Prova2CH-2013-1_Gabarito

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario,
Milton, Monique e Umberto
Data: 29 de julho de 2013
Prova de 2a Chamada
1. Assinale a afirmativa VERDADEIRA: Podemos
afirmar que a solução geral do sistema{
x + w = b1
y − z = b2
(a) Tem dois graus de liberdade independen-
temente de b1 e b2
(b) Tem um grau de liberdade independentemente
de b1 e b2
(c) Tem um grau de liberdade para certos valores de
b1 e b2
(d) É única para certos valores de b1 e b2
2. Uma reta em R4 pode ser expressa como o conjunto-
solução de um sistema
(a) de 3 equações em 4 variáveis
(b) de 4 equações em 3 variáveis
(c) de 1 equação em 4 variáveis
(d) de 4 equações em 2 variáveis
3. Sejam V = {p ∈ P3|p(0) = 0} e T a transformação
T : P2 −→ V
ax2 + bx+ c 7→ ax33 + bx
2
2 + cx
Assinale a afirmativa FALSA
(a) T não tem inversa
(b) dim(Im(T )) = dim(P2)
(c) T não tem autovetores
(d) T não é linear
4. Considere a soma e o produto por escalar usuais de
matrizes. Qual conjunto de matrizes n × n abaixo
não é um espaço vetorial:
(a) As matrizes inversíveis
(b) As matrizes simétricas (A = AT )
(c) As matrizes triangulares superiores
(d) As matrizes anti-simétricas(A = −AT )
5. Seja Mn o conjunto das matrizes n × n simétricas.
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) Dim(M5) = 15
(b) Dim(M2) = 4
(c) Dim(M4) = 12
(d) Dim(M3) = 7
6. Seja A uma matriz m× n e B a matriz obtida de A
após escalonamento. Assinale a afirmativa FALSA:
(a) O espaço gerado pelas colunas de A é igual
ao espaço gerado pelas colunas de B
(b) A e B têm o mesmo número de linhas linear-
mente independentes
(c) A e B têm o mesmo número de colunas linear-
mente independentes
(d) O espaço gerado pelas linhas de A é igual ao
espaço gerado pelas linhas de B
7. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear que mul-
tiplica o vetor (3, 1) por 2 e o vetor (2, 1) por 12 . Seja
A a matriz de T na base canônica. Calcule a soma
dos elementos da primeira linha de A.
(a) −4
(b) −2
(c) 10
(d) 8
8. Considere o produto interno usual de R4. Cal-
cule a projeção ortogonal do vetor (2, 2, 2, 2) na reta
que passa pela origem e possui a direção do vetor
(1, 1, 2,−2).
(a) ( 25 ,
2
5 ,
4
5 ,− 45 )
(b) ( 35 ,
3
5 ,
6
5 ,− 65 )
(c) ( 45 ,
4
5 ,
8
5 ,− 85 )
(d) ( 15 ,
1
5 ,
2
5 ,− 25 )
9. Seja T uma transformação linear, T : R3 → R3, cuja
imagem é o plano 3x−2y+z = 0 e o núcleo é uma reta
que passa pela origem na direção do vetor (1, 1,−1).
Assinale uma matriz que representa esta transforma-
ção linear:
(a)
2 1 33 0 3
0 −3 −3

(b)
3 −2 13 −2 0
1 1 −1

(c)
2 3 01 0 −3
3 3 −3

(d)
 3 3 1−2 −2 1
1 0 −1

10. Seja T uma transformação linear de R2 em R2 e A a
matriz que representa T escolhendo a base canônica
para o domínio e contra-domínio. Se A =
[−10 7
−14 10
]
,
qual a matriz que representa esta transformação li-
near ao escolhermos a base {(1, 1), (1, 2)} para o do-
mínio e contra-domínio?
Gabarito Pág. 1
(a)
[−2 2
−1 2
]
(b)
[ −65 41
−103 65
]
(c)
[−65 −103
41 65
]
(d)
[−3 4
−4 6
]
11. Seja A =
[
3 b
b 1
]
. Então, se (1, 2) é um autovetor de
A, podemos concluir que:
(a) Os autovalores de A são 1/3 e 11/3.
(b) Os autovalores de A são 1 e 3.
(c) Não temos informação suficiente para calcular os
autovalores de A.
(d) O valor de b não pode ser positivo.
12. Seja W 6= V um subespaço de um espaço vetorial
com produto interno V e seja S = {v1,v2, · · · ,vk}
um subconjunto de vetores não nulos e mutuamente
ortogonais contido no subespaço W . Considere as
afirmativas
I Se k for igual à dimensão de W , então os ve-
tores de W têm uma única representação como
combinação linear dos vetores de S.
