Gabarito-Prova-Final-Calc4-2014.1 - Selene

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Instituto de Matemática - IM / UFRJ
Prova Final Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC 248
11/06/2014
Questão 1 : (2:5 pontos)
Seja f (x) = ln(x+ 1): Determine:
a) (1:2 ponto) A série de Taylor desta função em torno de a = 0:
Solução:
Método 1: Utilizar a de…nição de série de Taylor.
Temos que:
f(x) =
1X
n=0
f (n)(0)
n!
xn: (1)
B Seja n = 0: Então, f(0) = ln 1 = 0;
B Seja n = 1: Então, f 0(x) = 1
x+ 1
=) f 0(0) = 1;
B Seja n = 2: Então, f 00(x) = � 1
(x+ 1)2
=) f 00(0) = �1;
B Seja n = 3: Então, f (3)x) = 2
(x+ 1)3
=) f (3)(0) = 2 = 2!;
B Seja n = 4: Então, f (4)x) = � 2 � 3
(x+ 1)4
=) f (4)(0) = �2 � 3 = 3!
B Seja n = 5: Então, f (5)x) = 2 � 3 � 4
(x+ 1)5
=) f (5)(0) = 2 � 3 � 4 = 4!
Das igualdades acima conclui-se que:
f (n)(0) = (�1)n�1(n� 1)!;8n = 1; 2; 3; ::: (2)
Substituindo (2) em (1) obtemos que:
f(x) =
1X
n=1
(�1)n�1(n� 1)!
n!
xn =) f(x) =
1X
n=1
(�1)n�1
n
xn: (3)
b) (1:3 ponto) O raio e o intervalo de convergência da série obtida no item
a):
Solução:
B Cálculo de R:
Temos que:
cn =
(�1)n�1
n
=) cn+1 = (�1)
n
n+ 1
:
Das igualdades acima obtemos que:
1
R = lim
n!1
���� cncn+1
���� =) R = limn!1n+ 1n =) R = 1: (4)
B Determinar o intervalo de convergência.
De (4) obtemos que em princípio o intervalo de convergência é dada por
(�1; 1): A seguir testaremos os extremos do intervalo.
� Seja x = 1: Então:
f(1) =
1X
n=1
(�1)n�1
n
: (5)
(i) A série dada por (5) é alternada;
(ii) A sequencia un =
1
n
é decrescente;
(iii) lim
n!1un = limn!1
1
n
= 0:
De (i)+(ii)+(iii) segue por Leibniz que a série
1X
n=1
(�1)n�1
n
é convergente.
� Seja x = �1: Então:
f(�1) =
1X
n=1
(�1)n�1(�1)n
n
= �
1X
n=1
1
n
: (6)
Como p = 1; a série dada por (6) é divergente.
Logo, o intervalo de convergência da série é dada por (�1; 1]:
Método 2: Utilizar o resultado da série geométrica.
Temos que:
1
1 + t
=
1X
n=0
(�1)ntn; jtj < 1 = R: (7)
De (7) obtemos que:Z x
0
1
1 + t
=
1X
n=0
(�1)n
Z x
0
tndt =)
[ln(1 + t)]
x
0 =
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
�
tn+1
�x
0
=)
ln(1 + x) =
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
xn+1; jxj < 1 = R: (8)
2
Questão 2 : (2:5 pontos)
Considere a seguinte equação diferencial:
x(x� 1)y00(x) + 3y0(x)� 2y(x) = 0; x 2 (0;1):
a) (0:6 ponto) Prove que x = 0 é um ponto singular regular.
Solução:
Temos que: ��������
p(x) =
Q(x)
P (x)
=
3
x(x� 1) ;
q(x) =
R(x)
P (x)
= � 2
x(x� 1) ;
não estão de…nidas em x = 0: Logo, 0 é um ponto singular.
b) (0:6 ponto) Prove que as raízes da equação inidicial são r1= 4 e r2 = 0:
Sugestão: F (r) = r(r � 1) + p0r + q0 = 0:
Solução:
Temos que:
��������
xp(x) =
3x
x(x� 1) =) xp(x) =
3
x� 1 =) limx!0xp(x) = �3 = p0;
x2q(x) = � 2x
2
x(x� 1) =) x
2q(x) = � 2x
x� 1 =) limx!0x
2q(x) = 0 = q0.
