oticaGeometrica_Capitulo2_FisicaModerna

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Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1 
1 
 Introdução e Conceitos Básicos 
A óptica é um ramo da Física que estuda a 
luz ou, mais amplamente, a radiação 
electromagnética, visível ou não. A óptica explica os 
fenômenos de reflexão, refracção e difracção, a 
interação entre a luz e o meio, entre outras coisas. 
Geralmente a disciplina estuda fenómenos 
envolvendo a luz visível, infravermelha, e 
ultravioleta; entretanto, uma vez que a luz é uma 
onda eletromagnética, fenômenos análogos 
acontecem com os raios X, microondas, ondas de 
rádio, e outras formas de radiação electromagnética. 
A óptica, nesse caso, pode se enquadrar como 
uma subdisciplina do eletromagnetismo. Algums 
fenômenos ópticos dependem da natureza da luz e, 
nesse caso, a óptica se relaciona com a mecânica 
quântica. 
Segundo o modelo para a luz utilizada, 
distingue-se entre os seguintes ramos, por ordem 
crescente de precisão (cada ramo utiliza um modelo 
simplificado do empregado pela seguinte): 
 Óptica geométrica: Trata a luz como um 
conjunto de raios que cumprem o princípio de 
Fermat. O Princípio de Fermat é um princípio 
fundamental da óptica geométrica e diz que o 
caminho seguido por um raio luminoso de um ponto 
A para um ponto B é tal que o tempo decorrido entre 
a partida de A e a chegada a B é estacionário para 
pequenas variações do caminho. 
 Utiliza-se no estudo da transmissão da luz 
por meios homogêneos (lentes, espelhos), a reflexão 
e a refração. 
 Óptica ondulatória: Considera a luz como 
uma onda plana, tendo em conta sua freqüência e 
longitude de onda. Utiliza-se para o estudo da 
difração e interferência. 
 Óptica eletromagnética: Considera a luz 
como uma onda eletromagnética, explicando assim a 
reflexão e transmissão, e os fenômenos de 
polarização e anisotrópicos. 
 Óptica quântica ou óptica física: Estudo 
quântico da interação entre as ondas 
eletromagnéticas e a matéria, no que a dualidade 
onda-corpúsculo joga um papel crucial. 
 
 Teorias sobre a luz 
 
 Primeiras idéias dos gregos 
No século I a.C. Lucrécio, dando 
continuidade às ideias dos primeiros atomistas, 
escreveu que a luz e o calor do Sol eram compostos 
de pequenas partículas. 
 
 Teoria corpuscular da luz 
O físico inglês Isaac Newton, em 1672, 
defendeu uma teoria onde se considerava a luz como 
um feixe de partículas que eram emitidas por uma 
fonte, e que estas atingiam o olho, e assim 
estimulavam a visão. A este modelo, se deu o nome 
de modelo corpuscular da luz. 
 Teoria ondulatória da luz 
O físico francês Jean Bernard Léon 
Foucault, no século XIX, descobriu que a luz se 
deslocava mais rápido no ar do que na água. O 
efeito contrariava a teoria corpuscular de 
Newton, esta afirmava que a luz deveria ter uma 
velocidade maior na água do que no ar. 
James Clerk Maxwell, ainda no século 
XIX, provou que a velocidade de propagação de 
uma onda eletromagnética no espaço, equivalia 
à velocidade de propagação da luz de 
aproximadamente 300.000 km/s. 
Foi de Maxwell a afirmação: 
 A luz é uma "modalidade de energia 
radiante" que se "propaga" através de ondas 
eletromagnéticas. 
 Teoria da dualidade onda partícula 
No final do século XIX, a teoria que 
afirmava que a natureza da luz era puramente 
uma onda eletromagnética, (ou seja, a luz tinha 
um comportamento apenas ondulatório), 
começou a ser questionada. 
Ao se tentar teorizar a emissão fotoelétrica, 
ou a emissão de elétrons quando um condutor 
tem sobre si a incidência de luz, a teoria 
ondulatória simplesmente não conseguia 
explicar o fenômeno, pois entrava em franca 
contradição. 
Foi Albert Einstein, usando a idéia de Max 
Planck, que conseguiu demonstrar que um feixe 
de luz são pequenos pacotes de energia e estes 
são os fótons, logo, assim foi explicado o 
fenômeno da emissão fotoelétrica. 
A confirmação da descoberta de Einstein se 
deu no ano de 1911, quando Arthur Compton 
demonstrou que "quando um fóton colide com 
um elétron, ambos comportam-se como corpos 
materiais." 
 Comprimentos de onda da luz visível 
A luz visível é a parte do espectro com 
comprimentos de onda entre cerca de 400 
nanómetros (abreviando nm) e 800 nm (no ar). 
A luz pode também ser caracterizada pela sua 
frequência. 
Figura 1 - Espectro eletromagnético 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A velocidade da luz 
De acordo com a moderna física teórica, 
toda radiação eletromagnética, incluindo a luz 
visivel, se propaga no vácuo numa velocidade 
constante, comumente chamada de velocidade 
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da luz, que é uma constante da Física, representada 
por c. No vácuo: 
c f
 
 Alterações na velocidade da luz 
Toda luz propaga-se a uma velocidade finita. 
Até mesmo observadores em movimento 
medem sempre o mesmo valor de c, para a 
velocidade da luz no vácuo, com c = 299.792.458 
metros por segundo (186.282,397 milhas por 
segundo); contudo, quando a luz atravessa alguma 
substância transparente tal com o ar, água ou vidro, 
sofre refracção e sua velocidade é reduzida. Assim 
sendo, n=1 no vácuo e n>1 na matéria. 
 
 Medição da luz 
As seguintes quantidades e unidades são 
utilizadas para medir luz. 
 brilho, medida em watts/cm2 
 iluminância ou iluminação (Unidade SI: 
lux) 
 fluxo luminoso (Unidade SI: lumen) 
 intensidade luminosa (Unidade SI: candela) 
 
 Ondas, Raio e frente de Onda 
 
Uma onda em física é uma perturbação 
oscilante de alguma grandeza física no espaço e 
periódica no tempo. A oscilação espacial é 
caracterizada pelo comprimento de onda e a 
periodicidade no tempo é medida pela freqüência da 
onda, que é o inverso do seu período. Estas duas 
grandezas estão relacionadas pela velocidade de 
propagação da onda. 
Fisicamente uma onda é um pulso 
energético que se propaga através do espaço ou 
através de um meio (líquido, sólido ou gasoso). 
Segundo alguns estudiosos e até agora observado, 
nada impede que uma onda magnética se propague 
no vácuo ou através da matéria, como é o caso das 
ondas ondas eletromagnéticas no vácuo ou dos 
neutrinos através da matéria onde as partículas do 
meio oscilam à volta de um ponto médio, mas não se 
deslocam. 
Exceto pela radiação eletromagnética, e 
provavelmente as ondas gravitacionais, que podem 
se propagar através do vácuo, as ondas existem em 
um meio cuja deformação é capaz de produzir forças 
de restauração através das quais elas viajam e 
podem transferir energia de um lugar para outro sem 
que qualquer das particulas do meio seja deslocada 
permanentemente como acontece num imã; isto é, 
nenhuma massa transportada associada pode anular 
o efeito magnético. Em lugar disso, qualquer ponto 
particular oscila em volta de um ponto fixo. 
Uma onda pode ser longitudinal quando a 
oscilação ocorre na direcção da propagação, ou 
tranversal quando a oscilação ocorre na direcção 
perpendicular à direcção de propagação da onda. 
Pelo princípio de Huygens (físico holandês, 
1629-1695), cada ponto de uma frente de onda, 
num dado instante, pode ser considerado uma fonte 
de ondas secundárias, produzidas no sentido de 
propagação e com a mesma velocidade do meio. 
Podemos dizer que a frente de onda 
anterior é considerada como um gerador de uma 
nova frente de onda, ou ainda que a frente de 
onda separa a região "pertubada" da região não 
pertubada. Um exemplo básico é o som onde até 
o instante em que as partículas de ar estão em 
repouso não se ouve nada, e só no momento que 
estas partículas são vibradas (uma frente de 
onda empurrando e gerando uma nova frente de 
onda) é que haverá a propagação do som (neste 
caso haverá propagação da energia e não da 
matéria). No caso das ondas eletromagnéticas, 
com sua energia irradiada igualmente emtodas 
as direções (circular), haverá um determinado 
instante onde a fase da onda irradiada começará 
a se repetir em todos os pontos, começando uma 
nova frente de onda 
A frente de onda é o lugar geométrico 
de todos os pontos adjacentes que possuem a 
mesma fase de vibração de uma grandeza física 
associada com a onda. 
 
Figura 2.1 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
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Um raio é uma linha reta imaginária na 
direção de propagação de uma onda. 
São linhas retas, perpendiculares às frentes 
de onda. 
 
 Reflexão e Refração 
 
 Reflexão: 
 
Em física o fenômeno da reflexão consiste 
na mudança da direção de propagação da energia, no 
retorno da energia incidente em direção à região de 
onde ela é oriunda, após entrar em contato com uma 
superfície refletora. 
A energia pode tanto estar manifestada na 
forma de ondas como transmitida através de 
partículas. Por isso, a reflexão é um fenômeno que 
pode se dar por um caráter eletromagnético, óptico 
ou sonoro. 
A reflexão difere da refração porque nesta 
segunda, há desvio da energia para meio diverso do 
meio de onde se originou. 
A reflexão pode ser explicada totalmente 
com base em apenas duas leis, de cunho geral. 
Para enuncia-las, é preciso antes definir alguns 
conceitos. 
 A normal é a semi-reta que se origina a 
partir da superfície refletora, situando-se 
perpendicularmente a esta 
 Ângulo de incidência é o ângulo que a 
direção de deslocamento da energia faz com a 
normal 
 Ângulo de reflexão é o ângulo que a direção 
que a energia que é refletida faz com a normal 
 
Assim, as duas leis da reflexão podem ser expressas 
da seguinte maneira: 
 
1. A direção do raio incidente, a normal e a 
direção do raio emergente pertencem a um único 
plano. 
2. O ângulo de incidência tem valor igual ao 
valor do ângulo de reflexão. 
 
