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Diagramas Vigas Isostáticas

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Ma/l 
b 
S 
M 
-M/l 
É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 1 e 5. 
 
3.3.5 - Caso geral de carregamento: 
 
É comum na prática o caso de viga submetida a carga continuamente distribuída que não 
abrange todo o seu vão, como mostrado na figura abaixo: 
 
 A
B C
D
VA
MB MC
8
2qa
M 
Q 
+VA
+ 
_ 
B C
q
MB MC
MB
MC
a
8
2qa
VA
q 
 
 
VD 
VD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-VD 
 
 
 
34 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
Um dos métodos de traçado geral de diagramas, que recai num problema conhecido, é romper 
a viga nas seções B e C, desde que se aplique nesses pontos os esforços ali atuantes, de forma 
a manter o equilíbrio de cada trecho obtido. Feito isto, o trecho 
Um dos métodos de traçado geral de diagramas, que recai num problema conhecido, é romper 
a viga nas seções B e C, desde que se aplique nesses pontos os esforços ali atuantes, de forma 
a manter o equilíbrio de cada trecho obtido. Feito isto, o trecho BC , por exemplo, poderá ser 
tratado como uma viga biapoiada independente submetida ao carregamento externo que lhe 
está diretamente aplicado e às cargas e momentos concentrados que representam a ação dos 
respectivos esforços seccionais em suas extremidades. Os diagramas de momentos e de 
cortantes podem então ser traçados, separadamente, para cada um dos trechos considerados. 
Outros métodos de traçado podem ser vistos no quadro 8. 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 5 e 6. 
 
 
3.4– Diagramas para vigas engastadas ou biapoiadas com balanços 
 
Em vigas engastadas ou biapoiadas com balanços, todos os conceitos e artifícios apresentados 
até o momento são aplicáveis no cálculo e traçado de diagramas dos esforços seccionais da 
peça. O quadro 8 apresenta um resumo passo a passo do que levar em consideração. 
 
 P 
q 
A B 
Q 
P _ 
QB
l 
a b VC
8
2qa 8
2qb 
MBM 
C 
MC 
 
Condições de equilíbrio: 
 
 
PbqlMM
PlqVV
CC
C
+=⇒=
+×=⇒=
∑
∑
2
0
0
2 
 
Esforços na seção B: 
 
qaQ
qaM
B
B
−=
=
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VC 
 
 
 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 5, 6 
e 7. 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 35 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
 
Quadro 8 – Traçado fácil de diagramas 
Sabendo+ 
 Sabendo-se que a derivada do momento é igual ao c Pode-se observar que o diagrama de 
momentos da viga completa AD é obtido assinalando-se nos pontos A, B, C e D, 
respectivamente, os momentos fletores calculados para essas seções e “pendurando-se” na 
linha tracejada que une tais valores em cada trecho da viga, o diagrama de momentos 
característico de uma viga biapoiada submetida ao carregamento que lhe é diretamente 
aplicado. Aqui são apresentadas algumas regras práticas para simplificar o traçado de 
diagramas: 
 
Esforço Normal: - Marcar os pontos onde existe carregamento na direção da barra; 
 - Calcular o esforço normal nos trechos entre estes pontos e traçar 
 (compressão para baixo e tração para cima). 
 
Esforço Cortante: Seguindo da esquerda para a direita, plotar, a partir do eixo da 
estrutura, as componentes de forças perpendiculares a barra, a medida 
em que forem surgindo: da seguinte forma (observar diagrama de 
cortantes de exemplo do item 3.3.5).: 
 - Nos trechos sem carregamento, seguir paralelamente ao eixo até o 
próximo carregamento concentrado ou distribuido.. 
 - Nas seções com carga concentrada, desenhar o vetor da força a partir 
do úlitimo ponto marcado. 
 - Nos trechos com carregamento uniforme, traçar uma reta inclinada 
variando o total do carregamento no comprimento carregado. 
 - Nos trechos com carregamento distribuido triangular ou de fprma 
livre, traçar uma reta inclinada tracejada variando o total do 
carregamento no comprimento carregado. Depois desenhar a função real 
(integral do carregamento) . 
. - No final da barra, ao aplicar as últimas cargas a direita; o resultado 
final deve chegar ao zero (corpo em equilíbrio). 
 
