Economia Matemática I Paulo Matos

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Economia Matemática 1 
 
Notas de aula 
Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
FACULDADE DE ECONOMIA, ATUÁRIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE 
CAMPUS DE SOBRAL 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ECONOMIA 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
FACULDADE DE ECONOMIA, ATUÁRIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE 
CAMPUS DE SOBRAL 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ECONOMIA 
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Sumário 
PROGRAMA DA DISCIPLINA 1 
1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA 5 
2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 37 
 
3. ÁLGEBRA LINEAR 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 
 
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Programa da disciplina 
Professor: Paulo Rogério Faustino Matos 
Contatos: ���� (paulomatos@caen.ufc.br) www.caen.ufc.br/~paulomatos 
Período: 2008 – II 
Carga horária/ Créditos: 96 horas/ 6 créditos 
Horário da Disciplina: Segunda-feira das 18:30 às 22:10 e Terça-feira das 18:30 às 20:10 
Pré-requisitos: S/P 
 
 
I – OBJETIVO 
 Esta primeira disciplina em Economia Matemática do programa de Graduação 
em Economia da UFC será composta por três seções: i) uma primeira parte abordando 
aspectos gerais e introdutórios sobre economia, mais especificamente, a ciência 
econômica, métodos quantitativos e econométricos e modelagem, ii) uma segunda, em 
que dá-se início ao estudo propriamente dito de cálculo diferencial e integral com uma 
única variável e por fim iii) uma última seção, onde serão vistos os tópicos associados a 
modelos lineares e álgebra matricial. Em todas estas seções, o objetivo maior será 
propiciar ao aluno não somente um primeiro contato com métodos quantitativos per si, 
mas sim familiarizá-lo com as técnicas, fazendo-o reconhecer sua relevância e aplicação 
quando da solução de modelos econômicos. 
 
 
 
 
 
 
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II – AVALIÇÃO 
A média final do aluno será determinada a partir da realização de uma média 
aritmética de duas notas “bimestrais”, em que cada uma será igualmente composta por 
uma avaliação intermediária (AI) e uma avaliação final (AF), com pesos de 20% e 80%, 
respectivamente. Dessa forma, a nota final respeitará a seguinte ponderação: 
 
 
Nota Disciplina = (0,2 . AI1 + 0,8 . AF1) + (0,2 . AI2 + 0,8 . AF2) 
 2 
 
 
III – EMENTA 
Introdução à economia; Cálculo diferencial e integral; Álgebra linear 
 
 
IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
I. Introdução à economia: 
1. Natureza da economia matemática (CW – 1) 
2. Modelos econômicos (CW – 2) 
3. Introdução à matemática (CW – 2 e 3) 
 
II. Cálculo diferencial e integral: 
1. Derivada (CW – 6, 7, 8 e 10) 
2. Integral (CW – 14) 
 
III. Álgebra linear: 
1. Álgebra matricial (CW – 4 e 5) 
2. Sistemas de equações (CW – 5 ) 
 
 
 
 
 
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V – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFIAS 
Bibliografia Básica: 
[CW] Chiang, A. e Wainwright, K. “Matemática para economistas”. Ed. Campus, 2005 
[SB] Simon, C, e Blume, L. “Mathematics for economists”. Norton, 1994 
[ANPEC] Exame Nacional da ANPEC – Matemática. www.anpec.org.br/exame 
 
 
 
Bibliografia Auxiliar: 
[G] Guidorizi, H “Um Curso de cálculo”, volumes 1, 2 e 3. LTC, 2001 
[CW] Costa, B. e Werzler, F. “Álgebra Linear”. Editora Harbra, 1986 
 
 
 
 
 
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VI – METODOLOGIA 
- Aulas presenciais teóricas 
- Análise de modelos econômicos 
- Resolução de exercícios 
 
 
VII – CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR 
Paulo Rogério Faustino Matos é Doutor em Economia pela Fundação Getulio Vargas 
(EPGE/FGV-RJ) e Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará (UFC). Autor 
de artigos acadêmicos em finanças de nível internacional e Professor Adjunto nas áreas 
de Finanças, Finanças Internacionais e Microeconomia nos programas de Graduação e 
Pós-graduação em economia da UFC (CAEN) e em instituições como a FGV-RJ, sua 
experiência profissional inclui ainda os serviços especializados de consultoria e 
assessoria econômico-financeira, sendo sócio-fundador da M&M Consultoria e 
Assessoria Ltda. 
 
 
 
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1. Introdução à economia 
 “Economia: uma matéria imperialista. E os métodos quantitativos têm papel 
fundamental neste contexto!” 
1.1. Natureza da economia matemática 
1.1.1. Definição de economia 
Do Aurélio Ferreira; Novo Dicionário da Língua Portuguesa, 1986: 
- economia, [do latim oeconomia]: 
1. A arte de bem administrar uma casa ou estabelecimento particular. 
2. Contenção ou moderação nos gastos. 
3. Ciência que trata dos fenômenos relativos à produção, distribuição, 
acumulação e consumo de bens. 
1.1.2. Divagação 
Economia: uma matéria imperialista. E os métodos quantitativos têm papel 
fundamental neste contexto! 
A economia avança a partir do desenvolvimento de modelos de fenômenos 
sociais. Mas o que seria um modelo? 
Por modelo, entende-se uma representação simplificada da realidade, podendo 
ser expresso em palavras ou equações, como por exemplo, um mapa. 
 
 
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Uma idéia fundamental na arte da modelagem consiste em focar nas 
características essenciais da realidade, eliminando ou omitindo detalhes irrelevantes 
para entender o funcionamento da economia. 
1.1.3. E a economia matemática? 
Qual seria a relevância, o papel da economia matemática neste contexto de 
imperialismo da economia como ciência? 
a. Relevância acadêmica: 
 - Comportamento otimizador dos agentes econômicos (consumidores, firmas e 
governo) 
 - Prêmios Nobel de Economia: de 1969 à 2007 foram 61 vencedores, dos quais 
temos alguns poucos psicólogos, filósofos, cientistas político, alguns físicos e vários 
matemáticos de formação (mais de dez), sendo que, em todos os casos, 
independentemente da graduação, são todos possuidores de forte e sólida formação 
em métodos quantitativos. 
b. Citações: 
 - Segundo Platão: “ ... não entrem os que não souberem geometria ...” 
 - Em O preço do desafio (Warner Bros.), o professor de matemática diz aos 
alunos que esta disciplina ama-se ou odeia-se, sendo esta a grande niveladora. 
E na prática? Valendo-se da tríade” ler, escrever e contar”, a matemática ocupa o 
lugar das disciplinas que mais reprova.” Observe este histograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1. Alunos da 3ª série do ensino médio em língua portuguesa e matemática – 2004. Fonte : SPAECE 
0,0 1,8
16,0
76,7 80,4
21,4
3,6
0,0
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
Muito Crítico Crítico Intermediário Adequado
Português Matemática
 
 
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Mas seria a economia matemática um ramo distinto da economia, assim como a 
finanças, a organização industrial? Segundo o autor do livro texto, não. Trata-se de 
uma abordagem da análise econômica na qual o economista utiliza símbolos 
matemáticos para enunciar um problema, recorrendo também a teoremas matemáticos 
conhecidos para auxiliar o raciocínio. De uma forma mais geral, sabe-se que todo livro 
didático elementarsério em economia faz uso de matemática, seja sob um arcabouço 
de álgebra matricial, cálculo diferencial e integral, equações diferencias e em 
diferenças, otimização estática ou dinâmica. 
Em qualquer análise teórica, o objetivo é a partir de um conjunto de premissas, 
hipóteses, fazendo-se uso de um processo de raciocínio, obter um conjunto de 
resultados e conclusões. Sob uma abordagem matemática, em vez de literária, as 
hipóteses e conclusões serão enunciadas em símbolos matemáticos e não em palavras, 
em equações e não em sentenças. Além disso, usa-se a lógica e os teoremas 
matemáticos e não a lógica literária. E a questão da análise geométrica como 
ferramenta matemática vis-à-vis o algebrismo? Trata-se de um trade-off entre intuição, 
visualização e praticidade versus generalização. 
E o papel das críticas feitas sobre teorias obtidas matematicamente de maneira 
pouco realista? 
Segundo o autor do livro texto, o termo não-realista não deveria ser utilizado 
nem mesmo para criticar a teoria econômica em geral, quer a abordagem seja ou não 
matemática. Teoria seria, por natureza ou definição, uma abstração do mundo real, um 
recurso para tentar isolar apenas os fatores e as relações mais essenciais, de modo que 
se possa estudar o ponto crucial do problema em questão, livre das inúmeras 
complicações do mundo real. A falta de realismo seria um truísmo não válido! O autor 
claramente segue uma vertente normativa de metodologia oficial estabelecida em 1953 
por Milton Friedman. Em contrapartida, a academia tem assumido uma postura 
positiva, em que o realismo das hipóteses é fundamental, onde os testes empíricos 
somente são feitos para teorias tidas como razoáveis por um grupo de economistas 
conceituados. Afinal, que jornal publicaria trabalhos empíricos aceitando ou rejeitando 
uma teoria em que ninguém acredita? 
 