 Explanação teórica 
Sendo um fenômeno que encontra 
exemplos em física ondulatória como na física de 
corpos materiais, é natural desconfiar-se que tem 
uma explicação comum aos dois tipos de 
comportamento. 
Historicamente, o primeiro a formular uma 
explicaçao para a reflexão (especificamente, a da 
luz) foi Heron de Alexandria. Utilizando-se do 
princípio aristotélico que diz que a natureza nada faz 
de modo mais difícil, argumentou que a luz percorre 
o menor caminho entre dois pontos quaisquer. 
Como a luz é obrigada a se desviar durante 
o percurso, ainda assim percorre o menor caminho 
entre a fonte e o alvo. A esse princípio de óptica 
geométrica damos o nome de princípio de Heron. 
Muito mais tarde Fermat enunciou 
princípio semelhante. Porém assinalava que o 
tempo era mínimo e não a distância percorrida. 
Esse princípio é conhecido como princípio de 
Fermat. 
Ainda mais tarde, Maupertuis formulou 
pela primeira vez o princípio da menor ação, 
onde então surge a noção de ação. Entretanto, 
dentro do ponto de vista do cálculo das 
variações, melhor seria chamar esse princípio de 
princípio da ação estacionária, já que na 
verdade a condição é de se achar um extremante 
para a funcional ação. 
Mais tarde, sir Hamilton enunciou a 
forma moderna do princípio variacional. 
A reflexão luminosa é a base da 
construção e utilização dos espelhos. 
Os espelhos, tanto planos quanto os 
esféricos, tem larguíssima utlização, e são a 
base dos telescópios refletores, que sofrem de 
menos restrições que os telescópios refratores. 
 
Figura 3 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 4 - Tipos de reflexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Refração: 
 
 ÍNDICE DE REFRAÇÃO 
Índice de refração é uma relação entre 
a velocidade da luz em um determinado meio e 
a velocidade da luz no vácuo (c). Em meios com 
índices de refração mais baixos (próximos a 1) a 
luz tem velocidade maior (ou seja, próximo a 
velocidade da luz no vácuo). A relação pode ser 
descrita pela fórmula: 
c
n
v

 
Onde: c é a velocidade da luz no vácuo 
(c = 3.10
8
 m/s); v é a velocidade da luz no meio; 
De modo geral, a velocidade da luz nos 
meios materiais é menor que c; e assim, em 
geral, teremos n > 1. Por extensão, definimos o 
índice de refração do vácuo, que obviamente é 
igual a 1. Portanto, sendo n o índice de refração 
de um meio qualquer, temos: 
1n 
 
A velocidade de propagação da luz no 
ar depende da frequência da luz, já que o ar é 
um meio material. Porém essa velocidade é 
quase igual a 1 para todasas cores. Ex: índice de 
refração da luz violeta no ar = 1,0002957 e 
índice de refração da luz vermelha no ar = 
1,0002914. Portanto, nas aplicações, desde que 
não queiramos uma precisão muito grande, 
adotaremos o índice de refração do ar como 
aproximadamente igual a 1: 
1n 
 
Como vimos, as cores, por ordem 
crescente de freqüências, são: vermelho, laranja, 
amarelo, verde, azul, anil e violeta. 
A experiência mostra que, em cada 
meio material, a velocidade diminui com a 
frequência, isto é, quanto maior a frequência, 
menor a velocidade. 
vermelho laranja amarelov v v 
 
Portanto como 
c
n
v

, concluímos que o índice 
de refração aumenta com a frequência. Quanto 
maior a frequência, maior o índice de refração. 
Em geral, quando a densidade de um 
meio aumenta, seu índice de refração também 
aumenta. 
Como variações de temperatura e 
pressão alteram a densidade, concluímos que 
essas alterações também alteram o índice de 
refração. No caso dos sólidos, essa alteração é 
pequena, mas para os líquidos, as variações de 
temperatura são importantes, e no caso dos 
gases tanto as variações de temperatura como as 
de pressão devem ser consideradas. 
A maioria dos índices de refração é 
menor que 2; uma exceção é o diamante, cujo 
índice é aproximadamente 2,4. Para a luz 
amarela emitida pelo sódio, sua frequência é f = 
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5 
5090.10
14
Hz e cujo comprimento de onda no vácuo 
é λ = 589nm. Essa é a luz padrão para apresentar os 
índices de refração. 
Consideremos dois meios A e B, de índices de 
refração nA e nB; se nA > nB, dizemos que A é mais 
refringente que B. 
 Continuidade Óptica 
Consideremos dois meios transparentes A e 
B e um feixe de luz dirigindo-se de A para B. Para 
que haja feixe refletido é necessário que
A Bn n
. 
Quando nA = nB, não há luz refletida e 
também não há mudança na direção da luz ao mudar 
de meio; dizemos que há continuidade óptica. 
Quando temos um bastão de vidro dentro 
de um recipiente contendo um líquido com o mesmo 
índice de refração do vidro, a parte do bastão que 
está submersa, não refletindo a luz, fica "invisível". 
 
 Índice de refração relativo 
Se o índice de refração de um meio A é nA e o índice 
de um meio B é nB, definimos: 
 
nAB: índice de refração do meio A em 
relação ao meio B: 
A
AB
B
n
n
n

 
nBA: índice de refração do meio B em 
relação ao meio A: 
B
BA
A
n
n
n

 
 
Sendo vA e vB as velocidades da luz nos meios A e B, 
temos: 
A B
AB
B A
n v
n
n v
 
 
B A
BA
A B
n v
n
n v
 
 
 LEIS DA REFRAÇÃO 
 
Consideremos dois meios transparentes A e 
B e um feixe estreito de luz monocromática, que se 
propaga inicialmente no meio A, dirigindo-se para o 
meio B. Suponhamos, ainda, que uma parte da luz 
consiga penetrar no meio B e que a luz tenha 
velocidades diferentes no dois meios. Nesse caso, 
diremos quehouve Refração. O raio que apresenta 
o feixe incidente é o raio incidente (i), e o raio que 
apresenta o feixe refratado é o raio refratado (r). 
 A primeira lei da Refração 
 
O raio incidente, o raio refratado e a normal, no 
ponto de incidência, estão contidos num mesmo 
plano. 
A normal é uma reta prependicular à superfície no 
ponto de incidência, θA é denominado ângulo de 
incidência e θB, ângulo de refração. 
 
 A segunda lei da Refração 
 
A A B Bn sen n sen 
 
Dessa igualdade tiramos: 
A
BA
B
sen
n
sen



 
A Segunda Lei da Refração foi 
descoberta esperimentalmente pelo holandês 
Willebrord Snell (1591-1626) e mais tarde 
deduzida por Descartes, a partir de sua teoria 
corpuscular da luz. Nos Estados Unidos, ela é 
chamada de Lei de Snell e na França, de Lei de 
Descartes; no Brasil é costume chamá-la de Lei 
de Snell-Descartes. 
Inicialmente a Segunda Lei foi 
apresentada na forma da equação II; no entanto, 
ela e mais fácil de ser aplicada na forma da 
equação I. 
Observando a equação I, concluímos que, onde 
o ângulo for menor, o índice de refração será 
maior. Explicando melhor: 
 
Se: 
A B 
 
, o mesmo ocorre com seus senos: 
A Bsen sen 
 
 
; logo, para manter a igualdade da equação: 
 
B An n
 
 
Ou seja, o menor ângulo θB ocorre no 
meio mais refringente, nB. 
Pelo princípio da reversibilidade, se a 
luz faz determinado percurso, ela pode fazer o 
percurso inverso. Assim, se ela faz o percurso 
XPY, ela pode fazer o percurso YPX. Mas, 
tanto num caso como no outro, teremos: 
 
A A B Bn sen n sen 
 
 
Quando a incidência for normal, não 
haverá desvio e teremos 
0A B  
, e, 
portanto, 
0A Bsen sen  
, de modo que a 
Segunda Lei também é válida nesse caso, na 
forma da equação I: 
B An n
 
 Caso de ângulos pequenos 
Na tabela seguinte, apresentamos 
alguns ângulos "pequenos" expressos em graus 
e radianos, com o respectivo valor do seno e da 
tangente: 
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6 
Observando esta tabela, percebemos que, para um 
ângulo θ, até aproximadamente 10° temos: 
sen tg   
 
quando θ está expresso em radianos. Assim, para 
ângulos pequenos, a Segunda Lei da Refração pode 
ser escrita: 
A A B Bn n 
 
para ângulos em radianos. 
 
Figura 6 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Índice de refração e aspectos 
ondulatórios da luz. 
 
A freqüência da onda não varia quando 
ela passa de um meio para outro. O 
comprimento de onda  da luz geralmente é 
diferente quando a onda passa de um material a 
outro. Ele é menor num material do que no 
vácuo. Assim: 
0
n

 
 
 Quando a luz passa de um material a a 
outro b de índice de refração maior, de modo 
que nb > na, a velocidade da onda diminui. O 
comprimento de onda no segundo material 
0b bn 
no segundo material é então menor 
que o comprimento de onda no primeiro 
material 
0a an 
no primeiro material. Já 
quando o segundo material possui índice de 
refração inferior, de modo que nb < na, a 
velocidade aumenta. Então o comprimento de 
onda b no segundo material é maior do que o 
comprimento de onda a no primeiro material. 
Intuitivamente: quando a velocidade da onda 
diminui, ela é ―comprimida‖ (o comprimento de 
onda torna-se menor); quando a velocidade 
aumente ela se ―dilata‖ (o comprimento de onda 
torna-se menor). 
 
