Diagramas Vigas Isostáticas

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Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 3 – Diagramas de esforços em vigas isostáticas 
 
3.1 – Diagramas de esforços 
 
Cada esforço secional em uma seção transversal de uma estrutura submetida a um sistema de 
forças ou cargas atuantes já foi definido como uma das componentes de forças e momentos 
resultantes que se transmitem de um lado para o outro da estrutura quando se supõe que ela 
seja cortada pelo plano da seção transversal considerada. Assim, um esforço seccional é 
função das cargas atuantes de um dos lados da seção de corte e, conseqüentemente, da própria 
seção considerada. 
 
Linhas de estado ou diagramas de esforços são, para cada esforço seccional considerado, 
curvas traçadas sobre o eixo longitudinal da estrutura (quando ela é composta de barras), que 
têm por objetivo representar como varia o esforço considerado ao longo das sucessivas seções 
transversais da estrutura. 
 
Para o traçado dos diagramas de esforços tomam-se como eixos coordenados em cada barra o 
seu eixo longitudinal (eixo das abscissas, onde se identificam as seções transversais) e o eixo a 
ele ortogonal (eixo das ordenadas, sobre o qual se assinalam, em escala, os valores do esforço 
considerado, função da seção transversal). 
 
As características dos diagramas de esforços são função das equações fundamentais da 
estática. 
 
3.2– Equações fundamentais da estática 
 
Seja a viga abaixo, submetida ao carregamento indicado: 
 
Va Vb 
a 
dx 
s 
S 
qdx 
q=q(x) 
x 
xo 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os esforços seccionais em S são dados por: 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +−=−−= sxosxoasxoaS dxxqxdxxqssVdxxqxssVM .. 
 
( )∫−= sxoaS dxxqVQ 
 
Derivando-se as duas expressões acima em relação à abscissa s que define a seção transversal 
na qual são quantificados os esforços, obtém-se: 
Ultima atualização em 29/6/2007 29 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
( )∫ =−= sxo SaS QdxxqVdsdM 
 → Equações fundamentais da estática 
)(sq
ds
dQS −= 
 
 
 
 
Quadro 7 - Características dos diagramas 
Sabendo+ 
Sabendo-se que a derivada do momento é igual ao cortante e a derivada negativa do cortante é 
o carregamento, podem-se relacionar algumas características importantes que devem ser 
observadas nos diagramas de esforços seccionais em um trecho de uma barra submetido a um 
carregamento distribuído qualquer: 
 
1. Em um trecho de barra onde não haja carregamento distribuído (q=0), o diagrama de 
cortantes será uma reta horizontal (Q=cte) e o diagrama de momentos será retilíneo 
(coeficiente angular da tangente à curva =cte). 
 
2. Em um trecho de barra onde haja carregamento uniformemente distribuído (q=cte), o 
diagrama de cortantes será uma reta inclinada (curva de 1o grau) e o diagrama de 
momentos será uma curva de 2o grau (parábola). 
 
3. Em um trecho de barra onde haja carregamento triangular, o diagrama de cortantes 
será uma parábola e o diagrama de momentos será uma curva de 3o grau. 
 
4. Em uma seção transversal onde houver uma carga concentrada aplicada, haverá 
necessariamente uma descontinuidade no diagrama de esforços cortantes, sem, no 
entanto, haver diferença em sua inclinação nos dois lados da seção. O diagrama de 
momentos fletores apresenta, nesse caso, um ponto anguloso na seção onde se encontra a 
carga concentrada. 
 
5. Em uma seção transversal onde houver um momento aplicado, haverá necessariamente 
uma descontinuidade no diagrama de momentos fletores, sem, no entanto, haver 
diferença em sua inclinação nos dois lados da seção. 
 
6. Nas seções correspondentes a pontos de máximo ou mínimo no diagrama de momentos 
fletores (coeficiente angular nulo), o valor do esforço cortante será nulo. 
 
7. O coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é 
igual ao esforço cortante nela atuante. 
 
8. O coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seção S é 
igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção, com sinal trocado. 
 
As equações fundamentais da estática permitem, desta forma, a verificação da 
coerência de diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores traçados, entre si e em 
relação ao carregamento atuante na estrutura. 
30 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
3.3– Diagramas para vigas bi-apoiadas 
3.3.1 - Carga concentrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ms 
_ 
+ 
Condições de equilíbrio: 
 
lVaPM
PVVV
BA
BA
×=×⇒=
=+⇒=
∑
∑
0
0
 
 
 
l
PbV
l
PaV
A
B
=
=
 
VA
S 
A B 
VBa 
l 
b 
x P 
M 
Q 
Cálculo dos esforços: 
 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥⇒−−
≤⇒==
axaxPxV
axx
l
PbxV
xM
A
A ⇒ na seção S (x=a) ⇒ ( )
l
PabaMM S == 
 
 
( )
⎩⎨
⎧
〉⇒−
〈⇒=
axV
axV
xQ
B
A ⇒ na seção S (x=a) ⇒ descontinuidade 
 
 
A solução é análoga para mais de uma carga concentrada aplicada na viga. 
 