(9)
Como ambos os limites dados em (9)1 e (9)2 são …nitos então x = 0 é um
ponto singular regular.
c) (0:6 ponto) Determine a relação de recorrência correspondente a r1= 4:
Solução:
Temos que:
y(x) =
1X
n=0
cnx
n+r =) (10)
y0(x) =
1X
n=0
(n+ r)cnx
n+r�1 =) (11)
y00(x) =
1X
n=0
(n+ r)(n+ r � 1)cnxn+r�2: (12)
Substituindo (10); (11) e (12) na equação diferencial obtemos:
1X
n=0
(n+r)(n+r�1)cnxn+r�
1X
n=0
(n+r)(n+r�1)cnxn+r�1+
1X
n=0
3(n+r)cnx
n+r�1�
1X
n=0
2cnx
n+r = 0 =)
3
1X
n=0
[(n+ r)(n+ r � 1)� 2] cnxn+r+
1X
n=0
[3(n+ r)� (n+ r)(n+ r � 1)] cnxn+r�1 = 0:
(13)
B Análise da série
1X
n=0
[3(n+ r)� (n+ r)(n+ r � 1)] cnxn+r�1:
Seja n� 1 = m: Então, se n = 0 =) m = �1: Logo:
1X
n=0
[3(n+ r)� (n+ r)(n+ r � 1)] cnxn+r�1 =
1X
n=�1
[3(n+ 1 + r)� (n+ 1 + r)(n+ r)] cn+1xn+r:
(14)
Substituindo (14) em (13) obtemos que:
1X
n=0
[(n+ r)(n+ r � 1)� 2] cnxn+r+
1X
n=�1
[3(n+ 1 + r)� (n+ 1 + r)(n+ r)] cn+1xn+r =)
[3r � r(r � 1)] c0xr�1+
1X
n=0
f[(n+ r)(n+ r � 1)� 2] cn + [3(n+ 1 + r)� (n+ 1 + r)(n+ r)] cn+1gxn+r = 0:
Logo:
[3r � r(r � 1)] c0 = 0 =) 3r � r(r � 1 =)
���� r1 = 4;r2 = 0: pois, c0 = 1; (15)
cn+1 = � [(n+ r)(n+ r � 1)� 2]
[n+ 1 + r] [3� (n+ r)] cn: (16)
Substituindo r1 = 4 na equação (16) obtemos que:
cn+1 = � (n+ 4)(n+ 3)� 2
(n+ 5)(�n� 1) cn =)
cn+1 =
n2 + 7n+ 10
(n+ 5)(n+ 1)
cn =)
cn+1 =
(n+ 5)(n+ 2)
(n+ 5)(n+ 1)
cn =)
cn+1 =
(n+ 2)
(n+ 1)
cn;8 n = 0; 1; 2; ::: (17)
4
d) (0:7 ponto) Determine a solução linearmente independente correspondente
a r1= 4:
Solução:
B Seja n = 0: Então, c1 =
2
1
c0 =) c1 = 2 , pois, c0 = 1;
B Seja n = 1: Então, c2 =
3
2
c1 =) c2 = 3 , pois, c1 = 2;
B Seja n = 2: Então, c3 =
4
3
c2 =) c3 = 4 , pois, c2 = 3;
B Seja n = 3: Então, c4 =
5
4
c3 =) c4 = 5 , pois, c3 = 4:
Do que foi exposto podemos a…rmar que:
cn = (n+ 1);8 n = 0; 1; 2; ::: (18)
Da equação (18) conclui-se que:
y(x) =
1X
n=0
(n+ 1)xn+4: (19)
Questão 3 : (2:5 pontos)
Considere o seguinte problema de Sturm-Liouville:
(i)
(ii)
(iii)
�������
X 00(x) + �X(x) = 0;
X 0(0) = 0;
X 0(�) = 0:
a) (0:7 ponto) Mostre que � < 0 é inaceitável, justi…cando sua resposta.
Solução:
Da equação (i) obtemos que:
r2 + � = 0 =) r = +�p��: (20)
Considerando � = ��2 na equação (20) obtemos pela tabela que:
X (x) = c1 e
�x + c2 e
��x: (21)
Derivando a equação (21) obtemos que:
X 0 (x) = �c1 e�x � �c2 e��x: (22)
Substituindo x = 0 em (22) obtemos que:
X 0(0) = �c1 � �c2 (ii)= 0 =) c2 = c1:
5
Substituindo o valor de c2 em (22) resulta que:
X 0 (x) = �c1 e�x � �c1 e��x: (23)
Substituindo x = � em (23) obtemos que:
X 0 (�) = �c1 e�� � �c1e��� (iii)= 0 =)
c1 e
�� = c1 e
��� =) c1 = 0; pois, � 6= 0:
Substituindo o valor de c1 em (22) e sabendo que c2 = c1: resulta que:
X (x) = 0 =) � < 0 é inaceitável, (24)
pois, contraria a de…nição de autovetor.
b) (0:8 ponto) Mostre que �0 = 0 é um autovalor justi…cando sua resposta e
determine o autovetor denotado por X0(x) correspondente.