 Reflexão Interna Total 
 
Existem certas circunstâncias em que a 
luz pode ser totalmente refletida de uma 
interface e nenhuma luz ser transmitida, mesmo 
quando o segundo material é transparente, como 
mostra a figura a seguir: 
 
Figura 8 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo° Ângulo rad Seno Tangente 
0 0 0 0 
2 0,035 0,035 0,035 
4 0,070 0,070 0,070 
6 0,105 0,104 0,105 
8 0,140 0,139 0,140 
10 0,174 0,174 0,176 
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7 
 Os raios mostram como isso pode ocorrer; a 
figura contém diversos raios que emanam de uma 
fonte puntiforme dentro de um material a com 
índice de refração na. Os raios incidem sobre a 
superfície de outro material b com índice de refração 
nb, sendo na > nb (Por exemplo, o material a é água e 
o b é o ar). 
 De acordo com a Lei de Snell: 
a
b a
b
n
sen sen
n
 
 
 Como 
1a b a
b
n
sen sen
n
   
; o raio é 
desviado e se afasta para fora da normal. Deve 
portanto existir um valor de a < 90° para o qual a 
Lei de Snell fornece 
1bsen 
e 
90b  
. 
 Isto ocorre com o raio 3 indicado no 
diagrama, ele emerge tangenciando a superfície, 
com um ângulo de refração igual a 90°. 
 Assim, o ângulo crítico para reflexão 
interna total é dado por: 
b
crít
a
n
sen
n
 
 
 Por exemplo, na interface vidro-ar, sabendo 
que o índice de refração do vidro é 1,52: 
1
0.658 41.1
1.52
crít crítsen     
 
 A luz que se propaga no interior será 
totalmente refletida quando ela incidir na interface 
vidro-ar, formando umângulo igual ou superior a 
41.1°. 
 Como refletores, os prismas que usam a 
reflexão interna total apresentam algumas vantagens 
em relação a superfícies refletoras metálicas, como, 
por exemplo, espelhos comuns, que possuem uma 
película metálica depositada sobre o vidro. Se, por 
um lado, nenhuma superfície metálica pode refletir 
100% da luz que sobre ela incide, por outro lado, 
umprisma pode refletir totalmente a lus queincide 
sobre ele. Além disso, as qualidades refletoras de 
um prisma possuem a propriedade adicional de não 
perderem o brilho, com o envelhecimento. 
 
Figura 9 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um prisma com ângulos 45°-45°-90°, 
como indicado na figura é denominado prisma 
de Porro. No prisma, a luz entra e sai, formando 
um ângulo de 90° com a hipotenusa, sendo 
totalmente refletida nas faces menores. O 
ângulo de desvio total entre o raio incidente e o 
raio emergente é 180°. Os binóculos geralmente 
usam uma associação com dois prismas de 
Porro, como indicado na figura. 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando um fexe de luz penetra a 
extremidade de uma barra transparente, como 
mostra a figura acima, a luz pode sofrer reflexão 
interna total se o índice de refração da barra for 
maior que o índice de refração do material 
existente em seu exterior. O raio de luz fica 
confinado no interior da barra, mesmo quando a 
barra é curva, desde que a curvatura não seja 
muito acentuada. Essa barra muitas vezes é 
chamada de tubo de luz. Feixes de fibra de vidro 
ou fibras de plásticos podem se comportar de 
modo semelhante, com a vantagem de serem 
flexíveis. Tal feixe pode ser constituído por 
milhares de fibras individuais, cada uma com 
diâmetros da ordem de 0.002 a 0.01 mm. 
Quando as fibras são agrupadas em um feixe, de 
tal modo que uma das extremidades possua a 
mesma geometria da outra, formando imagens 
especulares, o feixe pode transmitir 
umaimagem, como mostra a figura 10: 
 
 Figura 10 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
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8 
Dispositivos feitos com fibras óticas são 
largamente aplicados na medicina, em instrumentos 
chamados de endoscópios, que podem ser 
introduzidos em tubos no organismo e são usados 
para examinar diretamente os brônquios, a bexiga, o 
cólon e outros órgãos. Um feixe de fibras pode ser 
encerrado em uma agulha hipodérmica para estudar 
tecidos e vasos sanguíneos muito afastados da pele. 
As fibras óticas também são aplicadas em 
sistemas de comunicação, nos quais ela pode ser 
usada para transmititr um feixe de laser modulado. 
A taxa com a qual a informação pode ser usada para 
transmitir uma onda (de luz, de rádio ou qualquer 
outrotipo) é proporcional à freqüência. Para 
entender qualitativamente a razão disso, imagine que 
você module, ou seja, modifique a onda cortando 
algumas cristas de onda. Suponha que a crista 
representa dígitos binários, sendo que a crista 
cortada represente o 0 e a crista não modificada o 
algarismo 1. O número de algarismos binários que 
podemos transmitir por unidade de tempo é 
proporcional à freqüência da onda. A luz 
infravermelha e a luz visível possuem freqüências 
muito maiores que a das ondas de rádio, de modo 
que um feixe de laser modulado pode transmitir uma 
quantidade muito grande de informações através de 
um único cabo de fibras óticas. 
Outra vantagem dos sistemas que usam 
cabos de fibras óticas é que eles são isoladamente 
elétricos, não sofrem interferências produzidas por 
relâmpagos e outras fontes, e não permitem que 
correntes indesejadas surjam entre a fonte e o 
receptor. Elas são muito seguras e dificilmene 
apresentam falhas, mas também implicam 
dificuldades para montagem e para fazer junções. 
Em 1952, o físico Narinder Singh Kapany, 
com base nos estudos efetuados pelo físico inglês 
John Tyndall de que a luz poderia descrever um 
trajetória curva dentro de um material (no 
experimento de Tyndall esse material era água), 
pode concluir suas experiências que o levaram à 
invenção da fibra óptica. A fibra óptica é um 
excelente meio de transmissão utilizado em sistemas 
que exigem alta largura de banda, tais como: o 
sistema telefônico, videoconferência, redes locais 
(LANs), etc. Como mencionamos, há basicamente 
duas vantagens das fibras ópticas em relação aos 
cabos metálicos: A fibra óptica é totalmente imune a 
interferências eletromagnéticas, o que significa que 
os dados não serão corrompidos durante a 
transmissão. Outra vantagem é que a fibra óptica 
não conduz corrente elétrica, logo não haverá 
problemas com eletricidade, como problemas de 
diferença de potencial elétrico ou problemas com 
raios. O princípio fundamental que rege o 
funcionamento das fibras ópticas é o fenômeno 
físico denominado reflexão total da luz. Para que 
haja a reflexão total a luz deve sair de um meio mais 
para um meio menos refringente, e o ângulo de 
incidência deve ser igual ou maior do que o 
ângulo limite (também chamado ângulo de 
Brewster) 
As fibras ópticas são constituídas 
basicamente de materiais dielétricos (isolantes) 
que, como já dissemos, permitem total 
imunidade a interferências eletromagnética; 
uma região cilíndrica composta de uma região 
central, denominada núcleo, por onde passa a 
luz; e uma região periférica denominada casca 
que envolve o núcleo. O índice de refração do 
material que compõe o núcleo é maior do que o 
índice de refração do material que compõe a 
casca. 
 Núcleo: O núcleo é um fino filamento de 
vidro ou plástico, medido em micra (1 mm = 
0,000001m), por onde passa a luz. Quanto 
maior o diâmetro do núcleo mais luz ele pode 
conduzir. 
 Casca: Camada que reveste o núcleo. Por 
possuir índice de refração menor que o núcleo 
ela impede que a luz seja refratada, permitindo 
assim que a luz chegue ao dispositivo receptor. 
 Capa: Camada de plástico que envolve o 
núcleo e a casca, protegendo-os contra choques 
mecânicos e excesso de curvatura. 
 Fibras de resistência mecânica: São 
fibras que ajudam a proteger o núcleo contra 
impactos e tensões excessivas durante a 
instalação. Geralmente são feitas de um material 
chamado kevlar, o mesmo utilizado em coletes a 
prova de bala. 
 Revestimento externo: É uma capa que 
recobre o cabo de fibra óptica. 
Existem duas categorias de fibras ópticas: 
Multimodais e Monomodais. Essas categorias 
definem a forma como a luz se propaga no 
interior do núcleo. 
 Multimodais: As fibras multimodais 
possuem o diâmetro do núcleo maior do que as 
fibras monomodais, de modo que a luz tenha 
vários modos de propagação, ou seja, a luz 
percorre o interior da fibra óptica por diversos 
caminhos. As dimensões são 62,5 mm para o 
núcleo e 125 mm para a casca. Dependendo da 
variação de índice de refração entre o núcleo e a 
casca, as fibras multimodais podem ser 
classificadas em : Índice Gradual e Índice 
Degrau. 
 Monomodais: As fibras monomodais são 
adequadas para aplicações que envolvam 
grandes distâncias, embora requeiram 
conectores de maior precisão e dispositivos de 
alto custo. Nas fibras monomodais, a luz possui 
apenas um modo de propagação, ou seja, a luz 
percorre interior do núcleo por apenas um 
caminho. As dimensões do núcleo variam entre 
8 mm a 10 mm, e a casca em torno de 125 mm. 
As fibras monomodais também se diferenciam 
pela variação do índice de refração do núcleo 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 
9 
em relação à casca; classificam-se em Índice Degrau 
Standard, Dispersão Deslocada (Dispersion Shifed) 
ou Non-Zero Dispersion. 
Obs: As fibras ópticas transmitem luz com um 
comprimento de onda invisível ao olho humano. 
Portanto, nunca devemos olhar diretamente para 
uma fibra óptica enquanto ela estiver transmitindo, 
pois corremos o sério risco de ficarmos cego. 
 