É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 1 e 4 
citadas na página anterior. 
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3.3.2 - Carga uniformemente distribuída 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
_ 
M 
Q 
Mmax
Ms 
Condições de equilíbrio: 
 
lVqlM
lqVVV
BA
BA
×=⇒=
×=+⇒=
∑
∑
2
0
0
2 
 
2
2
qlV
qlV
A
B
=
=
 
q 
VA
A 
S 
qx 
B 
VBx 
l 
ql 
Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de abscissa x: 
( )
222
2qxxqlxqxxVxMM AS −=−== ⇒ Curva do segundo grau em x (parábola) 
 
para x=0 → M(x)=0 
para x=l → M(x)=0 
 
Pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: 
M(x) é máximo → ( ) ( ) 0== xQ
dx
xdM → 0
2
=− qxql → 
2
lx = 
 
82
2
max
qllMM =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
 
( ) qxqlqxVxQQ AS −=−== 2 ⇒ curva do primeiro grau em x (reta) 
 para x=0 → ( )
2
qlxQ = 
para x=l → ( )
2
qlxQ −= 
para x ( ) 0
2
=→= xQl 
 
É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 2 e 6. 
 
32 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
3.3.3 - Carga triangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
_ 
M 
Q Mmax
Ms 
x 
Condições de equilíbrio: 
 
lVlplM
plVVV
AA
BA
×=×⇒=
=+⇒=
∑
∑
32
0
2
0
 
 
3
6
plV
plV
B
A
=
=
 
p 
VA
A 
S 
B 
l
px 
2
plR = 
3/l 
VB
l 
Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de abscissa x: 
 
( )
l
pxxplx
l
pxxVxMM AS 6632
32
−=×−== ⇒ Curva do terceiro grau em x 
 
para x=0 → M(x)=0 
para x=l → M(x)=0 
 
Pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: 
M(x) é máximo → ( ) ( ) 0== xQ
dx
xdM → 0
26
2
=−
l
pxpl → lx 577,0= 
 
( ) 2max 064,0577,0 pllMM == 
 
( )
l
pxpl
l
pxVxQQ AS 262
22
−=−== ⇒ curva do segundo grau em x (parábola) 
 
 para x=0 → ( )
6
plxQ = 
para x=l → ( )
3
plxQ −= 
para x ( ) 0577,0 =→= xQl
 
 
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Pode-se verificar a coerência dos diagramas observando as características 3, 6 e 8. 
 
3.3.4 - Carga-momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de equilíbrio: 
 
- As reações de apoio capazes de 
equilibrar uma carga momento é 
o binário composto por: 
 
l
MVV BA == 
 
- Os diagramas de momentos 
fletores e esforços cortantes 
mostrados na figura são, então, 
imediatamente obtidos. 
A B 
VA VBa 
l 
_ 
M 
Q 
Mb/lMa/l 
b 
S 
M 
-M/l 
É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 1 e 5. 
 
3.3.5 - Caso geral de carregamento: 
 
É comum na prática o caso de viga submetida a carga continuamente distribuída que não 
abrange todo o seu vão, como mostrado na figura abaixo: 
 
 A
B C
D
VA
MB MC
8
2qa
M 
Q 
+VA
+ 
_ 
B C
q
MB MC
MB
MC
a
8
2qa
VA
q 
 
 
VD 
VD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-VD 
 
 
 
34 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
Um dos métodos de traçado geral de diagramas, que recai num problema conhecido, é romper 
a viga nas seções B e C, desde que se aplique nesses pontos os esforços ali atuantes, de forma 
a manter o equilíbrio de cada trecho obtido. Feito isto, o trecho 
Um dos métodos de traçado geral de diagramas, que recai num problema conhecido, é romper 
a viga nas seções B e C, desde que se aplique nesses pontos os esforços ali atuantes, de forma 
a manter o equilíbrio de cada trecho obtido. Feito isto, o trecho BC , por exemplo, poderá ser 
tratado como uma viga biapoiada independente submetida ao carregamento externo que lhe 
está diretamente aplicado e às cargas e momentos concentrados que representam a ação dos 
respectivos esforços seccionais em suas extremidades. Os diagramas de momentos e de 
cortantes podem então ser traçados, separadamente, para cada um dos trechos considerados. 
Outros métodos de traçado podem ser vistos no quadro 8. 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 5 e 6. 
 
