Sequencias e Series de Numeros Reais

@equacoes-dif-aplicada-a-fisica UECE

Pré-visualização

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros  &  Mihail Lermontov 

91

5 Seqüências e séries numéricas 
 

5.1 Sucessões ou seqüências 
 

Definição: Uma sucessão ou seqüência é uma relação cujo domínio é um 
conjunto dos números naturais e os números da imagem da relação são chamados de 
elementos da sucessão. 

1⋅⋅⋅⋅
2⋅⋅⋅⋅
3⋅⋅⋅⋅
����

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a3

����

��������

 

Uma seqüência infinita é denotada por { }na  ou na  e representada por 
{ } { }�� ,a,,a,a,aa n321n =  ou �� ,a,,a,a,aa n321n = , onde 1a  é o 
primeiro termo da sucessão e na  é o termo geral. 

 

Exemplos: 
    i) �� ,3n,,6,5,4,3an +=  

   ii) *n Nn;
n

10
a ∈=  

  iii) �� ,2,,2,2,2,2an =  
   iv) ( ) �� ,1,,1,1,1,1a nn −−−=  
    v) ( ) *

n

n

n Nn;2
1

a ∈
−

=  

 

Definição: Uma sucessão na  é dita convergente para ℜ∈L  se Lalim n
n

=

+∞→
. 

Caso contrário, ela é dita divergente. 
 

Exemplos: Verifique se as sucessões convergem ou divergem: 
    i) 3nan +=  

   ii) *n Nn;
n

10
a ∈=  

  iii) 2an =  
   iv) ( )nn 1a −=  

    v) *
n

n Nn;2
1

a ∈�
�

�
�
�

�
−=  



EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros  &  Mihail Lermontov 

92

   vi) ( ) *n Nn;
n

nln
a ∈=  

  vii) 1n
n

n 3
2

a
+

=  

 viii) 
25n

3nn
a 2

3

n
+

−

=  

   ix) *n Nn;
n

1
senna ∈�

�

�
�
�

�
⋅=  

 

Definição: Uma seqüência na  é dita crescente (decrescente) se 1nn aa +<  
( )1nn aa +> , n∀ . 

 

Observação: Uma seqüência que seja sempre crescente, sempre decrescente ou 
sempre constante é chamada monótona. 

 

Exemplos: Verifique se as seqüências abaixo são monótonas: 

    i) 
23n
12n

−

+
 

   ii) �
�

�
�
�

�

2
n�

sen  

 

Definição: Um número I (S) é dito cota inferior (superior) de uma sucessão 
na  se naI ≤  ( )naS ≥ , n∀ . 

 

Definição: Se na  tem cota inferior (superior) diz-se que ela é limitada 
inferiormente (superiormente). Se uma seqüência é limitada superior e inferiormente 
diz-se que ela é limitada. 

 

Exemplos: Verifique se as seqüências são limitadas: 
    i) 3n +  

   ii) *Nn;
n

10
∈  

  iii) ( )n1−  

   iv) 
n

2
1
�
�

�
�
�

�
−  

    v) *Nn;
12n

1
∈

−

 

   vi) ( )
12n

n1 n
+

⋅−  

  vii) 
n2
!n

 

 

Definição: Toda seqüência limitada e monótona é convergente. 
 

 

 

 

 

 



EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros  &  Mihail Lermontov 

93

5.2 Exercícios 
 

OBS: a maior parte dos exercícios deste capítulo foram retirados do livro de 
Cálculo, volume 2, Munem-Foulis. 