Figura 11 - Fibras óticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Estrutura 
 
 
 
 
 
 
(b) Fribra óptica monomodal. 
 
 
 
 
(c) Fibra óptica multimodal 
 
 
 
 
 
 Dispersão 
 A luz branca comum é uma superposição 
de cores cujos comprimentos de onda abrangem 
todo o espectro visível. A velocidade da luz no 
vácuo é a mesma para todos os comprimentos de 
onda, porém, no interior de um material, ela varia 
com o comprimento de onda Portanto, o índice de 
refração de um material depende do comprimento de 
onda. A dispersão indica como a velocidade da onda 
e o índice de refração dependem de seu 
comprimento de onda. 
A figura a seguir ilustra como varia o 
índice de refração n() para alguns materiais 
comumente usados em ótica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para quase todos os materiais, n aumenta 
quando o comprimento de onda  diminui, ou a 
freqüência f aumenta. Para esses materiais, a luz 
que possui o comprimento de onda maior se 
desloca com velocidade superior àquela que 
possui comprimento de onda menor. 
A figura a seguir mostra um feixe de 
luz branca incidindo em um prisma. O desvio 
produzido pelo prisma aumenta com o aumento 
do índice de refração e da freqüência e com a 
diminuição do comprimento de onda. A luz 
violeta sofre o maior desvio e a luz vermelha é a 
que se desvia menos. As demais cores sofrem o 
desvio entre esses extremos. 
Quando a luz emerge do prisma, ela se 
espalha e as cores são separadas. 
 
Figura 13 - Dispersão luminosa da luz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10 
10 
 
 índice n 
  
 
 
 
 
 Índice np 
  N2 
 
 N1 2 r2 
 1 i2 
i1 
 r1 
 
 
  
 
 O raio luminoso sofre duas refrações: a 
primeira ao entrar na interface entre o meio e o 
prisma: 
1 1i r p
sen n sen n 
 
1
1
i p
r
sen n
sen n



 
 E sofre um primeiro desvio angular 1; e a 
segunda refração: 
2 2i p r
sen n sen n 
 
2
2
r p
i
sen n
sen n



 
 Comparando as expressões: 
2
2
r
i
sen
sen


 1
2 1 2 1
1
i
r i i r
r
sen
sen

         
 
 Ao passar do prisma para o meio, sofrendo 
outro desvio angular 2. 
 Aplicando a geometria, temos: 
1 2   
 
2 2r i
   
 
1 2 1 21 1i r i r
        
 
2 2 2 22 2r i r i
         
 
1 2 2 2i r r i
       
 
1 2 2 2
( )i r i r       
 
1 2i r
     
 
2   
 
 Ao apreciar a beleza do arco-íris, você está 
vendo efeitos combinados de refração e reflexão. O 
Sol está atrás do observador e a luz se refrata para o 
interior de uma gotícula de água: a seguir ela é 
(parcialmente) refletida na parte interna posterior da 
gotícula de água e finalmente refratada, saindo da 
gotícula. A dispersão faz a separação das cores 
como resultado da refração que ocorre em ângulos 
diferentes para as diversas cores. Quando você vê 
um segundo arco íris, está vendo o resultado da 
dispersão e de duas reflexões que ocorrem na 
parte interna posterior da gotícula. Ambos os 
arco-íris, o arco-íris primário e o arco-íris 
secundário, podem ser vistos na figura a seguir. 
 
 Figura 14 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11 
11 
 Polarização 
 
A polarização é uma característica de todas 
as ondas eletromagnéticas. Essa seção descreve 
a luz, contudo, deve-se lembrar que a luz é um 
tipo de onda transversal, formada por campos 
elétrico e magnético, perpendiculares entre si e 
dependentes do tempo, que podem estar em 
algum dos eixos x,y ou z. 
Sempre definimos como direção de 
polarização de uma onda eletromagnética como 
a direção do campo elétrico E e não a direção 
do campo magnético, pois quase todos os 
detetores de ondas eletromagnéticas funcionam 
sob a ação da força elétrica sobre os elétrons do 
material e não pela ação da força magnética. 
 
Figura 15 - (A) Esquema de onda 
eletromgnética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nesse caso, os campos elétricos e 
magnéticos são dados por: 
 
 max ˆ( , )E x t E sen t kx j 

 
 
 max ˆ( , )B x t B sen t kx k 

 
 Nesse caso, a luz é polarizada na 
direção y. 
 
 Filtros Polarizadores 
As ondas produzidas por uma emissora 
de rádio são em geral linearmente polarizadas. 
A antena vertical de um telefone celular emite 
ondas contida num plano horizontal em torno da 
antena e que são polarizadas em uma direção 
vertical (paralela à antena). Se uma antena de 
TV no telhado de uma casa possui um elemento 
horizontal ela capta ondas polarizadas na 
horizontal, se o elemento na antena estiver na 
direção vertical, ela detecta as ondas polarizadas 
verticalmente. 
Para a luz, a situação é diferente. As 
fontes comuns, como as lâmpadas 
incandescentes ou fluorescentes, emitem luz que 
não é polarizada. As ―antenas‖ que são ondas 
luminosas são as moléculas que constituem as 
fontes de luz. A luz emitida por uma única 
molécula, pode ser linearmente polarizada como 
a onda emitida por uma antena de rádio. 
Contudo, qualquer fonte de luz que 
tenha um número extremamente grande de 
moléculas com orientações caóticas, de modo 
que a luz emitida possui ondas polarizadas 
aleatoriamente em todas as direções transversais 
possíveis. Essa luz é chamada de luz natural ou 
luz não polarizada. Para produzir um feixe de 
luz polarizada a partir de um feixe de luz natural 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 
12 
é necessário um filtro análogo ao filtro indicado na 
figura a seguir. 
 
Figura 16 – 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13 
13 
Os filtros usados para polarizar ondas 
eletromagnéticas possuem difrentes detalhes de 
construção, que dependem do comprimento de onda. 
Para microondas, que possuem comprimentos de 
onda da ordem de alguns centímetros, um bom filtro 
polarizador é uma grade de fios condutores 
próximos e paralelos, isolados entre si e igualmente 
espaçados (imagine uma grelha de churrasqueira 
com a moldura de ferro externa substituída por uma 
outra de material isolante.) Os elétrons podem se 
mover livremente ao longo dos fios em resposta a 
uma onda com um campo elétrico E paralelo aos 
fios. A corrente resultante que percorre os fios 
dissipa calor com uma taxa Ri
2
; a energia dissipada é 
oriunda das ondas, de modo que as ondas que 
atravessam a grade de fios paralelos possuam 
amplitudes menores do que as amplitudes das ondas 
incidentes. As ondas com um campo elétrico E 
perpendicular aos fios atravessam a rede 
praticamente sem nenhuma alteracão, visto que os 
elétrons não podem mover-se através do ar entre os 
fios. Portanto, um feixe de ondas que passa através 
desse tipo de filtro emerge polarizado 
perpendicularmente ao plano dos fios. No caso da 
luz, o filtro polarizador mais comum é conhecido 
como polaróide – nome derivado de uma marca 
registrada Poloroid -, largamente utilizada em óculos 
de sol e como filtros polarizadores em câmeras 
fotograficas. Desenvolvido inicialmente pelo 
cientista americano Edwin H Land, esse material 
possui uma propriedade chamada de dicroísmo, 
uma absorção seletiva na qual um dos componentes 
de onda é absorvido muito mais acentuadamente do 
que o outro. Um filtro polaróide transmite mais de 
80% da intensidade da luz polarizada em uma 
direção paralela a um certo eixo do material, 
chamado de eixo polarizador, porém transmite 
menos de 1% quando a luz é polarizada em um eixo 
perpendicular a esse eixo. Em um tipo comum de 
filtro polaróide, existem longas cadeias de moléculas 
em seu interior orientadas em uma direção paralela 
ao comprimento dessa moléculas desenhando um 
papel análogo ao da grade de fios condutores que 
funcionam como filtro de microondas. 
Um filtro polarizador ideal, chamado 
simplesmente de polarizador, deixa passar 100% da 
luz polarizada que incide sobre ele quando a luz é 
linearmente polarizada na mesma direção do eixo do 
polarizador e bloqueia completamente a luz 
linearmente polarizada na mesma direção do eixo 
polarizador e bloqueia completamente a luz 
linearmente polarizada na direção perpendicular a 
esse eixo. Tal dispositivo é uma idealização 
inatingível, porém é um conceito útil para esclarecer 
idéias básicas. Nas discussões a seguir vamos 
assumir que todo polarizador seja ideal. Na figura 
anterio (c), uma luz não polarizada incide sobre um 
disco polarizador. O eixo do polarizador é indicado 
pela linha inclinada mostrada na figura. O valor de 
E do feixe incidente pode ser decomposto em 
componentes paralelos e perpendiculares ao 
eixo de polarização; somente os componentes 
de E paralelos ao eixo do polarizador são 
transmitidos. Portanto, a luz que emerge do 
polarizador é linearmente polarizada na direção 
paralela ao do eixo do polarizador. 
Quando um feixe de luz não polarizada 
incide sobre um polarizador ideal, como 
indicado na figura 16 (b), a intensidade da luz 
transmitida é exatamente igual a um meio da 
intensidade da luz não-polarizada incidente, 
qualquer que seja a direção do eixo polarizador. 
A explicação é a seguinte: podemos decompor o 
campo E em um componente paralelo e outro 
perpendicular ao eixo do polarizado. Como a 
luz incidente possui estados de polarização 
aleatórios, podemos dizer que, na média, os dois 
componentes são iguais. Como o polarizador 
ideal transmite apenas o componente paralelo ao 
seu eixo, podemos concluir quesomentemetade 
da intensidade incidente é transmitida. 
Quando a luz linearmente polarizada 
que emerge de um polarizador incide sobre um 
segundo polarizador, como indicado na figura 
16 (b), considerando um caso geral, em que o 
eixo do segundo polarizador, ou analisador, faz 
um ângulo  com o eixo de polarização do 
primeiro polarizador, podemos decompor a luz 
polarizada transmitida pelo primeiro polarizador 
em duas componentes, um paralela e uma 
perpendicular ao eixo do analisador. 
Somente o componente paralelo, com 
amplitude Ecos, será transmitido pelo 
analisador. A intensidade do feixe transmitido, 
será máxima, quando =00 e será 0 quando 
=900, ou seja,o eixo do polarizador está 
cruzado com do analisador. Para determinar a 
direção da polarização da luz transmitida pelo 
primeiro polarizador, giramos o analisador até 
que a fotocélula mostrada indique intensidade 
igual a 0; nessa posição o eixo do primeiro 
polarizador é perpendicular ao eixo do 
analisador. Para determinar a intensidade 
transmitida para valores intermediários do 
ângulo , esta é proporcional ao quadrado da 
amplitude de onda. A razão entre a amplitude da 
onda transmitida e a amplitude da onda 
incidente é igual a cos; portanto a razão entre 
suas intendidades é cos
2. Logo, a inensidade da 
luz que emerge do analisador é dada pela Lei de 
Malus:, descoberta experimentalmente em 1809 
e vale somente quandoo feixe de luz que incide 
sobre o analisador já está linearmente 
polarizado: 
2
max cosI I 
 