 
3.4– Diagramas para vigas engastadas ou biapoiadas com balanços 
 
Em vigas engastadas ou biapoiadas com balanços, todos os conceitos e artifícios apresentados 
até o momento são aplicáveis no cálculo e traçado de diagramas dos esforços seccionais da 
peça. O quadro 8 apresenta um resumo passo a passo do que levar em consideração. 
 
 P 
q 
A B 
Q 
P _ 
QB
l 
a b VC
8
2qa 8
2qb 
MBM 
C 
MC 
 
Condições de equilíbrio: 
 
 
PbqlMM
PlqVV
CC
C
+=⇒=
+×=⇒=
∑
∑
2
0
0
2 
 
Esforços na seção B: 
 
qaQ
qaM
B
B
−=
=
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VC 
 
 
 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 5, 6 
e 7. 
 
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Quadro 8 – Traçado fácil de diagramas 
Sabendo+ 
 Sabendo-se que a derivada do momento é igual ao c Pode-se observar que o diagrama de 
momentos da viga completa AD é obtido assinalando-se nos pontos A, B, C e D, 
respectivamente, os momentos fletores calculados para essas seções e “pendurando-se” na 
linha tracejada que une tais valores em cada trecho da viga, o diagrama de momentos 
característico de uma viga biapoiada submetida ao carregamento que lhe é diretamente 
aplicado. Aqui são apresentadas algumas regras práticas para simplificar o traçado de 
diagramas: 
 
Esforço Normal: - Marcar os pontos onde existe carregamento na direção da barra; 
 - Calcular o esforço normal nos trechos entre estes pontos e traçar 
 (compressão para baixo e tração para cima). 
 
Esforço Cortante: Seguindo da esquerda para a direita, plotar, a partir do eixo da 
estrutura, as componentes de forças perpendiculares a barra, a medida 
em que forem surgindo: da seguinte forma (observar diagrama de 
cortantes de exemplo do item 3.3.5).: 
 - Nos trechos sem carregamento, seguir paralelamente ao eixo até o 
próximo carregamento concentrado ou distribuido.. 
 - Nas seções com carga concentrada, desenhar o vetor da força a partir 
do úlitimo ponto marcado. 
 - Nos trechos com carregamento uniforme, traçar uma reta inclinada 
variando o total do carregamento no comprimento carregado. 
 - Nos trechos com carregamento distribuido triangular ou de fprma 
livre, traçar uma reta inclinada tracejada variando o total do 
carregamento no comprimento carregado. Depois desenhar a função real 
(integral do carregamento) . 
. - No final da barra, ao aplicar as últimas cargas a direita; o resultado 
final deve chegar ao zero (corpo em equilíbrio). 
 
Momento Fletor: Marcar os seguintes pontos fundamentais do diagrama de momentos: 
 - Apoios; 
 - Extremidades das barras; 
 - Pontos de apicação de cargas concentradas; 
 - Extremidades de cargas distribuidas; 
 - Seções imediatamente antes e depois dos pontos de aplicação de 
momentos; 
 Calcular o valor do momento fletor em cada uma destas seções, 
marcando no diagrama sempre do lado tracionado; 
 Ligar os pontos com linhas tracejadas nos trechos com carregamento 
distribuido e linhas cheias nos demais trechos; 
 A partir da linha tracejada, traçar o efeito dos carregamentos 
distribuidos como se estivessem atuando em uma viga bi-apoiadam 
considerando a linha tracejada como o eixo da viga. 
 
 
 
36 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
 P2 P4 q P1 P3 
 
 
C B A D 
 
q 
P2 
P3 
P4 
MB MC
P1 P3+P4 
P1 
 
 
 VB
 VC
 
 
 
 MC
MB 
 
 
 
 M
 
 
 
 
 
VB
P1 _ 
+ 
VC
P2 
+ P4 
P3 
_ 
 
 
Q 
 
 
 
 
 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 6, 7 
e 8. 
 