Momento Fletor: Marcar os seguintes pontos fundamentais do diagrama de momentos: 
 - Apoios; 
 - Extremidades das barras; 
 - Pontos de apicação de cargas concentradas; 
 - Extremidades de cargas distribuidas; 
 - Seções imediatamente antes e depois dos pontos de aplicação de 
momentos; 
 Calcular o valor do momento fletor em cada uma destas seções, 
marcando no diagrama sempre do lado tracionado; 
 Ligar os pontos com linhas tracejadas nos trechos com carregamento 
distribuido e linhas cheias nos demais trechos; 
 A partir da linha tracejada, traçar o efeito dos carregamentos 
distribuidos como se estivessem atuando em uma viga bi-apoiadam 
considerando a linha tracejada como o eixo da viga. 
 
 
 
36 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
 P2 P4 q P1 P3 
 
 
C B A D 
 
q 
P2 
P3 
P4 
MB MC
P1 P3+P4 
P1 
 
 
 VB
 VC
 
 
 
 MC
MB 
 
 
 
 M
 
 
 
 
 
VB
P1 _ 
+ 
VC
P2 
+ P4 
P3 
_ 
 
 
Q 
 
 
 
 
 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 6, 7 
e 8. 
 
 
3.5– Vigas inclinadas 
 
Em algumas estruturas (coberturas, rampas, etc.) é comum encontrar barras inclinadas 
submetidas ao peso próprio e a ações externas. Como calcular os esforços atuantes na viga 
inclinada apresentada a seguir, admitindo-se que a carga concentrada horizontal P se encontra 
aplicada exatamente no meio do vão e a carga distribuida q se apresenta ao longo de sua 
projeção horizontal a? 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 37 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
q 
 
 
a 
b 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há duas reações (vertical e horizontal) no segundo apoio e uma reação vertical no primeiro 
apoio. 
 
a
PbqaVqaV
a
PbqaVaqaaVbPMMz
aqVVY
PHX
AB
AAB
n
i
i
BA
n
i
i
B
n
i
i
22
2222
0:0
:0
:0
1
1
1
+=−=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−=→⋅−⋅+⋅===
⋅=+=
==
∑∑
∑
∑
=
=
=
 
 
Verifica-se que na utilização trivial das equações de equilíbrio não foi preciso considerar o 
ângulo de inclinação da viga. Desta forma, não há diferença na resolução de vigas 
horizontais e inclinadas na fase de cálculo das reações de apoio. 
 q 
 
P 
a
Pbqa
22
+
P 
a
Pbqa
22
−
 
Para traçar os diagramas de esforços normal e cortante, precisamos de forças 
perpendiculares ou paralelas a barra. Desta forma precisamos decompor todas as forças 
atuantes nestas direções. Como fazer isso? 
 
A decomposição das forças pode ser feita de uma forma bem simplificada por semelhança de 
triângulos considerando-se a barra como a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b. 
Desta forma, o comprimento da barra pode ser dado por 22 bal += e os seno e cosseno em 
relação a horizontal seriam 
l
b=θsen e 
l
a=θcos respectivamente. 
 
 
38 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
l
a 
b 
 
 
 
 
 
 
 
Como as forças horizontais e verticais devem ser decompostas nas direções paralela e 
perpendicular a barra, a semelhança de triangulos deve ser feita de forma que as forças sejam 
as hipotenusas dos triângulos semelhantes, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l
bFV
l
aFV
l
bFH
l
aFH
b 
a 
 
 
Pela semelhança de triângulos fica fácil perceber que no diagrama de esforço normal devemos 
usar as forças