Imax: intensidade máxima da luz 
transmitida. 
I: intensidade transmitida para um dado 
ângulo . 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14 
14 
 Polarização com reflexão 
 
A luz não polarizada pode ser polarizada 
parcial ou totalmente, por meio da reflexão. Na 
figura a seguir, um feixe de luz não polarizada 
incide na superfície de separação entre dois 
materiais transparentes: denomina-se plano de 
incidência o plano que contém o raio incidente, o 
raio refletido e anormal à superfície. 
Figura 17 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contudo, para determinado ângulo de 
incidência, denominado ângulo de polarização p, os 
componentes de E paralelos ao plano de incidência 
são totalmente refratados. 
Para esse mesmo ângulo de incidência, os 
componentes de E perpendiculares ao plano de 
incidência são parcialmente refletidos e 
parcialmente refratados. A luz refletida é, portanto, 
totalmente polarizada em um plano perpendicular ao 
plano de incidência, como indicado. 
A luz refratada é parcialmente polarizada 
em um plano paralelo a esse plano, logo a luz 
refratada é composta pela mistura da luz com o 
campo elétrico paralelo ao plano de incidência, 
cujos componentes são totalmente refratados, 
superpostos com os componentes perpendiculares 
restantes. 
E 1812, o cientista inglês Sir david 
Brewster descobriu que, quando o ângulo de 
incidência é igual ao ângulo de polarização p, o raio 
refletido é perpendicular ao raio refratado. Nesse 
caso, o ângulo de refração b torna-se igual ao 
complemento de p: 
090b p  
 
De acordo com a lei da refração: 
a p b bn sen n sen 
 
 90 cosa p b p b pn sen n sen n    
 
b
p
a
n
tg
n
 
 
(Lei de Brewster para o ângulo de polarização) 
A polarização por reflexão possibilita o 
uso de eficiente de filtros polarizadores em 
óculos de sol. Quando a luz solar é refletida por 
uma supefície horizontal, o plano de incidência 
é vertical e a luz refletida contém 
preponderantemente luz polarizada na direção 
horizontal. Quando a reflexão ocorre na 
superfície lisa do asfalto de uma estrada ou na 
superfície de um lago, ela produz um 
ofuscamento indesejável. A visão pode ser 
melhorada se o excesso de luz reponsável pelo 
ofuscamento for eliminado. O fabricante de 
óculos produz lentes com eixo de polarização na 
direção vertical, de modo que a maior parte da 
luz refletida com polarização horizontal não 
atinja seus olhos. Além disso, os óculos também 
reduzem em cerca de 50% a intensidade global 
da luz não polarizada que incide sobre suas 
lentes. 
Figura 18 – (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Luz circularmente polarizada e 
elipticamente polarizada. 
Além da luz linearmente polarizada, a 
luz e outras ondas eletromagnéticas podem ser 
circularmente polarizadas ou elipticamente 
polarizadas. Para introduzir esses conceitos, 
vamos retornar mais uma vez aos estudos das 
ondas mecânicas em uma corda esticada. 
Quando duas ondas linearmente polarizadas 
estão em fase e possuem, mesma amplitude e se 
superpõe, como mostra a figura a seguir, cada 
ponto da corda deve possuir simultaneamente os 
deslocamentos y e z iguais em módulo. A onda 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15 
15 
resultante está contida em um plano que forma um 
ângulo de 45
0
 com os planos xy e xz. 
A amplitude da onda resultante é 
2
 
vezes maior do que a amplitude de cada onda 
componente, e a onda resultante é linearmente 
polarizada. 
Figura 19 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas vamos supor agora que as duas ondas 
mencionadas possuam uma diferença de fase de ¼ 
de ciclo. Então o movimento resultante de cada 
ponto corresponde a uma superposição de dois 
movimentos harmônicos simples ortogonais, com 
uma diferença de fase de ¼ de ciclo. O 
deslocamento y de um dado ponto é máximo quando 
o deslocamento z é igual a zero e vice versa. O 
movimento resultante da corda não está mais 
contido em um único plano. Podemos mostrar que 
cada ponto descreve uma circunferência contida em 
um plano paralelo ao plano yz. Os pontos sucessivos 
da corda contém diferença de fase consecutivas e o 
movimento resultante assemelha-se a um 
movimento helicoidal. Isso é mostrado no lado 
esquerdo do polarizador indicado da figura 15. Esse 
tipo particular de superposição de duas ondas 
linearmente polarizadas denomina-se polarização 
circular. Por convenção dizemos que a luz é 
circularmente polarizada direita ou destrógira 
quando o sentido do movimento de uma partícula da 
corda, para um observador que olhe a onda se 
aproximar frontalmente é horário: a luz é 
circularmente polarizada esquerda ou levógira se o 
sentido do movimento é contrário, ou seja, anti-
horário. 
Na figura acima, mostra-se a situação 
análoga para o caso de uma onda eletromagnética. 
Ocorrem a superposiçao de duas ondas senoidais de 
amplitudes iguais, polarizadas ao longo dos eixos y e 
z e com uma diferença de fase de ¼ de ciclo. Na 
onda resultante, o vetor E em cada ponto possui 
módulo constante, porém gira em torno da direção 
de propagação da onda. A figura ilustra o caso de 
uma onda circularmente polarizada destrógira, pois 
quando a onda se aproxima de você o vetor E gira 
para a direita. 
Quando a diferença de fase entre as 
ondas componentes é diferente de um quarto de 
ciclo, ou quando as duas ondas componentes 
possuem amplitudes diferentes, então cada 
ponto da corda, em vez de descrever uma 
circunferência, passa a escrever uma elipse. A 
onda resultante é chamada de elipticamente 
polarizada. 
Para as ondas eletromagnéticas na faixa 
de radiofreqüência, a polarização circular o 
elíptica pode ser produzida usando-se duas 
antenas perpendiculares, alimentadas pelo 
mesmo transmissor, porém com circuitos 
projetados para se produzir diferenças de fase 
apropriadas. No caso da luz, a diferença de fase 
necessária para ser obtida usando-se um 
material com birrefringência, ou seja, aquele 
que possui dois índices de refração para ondas 
polarizadas em planos perpendiculares entre si. 
Um exemplo comum é a calcita (CaCO3). 
Quando um cristal de calcita está orientado 
convenientemente em relação a um feixe de luz, 
não-polarizada, seu índicede refração para um 
comprimento de onda de 589 nm é igual a 1.658 
para uma onda polarizada em certa direção e 
igual a 1.486 para uma onda polarizada em uma 
direção perpendicular à primeira. Quando duas 
ondas com amplitudes iguais e polarizadas em 
planos perpendiculares entre si penetram nesse 
material, elas se propagam no interior desse 
material com velocidades diferentes. . Quando 
elas estão em fase ao penetrar no material, então 
geralmente não estão em fase quando dele 
emergem. Quando o material possui uma 
espessura apropriada suficiente para produzir 
uma diferença de um quarto de ciclo, o cristal 
converte luz linearmente polarizada em luz 
circularmente polarizada. Esse tipo de cristal é 
chamado de lâmina de um quarto de onda ou 
placa de um quarto de onda. Essa placa também 
pode converter luz circularmente polarizada em 
luz linearmente polarizada. Você é capaz de 
demonstrar essa afirmação? 
 
