Propriedades Exponenciais

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Capítulo 5
Exponenciais
5.1 Propriedades dos Expoentes
Dados a ∈ R e n ∈ N, denota-se por an o produto de a por si mesmo n vezes, isto é
an = a · a · a · · · a (n fatores). (5.1)
Como conseqüência de (5.1) temos as seguintes propriedades para os expoentes (m,n ∈ N):
(i) aman = am+n;
(ii)
am
an = a
m−n
;
(iii) (am)n = amn;
(iv) a−n = 1an
(v) a0 = 1, se a 6= 0;
(vi) 0n = 0, se n 6= 0;
(vii) 00 @
Além disto, definimos expoentes racionais (fracionários) como
am/n = n
√
am,
onde fica subententido que m/n é uma fração irredutível e que a raiz n-ésima de am exista. A validade de
(5.1) quando n é um número irracional é bem mais difícil de se estabelecer. Por exemplo, qual o significado de
3
√
2
? Apesar deste incoveniente, admitiremos, sem provas, que tanto (5.1) e as propriedades listadas continuam
válidas para expoentes reais quaisquer.
Para a desigualdade ax > ay observamos que:
(i) se a > 1 então x > y;
(ii) se 0 < a < 1 então x < y.
5.2 Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função da forma
f(x) = ax; (5.2)
onde a base a é qualquer real positivo diferente de 1 (a ∈ R+∗ e a 6= 1). É importante distinguir potências da
forma xa (a variável está na base) de exponenciais da forma ax (a variável está no expoente).
5.3 Problemas Propostos
Problema 5.1 Escreva a expressão √
x
3
√
x4
5
√
x3√
x7
na forma de expoente fracionário.
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Problema 5.2 Sabendo-se que A = 3
x+3−x
2 e B =
3x−3−x
2 , determine A
2 +B2.
Problema 5.3 Simplifique a expressão
2n+4 + 2n+2 + 2n−1
2n−2 + 2n−1
.
Problema 5.4 Resolva as equações exponenciais
(a) 3x
2+1 = 243;
(b) 27x =
√
3;
(c) (0.5)x
2+x−12 = 1;
(d) 8x−2 = 8
√
2;
(e) 2x3x = 216;
(f) 4x+2 + 4x−1 − 4x+1 + 4x =
212;
(g) 16x4x+3 − 8x+2 = 0;
(h) 28x − 4 · 24x − 32 = 0;
Problema 5.5 Resolva as inequações exponenciais
(a) 2x+2 + 2x−1 > 3x−1 + 3x;
(b)
(
1√
2
) x−1
x−2 ≥ 8 x−1x ; (c) 2x − 3 > −22−1;
Problema 5.6 Em uma colônia, o número N de bactérias em função do tempo t (em dias) é dada pela função
exponencial N(t) =M2kt, onde M e k são constantes.
(a) Determine M e k sabendo-se que a população inicial (no tempo t = 0) é de 100 bactérias e que esta
população se quadruplicou após um dia;
(b) determine o número de bactérias presentes na colônia após cinco dias.
Problema 5.7 Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então a
intensidade luminosa I a uma profundidade de h metros é dada por I(h) = k3αt, onde k e α são constantes.
(a) Determine k e α sabendo-se que a intensidade luminosa na superfície é de 12 lux/m2 e de 4 lux/m2
a um metro de profundidade;
(b) determine a intensidade luminosa a 3 metros de profundidade.
5.4 Problemas Teóricos
Problema Teórico 5.1 Suponha que uma quantia de capital C é capitalizada periodicamente a uma taxa de
juros j. Use indução matemática para mostrar que o montante de capital M após n períodos é dado pela função
exponencial
M(n) = C
(
1 +
j
100
)n
.
5.5 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 5
• 5.1 (página 18) x−15/46
• 5.2 (página 19) 32x+3−2x
2
• 5.3 (página 19) 82/3
• 5.4 (página 19)
(a) x = ±2
(b) x = 5/3
(c) x = −4 ou
x = 3
(d) x = 19/6
(e) x = 3
(f) x = 2
(g) x = 0
(h) x = 3/4
• 5.5 (página 19)
(a) x < 3
(b) 0 < x ≤ 1
ou 12/7 ≤
x2
(c) x > 0
• 5.6 (página 19)
(a) M = 100 e k = 2 (b) N(5) = 102.400
• Problema 5.7 (página 19)
(a) K = 12 e α = −1 (b) I(3) = 12/27
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