 
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1.2. Modelos econômicos 
Toda abordagem teórica em economia faz-se através do uso de uma modelagem 
que consiste em uma simplificação da realidade, tendo em vista sua complexidade. 
Neste contexto, passa a ser relevante que iniciemos o estudo da economia 
matemática pelos componentes de um modelo matemático, o qual consistirá em um 
sistema de equações que, a partir de um conjunto de premissas, relacionam variáveis 
entre si, sendo necessário o uso de operações matemáticas visando obter conclusões 
sobre o comportamento destas variáveis. 
1.2.1. Variáveis 
Algo cujo valor pode mudar. Dentre as mais usadas em economia e seus 
respectivos símbolos, temos preço (P), lucro (π), receita (R), custo (C), renda (Y), 
retorno líquido (r),... 
Quando do estudo de escopo da economia, vimos que pode se definir uma “visão 
de economista”, aquela sobre questões na área de ciências sociais baseada em 4 
ingredientes: 
a. otimização; 
b. equilíbrio; 
c. eficiência e 
d. expectativas racionais 
Neste contexto, quando da solução de um modelo matemático entende-se a 
obtenção dos valores de equilíbrio para algumas variáveis do modelo. Estas variáveis, 
cujos valores se pretende obter usando o modelo, são ditas endógenas. 
Todo modelo porém, possui outras variáveis cujos valores são tidos como dados 
no problema e não originados pelo modelo, ditas exógenas. Alguns exemplos seriam: 
portfolio theory e decisão da estrutura ótima de capital de uma empresa. 
É importante atentar para o fato de que uma variável endógena em uma 
abordagem pode ser exógena em outra. Exemplo: preço em modelos de equilíbrio e de 
consumo. 
 
 
 
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1.2.2. Constantes 
Uma constante é uma grandeza que não muda e, portanto, é a antítese da 
variável. Quando uma constante está ligada a uma variável (multiplicando-a) ela é 
normalmente denominada coeficiente daquela variável. Obs.: O coeficiente pode ser 
numérico ou literal, sendo comum chamá-la neste último caso de parâmetro cujo valor 
poderá ser obtido via calibração ou estimação. Comumente, representamos os 
parâmetros de um modelo por letras ou do nosso alfabeto, ou do alfabeto grego. 
1.2.3. Equações e identidades 
Relações matemáticas entre variáveis. Os três principais tipos seriam: 
a. Equação definicional: estabelece uma identidade entre duas expressões 
alternativas que têm exatamente o mesmo significado. Neste tipo de equaçõ, faz-se uso 
do símbolo (≡) que denota “ser idêntico a”. Por exemplo, lucro é definido como sendo 
receita menos despesa, ou seja, π ≡ R – C. 
b. Equações comportamentais: especificam como uma variável se comporta em 
resposta a mudanças em outras variáveis. Exemplos: função de produção e utilidade 
do investidor a la Markowitz. 
c. equação condicional: determina um requisito a ser satisfeito. Exemplo: 
equilíbrio. 
1.3. Introdução à matemática 
1.3.1. Conjuntos numéricos 
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a 
preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, 
desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza 
por meio de processos de determinação de quantidades. E essa procura pela abstração 
da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos 
numéricos. 
 
 
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Definição: Um conjunto é uma coleção de objetos ou entidades bem definidos. Os 
objetos ou entidades que pertencem a um conjunto são chamados os elementos do 
conjunto. Um conjunto está determinado por uma lista de seus elementos ou pela 
especificação de uma regra que determine se um dado objeto ou entidade pertence ou 
não a ele. Tal regra é denominada uma propriedade característica. Para representar um 
conjunto, escrevemos os seus elementos ou a sua propriedade característica entre 
chaves. 
Exemplo 1.1: 
Literal: A = {a, b, c}. Significa que o conjunto A é formado pelos elementos a, b e c. 
Numérico: B = {l, 2, 3, 4, 5, 6}. Significa que o conjunto B é formado pelos números 
1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Com uso de notação matemática: 
C = {x: x é um inteiro ímpar}. Significa que o conjunto C é constituído de todos 
os inteiros ímpares. 
D = {y: y é um inteiro} significa que o conjunto D se compõe de todos os 
números inteiros. 
Aplicação: Isoquanta, conjunto de todas as combinações de insumos que 
resultam no mesmo nível de produção. 
Observações e notações: 
A notação x ∈ S significa que a entidade ou objeto x é um elemento do conjunto 
S. A notação x ∉ S significa que x não é um elemento do conjunto S. 
Se todo elemento do conjunto S é também um elemento do conjunto T, dizemos 
que S é um subconjunto de T (representado pela notação S ⊂ T, ou seja, S está contido 
em T, ou ainda, T ⊃ S, T contém S ). 
A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso 
de "parêntesis" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos: 
 
W= {1, 2, 3} H = {1, 2, 2, 1, 3, 2} P = {x: x é um número inteiro tal que 0 < x < 4} 
 
O que falar sobre estes exemplos? 
 
 
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Tipos de conjuntos numéricos: 
a. Conjunto dos Números Naturais: Como decorrência da necessidade de 
contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é 
formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja: 
 
N = {0, 1, 2, 3, …} 
 
b. Conjunto dos Números Inteiros: Chama-seo conjunto dos números inteiros, 
representado pela letra Z, o seguinte conjunto: 
 
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
c. Conjunto dos Números Racionais: O conjunto dos números racionais, 
simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma 
de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero: 
 
Q = {p/q | p,q ∈ Z e q ≠ 0} 
 
Obs.: Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um 
subconjunto de Q. 
 
d. Conjunto dos Números Reais: O conjunto dos números reais é simbolizado 
pela letra ℜ . Estes números são usados para representar uma quantidade contínua 
(incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção 
decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma 
correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. 
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos 
números irracionais são subconjuntos de ℜ . É importante observar que sempre que 
 
 
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falarmos em número, sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se de um 
número real. 
 
e. Conjunto dos Números Irracionais (I): Como o próprio nome sugere um 
número irracional é todo número real não racional, isto é, todo número real que não 
pode ser obtido como uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero. São 
exemplos de números irracionais 31/3, π = 3,14159 e = 2,718282. Ou seja, nenhum deles 
pertence a Q.1 
 
Figura 1.2. Diagrama dos conjuntos 
 
f. Conjunto dos Números Complexos: O conjunto dos números complexos, 
simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par de números 
negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são 
constituídos de elementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que 
ℜ está contido em C. 
Como a matemática elementar envolve números reais, devemos estar 
familiarizados com algumas propriedades fundamentais do sistema de números reais. 
 
1 Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. Um número irracional que surge como limite, para valores 
muito grandes de n, da sucessão de (1 + 1/n)n . Representa-se por e, sendo e = 2,718281828459... Este número está 
estreitamente aparentado com o número π. A fórmula de Euler relaciona de forma elegante estes dois números 
irracionais tão famosos. Fórmula de Euler: eix = cos x + i sen x e para x = π, temos e iππππ = -1. O número π apareceu no 
cálculo da área e do perímetro do círculo, enquanto o e é importante em quase todas as áreas do conhecimento: 
economia, engenharia, biologia, sociologia. 
 
 
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Operações com conjuntos numéricos: 
Assim como procedemos com números, podemos também realizar operações 
específicas com conjuntos de dados. 
a. União: Executar a união entre alguns conjuntos significa formar um novo 
conjunto contendo exatamente todos aqueles elementos (e somente aqueles) que 
pertencem aos conjuntos que foram unificados. Formalmente, temos que 
A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B}. 
Exemplo 1.2: W = {1, 2, 3} e H = {2, 4, 6, 8}. W ∪ H = ? 
 
b. Interseção: A interseção de alguns conjuntos, por outro lado, é um novo 
conjunto que contém somente aqueles elementos que pertençam necessariamente a 
todos estes conjuntos em questão. Formalmente, temos que A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. 
Exemplo 1.3: W= {1, 2, 3} e H = {2, 4, 6, 8} W ∩ H = ? E o Diagrama de Venn ? 
 
c. Universo: Suponha que para um caso específico, os alunos desta turma sejam 
todos os elementos existentes. Assim, podemos nos referir a estes alunos como sendo o 
Universo. 
 
d. Conjunto vazio: O menor subconjunto de qualquer conjunto é dito o 
conjunto nulo ou vazio, representado por {} ou ∅. 
 
e. Complemento: O conjunto complemento de um conjunto A consiste no 
conjunto composto por todos os elementos do Universo que não pertençam ao 
conjunto A. Formalmente, temos que Complemento de A = A = {x | x ∈ U e x ∉ A}. 
 
Exemplo 1.4: Qual o conjunto complemento do conjunto de torcedores do 
Guarany de Sobral desta turma? 
Exemplo 1.5: Qual o conjunto complemento de U? 
 