 

1) Calcule os 6 primeiros termos de cada seqüência e também o 100º, supondo 
*Nn ∈ : 

a) 1n2 +      R: 001.10;37;26;17;10;5;2  

b) ( )
1n

1 1n

+

−

+

     R: 
101

1
;

7
1

;
6
1

;
5
1

;
4
1

;
3
1

;
2
1

−−−−  

c) 
5n

n
2 +

      R: 
005.10

100
;

41
6

;
30
5

;
21
4

;
14
3

;
9
2

;
6
1

 

d) 
n

12 +      R: 
100
201

;
6

13
;

5
11

;
4
9

;
3
7

;
2
5

;3  

 

2) Encontre a expressão do termo geral da seqüência: 
a) �,

2
7

,3,
2
5

,2,
2
3

,1,
2
1

  R: 
2

1n
an

+
=  

b) �,1,0,1,0,1,0,1    R: ( )( )��
	

∈+=

∈=
=

Npe12pnímparn;0
Npe2pnparn;1

an  

c) �,
6
1

,

5
1

,

4
1

,

3
1

,

2
1

  R: *n Nn;1n
1

a ∈
+

=  

d) �,121,81,49,25,9,1   R: ( ) 2n 12na +=  OU 
           ( ) *2n Nn;12na ∈−=  
 

3) Determine se cada seqüência abaixo converge ou diverge. Se convergir, 
calcule seu limite: 

a) 
n

100
 

b) 
15n

n
2

2

+
 

c) 
2n7n

5nn
3

3

+

−

 

d) 
59n
12n

2

2

+

+
 

e) 
13n

5n2

+
 

f) ( )
n

n

10
1−

 

g) �
�

�
�
�

�
⋅

+

+

2n
�

sen
1n

n2n2
 

h) 
nn

nn

33
33

−

−

−

+
 

i) ( )
1n
1nln

+

+
 

j) ( )4nln
n

1ln

+

�
�

�
�
�

�

 

k) 
n1n

1
2

−+
 



EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros  &  Mihail Lermontov 

94

l) n
1

n  m) 
n

n

11 �
�

�
�
�

�
+  

R: a) 0; b) 
5
1

; c) 
7
1

; d) 
9
2

; e) diverge; f) 0; g) pi; h) 1; i) 0; j) 1− ; k) diverge; 
     l) 1; m) e 
 

4) Diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou não-monótona e também 
se é limitada superiormente ou inferiormente. Por último diga se a seqüência 
converge ou diverge: 

a) 
23n
12n

+

+
  R: Crescente, limitada e convergente; 

b) ( ) 2n1−   R: Não-monótona, limitada e divergente; 

c) 
n

21
n

−   R: Decrescente, limitada superiormente e divergente; 

d) 
n

4
�n

sen �
�

�
�
�

�

 R: Não-monótona, limitada e convergente. 

 

 

5.3 Séries numéricas infinitas 
 

Definição: Dada uma sucessão na , diz-se que a soma de todos os termos 

desta sucessão, 

+∞

=

=++++
1n

nn21 aaaa �� , é uma série numérica infinita. 

 

Observação: �==== 




+∞

=

+

+∞

=

−

+∞

=

+∞

= 0m
1m

2j
1j

1i
i

1n
n aaaa . 

 

Soma de um número infinito de parcelas: 

Dada a sucessão na  e a série infinita �� ++++=

+∞

=

n21
1n

n aaaa , seja a 

sucessão de somas parciais definida abaixo: 
11 aS =  

21212 aSaaS +=+=  
323213 aSaaaS +=++=  

�  

n1nn21n aSaaaS +=+++= −�  
 



EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros  &  Mihail Lermontov 

95

Daí, se a sucessão infinita �� ,S,,S,S,SS n321n =  convergir para S, 

isto é, se SSlim n
n

=

+∞→
, então a série infinita 


+∞

=1n
na  também convergirá para S 

�
�

�

�

�
�

�

�
==

+∞→

+∞

=


 SSlima n
n1n

n . 