 
3.5– Vigas inclinadas 
 
Em algumas estruturas (coberturas, rampas, etc.) é comum encontrar barras inclinadas 
submetidas ao peso próprio e a ações externas. Como calcular os esforços atuantes na viga 
inclinada apresentada a seguir, admitindo-se que a carga concentrada horizontal P se encontra 
aplicada exatamente no meio do vão e a carga distribuida q se apresenta ao longo de sua 
projeção horizontal a? 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 37 
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q 
 
 
a 
b 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há duas reações (vertical e horizontal) no segundo apoio e uma reação vertical no primeiro 
apoio. 
 
a
PbqaVqaV
a
PbqaVaqaaVbPMMz
aqVVY
PHX
AB
AAB
n
i
i
BA
n
i
i
B
n
i
i
22
2222
0:0
:0
:0
1
1
1
+=−=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−=→⋅−⋅+⋅===
⋅=+=
==
∑∑
∑
∑
=
=
=
 
 
Verifica-se que na utilização trivial das equações de equilíbrio não foi preciso considerar o 
ângulo de inclinação da viga. Desta forma, não há diferença na resolução de vigas 
horizontais e inclinadas na fase de cálculo das reações de apoio. 
 q 
 
P 
a
Pbqa
22
+
P 
a
Pbqa
22
−
 
Para traçar os diagramas de esforços normal e cortante, precisamos de forças 
perpendiculares ou paralelas a barra. Desta forma precisamos decompor todas as forças 
atuantes nestas direções. Como fazer isso? 
 
A decomposição das forças pode ser feita de uma forma bem simplificada por semelhança de 
triângulos considerando-se a barra como a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b. 
Desta forma, o comprimento da barra pode ser dado por 22 bal += e os seno e cosseno em 
relação a horizontal seriam 
l
b=θsen e 
l
a=θcos respectivamente. 
 
 
38 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
l
a 
b 
 
 
 
 
 
 
 
Como as forças horizontais e verticais devem ser decompostas nas direções paralela e 
perpendicular a barra, a semelhança de triangulos deve ser feita de forma que as forças sejam 
as hipotenusas dos triângulos semelhantes, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l
bFV
l
aFV
l
bFH
l
aFH
b 
a 
 
 
Pela semelhança de triângulos fica fácil perceber que no diagrama de esforço normal devemos 
usar as forçashorizontais multiplicadas pelo
l
a=θcos e as forças verticais multiplicadas pelo 
l
b=θsen : 
 
 
 
l
bqa
l
aP
al
Pb
22
2
++
l
aP
al
Pb +
2
2
al
Pb
l
bqa
l
b
a
Pbqa
2222
2
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
N
l
b
a
Pbqa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
22 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 39 
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No caso do esforço cortante devemos usar as forças verticais multiplicadas pelo
l
a=θcos e as 
forças horizontais multiplicadas pelo 
l
b=θsen , logo: 
 
 
l
a
a
Pbqa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
22l
Pb
l
bP
l
Pb
22
=+−
Q
l
a
a
Pbqa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
22 l
Pb
l
aqa
l
a
a
Pbqa
2222
−=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
 
Para traçar o diagrama de momentos fletores não é preciso decompor as forças, 
bastando multiplicar as forças horizontais ou verticais pelas distâncias perpendiculares 
às forças em relação à seção desejada. 
 
 
 
4842222
2 Pbqaaqaa
a
Pbqa −=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −8
2
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ aq
8
2
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ aq
M
Deve-se ressaltar que o momento no meio do vão também pode ser calculado pela 
superposição dos efeitos de uma carga distribuida uniforme e uma carga concentrada no meio 
do vão. 
 
 
Quadro 9 – Superposição de efeitos 
Sabendo+ 
Em geral, uma viga costuma estar submetida a mais de um dentre os exemplos de 
carregamentos apresentados. Neste caso, é sempre válido o princípio da superposição de 
efeitos, ou seja, o diagrama de qualquer esforço na viga será igual à soma dos diagramas 
obtidos para cada uma das cargas aplicadas sobre a viga, isoladamente. 
 
 
 
= + 
 
 
40 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
3.6 – Vigas Gerber 3.6 – Vigas Gerber 
 
Seja a estrutura apresentada na figura abaixo: Seja a estrutura apresentada na figura abaixo: 
 
 
A 
B C 
 D 
 
 
 
Se o trecho CD for carregado, sua estabilidade estará condicionada à capacidade do trecho AC 
de, através do ponto C, absorver as forças transmitidas e oferecer as reações necessárias ao 
equilíbrio do trecho CD. Se, por outro lado, for AC o trecho carregado, como esse trecho tem 
estabilidade própria o carregamento encontrará nele mesmo suas reações equilibrantes e 
nenhum efeito será transmitido ao trecho CD. Tudo se passa, portanto, como se o trecho CD 
se apoiasse sobre o trecho AC da estrutura. 
Se o trecho CD for carregado, sua estabilidade estará condicionada à capacidade do trecho AC 
de, através do ponto C, absorver as forças transmitidas e oferecer as reações necessárias ao 
equilíbrio do trecho CD. Se, por outro lado, for AC o trecho carregado, como esse trecho tem 
estabilidade própria o carregamento encontrará nele mesmo suas reações equilibrantes e 
nenhum efeito será transmitido ao trecho CD. Tudo se passa, portanto, como se o trecho CD 
se apoiasse sobre o trecho AC da estrutura. 
 