 
 
 
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Exercícios sobre conjuntos numéricos: 
# 1: Suponha que haja nesta sala, a qual possui um total de 37 alunos, 11 
engenheiros, 12 advogados, 10 administradores e 8 psicólogos. Sabemos ainda que dos 
11 engenheiros, 1 também é advogado, sendo os todos demais formados apenas em 
engenharia. Os administradores somente possuem uma única formação. Defina o 
universo neste caso e cada um dos conjuntos, desenhando-os em um diagrama de 
Venn. 
 
# 2: O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Mostre. 
 
# 3: Exercícios 1 a 7 da seção 2.3 do livro texto, página 15. 
 
1.3.2. Relações e funções 
Antes de iniciarmos o estudo de funções propriamente dito, é importante que 
tenhamos noções sobre os pares ordenados e o respectivo ramo da matemática. 
Geometria analítica: também chamada geometria de coordenadas é o estudo da 
geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de 
coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, 
geralmente em duas dimensões, também em três ou mais dimensões. O sistema de 
coordenadas cartesianas é constituído de duas retas perpendiculares ao plano (plano 
cartesiano). Uma é escolhida como sendo horizontal e a outra como vertical. Essas retas 
interceptam num ponto 0, chamado de origem. A reta horizontal é chamada eixo x, e a 
reta vertical é chamada eixo y. Uma escala numérica é colocada ao longo dos eixos x e 
y. 
Pares ordenados: Um ponto no plano cartesiano pode ser representado de modo 
único no sistema de coordenadas por um par ordenado (x, y), onde x é o primeiro 
número e y é o segundo. O primeiro número é representado no eixo x e o segundo no 
eixo y. No par ordenado (x, y), o x é chamado de abscissa ou coordenada de P, o y é 
 
 
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chamado de ordenada ou coordenada de P. Por fim, x e y conjuntamente são chamados 
de coordenadas do ponto P (x, y). 
Exemplo 1.6: Quantidades consumidas dos bens x e y podem ser representadas 
por um par ordenado. O gráfico a seguir seria uma boa representação neste caso? 
 
 
 
Exemplo 1.7: Quantidade de insumo e produto a partir do processo de produção 
de uma firma. 
 Exemplo 1.8: Gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de dispersão: Peso x altura dos alunos do MPESP
40
50
60
70
80
90
100
110
140 150 160 170 180 190 200 210
Altura (cm)
P
es
o
 (
kg
)
 
 
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Assim, de forma resumida, podemos afirmar que, no plano cartesiano, cada 
ponto é representado por um único par ordenado (x, y), x e y números reais. A 
recíproca também é verdadeira, ou seja, cada par ordenado (x, y) representa um único 
ponto no plano cartesiano. Por fim, o plano cartesiano é obtido associando-se a cada 
um dos eixos o conjunto dos números reais. 
Formalmente, em notação de conjunto,como se deveria representar o plano 
cartesiano? Conjuntos do tipo {(x, y) / x, y ∈ R}, nos quais a ordem é importante. 
Uma vez compreendida o que são pares ordenados e como representá-los, 
podemos passar a estudar as funções, possivelmente a ferramenta mais importante em 
álgebra e certamente a mais importante em economia. Por quê? 
Funções: Trata-se de um dos conceitos mais importantes da matemática, cuja a 
intuição poderia ser dada pela seguinte colocação: “ocorre sempre que pretendemos 
relacionar duas ou mais grandezas variáveis.” 
Exemplo 1.9: Seja a tabela abaixo a distribuição do gasto total apenas com salários 
dos funcionários de algumas unidades da SEFAZ e as respectivas arrecadações em 
algum mês. 
Unidade Salários Arrecadação 
SEFAZ 1 100,45 2,55 
SEFAZ 2 90,89 3,40 
SEFAZ 3 86,50 2,05 
SEFAZ 4 180,00 5,90 
SEFAZ 5 145,00 4,98 
SEFAZ 6 125,00 4,04 
SEFAZ 7 80,56 5,30 
 
 
Observando esta tabela, será que poderíamos explicar bem a arrecadação de 
cada uma dessas unidades a partir apenas de dados de gasto mensal com salários da 
unidade? 
 
 
 
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Observando o gráfico, será que poderíamos associar estas duas variáveis 
através de uma relação única? Supondo que sim, o que isso quer dizer? Caso contrário, 
o que poderia estar ocorrendo? 
Em razão de situações como esta, precisamos ter noção sobre funções de várias 
variáveis, sob uma abordagem tanto algébrica, como gráfica. Mais especificamente, em 
muitas situações práticas, o valor de uma determinada quantidade, depende dos 
valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações 
como funções de várias variáveis. 
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação em que a cada elemento 
de A, se associa um único elemento de B , e é indicada por f : A B→ . 
X – variável independente – DOMÍNIO 
Y – variável dependente – IMAGEM 
 
Gráfico de dispersão: Gasto salarial vs. arrecadação por 
unidade da SEFAZ
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
50,00 75,00 100,00 125,00 150,00 175,00 200,00
Gasto salarial (mil reais)
A
rr
ec
ad
aç
ão
 (
m
il
h
õe
s 
de
 r
ea
is
)
 
 
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Empregando a linguagem das funções: 
a. O conjunto A é o domínio da função. 
b. O conjunto B é o contradomínio da função. 
c. O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x. 
d. O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos 
de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função. 
Exemplo 1.10: Em quais destes itens temos funções: 
 
 
 
A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação 
expressa na forma y = f (x). Esta regra diz, que o elemento x ∈A, chamado de variável 
independente, está relacionado de modo único ao elemento y = f (x) ∈B, chamado de 
variável dependente. O conjunto A é chamado de domínio e indicamos A = Dom( f ) e o 
conjunto B , de contradomínio. O conjunto imagem, indicado como Im( f ) é o conjunto 
dos elementos de B aos quais foram associados elementos de A isto é: 
 
Im( f ) ={y ∈B | y = f (x) para algum x ∈A}. 
 
O número y ∈B, y = f (x) recebe o nome de valor da função f no ponto x. 
 
 
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 Exemplo 1.11: Numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (Q), 
depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K), usadas para 
produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é . 
O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis explicativas. 
Formalmente, seja D um subconjunto de , onde . 
Chama-se função de , toda relação que associa a cada par ordenado 
pertencente a D um único número real indicado por f(x, y). O conjunto D é chamado 
domínio da função e f(x, y) é chamado de imagem de f ou valor de f em (x, y). Em 
outras palavras, uma função real de duas variáveis, consiste em: 
a. Um conjunto D de pares ordenados de números reais (x, y) , chamado de 
domínio da função. Estas variáveis x e y também são ditas argumentos da função. 
b. Uma regra f que associa a cada par ordenado no domínio um único número 
real, denotado por z = f(x, y), ou que mapeia o conjunto dado pelas coordenadas em z. 
Formalmente, usa-se também a seguinte notação: f : D→ ℜ 
Relacionando as definições e elementos funções em um contexto de modelagem, 
temos que as variáveis x e y são chamadas variáveis independentes, e a variável z, que 
depende dos valores de x e y é chamada de variável dependente. Como no caso de uma 
função real de uma variável, o número z = f(x, y) é chamado de valor de f no ponto (x, 
y), como ilustrado abaixo. 
 
 z 
( )yx , 
( )yxf , 
D 
x 
y 
( )KLfQ ,=
2ℜ ( ){ }ℜ∈=ℜℜ=ℜ yxyx ,|,.2
2ℜ⊂D
 
 
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20 
Obs.: Quando não for especificado o domínio de uma função, convenciona-se 
que o mesmo é o mais amplo subconjunto dos reais, de modo que a imagem seja um 
número real. Além disso, se a função for decorrente de uma situação prática, os valores 
de x e y devem assumir valores compatíveis com as características de variáveis 
consideradas (por exemplo, se x e y forem quantidades, elas não podem ser negativas). 
Exemplo 1.12: O domínio da função é ...... 
 
Exemplo 1.13: O domínio da função é ...... 
 
Exemplo 1.14: Considere a função . Determine o seu 
domínio. 
Operações com funções: Sejam f e g duas funções definidas num mesmo 
conjunto A Podemos definir como: 
a. Soma de funções, a função s definida em A, tal que s(x) = f (x) + g(x) 
recebe o nome de função soma de f e g. 
Exemplo 1.15: Se f (x) = x3 e g(x) = 3x2 + 2, com x ∈ ℜ , então a função s 
definida em ℜ , tal que s(x) = x3 + 3x2 + 2 é a soma de f e g. 
 
b. Produto de funções, a função p definida em A, tal que p(x) = f (x).g(x) 
recebe o nome de função produto de f e g. 
Exemplo 1.16: Se f (x) = x3 e g(x) = 3x2 + 2, com x ∈ ℜ , então a função s 
definida em ℜ , tal que p(x) = x3.(3x2 + 2) = 3x5 + 2x3 é a soma de f e g. 
 
c. Divisão de funções, se g(x) ≠ 0 para todo x ∈A, a função q definida em 
A, tal que q(x) = 
)(
)(
xg
xf
é o quociente de f e g. 
Exemplo 1.17: Sejam f (x) = x4 e g(x) = x4 + 2, com x ∈ ℜ . A função q definida 
em ℜ tal que, q(x) = 
24
4
+x
x
 é o quociente das funções f e g. 
( ) yxyxf +=,
( )
xy
yx
yxf
−
+
=
3
,
( ) 224, yxyxf −−=
 
 
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21 
Representação Geométrica de Funções de Duas Variáveis: Muitas vezes, o 
gráfico de uma função fornece mais informações do que sua própria forma analítica. 
Em geral, estamos interessados em saber se a função é crescente ou decrescente, se ela 
possui valor(es) máximo(s) ou mínimo(s), e outras informações importantes que não 
estão visíveis em sua formula, mas são notórias nos gráficos de uma determinada 
função. 
O gráfico (ou imagem) de uma funçãode duas variáveis é o conjunto de todos os 
pontos tais que e pertencem ao domínio de f. Dessa forma, a função pode ser 
visualizada graficamente. Chama-se gráfico de f ao conjunto dado formalmente por 
 
 
 
 
A representação geométrica de G(f) no espaço é em geral uma superfície!!!!! 
Exemplo 1.18: Seja a função definida no . 
Represente-a graficamente. 
 