 Fotoelasticidade 
 
Alguns materiais que normalmente não 
exibem birrefringência podem se tornar bir-
refringentes quando submetidos a tensões 
mecânicas. Essa c a base de uma ciência deno-
minada fotoelasticidade. Tensões em vigas, nas 
paredes de caldeiras e nos pilares de uma 
catedral podem ser analisadas construindo-se 
um modelo transparente do objeto, geralmente 
de um material plástico, submetendo o objeto a 
tensões e analisando-o com luz polarizada entre 
um polarizador cruzado com um analisador. 
Distribuições de tensões extremamente 
complicadas podem ser analisadas com esse 
método ótico. 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 16 
16 
 Espalhamento da Luz 
 
O céu é azul. O pôr-do-sol é vermelho. A luz 
do céu é parcialmente polarizada: por isso, quando 
olhamos para o céu usando óculos com lentes 
polaróides notamos que o céu em certas direções 
parece mais escuro do que em outras. Um mesmo 
fenômeno é responsável por todos esses efeitos. 
Ao olhar para o céu durante o dia, a luz que 
você vê é a luz solar que foi absorvida e depois 
retransmitida em muitas direções. Esse fenômeno 
denomina-se espalhamento. (Caso a Terra não 
possuísse atmosfera, o céu seria negro tanto durante 
o dia quanto à noite, tal como um astronauta vê o 
céu em volta da Lua quando ele está no espaço ou 
sobre a superfície lunar: você veria a luz solar 
somente quando olhasse diretamente para o Sol e 
poderia observar as estrelas também durante o dia.) 
A Figura 20 mostra alguns detalhes do processo do 
espalhamento. A luz solar, que não é polarizada, 
incide da esquerda para a direita ao longo do eixo 
Ox e passa acima de um observador que está 
olhando verticalmente de baixo para cima ao longo 
do eixo Oy. (Estamos vendo a cena lateralmente.) 
Considere moléculas do ar atmosférico localizadas 
no ponto O. As cargas elétricas de cada molécula 
oscilam por causa da ação do campo elétrico da luz 
solar. Como a luz é uma onda transversal, a direção 
do campo elétrico de qualquer componente do feixe 
da luz solar permanece sobre o plano yz; e o 
movimento das cargas deve ocorrer sobre esse 
plano. Não existe nenhum campo e, portanto, 
nenhum movimento ao longo do eixo Ox. 
Uma onda de luz com o campo elétrico E 
formando um ângulo  com o eixo Oz obriga as 
cargas elétricas das moléculas a vibrar ao longo da 
direção de E, conforme indicado pelas setas em 
torno de O. Podemos decompor essa vibração em 
uma vibração ao longo do eixo Oy e outra ao longo 
do eixo Oz. Cada componente da luz incidente 
produz o efeito semelhante ao de uma "antena", 
oscilando com a mesma freqüência da luz incidente 
e situada sobre o eixo Oy e sobre o eixo Oz. 
 
Figura 20 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma carga oscilante não irradia na 
direção de sua vibração. Portanto, a "antena" ao 
longo do eixo Oy não emite nenhuma luz para o 
observador que está diretamente abaixo, embora 
ela emita luz nas outras direções. Assim, a luz 
que atinge o observador deitado é proveniente 
de outras "antenas" moleculares 
correspondentes às cargas que oscilam do eixo 
Oz. Essa luz é linearmente polarizada, com o 
campo elétrico ao longo do eixo Oz. Os vetores 
com setas opostas paralelos ao eixo Oz abaixo 
do ponto O indicado na Figura 20 mostram a 
direção da polarização da luz que incide sobre o 
observador deitado. 
Como o feixe original da luz solar 
passa através da atmosfera, sua intensidade 
diminui à medida que a energia é retirada para a 
luz espalhada. Uma análise rigorosa do processo 
de espalhamento mostra que a intensidade da 
luz espalhada pelas moléculas do ar aumenta 
com a quarta potência da freqüência (é 
inversamente proporcional à quarta potência do 
comprimento de onda). Logo, a razão entre as 
intensidades dos dois extremos do espectro 
visível é dada por (700 nm/400 nm)
4
 = 9,4. 
Fazendo-se uma aproximação, podemos dizer 
que a luz azul é cerca de nove vezes mais 
espalhada do que a luz vermelha. É por isso que 
o céu é azul. 
As nuvens contêm uma concentração 
elevada de gotículas de água e de pequenos 
cristais de gelo que também espalham a luz. Por 
causa disso, a luz que passa através das nuvens 
possui mais centros de espalhamento de tipos 
diferentes do que no caso do céu sem nenhuma 
nuvem. Portanto, a luz com todos os 
comprimentos de onda acaba sendo espalhada, 
de modo que as nuvens parecem brancas. A cor 
do leite é branca pela mesma razão: todas as 
cores são espalhadas por pequenos glóbulos de 
gordura existentes no leite. Se você diluir o leite 
misturando-o com uma quantidade de água 
suficiente, a concentração dos glóbulos de 
gordura passará a ser muito pequena, de modo 
que a cor azul será espalhada mais 
substancialmente do que as outras cores; 
portanto, a solução fortemente diluída será azul 
e não branca. (O leite sem gordura, que também 
contém uma pequena concentração de glóbulos, 
exibe, pela mesma razão, uma cor ligeiramente 
azulada.) 
Perto do pôr-do-sol quando a luz solar 
atravessa uma extensa camada da atmosfera ter-
restre, uma grande quantidade da luz azul é 
removida pelo espalhamento na atmosfera. A 
luz solar sem a cor azul parece ser vermelha ou 
ligeiramente amarela. Isso explica por que você 
geralmente vê a luz solar amarela ou vermelha 
durante o poente (e isso é notado pelo obser-
vador indicado no lado direito da Figura 20.) 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 17 
17 
Como a luz solar é parcialmente polarizada, 
um polarizador pode ser útil na arte fotográfica. 
Você pode obter uma fotografia do céu escuro 
usando um polarizador com um eixo perpendicular à 
direção do eixo com a polarização predominante da 
luz espalhada. A luz mais fortemente polarizada 
provém da parte do céu que está a 90
0
 afastada da 
direção da luz proveniente do Sol — por exemplo, a 
direção diretamente acima de nossa cabeça quando o 
Sol está no levante ou no poente. 
 
 Princípio de Huygens 
 
As leis da reflexão e da refração que 
estudamos anteriormente foram descobertas 
experimentalmente muito tempo antes de a 
natureza ondulatória da luz ser de fato 
comprovada. Contudo, podemos deduzir essas 
leis a partir de considerações ondulatórias e 
mostrar que elas são consistentes com a natureza 
ondulatória da luz. O mesmo tipo de análise que 
faremos aqui será muito importante quando 
estudarmos a ótica física. 
Vamos começar com um princípio 
conhecido como princípio de Huygens. Em 1678 o 
cientista holandês Christian Huygens formulou um 
princípio que permite a construção geométrica de 
uma nova frente de onda a partir de uma frente de 
onda conhecida em um dado instante. Huygens 
afirmou que todos os pontos de uma frente de onda 
podem ser considerados fontes de ondas 
secundárias que se espalham para fora com uma 
velocidade igual à velocidade de propagação da 
onda. A nova frente de onda em uminstante 
posterior pode ser determinada construindo-se uma 
superfície que tangencie as ondas secundárias, ou, 
como se costuma dizer, traçando-se a envoltório 
das ondas secundárias. Todos os resultados obtidos 
a partir da aplicação do princípio de Huygens 
também podem ser conseguidos com as equações 
de Maxwell. Logo, ele não é um princípio 
independente, mas de uma ferramenta geralmente 
útil para explicar fenômenos ondulatórios. 
O princípio de Huygens é ilustrado na 
Figura 21. A frente de onda AA' está se deslocando 
para fora de uma fonte, como indicam as pequenas 
setas. Vejamos determinar a forma da frente de onda 
depois de um intervalo de tempo t. Seja v a 
velocidade de propagação da onda; então no 
intervalo de tempo t ela se deslocou de uma 
distância vt. Construímos diversas circunferências 
(interseções das ondas secundárias esféricas com o 
plano) centralizadas nos pontos da frente de onda 
AÃ' com raios vt. A envoltória dessas ondas 
secundárias, que fornece a nova frente de onda, é a 
curva BB'. Estamos supondo que a velocidade v seja 
a mesma em todos os pontos e em todas as direções. 
Para deduzir a lei da reflexão a partir do princípio de 
Huygens, consideramos uma onda plana 
aproximando-se de uma superfície refletora plana. 
 Na Figura 34.27, as linhas AA', OB' e 
NC' representam posições sucessivas das frentes 
de onda que se aproximam da superfície MM'. O 
ponto A da frente de onda AA´ acaba de atingir a 
superfície refletora. Podemos usar o princípio de 
Huygens para determinar a frente de onda 
depois de um intervalo de tempo t. Usando os 
pontos da reta AA´ como centros, podemos 
desenhar diversas ondas secundárias com raios 
vt. As ondas secundárias que se originam na 
extremidade superior de AA´ se espalham até 
encontrar o obstáculo, e a envoltória dessas 
ondas fornece o segmento OB' da nova frente de 
onda. Caso a superfície refletora não existisse, 
as ondas secundárias que se originam na 
extremidade inferior de AA´ se espalhariam de 
modo análogo e atingiriam as posições 
indicadas pelas linhas tracejadas. Em vez disso, 
essas ondas secundárias atingem a superfície 
refletora. 
 A superfície refletora produz uma 
variação da direção dessas ondas secundárias 
que incidem sobre ela, de modo que as ondas 
secundárias que deveriam penetrá-la na 
realidade retornam para o lado esquerdo da 
superfície, como indicam as linhas contínuas. 
A primeira dessas ondas secundárias está 
centralizada no ponto A; a envoltória das 
ondas secundárias que retornam é o segmento 
OB da frente de onda. O traço da frente de 
onda completa nesse instante fornece o ângulo 
definido pela linha BOB'. Um raciocínio 
semelhante permite a construção da linha 
CNC´ para a frente de onda depois de outro 
intervalo de tempo t. 
 