 

Exemplos: Determine se as séries numéricas infinitas abaixo convergem ou 
divergem: 

    i) 


+∞

=

+∞

=

�
�

�
�
�

�

+
−=

1n1n
n 1n

1
n

1
a  

   ii) 

+∞

=1n
n  

  iii) ( )

+∞

=
+⋅1n 2nn

2
 

 

 

5.4 Série geométrica 
 

Definição: A série �� ++++=⋅ −
+∞

=

−
 1n
1n

1n ararara  é denominada de série 

geométrica, que é a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão r e 1º 
termo igual a a. 

Vamos determinar a convergência desta série. 

( ) ( )nn
n2

n

1n
n

r1aSr1

arararrS
araraS

−⋅=⋅−

��

�
�
	

+++=

+++=

−

−

�

�

  �  
( )

��

�
�

	

=⋅

≠
−

−⋅

=

1r;an

1r;
r1
r1a

S
n

n   � 

   �  

( )
( )

=

�
�
�

�

�
�
�

�

	

=⋅

<
−

−⋅

>
−

−⋅

=

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

1r;an lim

1r;
r1
r1alim

1r;
r1
r1alim

Slim

n

n

n

n

n

n
n

 

   

�
�
�

��
�

	

=∞+

<
−

>∞+

=

1r;

1r;
r1

a

1r;

 

Daí, a série 

+∞

=

−

⋅

1n

1nra  converge para 
r1

a

−

, se 1r < . Nos outros casos a série 

diverge. 
 



EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros  &  Mihail Lermontov 

96

Resumindo, 
r1

a
rara

0n

n

1n

1n
−

=⋅=⋅ 


+∞

=

+∞

=

−

, se 1r < . 

 

Exemplos: 
1) Determine a convergência ou divergência das séries geométricas: 

    i) 

+∞

=1n

n2  

   ii) 

+∞

=

−

1n

n5  

  iii) 

+∞

=

�
�

�
�
�

�

0n

n

8
7

 

 

2) Escreva as dízimas periódicas abaixo sob a forma de fração, utilizando série 
geométrica: 

    i) 0,333... 
   ii) 0,454545... 

  iii) 0,1232323... 
   iv) 1,235474747... 

 

3) Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 6m sobre uma 
superfície plana. Cada vez que a bola atinge o plano, caindo de uma altura h, ela 

retorna a uma altura h
4
1

. Determine a distância total percorrida pela bola. R: 10 m 

 

 

5.5 Exercícios 
 

1) Verifique, através de uma mudança de índices, que as duas somas são 
idênticas: 

a) 

=

+

10

2n
2 1n
n

 e 

−=

++

+7

1k
2 106kk

3k
 

b) ( )

=

−

−

12

2n

n

1n
1

 e 
( )



=

+
−

11

1k

1k

k
1

 

c) 

=

−

25

4n
2 9n
1

 e 

=

−

28

7k
2 6kk

1
 

d) 

=

15

0n

2n

!n
3

 e ( )

−=

+

⋅

13

2n

2n

!2n
381

 

 

2) Calcule os 5 primeiros termos de cada série 
 na  e então calcule os 5 
primeiros termos da seqüência nS  de suas somas parciais. Encontre uma 
fórmula para a n-ésima soma parcial nS  em função de n e determine se a 
série converge ou diverge. Se convergir calcule sua soma S: 

a) ( ) ( )

+∞

=
+⋅−1n 12n12n

1
 b) 


∞+

=


�

�
��

�

+
−

1n 32n
21ln  



EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros  &  Mihail Lermontov 

97

c) ( )

+∞

=

+⋅
1n

1nn  

d) 

+∞

=
+1n

2 2nn
1

 

e) ( )

+∞

=
+⋅

+

1n
22 1nn

12n
 

R: a) �
�

�
�
�

�
++++

99
1

63
1

35
1

15
1

3
1

; �
�

�
�
�

�

11
5

,

9
4

,

7
3

,

5
2

,

3
1

; 
12n

nSn +
= ; 

2
1S =  

 b) ( ) ( )( )13ln3ln − ; �
�

�
�
�

�

+
=

32n
3lnSn ; diverge