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Apostila Calculo II

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dt
é a aceleração. Vamos determinar
v(t) e a velocidade limite (quando t→∞) do corpo em queda.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
200 2. MODELAGEM MATEMÁTICA
Solução
A EDO é de variáveis separáveis e pode ser reescrita como
m
dv
dt
= (
√
mg −
√
kv)(
√
mg +
√
kv). (16)
Separando as variáveis, obtemos∫
mdv
(
√
mg −√kv)(√mg +√kv) =
∫
dt,
donde, integrando o lado esquerdo pelo método de frações parciais, obtemos
√
mg
k
ln
∣∣∣∣∣
√
mg + v
√
k
√
mg − v√k
∣∣∣∣∣ = 2t+ C.
Daí, aplicando a exponencial dos dois lados, segue que
√
mg + v
√
k
√
mg − v√k = Ce
2t
√
k
mg .
Explicitando v em função de t, temos
v(t) =
√
mg
k
Ce2t√ kmg − 1
Ce
2t
√
k
mg + 1
 .
Utilizando a condição inicial v(0) = v0, obtemos
v(t) =
√
mg
k
(
√
mg+
√
kv0√
mg−√kv0 )e
2t
√
k
mg − 1
(
√
mg+
√
kv0√
mg−√kv0 )e
2t
√
k
mg + 1
 . (17)
Quando t → ∞ em (17), obtemos, pela regra de L�Hôpital, v(t) →
√
mg
k
.
�
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 23. APLICAÇÕES DAS EDOS DE 1ª ORDEM 201
3 Exercícios de revisão
1. A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional
ao número de habitantes. Se a população em 1950 era de 50.000 e em
1980 de 75.000, qual a população esperada em 2012?
2. Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quan-
tidade de matéria no instante t. Supondo que a quantidade inicial
de matéria seja Q0 e que 10 anos após já tenha se desintegrado 1/3
da quantidade inicial, calcule o tempo necessário para que metade da
quantidade inicial desintegre.
3. A meia-vida do Cobalto radioativo é de 5,27 anos. Suponha que um
acidente nuclear tenha levado o nível de radiação por cobalto numa
certa região a 100 vezes o nível aceito para a habitação humana. Quanto
tempo levará até que a região seja novamente habitável? (Ignore a
presença provável de outros elementos radioativos.)
4. O Carbono extraído de um crânio antigo continha apenas um sexto do
Carbono 14 radioativo em relação ao Carbono extraído de uma amostra
de um osso atual. Qual é a idade do crânio? (Considere a meia-vida
do carbono igual a 5.700 anos.)
5. Suponha que um corpo, descoberto à meia-noite, tenha temperatura de
29,4 °C e que a temperatura ambiente seja constante e igual a 21°C.
O corpo é removido rapidamente (suponha instantaneamente) para o
necrotério, onde a temperatura ambiente é 4,4°C. Depois de uma hora a
temperatura do corpo é de 15,6°C. Estime a hora da morte do indivíduo.
6. Uma solução de 60 kg de sal em água enche um tanque de 400 litros.
Faz-se entrar água nesse tanque, na razão de 8 litros por minuto, e
a mistura, mantida homogênea por agitação, sai com a mesma vazão.
Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora?
7. Determine a trajetória ortogonal a cada família
a) y = cxex b) y = c sen x.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
202 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
8. Para todo c > 0, o gráfico de y = f(x) intercepta ortogonalmente os
gráficos de y = c lnx. Determine f , sabendo que f(1) = 2.
9. Encontre as trajetórias ortogonais de x+ y = cey que passam por (0,5).
10. Uma família de curvas é dita auto-ortogonal quando um membro das tra-
jetórias ortogonais é também um membro da família original. Mostre
que a família de parábolas y2 = c(2x+ c) é auto-ortogonal.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 24
EDOs homogêneas lineares de
ordem n ≥ 2
Nesta aula, estudamos equações diferenciais ordinárias homogêneas lin-
eares de ordem n ≥ 2. Introduzimos os conceitos de soluções linearmente
independentes e enunciamos um critério para determinar a independência.
