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CINEMA´TICA E DINAˆMICA DE CORPO RI´GIDO
1. Forc¸as externas e internas
• Vimos anteriormente que, dependendo da situac¸a˜o, o movimento de
um corpo pode ser estudado tratando o mesmo como uma partı´cula.
No entanto, este ponto de vista nem sempre e´ va´lido e um corpo, em
geral, deve ser tratado como uma combinac¸a˜o de um grande nu´mero
de partı´culas. O tamanho do corpo tera´ enta˜o que ser levado em
conta, bem como o fato de que as forc¸as tera˜o diferentes pontos de
aplicac¸a˜o.
• As forc¸as que atuam sobre corpos rı´gidos podem ser divididas em
dois grupos:
– As forc¸as externas representam a ac¸a˜o de outros corpos sobre
o corpo rı´gido em considerac¸a˜o e sa˜o inteiramente responsa´veis
1
pelo comportamento externo do corpo. Tais forc¸as va˜o causar o
movimento do corpo ou garantir que ele permanec¸a em repouso.
– As forc¸as internas sa˜o as que manteˆm juntas as partı´culas que
formam o corpo rı´gido.
Como exemplo de forc¸as externas, vamos considerar as forc¸as atu-
ando sobre um carro parado (figura abaixo). As forc¸as externas que
atuam sobre o carro sa˜o o seu peso ~P , que atua no no centro de
gravidade do carro, e as forc¸as ~R1 e ~R2, que sa˜o as reac¸o˜es do solo,
isto e´, sa˜o aplicadas pelo solo no carro e equilibram o peso do mesmo.
Forc¸as externas atuando sobre um carro parado
• As forc¸as externas atuando sobre um corpo rı´gido podem, caso na˜o
sejam contrabalanc¸adas, imprimir ao corpo um movimento de transla-
c¸a˜o ou de rotac¸a˜o, ou ambos.
2. Princı´pio da Transmissibilidade. Forc¸as equivalentes
• O princı´pio da transmissibilidade estabelece que as condic¸o˜es de equi-
lı´brio ou movimento de um corpo rı´gido permanecera˜o inalteradas se
uma forc¸a ~F que atua em um dado ponto do corpo for substituı´da
por uma forc¸a ~F ′ de intensidade, direc¸a˜o e sentido iguais, mas at-
uando em um ponto diferente, desde que essas duas forc¸as tenham
a mesma linha de ac¸a˜o. As duas forc¸as ~F e ~F ′ teˆm o mesmo efeito
sobre o corpo e diz-se que sa˜o equivalentes.
• No caso dos corpos rı´gidos, o ponto de aplicac¸a˜o de uma forc¸a na˜o
importara´ desde que a linha de ac¸a˜o da forc¸a permanec¸a inalterada.
3. Momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto
• O efeito de uma forc¸a sobre um corpo rı´gido depende do seu ponto de
aplicac¸a˜o A; a posic¸a˜o de A pode ser definida pelo vetor ~r que liga o
ponto de refereˆncia fixo O com A. Esse vetor e´ conhecido como vetor
posic¸a˜o de A.
O momento de ~F em relac¸a˜o a O e´ definido como
~MO = ~r × ~F , (1)
onde ~MO e´ perpendicular ao plano que conte´m O e os vetores ~r e
~F , com sua direc¸a˜o e sentido dados pela regra da ma˜o direita. A
intensidade do momento de ~F em relac¸a˜o a O e´
MO = rF sinφ = Fd, (2)
onde d representa a distaˆncia perpendicular de O ate´ a linha de ac¸a˜o
de ~F . A intensidade de ~MO mede a tendeˆncia de uma forc¸a ~F de
fazer o corpo rı´gido girar em torno de um eixo fixo dirigido ao longo de
~MO. A unidade de momento no SI e´ N.m.
• Podemos perceber que o momento de uma forc¸a na˜o depende da
posic¸a˜o real do ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a ao longo da sua linha de
ac¸a˜o.
• Verificamos que duas forc¸as ~F e ~F ′ sa˜o equivalentes se, e somente
se, forem iguais e tiverem momentos iguais em relac¸a˜o a um dado
ponto O (~F = ~F ′ e ~MO = ~M ′O).
4. Teorema de Varignon
• Podemos agora determinar o momento resultante de va´rias forc¸as
concorrentes (figura abaixo): se va´rias forc¸as ~F1, ~F2, . . . sa˜o apli-
cadas ao mesmo ponto A e se representarmos por ~r o vetor posic¸a˜o
de A, segue-se imediatamente da equac¸a˜o (1) que
~r ×
(
~F1 + ~F2 + . . .
)
= ~r × ~F1 + ~r × ~F2 + . . . (3)
Em palavras, o momento em relac¸a˜o a um dado pontoO da resultante
de diversas forc¸as concorrentes e´ igual a` soma dos momentos das
va´rias forc¸as em relac¸a˜o ao ponto O (Teorema de Varignon).