Solução:
Substituindo � = 0 na equação (20) e da tabela obtemos que:
X(x) = c3 + c4 x: (25)
Derivando a equação (25) obtemos que:
X 0(x) = c4: (26)
Substituindo x = 0 em (26) obtemos que:
X 0(0) = c4
(ii)
= 0:
Substituindo o valor de c3 em (25) resulta que:
X(x) = c3 = c3 � 1: (27)
Portanto, �0 = 0 é um autovalor com correspondente autovetor X0(x) = 1:
c) (1:0 ponto)Mostre que � > 0 é aceitável e determine os autovetores corres-
pondentes.
Solução:
Considerando � = �2 na equação (20) obtemos pela tabela que:
X (x) = c5 cos�x+ c6 sin�x: (28)
Derivando a equação (28) obtemos que:
X 0(x) = �c5� sin�x+ c6� cos�x: (29)
Substituindo x = 0 em (29) obtemos que:
6
X 0(0) = c6�
(ii)
= 0 =) c6 = 0; pois, � 6= 0:
Substituindo o valor de c5 em (29) resulta que:
X 0(x) = �c5� sin�x: (30)
Substituindo x = � em (30) obtemos que:
X 0(�) = �c5� sin�� (iii)= 0 =) sin�� = 0 =) � = n ; n = 1; 2; 3; ::: (31)
pos, como desejamos obter autovetores c2 6= 0:
Como � = �2 então de (31) os autovalores �n e os aotovetores Xn(x) são
dados por: ����� �n = n2; n = 1; 2; 3; :::Xn(x) = cosnx; n = 1; 2; 3; ::: (32)
Questão 4 : (2:5 pontos)
Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira:
����������������
@2u
@t2
(x; t) = 4
@2u
@x2
(x; t); 0 < x < �; t > 0;
@u
@x
(0; t) =
@u
@x
(�; t) = 0; t > 0;
u(x; 0) = x = f(x); 0 < x < �;
@u
@t
(x; 0) = x� 1 = w(x); 0 < x < �:
(33)
a) (0:4 ponto) Considerando que u(x; t) = X(x)T (t) prove que:����� X 00(x) + �X(x) = 0;T 00(t) + 4�T (t) = 0:
Solução:
Conisere que u(x; t) = X(x)T (t): Então:�������
@2u
@t2
(x; t) = X(x)T 000(t);
@2u
@x2
(x; t) = X 00(x)T (t):
(34)
Substituindo (34)1 e (34)2 em (33)1 obtemos que:
X(x)T 00(t) = 4X 00(x)T (t)
7
X(x)T 00(t)
9X (x)T(t)
=
9X 00(x)T (t)
9X (x)T (t)
=)
T 00(t)
4T (t)
=
X 00(x)
X (x)
= �� =)
����� X 00(x) + �X (x) = 0;T 00(t) + 4�T (t) = 0: (35)
b) (0:4 ponto) Analise as condições de fronteira e conclua que X 0(0) = 0 e
X 0(�) = 0; justi…cando sua resposta.