II Se < u,vi >= 0 ∀i então o vetor u está em W
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) Ambas são falsas
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) Ambas são verdadeiras
13. A imagem de AT é uma reta na direção do vetor
(1, 1,−2) passando pela origem. Sabendo que
A =
 a 1 −2∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
, então o valor de a é:
(a) 1
(b) -1
(c) 2
(d) 0
14. Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que o seu núcleo
é o plano x+ y − z = 0. Assinale a conclusão VER-
DADEIRA:
(a) A imagem de AT é a reta na direção do
vetor (1, 1,−1)
(b) A imagem de A é a reta na direção do vetor
(1, 1,−1)
(c) O núcleo de AT é a reta na direção do vetor
(1, 1,−1)
(d) O núcleo de AT é o plano x+ y − z = 0
15. Considere o produto interno usual de R3. Calcule a
projeção ortogonal do vetor (4, 4, 0) no plano x+ y+
z = 0
(a) ( 43 ,
4
3 ,− 83 )
(b) ( 13 ,
1
3 ,− 23 )
(c) ( 23 ,
2
3 ,− 43 )
(d) (1, 1,−2)
16. A interseção dos planos x+y−2z = 0 e 2x−2y+z = 0
está contida no plano
(a) 7x− y − 4z = 0
(b) 7x+ y − 4z = 0
(c) 7x− y + 4z = 0
(d) 7x+ y + 4z = 0
Gabarito Pág. 2
Gabarito dos 88 Testes Gerados
Teste 001: 1C 2C 3A 4A 5C 6B 7B 8B 9B 10A 11B 12D 13C 14A 15C 16D
Teste 002: 1C 2C 3D 4A 5A 6C 7C 8D 9A 10A 11D 12B 13A 14A 15D 16C
Teste 003: 1B 2A 3A 4B 5B 6D 7A 8C 9B 10B 11D 12C 13A 14C 15B 16D
Teste 004: 1C 2D 3A 4D 5D 6D 7D 8A 9D 10A 11B 12A 13C 14C 15A 16A
Teste 005: 1B 2B 3D 4C 5D 6A 7D 8D 9A 10D 11B 12C 13D 14A 15B 16C
Teste 006: 1D 2B 3A 4A 5C 6C 7B 8B 9C 10C 11B 12B 13A 14B 15C 16C
Teste 007: 1B 2B 3A 4C 5A 6B 7A 8C 9A 10D 11C 12D 13D 14A 15D 16A
Teste 008: 1D 2A 3C 4B 5D 6D 7B 8A 9D 10B 11C 12A 13B 14A 15D 16B
Teste 009: 1C 2B 3C 4D 5C 6D 7D 8D 9A 10B 11A 12D 13A 14D 15A 16B
Teste 010: 1A 2C 3C 4B 5A 6C 7B 8C 9A 10A 11D 12A 13B 14D 15A 16B
Teste 011: 1C 2B 3D 4A 5A 6D 7D 8D 9C 10A 11A 12A 13B 14D 15A 16B
Teste 012: 1B 2D 3A 4D 5C 6A 7C 8D 9C 10A 11C 12C 13B 14A 15A 16C
Teste 013: 1D 2A 3D 4A 5D 6A 7A 8D 9C 10A 11C 12B 13C 14B 15D 16C
Teste 014: 1D 2B 3B 4A 5C 6D 7C 8D 9D 10A 11C 12D 13D 14A 15B 16C
Teste 015: 1C 2A 3D 4B 5A 6B 7A 8D 9A 10D 11A 12C 13C 14D 15C 16D
Teste 016: 1B 2D 3D 4A 5B 6D 7B 8D 9D 10D 11C 12C 13A 14A 15C 16C
Teste 017: 1A 2B 3C 4D 5D 6D 7C 8A 9A 10D 11D 12A 13D 14C 15B 16A
Teste 018: 1A 2D 3A 4D 5B 6D 7D 8A 9C 10A 11A 12B 13A 14C 15B 16B