Exemplo 1: Uma forc¸a vertical de 450 N e´ aplicada na extremidade
de uma alavanca que esta´ ligada a um eixo em O. Determine (a) o
momento da forc¸a em relac¸a˜o a O; (b) a forc¸a horizontal aplicada em
A que gera o mesmo momento em relac¸a˜o a O.
(a) Temos que MO = rF sinφ = (0,6 m)(450 N) sin(150◦) =
(270)× (0,5) = 135 N.m. O vetor ~MO e´ perpendicular ao plano
da figura e aponta para dentro do papel. Tambe´m podemos deter-
minar MO calculando primeiramente o brac¸o de alavanca d, onde
cos 60◦ = d/(0,6) → d = (0,6)(0,5) = 0,3 m, e enta˜o MO =
Fd = (450)(0,3) = 135 N.m.
(b) Neste caso teremos: MO = 135 = rF sin(60◦) = (0,6)×
(0,866)F = 0,52F → F ≈ 260 N.
Exemplo 2: Determine o momento resultante das foras ~F1 = (300
N)j e ~F2 = (400 N)i atuando no mesmo ponto cujo vetor posic¸a˜o
em relac¸a˜o a` origem e´ ~r = (3 m)i + (1 m)j + (4 m)k.
A forc¸a resultante atuando sobre o ponto em questa˜o sera´ ~F = ~F1 +
~F2 = (400 N)i + (300 N)j. Logo,
~MO = ~r × ~F =
 i j k3 1 4
400 300 0
 (4)
i.e., ~MO = ~r × ~F = (−1200 N.m)i + (1600 N.m)j + (500 N.m)k.
Exemplo 3: Determine o momento da forc¸a de 1000 N em relac¸a˜o ao
ponto B.
Podemos decompor a forc¸a de 1000 N em suas componentes x e
y, uma vez que o momento da forc¸a resultante em relac¸a˜o ao ponto
B e´ igual a` soma vetorial dos momentos das suas componentes em
relac¸a˜o ao mesmo ponto (Teorema de Varignon). Logo:
sin 50◦ = Fx
F
→ Fx = F sin 50◦ = (1000) (0,766) ≈ 766, (5)
cos 50◦ = Fy
F
→ Fy = F cos 50◦ = (1000) (0,643) ≈ 643. (6)
Calculamos agora o momento de cada forc¸a em relac¸a˜o ao ponto B:
MFxB = Fxdx = (766) (0,18) = 137,88 (7)
entrando no plano do papel (sinal negativo),
M
Fy
B = Fydy = (643) (0,24) = 154,32 (8)
tambe´m entrando no plano do papel (−). Logo o momento resultante
sera´
~MB = ~M
Fx
B +
~M
Fy
B →MB = 137,88 + 154,32 = 292,2 (9)
(N.m) entrando no plano do papel ou, em notac¸a˜o vetorial, ~MB =
−(292,2 N.m)kˆ.
5. Momento de um bina´rio
• Duas forc¸as ~F e −~F de igual intensidade, linhas de ac¸a˜o paralelas e
sentidos opostos formam um bina´rio. E´ claro que a soma dos com-
ponentes das duas forc¸as em qualquer direc¸a˜o e´ zero. A soma dos
momentos das duas forc¸as em relac¸a˜o a um dado ponto, pore´m, na˜o
e´ nula.
• Sejam ~rA e ~rB os vetores posic¸a˜o dos pontos de aplicac¸a˜o das forc¸as
~F e −~F , respectivamente. A soma dos momentos das duas forc¸as
em relac¸a˜o ao ponto O sera´ enta˜o
~M = ~rA × ~F + ~rB ×
(
−~F
)
= (~rA − ~rB)× ~F . (10)
Fazendo ∆~r = (~rA − ~rB), onde ∆~r e´ o vetor que une os pontos de
aplicac¸a˜o das duas forc¸as, concluı´mos que
~M = ∆~r × ~F , (11)
onde ~M e´ denominado momento do bina´rio. ~M e´ um vetor perpen-
dicular ao plano que conte´m as duas forc¸as e sua intensidade e´ dada
por
M = ∆rF sinφ = Fd, (12)
onde d e´ a distaˆncia perpendicular entre as linhas de ac¸a˜o de ~F e
−~F . O sentido de ~M e´ dado pela regra da ma˜o direita.
• O momento de um bina´rio e´ um vetor livre, que pode ser aplicado
a qualquer ponto; ale´m disso, dois bina´rios sera˜o iguais se tiverem
momentos iguais.
Figuras:
• http://www.mspc.eng.br/
• http://www.feiradeciencias.com.br/
Refereˆncias:
• BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecaˆnica Vetorial para Engenheiros: esta´tica. 5. ed. Sa˜o Paulo:
Pearson Education, 2008.