Solução:
Temos que:
u(x; t) = X(x)T (t) =) @u
@x
(x; t) = X 0(x)T (t): (36)
Substituindo x = 0 em (36) resulta que:
@u
@x
(0; t) = X 0(0)T (t)
(33)2
= 0 =)
X 0 (0) = 0; e ou T (t) = 0:
Mas, se T (t) = 0 =) u (x; t) = 0; 8 t > 0: Em particular, u (x; 0) = 0; o que
é um absurdo, pois, por (33)3 u (x; 0) = x: Logo:
X 0(0) = 0: (37)
Substituindo x = � em (36) resulta que:
@u
@x
(�; t) = X 0(�)T (t)
(33)2
= 0 =)
X 0(�) = 0; e ou T (t) = 0:
De forma análoga conclui-se que:
X 0 (�) = 0: (38)
(c) (0:6 ponto) Determine a solução de T 00(t) + 4�T (t) = 0, para:
�0 = 0; �n = n
2; n = 1; 2; 3; :::
Solução:
B Seja �0 = 0: Substituindo este valor em (35)2 obtemos que:
T 00(t) = 0 =) T 0(t) = c7 =) T (t) = c7t+ c8: (39)
8
B Seja �n = n2: Substituindo este valor em (35)2 obtemos que:
T 00(t) + 4n2T (t) = 0 =) T (t) = c9 cos 2nt+ c10 sin 2nt: (40)
d) (0:3 ponto)Considerando que u (x; 0) = x = f(x) prove que devemos es-
tender f de maneira par e períodica de período T = 2�:
Solução:
B Seja �0 = 0: Então:
u0(x; t) = c4 � [c7t+ c8] =) u0(x; t) = a0
2
t+
b0
2
: (41)
B Seja �n = n2: Então:
un(x; t) = c5 cosnx � [c9 cos 2nt+ c10 sin 2nt] =)
un(x; t) = cosnx � [c11 cos 2nt+ c12 sin 2nt] : (42)
De (41) e de (42) obtemos que:
u(x; t) =
a0
2
t+
b0
2
+ cosnx � [c11 cos 2nt+ c12 sin 2nt] : (43)
Substituindo t = 0 na equação (43) obtemos que:
u(x; 0) =
b0
2
+ c11 cosnx
(33)3
= x = f(x);
o que é um absurdo. Portanto, para resolver (33)1; (33)2 e (33)3 resulta que:
u(x; t) =
a0
2
t+
b0
2
+
1X
n=1
cosnx � [an cos 2nt+ bn sin 2nt] : (44)
Substituindo t = 0 na equação (44) obtemos que:
u(x; 0) =
b0
2
+
1X
n=1
an cosnx
(33)3
= x = f(x); (45)
De (45) observamos que devemos estender f de maneira par e períodica de
período T = 2�:
e) (0:3 ponto) Considerando que
@u
@t
(x; 0) = x�1 = w(x) prove que devemos
estender w de maneira par e períodica de período T = 2�:
Solução:
Derivando parcialmente (44) com respeito a t resulta que:
9
@u
@t
(x; t) =
a0
2
+
1X
n=1
cosnx � [�2nan sin 2nt+ 2nbn cos 2nt] : (46)
Substituindo t = 0 na equação (46) obtemos que:
@u
@t
(x; 0) =
a0
2
+
1X
n=1
2nbn cosnx
(33)4
= x� 1 = w(x): (47)
De (47) observamos que devemos estender w de maneira par e períodica de
período T = 2�:
f) (0:5 ponto) Determine a solução u (x; t) do PVIF.
Solução:
B Cálculo de a0:
Temos que:
a0 =
2
�
Z �
0
(x� 1)dx =)
a0 =
1
�
�
(x� 1)2��
0
=) a0 = 1
�
�
(� � 1)2 � 1� : (48)
B Cálculo de b0:
Temos que:
b0 =
2
�
Z �
0
xdx =) b0 = 1
�
�
x2
��
0
=) b0 = �: (49)
B Cálculo de an:
Temos que:
an =
2
�
Z �
0
x cosnxdx =)
an =
2
�
�
1
n
[x sinnx]
�
0 +
1
n2
[cosnx]
�
0
�
=)
an =
2
n2�
[(�1)n � 1] : (50)
B Cálculo de bn:
Temos que:
2nbn =
2
�
Z �
0
(x� 1) cosnxdx =)
10
bn =
2
n�
�
1
n
[(x� 1) sinnx]�0 +
1
n2
[cosnx]
�
0
�
=)
bn =
2
n3�
[(�1)n � 1] : (51)
Substituindo (48); (49); (50) e (51) em (44) obtemos que:
u(x; t) =
1
2�
�
(� � 1)2 � 1� t+�
2
+
1X
n=1
cosnx�
�
2
n2�
[(�1)n � 1] cos 2nt+ 2
n3�
[(�1)n � 1] sin 2nt
�
:
(52)
FORMULÁRIOZ b
a
x cos
n�x
L
dx =
L
n�
h
x sin
n�x
L
ib
a
+
L2
n2�2
h
cos
n�x
L
ib
aZ b
a
(x� 1) cos n�x
L
dx =
L
n�
h
(x� 1) sin n�x
L
ib
a
+
L2
n2�2
h
cos
n�x
L
ib
a
.
Tabela de EDO Linear de 2a ordem Homogênea
X 00(x) + �X (x) = 0 =) r2 + � = 0 =) r = +�p��:
Raízes Solução
r1; r2 2 R; r1 6= r2 X (x) = c1 er1x + c2 er2x:
r1; r2 2 R; r1 = r2 X (x) = c3 er1x + c4 x er1x:
r1 = �+ �i; r1 = �� �i X (x) = c5 e�x cos�x+ c6 e�x sin�x:
T 00(t) + 
2T (t) = 0 =) T (t) = c7 cos 
t+ c8 sin 
t:
11