 
Curvas de Nível: Outro modo de visualizar graficamente uma função de duas 
variáveis z = f(x, y), consiste em representar no plano xy, as chamadas curvas de nível 
 z 
x 
y 
5 
( ) ( ) ( ){ }yxfzzyxfG ,|,, 3 =ℜ∈=
( ) 5, == yxfz
3ℜ
3
+ℜ
 
 
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22 
da função f. Formalmente, quando atribuímos a z um valor k, o conjunto dos pontos 
que satisfazem a equação f(x, y) = k formam, em geral, uma curva, que é chamada de 
curva de nível da função f correspondente ao valor k. 
 Exemplo 1.19: Seja a função de arrecadação (z) de uma determinada unidade da 
SEFAZ dada pela seguinte relação matemática , onde: 
 z consiste na arrecadação em milhões de reais, 
 x o gasto com salários de funcionários e 
 y o gasto com tecnologia em geral, equipamentos, softwares, 
 Represente o gráfico desta função para o caso de a = b = 1 e as respectivas curvas 
de nível. 
Que conclusões podemos tirar? 
Graficamente, temos uma superfície dada por um parabolóide de revolução. 
 
 
 
Tipos de funções: 
A seguir, iremos classificar e identificar as principais características das funções 
com apenas um argumento, sendo a extensão dos tipos trivial para o caso de mais de 
uma variável. 
 
 
( )1,0,1 
( )0,0,0 
( )4,2,0 
x 
y 
z 
( ) 22 .., ybxayxfz +==
 
 
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23 
Funções injetoras, par impar.... 
 
 
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24 
a. Função constante: f(x) = c onde c é um número real qualquer. 
Exemplo 1.20: Seja a função de produção de uma firma dada por f(k) = 2, ou seja, 
a produção é sempre constante, para todos os valores de insumo k. Seria razoável 
economicamente falando? Como ficaria a representação gráfica? 
 
 
b. Função polinomial: A função constante pode ser vista como um caso particular 
das funções polinomiais, as quais são dadas por f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn onde a0, 
a1, ... an são números reais e n é um número inteiro positivo. Temos que o a potência 
mais alta envolvida, ou seja, o valor de n é dito o grau da função. Observe a seguir os 
casos particulares: 
 
- n = 0: função constante; 
- n = 1: função linear; 
- n = 2: função quadrática; 
- n = 3: função cúbica e assim por diante; 
 
c. Função linear ou afim: Em sua forma mais geral, temos y = a0 + a1x onde a0 é o 
intercepto ou coeficiente linear e a1 é a inclinação ou coeficiente angular da reta que 
consiste na representação gráfica deste tipo de função. Assim, quando a1 é positivo 
(negativo), temos uma reta positivamente (negativamente) inclinada ou uma função 
crescente (decrescente). O gráfico da função do 1o grau é representado por uma reta 
 
 
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25 
não paralela ao eixo x nem ao eixo y. Observe em mais detalhes os gráficos gerais a 
seguir, em que y = ax + b. Quais os sinais dos parâmetros? 
 
 
Exemplo 1.21: Qual seria o incremento em y, caso houvesse um incremento de ∆ 
em x? 
 
d. Função módulo: É a função definida por f (x) = | x | =






<−
≥
0,
0,
xx
xx
 
 
Exemplo 1.22 : O gráfico da função módulo é o seguinte: 
 
 f(x) = |x| f(x) = |x –2| 
 
 
e. Função quadrática: Em sua forma mais geral, temos y = a0 + a1x + a2x2 onde a0 é o 
intercepto e a2 é o parâmetro que define a concavidade da curva (parábola) que 
representa este tipo de função. Assim, quando a2 é positivo (negativo), temos uma 
curva em formato de “sorriso” (tristeza), ou seja, convexa (côncava).2 Graficamente: 
 
2 Somente quando do estudo de derivada, poderemos nos aprofundar demonstrando o motivo de tais deduções 
gráficas, além da determinação de máximos e mínimos. 
 
 
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26 
curva convexa curva côncava 
 
Em funções assim, os ponto de máximo ou mínimo são dados por . 
 
As raízes3 (valores no domínio que zeram a função) são dadas por 
 
f. Função racional: Em sua forma mais geral, temos , onde f(.) e g(.) são 
funções polinomiais. Um caso particular importante é dado por f(x) = a e g(x) = x, 
quando teremos uma representação gráfica dada por hipérbole retangular, curva que 
não toca os eixos horizontal e vertical mais aproxima-se assintoticamente, o que fica 
mais claro quando do estudo de limites. 
 
g. Função não-algébrica: Qualquer função que seja composta por funções 
polinomiais, ou racionais são ditas algébricas. Todas as demais são ditas não-
algébricas. Dentre as mais comuns nesta categoria, destacam-se a função exponencial. 
 
3 O hábito de dar o nome para a fórmula de resolução da equação de segundo grau ao matemático, astrólogo e 
astrônomo indiano Bhaskara (1114-1185) se estabeleceu apenas no Brasil há quase 50 anos, sendo no entanto 
inadequada, já que apesar de problemas envolvendo tais equações terem aparecido há 4.000 anos, somente a partir do 
século XVI, tal fórmula foi desenvolvida pelo atemático francês Viéte. 
2
02
2
11
2
4
a
aaaa −±−
2
1
2a
a−
)(
)(
xg
xf
y=
 
 
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27 
g.1. Função Exponencial: 
a. Termos da potenciação: an = b, onde a é a base, n o expoente e an ou b a potência. 
b. Potência com expoente natural: an = a.a.a. ... .a ( n fatores ) 
c. Propriedades da função exponencial: 
 
a0 = 1 a1 = a (am)p = amp a-n = 1 / an 
am : an = am-n am . an = am+n (a .b) n = an . bn (a : b) n = an / b n 
 
 Conhecidos os detalhes das operações exponenciais, a função f : ℜ → ℜ , 
definida por f (x) = ax, com a ∈ *+ℜ e a ≠ 1 e x ∈ ℜ , é denominada função exponencial 
de base a. 
Exemplo 1.23: f (x) = 3x (a base é 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
Generalizando, eis os gráficos padrão desta função: 
- quando a > 1 → função crescente; D = ℜ ; Im = *+ℜ . 
- quando 0 < a < 1 → função decrescente; D = *+ℜ ; Im = 
*
+ℜ 
 
 
g.2. Função logarítmica: Definimos como logaritmo, o operador matemático tal 
que, para a > 0 e a ≠ 1, se y = loga (x), então ay = x. 
a. Propriedades da função logarítmica: Para x, y > 0, valem as seguintes 
propriedades. 
Propriedade do produto: loga (xy) = loga (x) + v. 
Propriedade do quociente: loga )(
y
x
 = loga (x) - loga (y) . 
Propriedadeda potenciação: loga (yx) = x loga (y) 
Conhecidos os principais detalhes das operações logarítmicas, seja a um número 
positivo e a ≠ 1. A função definida por y = f (x) = loga (x), x > 0 , recebe o nome de 
função logarítmico de base a . 
Exemplo 1.24: f (x)= log10 (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
 
 
 
 
 
 
Generalizando, eis os gráficos padrão desta função: 
a > 1 0 < a < 1 
 
 
Generalizando, para o caso em que houver mais de um argumento, dizemos que 
a função é linear, quando a ordem do expoente for no máximo unitária em todos os 
seus argumentos, quadrática, quando a ordem for no máximo 2 para cada um dos 
argumentos, e assim vai. 
 
Exercícios sobre relações e funções 
# 4: Seja f uma função definida por: 
 
 , então f(1,2) = 
 
 , então f(1,2) = 
 
 , então f(1,2) = 
( ) yxyxf 2, 2 +=
( ) 33, yxyxf +=
( ) 3, 2 ++= xyxyxf
 
 
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30 
# 5: Seja a tabela abaixo a distribuição dos gastos apenas com equipamentos (mil 
de reais), com salários dos funcionários (mil de reais) de algumas unidades da SEFAZ e 
as respectivas arrecadações (milhões de reais) em algum mês. Tente explicar estes 
dados a partir de uma função de arrecadação, cujos argumentos são os gastos. 
 
