Física 3 UFPE - PROVA 2A UNIDADE - 2011.2 (RESOLVIDA)

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F´ısica Geral 3 - 2011.2 - Exerc´ıcio Escolar 02 1
Exerc´ıcio Escolar 2
17 de Outubro de 2011
In´ıcio: 10:30 hs - durac¸a˜o: 2:00 horas
So´ sera˜o consideradas as respostas que forem devidamente justificadas.
Questa˜o 01: Capacitaˆncia (3,0 pontos)
Considere duas cascas esfe´ricas condutoras conceˆntricas, de
espessuras desprez´ıveis e raios R e 3R. A casca interna
possui carga +Q e a casca externa possui carga −Q. O
espac¸o entre as cascas e´ preenchido por dois materiais de
constantes diele´tricas κ1 e κ2, como mostra a figura.
(a) [2,0 pontos] Calcule a capacitaˆncia desse sistema.
(b) [1,0 pontos] Calcule a energia potencial ele´trica total
armazenada entre as cascas.
Questa˜o 02: Resisteˆncia (4,0 pontos)
Dois cilindros retos sa˜o bem conectados um a continuac¸a˜o do outro, como mostrado
na figura. Um dos cilindros e´ de Cobre e o outro de Alumı´nio e em se´rie com os
dois cilindros e´ conectada uma fonte de tensa˜o com resisteˆncia interna r = 50Ω
e diferenc¸a de potencial entre seus terminais ∆VAB = 54, 44V . A experieˆncia e´
realizada a uma temperatura de 20oC e a resistividade ele´trica nestas condic¸o˜es
para o Cobre e´ ρCu = 1, 69 × 10−8Ω.m e para o Alumı´nio e´ ρAl = 2, 75 × 10−8Ω.,.
Supondo que na˜o ha´ mudanc¸as significativas na temperatura dos cilindros, que a
a´rea da sec¸a˜o transversal dos dois cilindros e´ A0 = 10
−2mm2 e que ambos teˆm
comprimento L = 1m calcule:
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F´ısica Geral 3 - 2011.2 - Exerc´ıcio Escolar 02 2
(a) [2,0 pontos] A resisteˆncia ele´trica RAB equivalente entre os extremos dos dois
cilindros.
(b) [1,0 pontos] A corrente ele´trica i que se estabelece no conjunto.
(c) [1,0 pontos] A densidade de corrente J , supondo que a corrente se distribui
uniformemente pela sec¸a˜o transversal dos cilindros.
Questa˜o 03: Circuitos (3,0 pontos)
Duas fontes reais de forc¸a eletromotriz E e resisteˆncia in-
terna r sa˜o ligadas em paralelo com uma resisteˆncia R.
(a) [1,0 ponto] Determine a corrente i que passa pelo re-
sistor R. (Deˆ sua resposta em func¸a˜o de r, E e R)
(b) [2,0 pontos] Para que valor de R a poteˆncia dissipada
neste resistor e´ ma´xima. Com isso determine tambe´m
o valor da poteˆncia ma´xima. (Deˆ suas respostas em
func¸a˜o de r e E)
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Gabarito 
a) 
Q
C
V
 
 
3 2 3
1 2
2
R R R
R R R
V Edr E dr E dr    
 
2 3
2 2
1 0 2 02
1 1
4 4
R R
R R
Q Q
V dr dr
r r
 
    
 
2 3
2 2
0 1 2 2
1 1
4
R R
R R
Q dr dr
V
r r
 
  
   
 
 
2 3
20 1 2
1 1 1 1
4
R R
R R
Q
V
r r
    
       
       
 
0 1 2
1 1 1 1 1 1
4 2 3 2
Q
V
R R R R
    
         
      
 
0 1 2
1 1 1 1
4 2 6
Q
V
R R
  
   
    
 
0 1 2
1 1
8 3
Q
V
R
 
   
   
 
1
0
1 2
1 1
8
3
C R

 
   
  
 
b) 2
2
Q
U
C

 
2
0 1 2
1 1
16 3
Q
U
R
 
  
   
 
Q2- Dois cilindros retos são bem conectados um a continuação do outro, como mostrado na figura. Um 
dos cilindros é de Cobre e o outro de Alumínio e em série com os dois cilindros é conectada uma fonte de 
tensão com resistência interna r = 50 Ω e diferença de potencial entre seus terminais ∆VAB = 54,44 V. A 
experiência é realizada a uma temperatura de 20 oC e a resistividade elétrica nestas condições para o 
Cobre é ρCu = 1,69 x 10-8 Ω.m e para o Alumínio é ρAl = 2,75 x 10-8 Ω.m. Supondo que não há mudanças 
significativas na temperatura dos cilindros, que a área da seção transversal dos dois cilindros é A0 = 10-2 
mm2 e que ambos têm comprimento L = 1 m calcule: 
a) A resistência elétrica RAB equivalente entre os extremos dos dois cilindros. 
b) A corrente elétrica i que se estabelece no conjunto. 
c) A densidade de corrente J, supondo que a corrente se distribui uniformemente pela seção 
transversal dos cilindros 
 
 
 
Resposta Q2. 
a) RAB = RAl + RCu 
RAB = (ρAl + ρCu) L/Ao 
RAB = 4,44 Ω 
b) i = ∆VAB/RAB 
i = 12,26 A 
Nota: O valor alto de deve a um erro de digitação. Deveria ser ∆VAB = 54,44mV. Isto não 
influencia na forma de resolver o problema. 
c) J = i /Ao 
J = 12,26 x 108 A/m 
∆VAB 
 r 
A0 
L L 
A B 
Al Cu 
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Resoluc¸a˜o da questa˜o 03
(a) Aplicando a lei das malhas podemos mostrar que a corrente que passa por cada
bateria e sua respectiva resisteˆncia interna e´ igual.
−i1r + E − E + ri2 = 0
i1 = i2
Usando a lei dos no´s, mostra-se que a corrente i que passa pelo resistor e´ o
dobro da corrente que passa por cada bateria. Finalmente aplicando a lei das
malhas em uma bateria (com sua resisteˆncia interna) mais o resistor R temos:
−r
(
i
2
)
+ E −Ri = 0
i =
E
R + r/2
(b)
P = Ri2 = R
( E
R + r/2
)2
=
RE2
(R + r/2)2
dP
dR
= E2
[
1
(R + r/2)2
− 2 R
(R + r/2)3
]
Para achar os pontos de ma´ximo ou mı´nimo:
dP
dR
= 0 ⇒ 1 = 2 R
(R + r/2)
R =
r
2
Para provar que este e´ um ponto de ma´ximo calculamos a derivada segunda:
d2P
dR2
= E2
[
− 2
(R + r/2)3
− 2
(R + r/2)3
+
6R
(R + r/2)4
]
d2P
dR2R=r/2
= E2
[−4
r3
+
3r
r4
]
= −E
2
r3
< 0
Logo este e´ um ponto de ma´ximo. O Valor da poteˆncia dissipada neste ponto
sera´:
P =
r
2
E2
r2
=
E2
2r
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