Teste 019: 1A 2C 3D 4B 5C 6B 7B 8A 9D 10D 11D 12C 13D 14D 15B 16C
Teste 020: 1B 2C 3A 4C 5B 6A 7A 8C 9A 10A 11C 12A 13C 14C 15B 16B
Teste 021: 1B 2A 3D 4D 5B 6D 7C 8B 9D 10C 11B 12B 13B 14A 15C 16D
Teste 022: 1B 2C 3D 4B 5C 6D 7C 8B 9C 10A 11B 12C 13C 14A 15A 16B
Teste 023: 1D 2C 3C 4B 5C 6A 7A 8C 9B 10C 11C 12D 13A 14A 15A 16B
Teste 024: 1C 2D 3C 4B 5B 6A 7C 8B 9C 10D 11C 12C 13B 14A 15B 16B
Teste 025: 1A 2C 3A 4D 5C 6D 7D 8C 9B 10B 11B 12D 13C 14D 15B 16A
Teste 026: 1D 2C 3C 4C 5B 6A 7A 8A 9D 10D 11C 12D 13B 14B 15C 16A
Teste 027: 1D 2A 3D 4D 5D 6B 7A 8A 9D 10B 11C 12D 13C 14B 15C 16A
Teste 028: 1B 2A 3B 4B 5B 6A 7C 8B 9B 10A 11C 12C 13C 14D 15D 16D
Teste 029: 1A 2D 3C 4C 5C 6C 7B 8D 9C 10C 11D 12A 13B 14D 15A 16D
Teste 030: 1B 2C 3B 4C 5D 6B 7B 8D 9C 10D 11D 12C 13D 14D 15B 16B
Teste 031: 1A 2B 3A 4D 5A 6D 7C 8A 9D 10B 11B 12A 13C 14B 15D 16C
Teste 032: 1C 2D 3C 4C 5B 6C 7C 8A 9A 10C 11D 12D 13A 14D 15A 16D
Teste 033: 1D 2D 3C 4A 5D 6D 7A 8A 9A 10A 11B 12D 13B 14B 15C 16D
Teste 034: 1D 2D 3B 4D 5C 6A 7C 8D 9A 10B 11A 12B 13A 14C 15C 16D
Teste 035: 1D 2B 3D 4C 5B 6C 7D 8D 9C 10B 11A 12D 13A 14D 15B 16A
Teste 036: 1B 2D 3C 4D 5D 6B 7C 8D 9B 10C 11C 12A 13A 14D 15A 16B
Teste 037: 1B 2A 3A 4B 5D 6D 7B 8B 9C 10C 11D 12C 13B 14C 15C 16A
Teste 038: 1C 2A 3B 4A 5C 6B 7D 8A 9A 10C 11B 12D 13B 14A 15A 16C
Teste 039: 1A 2C 3C 4C 5B 6B 7B 8B 9B 10D 11C 12D 13B 14C 15A 16D
Teste 040: 1A 2B 3D 4B 5C 6B 7C 8D 9C 10D 11A 12C 13D 14D 15D 16C
Teste 041: 1A 2D 3C 4C 5A 6B 7C 8B 9D 10A 11A 12D 13A 14C 15D 16D
Teste 042: 1B 2A 3C 4B 5B 6C 7B 8C 9B 10A 11A 12A 13A 14D 15B 16A
Teste 043: 1B 2B 3B 4C 5A 6B 7C 8A 9C 10A 11B 12D 13B 14C 15C 16A
Teste 044: 1A 2A 3B 4A 5B 6A 7A 8A 9B 10D 11C 12D 13D 14D 15D 16D
Teste 045: 1C 2A 3B 4C 5D 6A 7D 8C 9B 10B 11C 12D 13A 14C 15B 16C
Teste 046: 1B 2D 3A 4C 5D 6B 7D 8C 9B 10A 11D 12B 13C 14D 15C 16C
Teste 047: 1C 2D 3B 4B 5A 6D 7B 8A 9D 10B 11A 12B 13A 14D 15C 16A
Teste 048: 1A 2C 3D 4C 5B 6A 7D 8B 9A 10B 11A 12D 13C 14D 15B 16B
Teste 049: 1A 2A 3D 4D 5D 6A 7A 8D 9B 10A 11B 12C 13D 14C 15A 16C
Teste 050: 1C 2D 3C 4C 5B 6C 7C 8B 9B 10B 11C 12A13B 14D 15A 16D
Teste 051: 1D 2C 3C 4B 5C 6B 7D 8D 9B 10A 11D 12A 13B 14B 15B 16D
Teste 052: 1B 2B 3D 4A 5B 6D 7D 8B 9C 10D 11C 12A 13A 14A 15B 16A
Teste 053: 1D 2B 3A 4A 5C 6B 7C 8B 9A 10B 11D 12C 13A 14A 15D 16A