Unidade Equipamentos Salários Arrecadação 
SEFAZ 1 55,38 100,45 2,55 
SEFAZ 2 156,80 90,89 3,40 
SEFAZ 3 32,09 86,50 2,05 
SEFAZ 4 234,00 180,00 5,90 
SEFAZ 5 211,03 145,00 4,98 
SEFAZ 6 155,10 125,00 4,04 
SEFAZ 7 369,08 80,56 5,30 
 
 
# 6: Resolver as questões abaixo. 
a. Seja a função f(x) = 4x-3, calcule: 
 f(-2) 
 f(a+1) 
 
b. Faça o gráfico da função f(x) = -x2 +2 com o Dom (f) = { }3,2,1,0,1,2,3 −−− 
 
c. Determine o domínio e a imagem das funções abaixo: 
f(x) = |4-x| 
 
g(x) = 





<
≤<−
−≤−
xse
xse
xse
24
211
13
 
 
# 7: Exercícios 1 a 6 da seção 2.5 do livro texto, página 25. 
 
 
 
 
 
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31 
1.3.3. Análise de equilíbrio em economia 
Neste processo de formação de economistas com forte base em métodos 
quantitativos, cabe como extensão do tópico funções, o estudo de equilíbrio de 
modelos. Neste escopo, é importante que se entenda ainda melhor o que significaria 
equilíbrio. 
Definição: Equilíbrio consiste em um conjunto de variáveis selecionadas inter-
relacionadas ajustadas umas às outras e forma que não haja incentivo nem tendência 
inerente à mudança de nenhuma destas variáveis. 
Uma importante aplicação desta noção consiste na análise de equilíbrio estático, 
em que se dá um choque em uma das variáveis exógenas e observa-se o que ocorre 
com as variáveis endógenas do modelo. 
Equilíbrio parcial vs. equilíbrio geral de mercado: A teoria da Decisão consiste 
na própria teoria clássica sobre o comportamento (otimizador) dos agentes, 
consumidor e da firma, a partir da abordagem de escolha individual. Uma das mais 
importantes extensões desta teoria inicial aborda o estudo do Equilíbrio em mercados 
(leia-se aí o estudo de aspectos tais como existência, unicidade, estabilidade, ...) e dos 
teoremas fundamentais de bem-estar. De forma pouco precisa, entenda-se equilíbrio 
em um determinado mercado, como sendo o resultado ou alocação, na qual cada 
agente (consumidores e firmas) está fazendo "o melhor que pode" dadas as ações dos 
demais agentes. 
 A abordagem de Equilíbrio Parcial, originalmente desenvolvida por Marshall 
(1920), assume/prevê um mercado para um determinado bem (ou cesta de bens), no 
qual o gasto total dos consumidores constitui apenas uma pequena fração de todo o 
seu orçamento, da sua renda. Sendo isso verdade, é razoável assumir que em 
decorrência de mudanças no mercado deste bem (em estudo): i) os preços dos demais 
bens da economia permaneçam praticamente inalterados e ii) o efeito-renda neste 
mercado seja desprezível. Uma forma simples e intuitiva de captar todos esses efeitos é 
através de uma modelagem de dois bens, na qual: i) todo o gasto com os demais bens 
da economia (exceto o bem em questão) é considerado como um gasto com uma cesta 
 
 
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32 
de bens (bem numerário) e ii) a utilidade do agente é quase-linear neste bem 
numerário. Porém esta mesma análise pode ser feita de maneira menos restritiva, sob 
uma perspectiva de Equilíbrio Geral. Metodologicamente, essa abordagem adota que a 
economia se comporte como um sistema fechado de variáveis inter-relacionadas no 
qual devemos determinar os valores de equilíbrio de todas as variáveis 
simultaneamente. Desta forma, uma vez que haja uma perturbação na economia, o 
nível de equilíbrio de todas as variáveis endógenas deve ser recalculado.4 
Outra particularidade desta abordagem consiste na redução/limitação das 
variáveis exógenas a uma pequena quantidade de physical realities ou primitivos, ou 
seja, conjunto de agentes, preferências, tecnologia, dotações dos agentes. Estamos 
portanto diante de uma teoria, primeiramente desenvolvida formalmente por Walras 
(1874), a qual, usando apenas os fundamentos ou primitivos da economia e a partir das 
hipóteses de que todos agentes se comportam como tomadores de preço e há cotação 
de preço para todos os bens (incluindo os que eventualmente não sejam transacionados 
em um determinado equilíbrio), determina as quantidades (de consumo e produção) e 
os preços de equilíbrio da economia. 
Equilíbrio parcial – Construção do modelo: Uma vez que somente uma 
mercadoria esteja sendo considerada, é necessário, em uma modelagem mais simples 
possível, incluir apenas três equações no modelo: uma descrevendo o comportamento 
da demanda (Qd), uma outra da oferta (Qs) e uma terceira definindo a condição de 
equilíbrio, a qual será dada intuitivamente pelo excesso de demanda nulo, Qd ≡ Qs. 
O que seria de se esperar do comportamento da demanda e da oferta com relação 
ao preço do bem em questão? 
Exemplo 1.24: Um modelo canônico linear pode ser representado pelo seguinte 
sistema de equações: 
Qd = Qs 
Qd = a – bP (a, b >0) 
Qd = -c + dP (c, d >0) 
 
4 Caso estivéssemos sob uma abordagem de equilíbrio parcial, então simplesmente desconsideraríamos o impacto sobre 
variáveis endógenas as quais não estivessem diretamente relacionadas ao choque em questão. 
 
 
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33 
Represente graficamente esta modelagem e caracterize o equilíbrio neste 
mercado. Obs.: Convencionou-se situar a variável dependente no eixo vertical. 
Como ficaria a solução de equilíbrio deste modelo? Ou seja, quais os valores da 
demanda, oferta e preço de equilíbrio, respectivamente Q*d, Q*s e P* tais que, as três 
equações simultâneas que definem o modelo sejam satisfeitas? O que deveria ocorrer 
quando da variação nos parâmetros b e d? 
Neste exemplo anterior, vimos a mais simples das abordagens, por se tratar de 
equilíbrio parcial com funções de demanda e oferta lineares. Haveria mudanças 
significativas quando do uso de funções demandae oferta não-lineares? 
Exemplo 1.25: Um modelo canônico não-linear pode ser representado pelo 
seguinte sistema de equações: 
Qd = Qs 
Qd = 4 –P2 
Qd = 4P - 1 
Represente graficamente esta modelagem e caracterize o equilíbrio neste 
mercado. 
Usando o método gráfico ou a fórmula de raízes em equações do 2º grau,5 como 
ficaria a solução de equilíbrio deste modelo? Ou seja, quais os valores da demanda, 
oferta e preço de equilíbrio, respectivamente Q*d, Q*s e P* tais que, as três equações 
simultâneas que definem o modelo sejam satisfeitas? Podemos assegurar unicidade do 
equilíbrio neste caso? E usando a intuição, o sentido econômico? 
Há ainda casos em que as funções que definem o modelo são equações de graus 
mais elevados, cúbica, quártica, etc. Nestes casos, tanto o esboço gráfico, como a 
solução analítica são mais complexos, sendo interessante a tentativa de se usar 
inicialmente a técnica da fatoração, em que se reescreve a equação de n-ésimo grau 
como o produto de n equações, sendo trivial identificar as raízes do problema. 
Equilíbrio geral – Construção do modelo: Como já dito anteriormente, todas 
estas análise aqui discutidas foram feitas sob um contexto de equilíbrio parcial. Sob um 
 
5 Para um texto objetivo e claro sobre o equívoco de se atribuir tal fórmula à Bhaskara, ver o site 
http://sandroatini.sites.uol.com.br/bhaskara.htm 
 
 
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34 
cenário mais realista, poderiam ser feitas de maneira menos restritiva, sob uma 
perspectiva de Equilíbrio Geral. Metodologicamente, esta abordagem adota que a 
economia se comporte como um sistema fechado de variáveis inter-relacionadas no 
qual devemos determinar os valores de equilíbrio de todas as variáveis 
simultaneamente, ou seja, em que o excesso de demanda por cada um dos bens seja 
nula. 
Uma forma bem didática de entender uma abordagem de equilíbrio geral seria 
através de um simples exemplo, em que ao ir ao supermercado, o consumidor acaba 
comprando banana e/ou mamão com base nos preços de ambos. 
Uma vez que haja algum grau de substitutabilidade ou de complemetaridade 
entre estas duas frutas, o preço de uma irá interferir em sua demanda pela outra e vice-
versa. 
Exemplo 1.26: Um modelo canônico não-linear pode ser representado pelo 
seguinte sistema de equações: 
Qdi = Qsi 
Qs1 = -2 + 3P1 
Qd1 = 10 – 2P1 + P2 
Qs2 = -1 + 2P2 
Qd2 = 15 + P1 - P2 
Represente graficamente esta modelagem e caracterize o equilíbrio neste 
mercado. Como ficaria a solução de equilíbrio deste modelo? Ou seja, quais os valores 
da demanda, oferta e preço de equilíbrio, respectivamente Q*d, Q*s e P* nos dois 
mercados tais que, todas as equações simultâneas que definem o modelo sejam 
satisfeitas? Podemos assegurar unicidade do equilíbrio neste caso? Para este 
consumidor, estes bens são complementares ou substitutos? 
Por fim, não necessariamente, precisamos limitar esta discussão a apenas dois 
bens, ou mesmo ao impacto cruzado apenas nas funções demanda. Porém, na medida 
em que inserimos mais bens nesta economia, teremos mais variáveis endógenas, o que 
pode tornar o problema bem mais trabalhoso e complexo, dependendo das funções 
envolvidas. Assim, para casos mais gerais, visando abordar aspectos como existência, 
 
 
Economia Matemática 1 Prof. Dr. Paulo Matos 
 
35 
inconsistência e unicidade do equilíbrio, torna-se interessante o estudo de equações 
simultâneas a partir de um arcabouço de matrizes. 
 