Figura 21 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a geometria plana, o 
ângulo a entre a frente de onda incidente e a 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 18 
18 
superfície é igual ao ângulo entre o raio incidente e 
a normal à superfície, e, portanto, é o ângulo de 
incidência. 
Analogamente, r, é o ângulo de reflexão. 
Para achar a relação entre esses dois ângulos, 
observe a Figura 22. A partir de O desenhamos o 
segmento OP = vt, perpendicular a AA´. O segmento 
OB, por construção, é tangente ao círculo vt com 
centro em A. Desenhando o segmento AQ a partir de 
A até o ponto de tangência, os triângulos APO e 
OQA são congruentes porque são triângulos 
retângulos que possuem o lado comum AO e o lado 
AQ = OP = vt. Portanto, concluímos que a = r, 
obtendo assim a lei da reflexão. 
Figura 22 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos deduzir a lei da refração fazendo 
um raciocínio semelhante. Na Figura 23 temos uma 
frente de onda plana, representada pela linha reta 
AA'. para a qual o ponto A acaba de incidir sobre a 
interface SS' entre os dois materiais transparentes a e 
b que possuem índices de refração na e nb e nos 
quais as velocidades das ondas são va e vb. (As ondas 
refletidas não são indicadas nessa figura; elas se 
propagam exatamente como indicado na Figura 22). 
Podemos aplicar o princípio de Huygens 
para determinar as posições das frentes de onda 
depois de um intervalo de tempo t. 
Usando os pontos da reta AA' como centros, 
desenhamos diversas ondas secundárias. Aquelas 
que se originam na extremidade superior de AA' se 
deslocam com velocidade va e, depois de um 
intervalo de tempo t, são superfícies esféricas com 
raio vt. Contudo, a onda secundária com origem no 
ponto A se desloca no segundo material com 
velocidade vb, e. depois de um intervalo de tempo t, 
é uma superfície esférica com raio vbt. A envoltória 
das ondas secundárias obtidas a partir da frente de 
onda inicial é a nova frente de onda cuja interseção 
com o plano da página fornece a linha BOB'. Uma 
construção semelhante nos permite traçar a linha 
CPC' depois de um segundo intervalo de tempo t. 
O ângulo a entre a superfície e a frente de 
onda incidente é o ângulo de incidência, e o ângulo 
b, entre a superfície e a frente de onda refratada é o 
ângulo de refração. Para verificar a relação entre 
esses ângulos observe a Figura 23 (b). Desenhe o 
segmento OQ = vat na direção perpendicular a AQ e 
trace o segmento AB = vbt na direção 
perpendicular a BO. 
Pelo triângulo AOQ: 
a
a
v t
sen
AO
 
 
Pelo triângulo AOB: 
b
b
v t
sen
AO
 
 
Combinamos as relações anteriores e 
teremos: 
a a
b b
sen v
sen v



 
Figura 23 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
a a b bn c v n c v  
 
b b a
a a b
n c v v
n c v v
 
 
a b
b a
sen n
sen n



 ou 
a a b bsen n sen n 
 
que reconhecemos como a lei de Snell. Desse 
modo, deduzimos a lei de Snell a partir de uma 
teoria ondulatória. Alternativamente, podemos 
considerar a lei de Snell um resultado 
experimental que define o índice de refração de 
um material; nesse caso, a análise anterior ajuda 
a confirmar a relação v = c/n para a velocidade 
em um material. 
As miragens fornecem outro exemplo 
do emprego do princípio de Huygens. Quando 
os raios solares aquecem a superfície de um 
pavimento ou a areia do deserto, forma-se nos 
arredores da superfície, uma camada quente, 
menos densa, com índice de refração n menor 
do que o índice de refração da camada superior. 
A velocidade da luz nessas áreas da superfície é 
ligeiramente maior do que nas vizinhanças da 
camada superior, e as ondas secundárias de 
Huygens possuem raios um pouco maiores, de 
modo que as frentes de onda se inclinam 
levemente e os raios que se aproximam da 
superfície com ângulos de incidência elevados, 
(próximos de 90°) se encurvaram para cima, 
como indicado na Figura 24. O raio de luz que 
está afastado do solo não sofre quase nenhum 
desvio e se propaga praticamente em linha reta. 
O observador vê o objeto em sua posição 
natural, juntamente com uma imagem invertida 
embaixo dela, como se ela estivesse observada 
refletida por uma superfície horizontal. Mesmo 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 19 
19 
quando a turbulência do ar aquecido impede a 
formação de uma imagem invertida nítida, o cérebro 
do viajante sedento interpreta a imagem como se ela 
estivesse refletida pela superfície do lago. 
 
 
Figura 24 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vidro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 20 
20 
 Introdução 
 
Seu reflexono espelho do banheiro, a Lua vista 
por meio de um telescópio, os desenhos observados 
em um caleidoscópio; todas essas visões são 
exemplos de imagens. Em cada um desses casos, os 
objetos são vistos em posições aparentes diferentes 
das posições nas quais eles realmente se encontram; 
seu reflexo forma uma imagem do outro lado do 
espelho, a Lua parece estar muito mais próxima 
quando você a observa através do telescópio e um 
objeto visto em um caleidoscópio parece estar em 
diversos lugares ao mesmo tempo. Em cada caso, 
um raio de luz proveniente de um ponto do objeto 
sofre um desvio produzido por reflexão ou refração 
(ou uma combinação dos dois efeitos) e parecem 
divergir de ou convergir para um ponto chamado de 
imagem puntiforme. Nosso objetivo é verificar 
como isso ocorre e estudar os diferentes tipos de 
imagens que podem ser obtidos usando-se um 
dispositivo ótico simples. 
Para entender as imagens e como elas são 
formadas, precisamos apenas do modelo da 
descrição da luz por meio de raios, as leis da 
reflexão e da refração e um pouco de geometria e de 
trigonometria. O papel central desempenhado pela 
geometria em nossa análise é o principal motivo de 
usarmos o nome ótica geométrica para designar o 
estudo da formação de imagens. 
Começaremos pelo espelho plano, um dos 
dispositivos óticos mais simples para a formação de 
imagens. A seguir estudaremos como as imagens 
são formadas por espelhos curvos, por superfícies 
refratoras e por lentes delgadas. Nossos estudos 
servirão de base para entender o funcionamento de 
muitos instrumentos óticos familiares, incluindo a 
máquina fotográfica, a lupa, o olho humano, o 
microscópio e o telescópio. 
 
 REFLEXÃO E REFRAÇÃO EM EMA SUPERFÍCIE PLANA 
 
Antes de discutir o que significa uma imagem, 
inicialmente precisamos do conceito de objeto 
empregado na ótica. Chamamos de objeto qualquer 
coisa da qual emanem raios de luz. Quando a luz é 
emitida pelo próprio objeto dizemos que ele possui 
luz própria — como, por exemplo, o filamento de 
uma lâmpada comum. Alternativamente, depois de 
emitida por uma fonte (como o Sol ou uma 
lâmpada), a luz se reflete no objeto; por exemplo, 
quando você lê este livro, a luz é refletida pelas 
páginas do livro. A Figura l mostra raios de luz 
irradiados em todas as direções por um objeto 
situado no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Espelho plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que um observador veja diretamente o 
objeto é necessário que não haja nenhum 
obstáculo entre o objeto e o olho do observador. 
Note que os raios que partem do objeto chegam 
ao olho do observador formando ângulos 
diferentes; a diferença entre os dois ângulos é 
processada no cérebro do observador para obter 
uma estimativa da distância entre o observador e 
o objeto. 
O objeto P indicado na Figura 1 denomina-
se objeto puntiforme e é representado por um 
ponto que não possui nenhuma dimensão. Os 
objetos reais que possuem comprimento, largura 
e altura são chamados de objetos estendidos. 
Inicialmente vamos considerar um objeto ideal 
concentrado em um ponto, visto que um objeto 
estendido pode ser um conjunto muito grande de 
objetos puntiformes. 
Suponha que alguns raios provenientes do 
objeto atinjam uma superfície plana refletora 
(Figura 1 (b)). Essa superfície poderia ser a 
fronteira de um material com índice de refração 
diferente, que reflete parte da luz incidente, ou 
então uma superfície metálica polida que reflete 
quase 100% da luz incidente. Vamos sempre 
representar uma superfície refletora como uma 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 21 
21 
linha negra com um sombreado adjacente na parte 
traseira da interface, como na Figura 2. Os espelhos 
usados em banheiros possuem uma fina placa de 
vidro na parte dianteira da superfície refletora para 
protegê-la: desprezaremos o efeito dessa fina placa 
de vidro. 
De acordo com a lei da reflexão, para todo 
raio que atinge a superfície o ângulo de incidência é 
igual ao ângulo de reflexão. Como a superfície é 
plana, a normal é sempre perpendicular à superfície 
em todos os seus pontos e a reflexão é especular. 
Parece que os raios depois de refletidos emanam de 
um ponto P'. Chamamos o ponto P de objeto 
puntiforme e o ponto P' correspondente denomina-se 
imagem puntiforme; dizemos então que a superfície 
refletora forma uma imagem do ponto P. Um 
observador que esteja vendo apenas os raios re-
fletidos pela superfície e que não sabe que está 
vendo uma reflexão pensa que os raios estão 
emanando do ponto onde se forma a imagem P'. A 
imagem puntiforme é portanto um modo 
conveniente de descrever as direções dos diversos 
raios refletidos, assim como o objeto puntiforme P 
descreve as direções dos raios que atingem a 
superfície antes da reflexão. 
Se a superfície indicada na Figura 2 não 
fosse lisa, ocorreria uma reflexão difusa e os raios 
refletidos de diversos pontos da superfície 
possuiriam direções diferentes. Nesse caso não 
haveria a formação de uma imagem puntiforme P' a 
partir da qual os raios parecem emanar. Ao olhar 
para uma superfície metálica comum você não 
consegue ver sua imagem refletida porque 
geralmente essa superfície é rugosa; fazendo o 
polimento do metal você alisa a superfície de modo 
que a reflexão especular se torna possível e vê-se 
uma imagem refletida. 
Uma imagem também é formada por uma 
superfície plana refratora, como indicado na Figura 
3. Os raios provenientes de um ponto P são 
refratados na interface entre dois materiais 
transparentes. Quando os ângulos de incidência são 
pequenos, as direções dos raios depois da refração 
são oriundas de um ponto P', conforme indicado, e 
chamamos novamente P' de imagem puntiforme. 
Mostramos como esse efeito faz com que um objeto 
imerso na água pareça estar mais próximo da 
superfície do que sua posição real (Veja a Figura 2). 
 