1 Conceitos básicos
Uma equação diferencial ordinária linear (EDL) de ordem n ≥ 2 é uma
expressão da forma
an(x)y
(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x), (1)
onde y(k) denota a k-ésima derivada da função y, com respeito a x, e a0, · · · , an, g
são funções arbitrárias. Quando no lado direito de (1) tivermos a função
constante zero, no lugar da função g, diremos que a equação é homogênea.
É simples de verificar que, da mesma maneira que acontece com as
equações de ordem 1, para encontrar a solução geral de uma equação lin-
ear (independentemente da ordem), basta achar a solução geral do problema
homogêneo associado yh, e uma solução particular yp do problema não ho-
mogêneo. Uma vez feito isto, a solução geral do problema original é dada
203
204 1. CONCEITOS BÁSICOS
por
y = yh + yp. (2)
Nesta, e nas próximas duas aulas, estudaremos EDL homogêneas, en-
quanto que as Aulas 27 e 28 serão dedicadas ao estudo de métodos para achar
soluções particulares de alguns tipos de EDL.
Antes de começar a estudar métodos para resolver equações homogêneas,
enunciaremos um resultado análogo ao estudado na Aula 18, que dá condições
suficientes para garantir a existência e a unicidade de soluções para o pro-
blema de valor inicial associado à equação (1).
Teorema 1
Sejam a0, · · · , an, g funções contínuas em um intervalo I, tais que a função
an não se anula nesse intervalo, então o problema de valor inicial (PVI)an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x),y(x0) = y0, y′(x0) = y1, · · · , y(n−1)(x0) = yn−1,
onde x0 ∈ I, tem solução única definida em I.
Nesta aula, restringeremo-nos ao estudo da equação diferencial or-
dinária linear homogênea de ordem n ≥ 2, isto é,
an(x)y
(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0. (3)
A seguir, enunciamos o chamado princípio de superposição.
Teorema 2
Sejam y1, y2, · · · , yk soluções da equação homogênea (3) no intervalo I. En-
tão, qualquer combinação linear dessas soluções
c1y1 + c2y2 + · · ·+ ckyk,
também é solução de (3) no intervalo I.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 24. EDOS HOMOGÊNEAS LINEARES DE ORDEM N ≥ 2 205
Observação 1
Note que para o Teorema 2 valer, é indispensável que a equação seja ho-
mogênea. Por exemplo, embora f1(x) = 1 + sen x e f2(x) = 1 + cosx sejam
soluções da equação y′′ + y = 1, as funções f1 + f2 e 2f1 não são soluções
(verifique!).
Outra maneira de enunciar o Teorema 2 é dizer que o conjunto das
soluções da equação (3) forma um espaço vetorial. Logo, é razoável procurar
por uma base desse espaço vetorial, assim, todas as soluções da equação (3)
serão uma combinação linear dos elementos de dita base (isto é, teríamos
uma solução geral para (3)).
Lembre-se de que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de ve-
tores linearmente independentes que gera o espaço todo. Começamos, então,
recordando a definição de independência linear no presente contexto.
Definição 1
O conjunto de funções y1, y2, · · · , yk é dito linearmente independente em I se
c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ ckyk(x) = 0,
para todo x ∈ I, então c1 = c2 = · · · = 0. Caso contrário, as funções são
ditas linearmente dependentes.
Lembremos que no caso do espaço vetorial Rn temos um critério para
determinar quando um conjunto de n vetores é linearmente independente:
precisamos verificar se o determinante da matriz formada pelos vetores é
diferente de zero. A seguir, enunciamos um critério análogo no presente
contexto.
Proposição 1
Um conjunto y1, y2, · · · , yk de funções k − 1 vezes diferenciáveis no intervalo
I é linearmente independente em I, se W [y1, · · · , yk](x0) 6= 0 para algum
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
206 1. CONCEITOS BÁSICOS
x0 ∈ I, onde
W [y1, · · · , yk](x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1(x) y2(x) · · · yk(x)
y
′
1(x) y
′
2(x) · · · y′k(x)
.
.
.
.
.
. · · · ...
y
(k−1)
1 (x) y
(k−1)
2 (x) · · · y(k−1)k (x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
é o chamado Wronskiano das funções y1, y2, · · · , yk no ponto x.
Observação 2
O recíproco da proposição