Estudo de caso: Macroeconomia - Análise de Renda Nacional a la Keynes 
Embora até aqui a análise de equilíbrio tenha sido feita apenas levando-se em 
consideração mercados de bens, podemos claramente também estender a técnica, a 
intuição para um estudo de caso de conjuntura macroeconômica, mais especificamente 
em contas nacionais. Para tal, usemos o modelo de renda nacional elaborado por John 
Maynard Keynes, um dos maiores economistas do mundo, infelizmente morto 
precocemente. 
Modelo: 
Y = C + I0 + G0 
C = a +bY (a > 0, 0 < b <1), 
onde Y e C consistem respectivamente na renda (ou produto) e no consumo agregados, 
ambos endógenos e I0 e G0 representam respectivamente o investimento e o consumo 
do governo, ambos exógenos. 
Observe que na primeira equação, toda a produção agregada ou é destinada ao 
consumo de famílias, ou do governo, ou para investimento, enquanto o consumo das 
famílias se dá sob um regime em que uma parte é tida como autônoma e uma outra 
parte como fração constante da renda, sendo o parâmetro b a propensão marginal ao 
consumo. 
Estamos assim diante de um sistema com duas equações e duas variáveis 
endógenas, em que não deverá haver inconsistência, nem redundância. 
Determine os valores de equilíbrio de renda e de consumo neste modelo, Y* e C*. 
Observação: Por ser uma modelagem literal, Y* e C* deverão ser funções cujos 
argumentos deverão ser apenas parâmetros e variáveis exógenas. Isso é muito 
importante! 
 
 
Exercícios sobre análise de equilíbrio em economia. 
 
 
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36 
# 7. Qual seria a interpretação para os termos destacados na definição de 
equlíbrio, ou seja, selecionadas, inter-relacionadas e inerente? 
 
# 8: Exercícios 1 a 5 da seção 3.2 do livro texto, página 35. 
 
# 9: Exercícios 1, 2, 3, 6 e 7 da seção 3.3 do livro texto, página 40. 
 
# 10: Exercício 3 da seção 3.4 do livro texto, página 45. 
 
# 11: Exercícios 1, 2 e 3 da seção 3.5 do livro texto, página 47. 
 
 
 
 
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37 
2. Cálculo diferencial e integral 
 “O estudo do limite de uma função consiste em uma das idéias fundamentais do cálculo, 
distinguindo-o da álgebra e da geometria!” 
2.1. Derivada 
2.1.1. Noções de limite e continuidade de funções 
Ter noções de limites e continuidade consiste no ponto de partida para o cálculo 
de derivadas e integrais. 
A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir o comportamento 
de algumas funções que variam continuamente, e o comportamento de outras funções 
que podem variar independente do modo como se controla as variáveis. 
No cálculo e em suas aplicações, nos interessam, em geral, os valores f(x) de uma 
função f que estejam próximos de um número a pertencente ao domínio, mas não 
necessariamente no próprio a. 
Exemplo 2.1: Seja a função com somente um argumento dada por 
É possível calcular f(2)? 
O que ocorre quando x se aproxima de 2? 
 
Parece que quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 4/3 está f(x). 
63
2
)(
23
−
−
=
x
xx
xf
 
 
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38 
Observe que se efetuarmos a simplificação da função e depois 
esboçarmos seu gráfico, veremos que de fato quanto mais próximo de 2 está x, mais 
próximo de 4/3 está f(x). Independente se x está se aproximando de 2 por valores mais 
altos ou baixos. 
Exemplo 2.2: Considere a função 
 
f(x) = 
 
Como seria o gráfico desta função? 
O que acontece quando x tende a 5 pela esquerda? E o que acontece quando x 
tende a 5 pela direita? 
Formalmente, adotamos a seguinte notação: 
 
 
Havendo então limites por cada um dos lados, como analisar aquestão da 
existência ou não do limite de uma função? 
Existência do limite de uma função: 
 
Formalmente .... 
 
 
 se e somente se 
 
 
 
Assim, para calcular o limite de uma função é preciso obter primeiramente os 
limites ambos os laterais. Para tal, o recurso gráfico, a construção de uma tabela com 
valores cada vez mais próximos de a e principalmente, o algebrismo para reduzir ou 
simplificar a função são extremamente úteis. Isso se dá pelo fato de que muitas vezes, 
63
2
)(
23
−
−
=
x
xx
xf



>−−
<−
563
53
2 xsexx
xsex
=
−→5
)(lim
x
xf =
+→5
)(lim
x
xf
Lxf
ax
=
+→
)(lim
Lxf
ax
=
−→
)(lim
Lxf
ax
=
→
)(lim
 
 
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39 
apenas substituindo o valor de x na função gera uma indeterminação, ou seja, algo do 
tipo 
 
 
Exemplo 2.3: Seja f(x) = 2x – 1. Calcule 
Exemplo 2.4: Considere o gráfico a seguir. 
 
Qual o limite da função q(v) quando v tende a N? E quando v tende para ? E 
quando v tende para ? 
Exemplo 2.5: Seja f(x) = 1/x. Qual o limite de f(x) quando x tende a zero? 
Exemplo 2.6: Seja f(x) = 1/x2. Qual o limite de f(x) quando x tende a zero? 
Exemplo 2.7: Considere os gráficos a seguir. Obtenha os limites laterais quando x 
tende para N. 
 
 
 
2
)(lim
→x
xf
∞+
∞−
 
 
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40 
Exemplo 2.8: Considere os gráficos a seguir. Obtenha os limites laterais quando x 
tende para N. 
 
y q
L L
v v�� 
 
 
Formalmente: Quando v tende para N, o limite de q = g(v) será L, se para toda 
vizinhança de L (intervalo aberto contendo L), não importa quão pequena, for possível 
achar uma vizinhança correspondente de N excluindo v = N tal que, para todo valor de 
v nesta vizinhança de N, sua imagem esteja na vizinhança inicialmente escolhida de L. 
 
Propriedades de limite: 
a. Se q(v) = a.v + b, então 
 
b. Se q(v) = , então 
 
c. 
 
d. 
 
 
e. 
 
 
�v
b�avq
→
+= .)(lim
kv
�v
k�vq
→
=)(lim
[ ]
�v
vqvq
→
=± )()(lim 21
�v
vq
→
±)(lim 1
�v
vq
→
)(lim 2
[ ]
�v
vqvq
→
=⋅ )()(lim 21
�v
vq
→
⋅)(lim 1
�v
vq
→
)(lim 2
�v
�v
vq
vq
→
→
)(lim
)(lim
2
1
�v
vq
vq
→
=





)(
)(
lim
2
1
 
 
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41 
Exemplo 2.9: Calcule o limite da função abaixo, quando v tende para zero: 
q(v) =[ (2 + v)3 – 8]/ v, v ≠ 0. 
 
Regras e dicas para o cálculo de limites do tipo: 
 
a. Sempre calcular os limites laterais. 
b. Fazer o uso de tabelas nas quais se usa valores cada vez mais próximos de N. 
c. Substituir f(N) quando a função não tiver mudança de regime, de 
comportamento para diferentes intervalos do domínio. 
d. Quando x tender para o infinito, pode ser útil simplificar a função dividindo o 
numerador e o denominador ambos por x. 
e. Quando for uma função racional, pode ser útil inicialmente substituir f(N) e em 
caso de indeterminação do tipo zero dividido por zero, atentar para a simplificação a 
partir de uma fatoração que isole a raiz das equação do numerador e denominador, 
eliminando o problema. 
f. Fazer uso das propriedades de limites. 
g. Quando a função possuir termos do tipo potência fracionária, exemplo, 
substituir este termo por uma função ou termo sem potência fracionária . 
 
Definição de função contínua: 
Uma função f(x) é dita contínua em x = a se e somente se o limite desta função em 
a existe e possui valor igual a f(a). 
Quando uma função f(x) é dita descontínua em x = a, então isso se dá ou em 
razão da não existência do limite desta em a, ou se este limite existir mas não coincidir 
com o valor de f(a). 
 
