Sequencias e Series de Numeros Reais
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Sequencias e Series de Numeros Reais

Disciplina:EQUACOES DIF. APLICADA A FISICA1 materiais21 seguidores
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov

91

5 Seqüências e séries numéricas

5.1 Sucessões ou seqüências

Definição: Uma sucessão ou seqüência é uma relação cujo domínio é um
conjunto dos números naturais e os números da imagem da relação são chamados de
elementos da sucessão.

1⋅⋅⋅⋅
2⋅⋅⋅⋅
3⋅⋅⋅⋅
����

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a3

����

��������

Uma seqüência infinita é denotada por { }na ou na e representada por
{ } { }�� ,a,,a,a,aa n321n = ou �� ,a,,a,a,aa n321n = , onde 1a é o
primeiro termo da sucessão e na é o termo geral.

Exemplos:
 i) �� ,3n,,6,5,4,3an +=

 ii) *n Nn;
n

10
a ∈=

 iii) �� ,2,,2,2,2,2an =
 iv) ( ) �� ,1,,1,1,1,1a nn −−−=
 v) ( ) *

n

n

n Nn;2
1

a ∈
−

=

Definição: Uma sucessão na é dita convergente para ℜ∈L se Lalim n
n

=

+∞→
.

Caso contrário, ela é dita divergente.

Exemplos: Verifique se as sucessões convergem ou divergem:
 i) 3nan +=

 ii) *n Nn;
n

10
a ∈=

 iii) 2an =
 iv) ( )nn 1a −=

 v) *
n

n Nn;2
1

a ∈�
�

�
�
�

�
−=

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 vi) ( ) *n Nn;
n

nln
a ∈=

 vii) 1n
n

n 3
2

a
+

=

 viii)
25n

3nn
a 2

3

n
+

−

=

 ix) *n Nn;
n

1
senna ∈�

�

�
�
�

�
⋅=

Definição: Uma seqüência na é dita crescente (decrescente) se 1nn aa +<
( )1nn aa +> , n∀ .

Observação: Uma seqüência que seja sempre crescente, sempre decrescente ou
sempre constante é chamada monótona.

Exemplos: Verifique se as seqüências abaixo são monótonas:

 i)
23n
12n

−

+

 ii) �
�

�
�
�

�

2
n�

sen

Definição: Um número I (S) é dito cota inferior (superior) de uma sucessão
na se naI ≤ ( )naS ≥ , n∀ .

Definição: Se na tem cota inferior (superior) diz-se que ela é limitada
inferiormente (superiormente). Se uma seqüência é limitada superior e inferiormente
diz-se que ela é limitada.

Exemplos: Verifique se as seqüências são limitadas:
 i) 3n +

 ii) *Nn;
n

10
∈

 iii) ( )n1−

 iv)
n

2
1
�
�

�
�
�

�
−

 v) *Nn;
12n

1
∈

−

 vi) ( )
12n

n1 n
+

⋅−

 vii)
n2
!n

Definição: Toda seqüência limitada e monótona é convergente.

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5.2 Exercícios

OBS: a maior parte dos exercícios deste capítulo foram retirados do livro de
Cálculo, volume 2, Munem-Foulis.

1) Calcule os 6 primeiros termos de cada seqüência e também o 100º, supondo
*Nn ∈ :

a) 1n2 + R: 001.10;37;26;17;10;5;2

b) ( )
1n

1 1n

+

−

+

 R:
101

1
;

7
1

;
6
1

;
5
1

;
4
1

;
3
1

;
2
1

−−−−

c)
5n

n
2 +

 R:
005.10

100
;

41
6

;
30
5

;
21
4

;
14
3

;
9
2

;
6
1

d)
n

12 + R:
100
201

;
6

13
;

5
11

;
4
9

;
3
7

;
2
5

;3

2) Encontre a expressão do termo geral da seqüência:
a) �,

2
7

,3,
2
5

,2,
2
3

,1,
2
1

 R:
2

1n
an

+
=

b) �,1,0,1,0,1,0,1 R: ( )( )��
	

∈+=

∈=
=

Npe12pnímparn;0
Npe2pnparn;1

an

c) �,
6
1

,

5
1

,

4
1

,

3
1

,

2
1

 R: *n Nn;1n
1

a ∈
+

=

d) �,121,81,49,25,9,1 R: ( ) 2n 12na += OU
 ( ) *2n Nn;12na ∈−=

3) Determine se cada seqüência abaixo converge ou diverge. Se convergir,
calcule seu limite:

a)
n

100

b)
15n

n
2

2

+

c)
2n7n

5nn
3

3

+

−

d)
59n
12n

2

2

+

+

e)
13n

5n2

+

f) ( )
n

n

10
1−

g) �
�

�
�
�

�
⋅

+

+

2n
�

sen
1n

n2n2

h)
nn

nn

33
33

−

−

−

+

i) ( )
1n
1nln

+

+

j) ( )4nln
n

1ln

+

�
�

�
�
�

�

k)
n1n

1
2

−+

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l) n
1

n m)
n

n

11 �
�

�
�
�

�
+

R: a) 0; b)
5
1

; c)
7
1

; d)
9
2

; e) diverge; f) 0; g) pi; h) 1; i) 0; j) 1− ; k) diverge;
 l) 1; m) e

4) Diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou não-monótona e também
se é limitada superiormente ou inferiormente. Por último diga se a seqüência
converge ou diverge:

a)
23n
12n

+

+
 R: Crescente, limitada e convergente;

b) ( ) 2n1− R: Não-monótona, limitada e divergente;

c)
n

21
n

− R: Decrescente, limitada superiormente e divergente;

d)
n

4
�n

sen �
�

�
�
�

�

 R: Não-monótona, limitada e convergente.

