)
3 arcsen(x− 1)
2
−
√
2x− x2
2
−x+k (j) −
√
x2 + 9
9x
+k (k)
ℓn
�
�x− 1 +√x2 − 2x− 8
�
�+k (l) ℓn
�
�
√
x2 + 2x+ 10 + x+ 1
�
�+k (m) arcsen
�
2x+ 3
5
�
+k (n) ℓn
�
�
�
√
x2 − x+ 2+ x− 1
2
�
�
�
+k
(o)
√
x2 − 4x+ 1 + 3 ℓn
�
�x− 2 +√x2 − 4x+ 1
�
� + k (p)
√
x2 − 2x+ 3 − ℓn
�
�x− 1 +√x2 − 2x+ 3
�
� + k (q) arcsec(x) + k
(r) 2 arctg(2
√
x) + k
6. (a) −1
2
cos(x2 + 4x − 6) + k (b) 2
3
(ℓn |x|)3/2 + ℓn |x| + k (c) (ℓn |x|)2 + k (d) 2
3
x3/2
h
ℓn |x| − 2
3
i
+ k (e)
x3
3
arctg(|x|)− x
2
6
+
1
6
ℓn(x2+1)+k (f) x ℓn
�
x+
√
x2 + 1
�
−√x2 + 1+k (g) x tg x+ℓn | cos x|+k (h) 1
4
ℓn
�
�x2 + 2x+ 10
�
�−
1
3
arctg
�
x+ 1
3
�
+ k (i) ℓn
�
�x+ 1 +
√
x2 + 2x
�
�+ k (j)
11−√11
22
ℓn
�
�x+ 2−√11
�
�+
11 +
√
11
22
ℓn
�
�x+ 2 +
√
11
�
�+ k (k)
arcsen(x−1)+k (l) 2 ℓn
�
�
�
x+ 1
x
�
�
�
− 1
x
+k (m) x arcsen(x)+
√
1− x2+k (n) x ℓn(x2+2x−8)−2x−2 ℓn |x−2|+4 ℓn |x+4|+k
(o) −1
2
(ℓn(cos x))2 + k (p) x ℓn
�√
x2 + 2x
�
− x+ ℓn |x+2|+ k (q) −
√
1− x2
x
− arcsen(x) + k (r) cotg x− cossec x+ k
(s)
1
6
sen3(2x) + k (t)
ℓn |tg (θ/2)|
2
− tg
2 (θ/2)
4
+ k (u) ℓn
�
�3x+
√
9x2 − 1
�
�+ k
7. (a)
1
4
tg2
€x
2
Š
+ tg
€x
2
Š
+
1
2
ℓn
�
�
�
tg
€x
2
Š
�
�
�
+ k (b) ℓn
�
�
�
tg
€x
2
Š
�
�
�
− 1
2
tg2
€x
2
Š
+ k (c) −2 ℓn
�
�
�
tg
€x
2
Š
− 1
�
�
�
− 2
tg
€x
2
Š
− 1
+
ℓn
€
tg2
€x
2
Š
+ 1
Š
+ k (d)
√
2
4
arctg
�
3 tg x+ 1
2
√
2
�
+ k (e) ℓn
�
�
�
tg
€x
2
Š
+ 1
�
�
�
+ k (f)
1
5
ℓn
�
�
�
�
�
�
tg
�
ex
2
− 1
3
�
tg
�
ex
2
+ 3
�
�
�
�
�
�
�
+ k (g)
Lista de Exercícios I # Cálculo Diferencial e Integral II 6
− tg
€x
2
Š
+ 2arctg
€
tg
€x
2
ŠŠ
+ k (h)
2√
14
arctg
„
3 tg
€x
2
Š
− 1
√
14
Ž
+ k (i) ℓn
�
�
�
2 tg
€x
2
Š
+ 2
�
�
�
+ k
8.
Z
1
0
f(x)dx =
π
2
9. (a)
e− 1
2e2
(b)
2
√
10− 4√2
3
(c)
1
3
(d) 3, 202 (e) 0, 405 (f)
8
3
(g) sen 1− cos 1 (h) ℓn 2 (i) 3
√
2
2
10. (a)
−1
3
(b)
8 ℓn 2
3
− 8
9
(c) sen 1 (d)
π
4
(e) Não existe (f) 8 (g) 4 (h) 1 (i) 4 (j) 1 (k)
π
2
(l) 2 (m) e (n) Não existe (o) Não existe
11. 3500m3
12. (a) Converge para p > 1 (b) Diverge para 0 ≤ p ≤ 1
13. (a) Converge para p > 1 (b) Diverge para 0 ≤ p ≤ 1
14. (a)
1
2e
(b) 0 (c) Não existe (d) −1
4
(e) 2(e3 − 1) (f) 0
15. (a) F (s) =
1
s− a , para s > a (b) F (s) =
s
s2 + 1
, para s > 0 (c) F (s) =
s
s2 + 1
, para s > 0
16. (a) Γ(1) = 1 e Γ(2) = 1
17. ???
18. (a) Sugestão: escreva xx = ex ℓnx (f) Sugestão: use a mudança de variáveis x2 = t
20. ???
“Aqueles que passam por nós, não vão sós, não nos deixam sós.
Deixam um pouco de si, levam um pouco de nós.”
Antoine de Saint-Exupery
Lista de Exercícios I # Cálculo Diferencial e Integral II 7