Propriedades de função contínua: 
Estas são algumas das propriedades de funções contínuas. Sejam f(x) e f(x) duas 
funções contínuas em x = a. Então 
 
�x
xf
→
)(lim
x zx =
 
 
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42 
a. A soma f(x) + f(x) também será uma função contínua em x = a 
b. A diferença f(x) - g(x) também será uma função contínua em x = a 
c. O produto f(x) . g(x) também será uma função contínua em x = a 
d. O quociente f(x) / g(x) também será uma função contínua em x = a, desde que 
g(a) ≠ 0. 
e. A composição da função composta f o g (x) = f(g(x)) é contínua em x = a, desde 
que g(x) seja contínua em x = a e f(x) seja contínua em g (a). 
f. A função polinomial de grau n é contínua nos reais. 
g. Uma função racional é contínua em todo número real de seu domínio. 
h. As funções logarítmica e exponencial são contínuas em todo o seu domínio. 
 
Generalizando .... 
As noções de limite desenvolvidas até o momento para funções com somente um 
argumento são todas válidas e análogas para funções com vários argumentos!!! 
 
 
Exercícios sobre noções de limite e continuidade em funções 
# 1: Calcule os limites a seguir: 
a. Limite de q(v) = 2 + v2 quando v tende a zero. 
b. Limite de q(v) = v2/v quando v tende a zero. 
 
# 2: Calcule os limites das funções: 
a. q(v) = 3 – 9v + v2 quando v tende a 0 e v tende a 3; 
 
b. quando x se aproxima de 1 
 
c. 
 
 
 
1
2
)(
2
−
−+
=
x
xx
xf
0
22)(
lim
→
−+
h
h
xhx
 
 
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43 
# 3: Calcule os limites das funções: 
 
a. 
 
b. 
 
# 4: Calcule os limites das funções: 
 
a. quando x se aproxima de 1 
 
b. quando x se aproxima de 1 
 
c. quando x se aproxima de -1 
 
d. quando x se aproxima de 5/3 
 
e. quando x se aproxima de 2 
 
f. quando x se aproxima de -1 
 
# 5: Verifique se a função a seguir é contínua em 2: 
 
 f(x) = 
 
 
# 6: Calcule os limites das funções: 
 
a. quando x se aproxima de 1 
 
b. quando x se aproxima de 1 
6lim 323
)0,0(),(
++−
→
yxyyx
yx
..,2),(
)0,0(),(,),(
lim
22
)0,0(),( ccyxf
yxyxyxf
yx =
≠+=
→
1
2
)(
2
−
−+
=
x
xx
xf
1
13
)(
−
+
=
x
x
xf
1
)1).(23(
)(
2
+
−+
=
x
xx
xf
53
27
)(
2
−
−+
=
x
xx
xf
2
1
)(
3
−
−
=
x
x
xf
65
18102
)(
2
23
−−
++−
=
xx
xxx
xf
2,97
2,5
2,12
<−
=
>+
xx
x
xx
1
1
)(
3/1
−
−
=
x
x
xf
1
1
)(
4/1 −
−
=
x
x
xf
 
 
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44 
# 7: Exercícios 1, 2 e 3 da seção 6.4 do livro texto, página 131. 
 
# 8: Exercícios 1, 2 e 3 da seção 6.6 do livro texto, página 137. 
 
2.1.2. Incrementos e taxa de variação 
Muitos fenômenos envolvem grandezas que variam ao longo do tempo ou cross-
section.Neste sentido, a derivada pode ser vista e usada como uma ferramenta 
matemática no estudo das taxas nas quais grandezas, físicas ou não, variam! 
De forma mais específica, estamos entrando no mundo de estudo da estática 
comparativa propriamente dito, em que uma vez que se saiba as noções de equilíbrio, 
compara-se os diferentes equilíbrios que podem surgir em razão de mudanças nas 
variáveis exógenas. Neste estudo, desprezamos o processo de ajuste e características 
como a trajetória e o timing deste ajuste, ou mesmo se este novo equilíbrio é instável 
como o inicial ou não, uma vez que nos interessamos apenas pelo estado inicial da 
economia (antes da variação) e final (depois). 
Suponha, por exemplo, ceteris paribus, que haja uma mudança por parte do 
COPOM (Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil) da taxa de juros 
SELIC (Sistema Especiação de Liquidação e Custódia). Poderíamos estar preocupados 
com a inflação no país apenas nos momentos antes e depois da mudança da taxa de 
juros. O quanto tempo levaria, ou como isso se daria seriam detalhes irrelevantes em 
uma estática comparativa. 
Definição: Taxa de variação consiste na taxa em que uma variável endógena 
varia relativa à variação em um determinado parâmetro ou variável exógena. 
Por essa razão, o conceito de derivada assume uma significância preponderante 
em estática comparativa, pois diz respeito diretamente a esta taxa de variação! 
 
Só para termos uma idéia ..... 
 
 
 
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45 
Definição: Seja a função y = f(x). A derivada de y em relação a x pode ser vista 
como uma resposta (ou uma taxa de variação) de y dada uma variação muito pequena 
ou incremento de x, denotado por ∆x. 
Iremos assim formalizar o conceito de taxa de variação de uma variável 
endógena (em equilíbrio de acordo com um modelo) em razão da variação em uma 
exógena através do uso das funções. 
 
Exemplo 2.10: Seja uma função dada por y = f(x) = x2 + 1. Caso x passe do valor 
unitário para 3, calcule ∆x e ∆y. 
 
De um modo geral, inicialmente temos: 
- Função y = f(x). 
- Valor inicial do argumento x = x0. 
- Valor inicial da função y = f(x0) 
 
Eis que ... 
Havendo uma variação ∆x no valor de x, temos: 
- Valor final de x = x0 + ∆x 
- Valor final de y = f(x0 + ∆x) 
- Variação de y = ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) 
 
As variações ∆x e ∆y podem ser vistas no gráfico a seguir: 
 
 
 
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46 
 
 
Definição: O quociente recebe o nome 
 
de taxa média de variação da função f(x) quando x passa do valor x0 para o valor x = x0 
+Δx, e expressa a variação média ou relativa sofrida pelos valores da função f(x) entre 
esses dois pontos. 
Tão logo se tenha absorvido o conceito de taxa de variação para o caso de um 
único argumento, a generalização para funções com mais argumentos será natural! 
Exemplo 2.11: Seja a função f, tal que f(x) = 2x + 1, para x real. Determine a taxa 
média de variação de f, quando x passa de x0 = 1 para x0 +Δx = 4. 
Exemplo 2.12: Seja a função f, tal que f(x) = x2 + 4, para x real. Determine a taxa 
média de variação de f, quando x passa de x0 = 2 para x0 +Δx = 5. 
Exemplo 2.13: Na prática, seja y = f(k) uma função de produção, cujo argumento 
seja o insumo capital. Qual seria a variação na produção dada uma variação muito 
pequena de capital? Que nome damos a essa taxa? 
Exemplo 2.14: Determine a taxa média de variação das funções seguintes entre os 
pontos indicados abaixo. 
f(x) = 3; entre os pontos x = 2 e x = 4. 
f(x) = x2 + x; entre os pontos x = - 2 e x = 2. 
f(x) = 1 – 1/x; entre os pontos x = 3 e x = 6. 
x
xfxxf
xx
xfxf
x
y
∆
−∆+
=
−
−
=
∆
∆ )()()()( 0
0
0
 
 
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47 
Exemplo 2.15: Seja C = f(Q) uma função que mensure o custo em relação à 
quantidade produzida. A variação do custo dada uma variação muito pequena da 
quantidade produzida é chamada custo marginal, CMg, pois trata-se da variação do 
custo em razão de uma variação marginal ou muito pequena, infinitesimal da 
produção. 
Neste sentido, como poderíamos representar esta taxa média de variação quando 
de variações marginais ou muito pequenas no argumento da função? 
 