Teste 054: 1C 2C 3C 4D 5C 6D 7A 8B 9A 10C 11D 12C 13A 14B 15A 16B
Teste 055: 1B 2A 3A 4A 5B 6D 7A 8C 9B 10B 11C 12B 13D 14D 15C 16C
Teste 056: 1C 2C 3D 4B 5D 6A 7D 8C 9B 10B 11B 12A 13D 14A 15A 16B
Gabarito Pág. 1
Teste 057: 1C 2A 3C 4B 5D 6A 7B 8D 9A 10C 11A 12B 13C 14D 15D 16C
Teste 058: 1C 2C 3A 4B 5A 6B 7C 8A 9D 10D 11B 12D 13A 14C 15C 16C
Teste 059: 1A 2C 3D 4B 5D 6D 7D 8C 9A 10B 11C 12C 13B 14C 15B 16A
Teste 060: 1B 2A 3A 4B 5D 6B 7C 8C 9C 10D 11B 12D 13D 14D 15D 16A
Teste 061: 1D 2D 3B 4A 5B 6C 7B 8C 9B 10C 11A 12B 13C 14D 15D 16D
Teste 062: 1B 2C 3B 4D 5B 6D 7C 8B 9B 10B 11C 12A 13D 14D 15D 16C
Teste 063: 1D 2A 3A 4C 5C 6D 7D 8A 9A 10A 11B 12D 13C 14A 15B 16D
Teste 064: 1A 2A 3B 4C 5A 6C 7B 8C 9B 10C 11A 12B 13C 14C 15B 16B
Teste 065: 1A 2A 3D 4A 5D 6D 7D 8D 9A 10A 11C 12D 13B 14B 15B 16B
Teste 066: 1B 2D 3B 4B 5D 6C 7D 8B 9C 10A 11D 12B 13A 14D 15D 16B
Teste 067: 1B 2C 3A 4D 5C 6B 7A 8A 9D 10D 11A 12B 13C 14B 15C 16C
Teste 068: 1C 2B 3B 4B 5B 6C 7D 8A 9A 10C 11C 12C 13C 14B 15A 16D
Teste 069: 1A 2C 3D 4D 5A 6B 7A 8A 9D 10C 11C 12B 13A 14C 15C 16D
Teste 070: 1D 2D 3B 4B 5C 6B 7A 8C 9D 10D 11A 12B 13B 14B 15A 16D
Teste 071: 1A 2D 3D 4D 5C 6B 7B 8D 9A 10A 11A 12A 13A 14B 15B 16B
Teste 072: 1B 2A 3B 4C 5B 6C 7D 8D 9D 10D 11D 12C 13D 14C 15C 16B
Teste 073: 1B 2D 3B 4C 5D 6A 7A 8A 9B 10A 11D 12A 13B 14C 15B 16A
Teste 074: 1D 2B 3A 4C 5A 6D 7D 8A 9C 10A 11A 12B 13B 14C 15A 16D
Teste 075: 1D 2D 3B 4B 5D 6B 7D 8A 9A 10C 11A 12D 13B 14B 15D 16C
Teste 076: 1D 2D 3D 4A 5A 6B 7A 8D 9A 10A 11C 12D 13D 14B 15B 16A
Teste 077: 1A 2A 3B 4C 5D 6D 7D 8D 9C 10D 11D 12C 13A 14C 15C 16C
Teste 078: 1A 2D 3C 4B 5A 6C 7B 8B 9C 10C 11B 12B 13C 14C 15D 16B
Teste 079: 1B 2A 3B 4B 5D 6B 7A 8A 9C 10B 11D 12B 13A 14A 15A 16C
Teste 080: 1A 2B 3D 4C 5B 6A 7B 8A 9B 10D 11B 12A 13A 14A 15C 16D
Teste 081: 1C 2A 3C 4D 5C 6A 7B 8D 9D 10A 11C 12A 13D 14D 15D 16C
Teste 082: 1B 2A 3C 4B 5B 6A 7A 8C 9B 10A 11C 12D 13C 14B 15B 16D
Teste 083: 1B 2C 3D 4B 5D 6A 7C 8B 9A 10A 11B 12B 13A 14A 15D 16D
Teste 084: 1D 2D 3B 4C 5C 6A 7A 8B 9B 10A 11D 12D 13D 14A 15D 16C
Teste 085: 1D 2D 3D 4D 5C 6A 7C 8B 9C 10C 11D 12D 13B 14B 15A 16A
Teste 086: 1C 2D 3C 4A 5C 6D 7A 8A 9D 10C 11B 12D 13A 14D 15B 16C
Teste 087: 1B 2A 3B 4D 5B 6A 7B 8C 9C 10D 11D 12D 13D 14D 15A 16A
Teste 088: 1D 2C 3B 4A 5D 6B 7A 8D 9A 10A 11D 12D 13D 14A 15B 16A
Gabarito Pág. 2