Figura 2 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os raios não passam através da 
imagem puntiforme P'. Na verdade quando o 
espelho na Figura 1 é opaco não existe 
absolutamente nenhuma luz em seu lado direito. 
Quando os raios emergentes não passam 
efetivamente no local onde se encontra o objeto, 
dizemos que nesse local se forma uma imagem 
virtual. Mais adiante analisaremos casos para os 
quais os raios passam efetivamente no local 
onde se encontra o objeto — dizemos que nesse 
local se forma uma imagem real. As imagens 
que se formam sobre uma tela de cinema, sobre 
a película de uma máquina fotográfica e sobre 
as retinas dos seus olhos são exemplos de 
imagens reais. 
 
 FORMAÇÃO DA IMAGEM EM UM 
ESPELHO PLANO 
 
Vamos no momento nos concentrar na 
descrição de imagens formadas por reflexão; 
voltaremos ao problema da refração mais 
adiante neste capítulo. Para localizar a imagem 
virtual P' que um espelho plano forma para um 
objeto P usaremos a construção indicada na 
Figura 3. A figura mostra dois raios oriundos de 
um objeto puntiforme P situado a uma distância 
s à esquerda de um espelho plano. 
 
Figura 3- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamaremos s de distância do objeto. O 
raio PV incide ortogonalmente sobre o espelho 
plano (ou seja, ele é perpendicular à superfície 
do espelho) e retorna na mesma direção do raio 
original. 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 22 
22 
O raio PB forma um ângulo 0com o raio PV. 
Ele atinge o espelho plano com ângulo de incidência 
O e se reflete formando o mesmo ângulo com a 
normal. Estendendo os dois raios refletidos para trás 
do espelho, eles se cruzam em um ponto P' situado a 
uma distância s' atrás do espelho. Chamaremos s' de 
distância da imagem. 
A linha que liga P com P' é perpendicular ao 
espelho.Os dois triângulos são congruentes, de 
modo que P e P' possuem distâncias iguais até o 
espelho plano e portanto s e s' possuem módulos 
iguais. A distância entre o espelho e a imagem P' 
formada atrás do espelho é exatamente igual a 
distância na frente do espelho entre o objeto P e a 
superfície do espelho. 
Podemos repetir a construção indicada na 
Figura 3 para qualquer raio que emane do ponto P. 
A direção de qualquer raio refletido é tal que parece 
que ele é oriundo do ponto P', confirmando que P' é 
a imagem de P. Qualquer que seja a posição da 
pessoa que está observando o objeto, ela sempre 
verá a imagem localizada no ponto P'. 
 
 REGRAS DE SINAIS 
 
Antes de prosseguir vamos introduzir algumas 
regras de sinais. Elas podem parecer 
desnecessariamente complicadas para o caso simples 
da imagem formada por um espelho plano, porém 
desejamos formular essas regras de modo que 
possam ser aplicadas para quaisquer situações que 
sejam encontradas mais adiante. Essas situações 
incluem a formação de imagens por meio da 
reflexão ou da refração em interfaces planas ou 
esféricas ou de um par de superfícies refratoras que 
formam uma lente. As regras são: 
1. Regra do sinal para a distância do objeto: 
Quando o objeto está do mesmo lado da luz que 
incide sobre a superfície refletora ou refratora, a 
distância do objeto s é positiva; em caso contrário, é 
negativa. 
2. Regra do sinal para a distância da imagem: 
Quando a imagem está do mesmo lado da luz que 
emerge da superfície refletora ou refratora, a 
distância da imagem s' é positiva; 
em caso contrário, é negativa. 
3. Regra do sinal para o raio de curvatura de 
uma superfície esférica: Quando o centro de 
curvatura Cesta do mesmo lado da luz que emerge 
da superfície refletora ou refratora, o raio de 
curvatura é positivo; em caso contrário, é negativo. 
Para um espelho o lado do raio incidente é 
sempre o mesmo do raio emergente; por exemplo, 
nos dois casos indicados nas figuras 2 e 4 o lado em 
questão é o lado esquerdo. Para a superfície refratora 
indicada na Figuras 2, o lado da luz incidente é o 
lado esquerdo da interface entre os materiais e o 
lado da luz emergente é o direito. 
Na Figura 3 a distância do objeto s é positiva 
porque o objeto puntiforme P está do lado da luz 
incidente sobre a superfície refletora (o lado 
esquerdo). 
A distância da imagem s' é negativa porque 
a imagem puntiforme P' não está do lado da luz 
que emerge da superfície refletora (o lado 
esquerdo). As distâncias s e s´ são relacionadas 
por 
s s
 
~ 
Para uma superfície refletora ou 
refratora plana, os raios de curvatura são 
infinitos e, portanto, não fornecem nenhuma 
informação útil; para esses casos na verdade não 
necessitamos da terceira regra. Porém, mais 
adiante neste capítulo, veremos que essa regra 
será extremamente útil quando estudarmos a 
formação de imagens no caso de interfaces 
curvas que refletem ou refratam a luz. 
 
 FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM 
OBJETO - ESPELHO PLANO 
 
Vamos agora considerar um objeto 
estendido com um tamanho definido. Por 
simplicidade geralmente tomamos um objeto 
que possui apenas uma dimensão, tal como uma 
seta estreita orientada paralelamente à superfície 
refletora, como a seta PQ na Figura 5. 
 
Figura 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distância entre o ponto inicial e a 
extremidade da seta indicada desse modo é sua 
altura; na Figura 5 a altura é y. A imagem 
formada por esse objeto estendido é uma 
imagem estendida; cada ponto do objeto possui 
um ponto correspondente da imagem. 
Mostramos dois raios provenientes do ponto Q; 
parece que todos os raios provenientes de Q 
divergem da imagem puntiforme Q' depois da 
reflexão. A imagem da seta é o segmento P'Q', 
com altura y'. Os outros pontos do objeto PQ 
possuem imagens entre os pontos P' e Q'. Os 
triângulos PQV e P'Q'V são congruentes, de 
modo que PQ possui a mesma dimensão e 
orientação da imagem P'Q', logo y = y'. A razão 
entre a altura da imagem e a altura do objeto, 
Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica - 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 23 
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y'/y, em qualquer situação de formação de imagem, 
denomina-se ampliação transversal m; ou seja: 
y
m
y


 
(ampliação transversal) 
Logo, para um espelho plano a ampliação 
transversal m é igual a l. Quando você olha para um 
espelho plano, sua imagem possui um tamanho igual 
ao seu. 
Na Figura 5 a seta que representa a imagem 
aponta na mesma direção e no mesmo sentido da 
seta que representa o objeto; dizemos que a imagem 
está em pé, é direita ou então que se trata de uma 
imagem ereta. Nesse caso, y e y' possuem o mesmo 
sinal e a ampliação transversal m é positiva. A 
imagem formada por um espelho plano é sempre 
ereta, de modo que y e y' possuem sempre o mesmo 
sinal e o mesmo módulo; de acordo com a Equação 
da ampliação transversal é sempre dada por m = +1. 
Mais adiante encontraremos situações nas quais 
obtemos uma imagem invertida, ou seja, a seta da 
imagem aponta no sentido oposto à seta que 
identifica o objeto. Para uma imagem invertida, v e 
v' possuem sempre sinais contrários e a ampliação 
transversal m é sempre negativa O objeto indicado 
na Figura 5 possui apenas uma dimensão, sua altura 
y'. A Figura 6 mostra um objeto em três dimensões 
formando uma imagem virtual em três dimensões 
em um espelho plano. O sentido aparente da imagem 
é relacionado com o sentido do objeto do mesmo 
modo que a mão esquerda é relacionada com a mão 
direita. 
 
Figura 6 - 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Você certamente perguntará: "Por que 
a imagem é reversa e troca a direita com a 
esquerda porém mantém o sentido vertical de 
baixo para cima inalterado?" A pergunta é 
embaraçosa! Como se observa na Figura 6 (a), 
tanto a imagem vertical P'Q' quanto a imagem 
horizontal P'S' são indicadas por vetores 
paralelos aos respectivos vetores do objeto e não 
sofrem nenhuma reversão! Somente o vetor que 
indica a imagem frontal de trás para frente PT? 
é que está invertido em relação ao vetor que 
indica o objeto PR. Portanto, seria mais correto 
dizer que um espelho plano reverte apenas o 
sentido de frente para trás na direção frontal em 
relação ao espelho. Para verificar essa formação 
de imagens aponte seus dois polegares ao longo 
de PR e PT?', os dedos indicadores ao longo de 
PQ e P'Q' e. seus dedos médios ao longo de PS 
e P'S'. Para evitar confusão com a definição de 
imagem invertida feita anteriormente, dizemos 
que a imagem obtida por um espelho plano 
constitui uma imagem reversa: objetivamente 
somente ocorre inversão no sentido de frente 
para trás na direção frontal em relação ao 
espelho. A imagem reversa formada por um 
espelho plano de um objeto em três dimensões 
possui o mesmo tamanho do objeto em todas as 
dimensões. A imagem é ereta na direção 
paralela ao espelho. Portanto, um espelho plano 
forma sempre uma imagem ereta porém reversa. 
A Figura 6 (b) fornece um exemplo disso. 
Uma propriedade importante de todas 
as imagens formadas por superfícies refletoras 
ou refratoras é que uma imagem formada por 
uma superfície ou por um dispositivo ótico pode 
servir como um objeto para a formação de outra 
imagem para uma segunda superfície ou dis-
positivo. A Figura 7 fornece um exemplo 
simples. 
Figura 7 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O espelho l forma uma imagem P, ' de um 
objeto situado no ponto P e o espelho 2 forma outra 
imagem P', cada uma delas do modo que acabamos 
de descrever. Porém, além disso, a imagem P,' 
formada pelo espelho l serve como objeto para o 
espelho 2, que a seguir forma uma imagem desse 
novo objeto no ponto P^' como indicado. 
Analogamente, o espelho l