 
 
2.1.3. Definição de derivada 
Definição: Como já antecipado, a derivada de uma função f em relação à variável 
x é a função f ‘(x) acima, se o referido limite existir, ou seja, uma razão entre variações 
instantâneas. Neste caso, diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x. 
Podemos ser ainda mais específicos se necessário. Em vez de definirmos a derivada de 
uma função em todo o seu domínio, podemos definir a derivada apenas em um valor 
específico do domínio. 
Definição: Se x0 for um número particular no domínio f, então a derivada da 
função f no ponto x0, denotada por f’(x0), é dada por: 
 
 
 
se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x0, ou seja, 
existe f’(x0). Por esta definição, podemos dizer então que a derivada de uma função no 
ponto x0 é a taxa média de variação da função neste ponto, quando ocorre uma 
variação muito pequena em x (Δx → 0). Até o momento só fizemos uso de uma 
notação, atribuída ao matemático Lagrange. Outras notações de derivada são: 
 
 
 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)('
0
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)(' 00
0
0
')(''
)(
fxfy
dx
xdf
dx
dy
====
 
 
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48 
Diferenciabilidade de funções: 
a. Quando uma função y = f(x) tem derivada em um ponto x0 qualquer, ela é 
diferenciável ponto x0. 
b. Se uma função tem derivada para os valores de x dentro de um intervalo [a, b], 
ela é diferenciável no intervalo [a, b]. 
c. Se uma função tem derivada para todos os valores de x nos quais ela é 
definida, ou seja, todo o domínio, a função é diferenciável. 
d. Nem todas as funções são diferenciáveis! 
Exemplo 2.16: Calcule a derivada de: 
a. f (x) = ax +b. Agora, obtenha f’(2). 
b. g (x) = 15x - 10. Agora, obtenha g’(2). 
c. h (x) = -25x - 2. Agora, obtenha h’(2). 
Exemplo 2.17: Calcule a derivada de: 
a. f (x) = ax2 + bx +c. Agora, obtenha f’(2). 
b. g (x) = 10x2 + x + 2. Agora, obtenha g’(2). 
c. h (x) = 5x2 + 5x +5. Agora, obtenha h’(2). 
Exemplo 2.18: Calcule a derivada de: 
a. f (x) = ax3 + bx2 +cx + d. Agora, obtenha f’(2). 
b. g (x) = 10x3 + 5x2 +2x + 1. Agora, obtenha g’(2). 
c. h (x) = 100x3 + 10x2 +10x + 1. Agora, obtenha h’(2). 
Exemplo 2.19: Calcule a derivada de: 
a. f (x) = ax3 + bx2 +cx + d. Agora, obtenha f’(2). 
b. g (x) = ax3 + bx2. Agora, obtenha g’(2). 
c. h (x) = cx + d. Agora, obtenha h’(2). 
d. f’(2) = g’(2) + h’(2)? Será que esta relação vale para todo x, f’(x) = g’(x) + h’(x)? 
Exemplo 2.20: Calcule a derivada de: 
a. f (x) = exp(ax). Agora, obtenha f’(2). 
b. g (x) = exp(2x). Agora, obtenha g’(2). 
 
 
 
 
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49 
2.1.4. Interpretação geométrica da derivada 
A derivada de uma função f em um ponto x = a, se esta existir, tem um 
significado geométrico muito importante que está relacionado a tangente, a inclinaçãoda curva que representa f neste ponto x = a. O gráfico abaixo ajudará na compreensão 
desta informação. 
Vemos que a função y = f(x) é uma curva. 
A reta s corta esta função em dois pontos 
(P e Q) e sua inclinação é igual a α. 
Podemos então observar que a 
tangente de α igual a: 
 
A medida que traçamos outras retas que 
estejam localizadas entre as retas s e t, 
observamos que a cada nova reta mais 
próxima de t temos: x → x0 (x fica cada vez 
mais próximo de x0). 
 
Como Δx = x – x0 , então 
quando x → x0 implica que Δx → 0. 
 
A reta t é tangente a função y no ponto P. Isso quer dizer que a tangente de β 
deve ser dada por 
 
Concluindo: A derivada de uma função f(x) quando existe, assume em cada 
ponto x0, um valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) 
nesse ponto. 
 
 
 
 
0
0 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
)('
)()(
lim 0
00
0
xf
x
xfxxf
x
=
∆
−∆+
→∆
 
 
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50 
Exemplo 2.21: As funções abaixo possuem derivada no ponto x0? 
 
 
Implicações sobre o comportamento da função e o sinal da derivativa 
a. Se a função tem taxa de crescimento negativa no ponto e a inclinação 
da reta tangente no ponto é negativa. 
 
b. Se a taxa de variação da função é zero no ponto e a reta tangente no 
ponto é horizontal. 
 
c. Se a função tem taxa de crescimento positiva no ponto e a inclinação 
da reta tangente no ponto é positiva. 
O uso da derivada como inclinação da curva em um ponto específico ou em um 
intervalo pode ser útil quando da classificação de uma função, se esta é crescente ou 
decrescente, ou constante. 
Definição: Dizemos que uma função f(x) = f(x1, x2, ...) é crescente se para todo x ≥ 
x’ ambos pertencentes ao Dom (f) ⇒ f(x) ≥ f(x’). 
Dizemos que uma função f(x) = f(x1, x2, ...) é estritamente crescente se para todo x >> 
x’ ambos pertencentes ao Dom (f) ⇒ f(x) > f(x’). 
Dizemos que uma função f(x) = f(x1, x2, ...) é fortemente crescente se para todo x ≥ 
x’, mas x ≠ x’ ambos pertencentes ao Dom (f) ⇒ f(x) > f(x’). 
Analogamente para o caso de funções decrescentes. 
0=
dx
dy
0<
dx
dy
0>
dx
dy
 
 
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51 
Em caso de funções crescentes, seja fracamente, estritamente, ou fortemente, o 
que seria de se esperar do sinal da derivada da função? 
 
Exemplo 2.23: Seja o gráfico da função custo total 
 
a. Decrescente para valores de Q à esquerda de Q0; 
b. Tem taxa de variação zero no ponto Q0; 
c. Crescente para valores de Q à esquerda de Q0; 
 
Por fim, antes de entrarmos nas regras de derivação, é importante analisar a 
relação entre a diferenciabilidade de uma função e a continuidade desta. 
Vimos no exemplo 2.21 que existem funções descontínuas as quais não possuem 
derivada no “local” da descontinuidade. 
Exemplo 2.24: Observe o gráfico a seguir. 
 
a. Será que existe um limite desta função em x = x0? Seria esta função contínua 
neste ponto? 
 
 
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52 
b. E a derivada neste ponto? Dica: Use a intuição geométrica. 
Este é um exemplo de que a condição de diferenciabilidade exige algo além da 
continuidade: suavidade da função. 
Mais precisamente, dizemos ser a função contínua uma condição necessária para 
ser diferenciável, ou seja, se houver diferenciabilidade é contínua, se não for contínua, 
não é diferenciável. 
Demonstração: Visando carregar menos a notação, adote que a continuidade da 
função em N seja dada por e que a derivada neste ponto seja 
 
 
O que queremos demonstrar é que a diferenciabilidade implica na continuidade. 
Assim, tome o limite em ambos os lados da relação a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, dado que existe a derivada de f em N, podemos assegurar continuidade. 
 
2.1.5. Regras de derivação 
O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, 
pode ser bastante complicado. Contudo, com base na definição de derivada da função, 
é possível obter várias regras que facilitam muito o trabalho. São as chamadas regras 
de derivação para soma, produto e quociente de funções. Elas são importantes no 
cálculo de derivadas de qualquer função. 
 
)()(lim �fxf�x =→
�x
�fxf
�f �x −
−
= →
)()(
lim)('
).(
)()(
)()( �x
�x
�fxf
�fxf −
−
−
=−



 −
−
−
=− →→→ ).(
)()(
lim)(lim)(lim �x
�x
�fxf
�fxf �x�x�x
)(lim.
)()(
)()(lim �x
�x
�fxf
�fxf �x�x −



−
−
=− →→
00).(')(lim).(')()(lim ==−=− →→ �f�x�f�fxf �x�x
 
 
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53 
a. Derivada da função constante: 
Se f (x) = k , onde k é uma constante, então f’(x) = 0 . 
Demonstração: Sala de aula! 
Exemplo 2.25: Se f(x) = 4, então f’(x) = 
 
b. Derivada da função linear: 
Se f (x) = ax + b , onde a e b são constantes e a ≠ 0 , então f’(x) = a. 
Demonstração: Sala de aula! 
Exemplo 2.26: Se f(x) = 5x + 4, então f’(x) = 
 Se f(x) = 2 – 7x, então f’(x) = 
 
c. Derivada da função potência: 
Se f (x) = xn , onde n pertence ao conjunto de números naturais, então f’(x) = n.xn-1. 
Demonstração: Sala de aula! 
Exemplo 2.27: Se f(x) = x4, então f’(x) = 
 Se f(x) = x2, então f’(x) = 
 
d. Derivada da função soma: 
Sejam g(x) e h(x) duas funções deriváveis no ponto x . 
Defina f (x) = g(x) + h(x), a qual também será derivável no ponto x e f’(x) = g’(x) + 
h’(x) . 
Demonstração: Sala de aula! 
Exemplo 2.28: Se f(x) = x4 + 3x2, então f’(x) = 
 
e. Derivada da função produto: 
Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis em x. 
Defina f (x) = u(x).v(x), a qual será derivável em x, e f’(x) = u(x).v’(x) + u’(x).v(x). 
Demonstração: Sala de aula! 
Exemplo 2.29: Se f(x) = (x2 + 3)(3x + 1), então f’(x) = 
 Se f(x) = (x2 + x + 1)2, então f’(x) = 
 
 
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54 
f. Derivada da função quociente: 
Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis no ponto x. Seja f(x) = u(x)/v(x), com 
v(x) ≠ 0. Então, 
 
Demonstração: Sala de aula! 
Exemplo 2.30: Se f(x) =1/x, então f’(x) = 
 Se f(x) = 3x/ (x+2), então f’(x) = 
 
g. Definição de logaritmo: 
Na matemática, o número de Euler, e, assim chamado em homenagem ao 
matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do 
nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, 
constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi 
publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John 
Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma 
simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da 
constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para 
a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos): 
 
a qual vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287. Este número também 
pode ser escrito como a soma