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Apostila Calculo II

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Cálculo 2A
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal Fluminense
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
ii
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Conteúdo
Prefácio ix
1 Integral definida 1
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 O Teorema Fundamental do Cálculo 9
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo 17
1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Integração por substituição 27
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Integração por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 O Método de Substituição para a Integral Definida . . . . . . 32
4 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Integração por partes 39
iii
iv CONTEÚDO
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Integrais de Funções Trigonométricas 47
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Substituição trigonométrica 53
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Integração por frações parciais 61
1 Integração de funções racionais próprias . . . . . . . . . . . . 61
2 Integração de funções racionais impróprias . . . . . . . . . . . 67
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9 Substituições diversas 71
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10 Volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos 79
1 Rotação de região entre o gráfico de uma função e o eixo de
revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 Rotação de região entre dois gráficos . . . . . . 86
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11 Volumes de sólidos de revolução por cascas cilíndricas 91
1 Rotação de região entre dois gráfico em torno de um eixo ver-
tical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
CONTEÚDO v
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12 Comprimento de arco 99
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13 Integral imprópria em intervalos não limitados 105
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
14 Integral imprópria de funções não limitadas 111
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15 Critério de comparação para integrais impróprias 119
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16 Introdução às equações diferenciais ordinárias 127
1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
17 EDO de primeira ordem 135
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
vi CONTEÚDO
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
18 Teorema de Existência e Unicidade 143
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
19 Equações Diferenciais Homogêneas 151
1 Equações Homogêneas na forma normal . . . . . . . . . . . . . 151
2 Equações Homogêneas na forma diferencial . . . . . . . . . . . 155
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
20 Equações lineares de primeira ordem 159
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
21 Equações exatas e equações redutíveis às exatas 167
1 Equações exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3 Equações redutíveis às exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
22 Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairaut 179
1 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2 Equação de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3 Equação de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
23 Aplicações das EDOs de 1ª ordem 191
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
CONTEÚDO vii
1 Trajetórias ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2 Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
24 EDOs homogêneas lineares de ordem n ≥ 2 203
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
25 Método da redução de ordem 213
1 Descrição do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
26 EDO lineares homogêneas de grau n com coeficientes con-
stantes 219
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
2 Grau n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3 Grau n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
27 Método dos coeficientes a determinar 229
1 Descrição do método dos coeficientes a determinar . . . . . . . 229
2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
3 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
28 Método da variação dos parâmetros 237
1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2 Grau n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
viii CONTEÚDO
3 Grau n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5 Exercícios de revisão . . . . . . . .