5.3 Séries numéricas infinitas

Definição: Dada uma sucessão na , diz-se que a soma de todos os termos

desta sucessão,

+∞

=

=++++
1n

nn21 aaaa �� , é uma série numérica infinita.

Observação: �====

+∞

=

+

+∞

=

−

+∞

=

+∞

= 0m
1m

2j
1j

1i
i

1n
n aaaa .

Soma de um número infinito de parcelas:

Dada a sucessão na e a série infinita �� ++++=

+∞

=

n21
1n

n aaaa , seja a

sucessão de somas parciais definida abaixo:
11 aS =

21212 aSaaS +=+=
323213 aSaaaS +=++=

�

n1nn21n aSaaaS +=+++= −�

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Daí, se a sucessão infinita �� ,S,,S,S,SS n321n = convergir para S,

isto é, se SSlim n
n

=

+∞→
, então a série infinita

+∞

=1n
na também convergirá para S

�
�

�

�

�
�

�

�
==

+∞→

+∞

=

 SSlima n
n1n

n .

Exemplos: Determine se as séries numéricas infinitas abaixo convergem ou
divergem:

 i)

+∞

=

+∞

=

�
�

�
�
�

�

+
−=

1n1n
n 1n

1
n

1
a

 ii)

+∞

=1n
n

 iii) ( )

+∞

=
+⋅1n 2nn

2

5.4 Série geométrica

Definição: A série �� ++++=⋅ −
+∞

=

−
 1n
1n

1n ararara é denominada de série

geométrica, que é a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão r e 1º
termo igual a a.

Vamos determinar a convergência desta série.

( ) ( )nn
n2

n

1n
n

r1aSr1

arararrS
araraS

−⋅=⋅−

��

�
�
	

+++=

+++=

−

−

�

�

 �
( )

��

�
�

	

=⋅

≠
−

−⋅

=

1r;an

1r;
r1
r1a

S
n

n �

 �

( )
( )

=

�
�
�

�

�
�
�

�

	

=⋅

<
−

−⋅

>
−

−⋅

=

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

1r;an lim

1r;
r1
r1alim

1r;
r1
r1alim

Slim

n

n

n

n

n

n
n

�
�
�

��
�

	

=∞+

<
−

>∞+

=

1r;

1r;
r1

a

1r;

Daí, a série

+∞

=

−

⋅

1n

1nra converge para
r1

a

−

, se 1r < . Nos outros casos a série

diverge.

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Resumindo,
r1

a
rara

0n

n

1n

1n
−

=⋅=⋅

+∞

=

+∞

=

−

, se 1r < .

Exemplos:
1) Determine a convergência ou divergência das séries geométricas:

 i)

+∞

=1n

n2

 ii)

+∞

=

−

1n

n5

 iii)

+∞

=

�
�

�
�
�

�

0n

n

8
7

2) Escreva as dízimas periódicas abaixo sob a forma de fração, utilizando série
geométrica:

 i) 0,333...
 ii) 0,454545...

 iii) 0,1232323...
 iv) 1,235474747...

3) Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 6m sobre uma
superfície plana. Cada vez que a bola atinge o plano, caindo de uma altura h, ela

retorna a uma altura h
4
1

. Determine a distância total percorrida pela bola. R: 10 m

5.5 Exercícios

1) Verifique, através de uma mudança de índices, que as duas somas são
idênticas:

a)

=

+

10

2n
2 1n
n

 e

−=

++

+7

1k
2 106kk

3k

b) ( )

=

−

−

12

2n

n

1n
1

 e
( )

=

+
−

11

1k

1k

k
1

c)

=

−

25

4n
2 9n
1

 e

=

−

28

7k
2 6kk

1

d)

=

15

0n

2n

!n
3

 e ( )

−=

+

⋅

13

2n

2n

!2n
381

2) Calcule os 5 primeiros termos de cada série
 na e então calcule os 5
primeiros termos da seqüência nS de suas somas parciais. Encontre uma
fórmula para a n-ésima soma parcial nS em função de n e determine se a
série converge ou diverge. Se convergir calcule sua soma S:

a) ( ) ( )

+∞

=
+⋅−1n 12n12n

1
 b)

∞+

=


�

�
��

�

+
−

1n 32n
21ln

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c) ( )

+∞

=

+⋅
1n

1nn

d)

+∞

=
+1n

2 2nn
1

e) ( )

+∞

=
+⋅

+

1n
22 1nn

12n

R: a) �
�

�
�
�

�
++++

99
1

63
1

35
1

15
1

3
1

; �
�

�
�
�

�

11
5

,

9
4

,

7
3

,

5
2

,

3
1

;
12n

nSn +
= ;

2
1S =

 b) ( ) ( )( )13ln3ln − ; �
�

�
�
�

�

+
=

32n
3lnSn ; diverge