No exemplo, o ponto C é um ponto de transmissão de forças e não de momento fletor, já que 
não impede a rotação relativa entre os trechos que liga. Ele pode ser representado por uma 
rótula no esquema estático da estrutura, que será o mostrado na figura abaixo: 
No exemplo, o ponto C é um ponto de transmissão de forças e não de momento fletor, já que 
não impede a rotação relativa entre os trechos que liga. Ele pode ser representado por uma 
rótula no esquema estático da estrutura, que será o mostrado na figura abaixo: 
 
 
 29/6/2007 41 
 
A 
P1 P2 
B 
P5 P6 
C 
D 
P3 P4 
 
 
 
 
 
 
D 
P5 P6 
 
 C 
HC 
 
VC VD
 
A 
P1 P2 
B HC
P3 P4 
VC 
 
 C 
 
 
Do esquema deduz-se que o trecho AC será resolvido com as cargas que lhe são diretamente 
aplicadas, acrescidas das reações Vc e Hc transmitidas invertidas pela rótula C, recaindo-se, 
assim, na resolução de uma viga biapoiada (CD) e de uma viga biapoiada com balanço (AC). 
Do esquema deduz-se que o trecho AC será resolvido com as cargas que lhe são diretamente 
aplicadas, acrescidas das reações Vc e Hc transmitidas invertidas pela rótula C, recaindo-se, 
assim, na resolução de uma viga biapoiada (CD) e de uma viga biapoiada com balanço (AC). 
 
Chama-se viga Gerber a esse tipo de associação de vigas com estabilidade própria sobre as 
quais se apoiam outras vigas, constituindo, assim, um conjunto estável. 
Chama-se viga Gerber a esse tipo de associação de vigas com estabilidade própria sobre as 
quais se apoiam outras vigas, constituindo, assim, um conjunto estável. 
 
Ultima atualização em
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Quadro 10 – Rótulas 
Sabendo+ 
No item 1.2.1, falamos sobre os diversos tipos de apoios existentes. Os apoios representam 
vínculos externos entre a estrutura e o meio onde estão inseridas, capazes de produzir reações 
que impeçam os movimentos da estrutura. Após apresentarmos o conceito de esforços internos 
já é possível conceituar vínculo interno. Vimos que uma seção transversal é capaz de 
transmitir tensões de um lado para o outro da estrutura que ela secciona e que as resultantes 
dessas tensões são os chamados esforços seccionais. Assim, as seções transversais podem ser 
interpretadas como vínculos entre as duas partes da estrutura que elas separam. Através de tais 
vínculos internos à estrutura, desenvolvem-se reações de um lado sobre o outro da estrutura 
que, além de garantirem o equilíbrio de cada uma das partes, impedem os movimentos 
relativos da estrutura na seção considerada. 
 
Um tipo de vínculo interno que merece ser destacado é a rótula. A rótula é um vínculo 
interno que restringe os deslocamentos relativos (longitudinal e transversal), mas permite a 
rotação relativa entre as duas ou mais barras que ela liga. 
 
Em estruturas de máquinas e mesmo em algumas estruturas metálicas, são exemplos de 
rótulas as dobradiças e alguns tipos de ligações aparafusadas. Em edificações de concreto, o 
exemplo mais comum é o dente Gerber. Os exemplos citados são apresentados abaixo: 
 
 
 
 
Pode-se dizer, assim, que através da seção transversal que contém uma rótula transmitem-se 
esforços normais e cortantes, mas não se transmitem momentos fletores, ou seja, o momento 
fletor na seção da rótula é sempre nulo. 
 
Como conhecemos, a priori, o valor do momento fletor na seção da rótula, que é igual a zero, 
concluímos que cada rótula existente em uma estrutura pode fornecer uma equação adicional 
para determinar as reações de apoio em uma estrutura. Para melhor compreensão, apresenta-se 
abaixo, dois exemplos de estruturas isostáricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VB
R
A A B 
VBVA
VA
Incógnitas: 
VA, VB, HB 
 
Equações: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
M
V
H
 
HAHB B 
Incógnitas: 
VA, VB, HA HB 
 
Equações: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
0
RM
M
V
H
 
HB
ligação aparafusada 
flexível 
dente dobradiça 
barra B barra A 
barra B barra A 
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