Gabarito-Segunda-Chamada-Calc4-2014.1 - Selene

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Instituto de Matemática - IM / UFRJ
Segunda Chamada Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC 248
18/06/2014
Questão 1 : (2:5 pontos)
a) (1:3 pontos) Utilize a transformada de Laplace para resolver a equação
íntegro-diferencial: ������ y
0(t) = 1� sin t�
Z t
0
y(�)d� ;
y(0) = 0:
Solução:
Temos que:
$ fy0(t)g = $ f1g �$ fsin tg �$
�Z t
0
y(�)d�
�
=)
s$ fy(t)g � y(0) = 1
s
� 1
s2 + 1
�$ f1g �$ fy(t)g =)
s$ fy(t)g = 1
s
� 1
s2 + 1
� 1
s
�$ fy(t)g =)
s$ fy(t)g+ 1
s
�$ fy(t)g = 1
s
� 1
s2 + 1
=)
(s2 + 1)
s
$ fy(t)g = 1
s
� 1
s2 + 1
=)
$ fy(t)g = 1
s2 + 1
� s
(s2 + 1)2
=)
y(t) = $�1
�
1
s2 + 1
�
�$�1
�
s
(s2 + 1)2
�
: (1)
B Determinar $�1
�
1
s2 + 1
�
:
Pela tabela temos que:
$�1
�
1
s2 + 1
�
= sin t: (2)
B Determinar $�1
�
s
(s2 + 1)2
�
:
Pela tabela temos que:
1
$�1
�
s
(s2 + 1)2
�
= 12 t sin t: (3)
Substituindo (2) e (3) em (1) obtemos que:
y(t) = sin t� 12 t sin t: (4)
b) 1:2 pontos) Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema
de valor inicial dado abaixo:����� y0(t) + y(t) = �(t� 1);y(0) = 2:
Solução:
Temos que:
$ fy0(t)g+$ fy(t)g = $ f�(t� 1)g =)
s$ fy(t)g � y(0) +$ fy(t)g = e�s =)
(s+ 1)$ fy(t)g = 2 + e�s =)
$ fy(t)g = 2
s+ 1
+
1
s+ 1
� e�s
y(t) = 2$�1
�
1
s+ 1
�
+$�1
�
1
s+ 1
� e�s
�
(5)
B Determinar $�1
�
1
s+ 1
�
:
Pela tabela temos que:
$�1
�
1
s+ 1
�
= e�t: (6)
B Determinar $�1
�
1
s+ 1
� e�s
�
:
Pela tabela temos que:
$�1
�
1
s+ 1
� e�s
�
= u1(t) � e�(t�1): (7)
2
Substituindo (6) e (7) em (5) obtemos que:
y(t) = 2e�t + u1(t) � e�(t�1): (8)
Questão 2 : (2:5 pontos)
Seja f : R! R tal que f(x) = � � x
2
; 0 < x 6 �:
a) (0:7 ponto) De…na a extensão ímpar e periódica de período T = 2� da
função f e esboce seu grá…co no intervalo [�3�; 3�] :
Solução:
Denotando por h(x) a extensão ímpar e periódica de período T = 2� temos
que:
h(x) =
�������
f (x); 0 < x < �
0; x = 0 e x = �
�f(�x); � � < x < 0
; h(x+ 2�) = h(x):
Logo:
h(x) =
�����������
� � x
2
; 0 < x < � ;
0; x = 0 e x = 2;
�� � x
2
; � � < x < 0;
h(x+ 2�) = h(x) (9)
b) (0:8 ponto) Denotando por h(x) a função do item a) determine sua série
de Fourier.
Solução:
Temos que:
bn =
2
�
Z �
0
�
� � x
2
�
sinnxdx =)
bn =
Z �
0
sinnxdx� 1
�
Z �
0
x sinnxdx =)
bn = � 1
n
[cosnx]
�
0 �
1
�
�
� 1
n
[x cosnx]
�
0 +
1
n2
[sinnx]
�
0
�
=)
bn = � (�1)
n
n
+
1
n
+
(�1)n
n
=)
bn =
1
n
: (10)
3
De (10) segue que a série de Fourier de h(x) é dada por:
1X
n=1
sinnx
n
: (11)
c) (1:0 ponto) Utilizando o item b) calcule a soma da série numérica
1X
n=1
sinn
n
:
Justi…que sua resposta.
Solução:
Substituindo x = 1 na série dada por 11 e sabendo que em x = 1 a função h
é contínua obtemos que;
1X
n=1
sinn
n
=
� � 1
2
: (12)
Questão 3 : (2:5 pontos)
Considere o seguinte problema de Sturm-Liouville:�������
X 00(x) + �X(x) = 0;
X(0) = 0;
X 0(�) = 0:
a) (0:7 ponto) Mostre que � < 0 é inaceitável, justi…cando sua resposta.
Solução:
mDa equação (i) obtemos que:
r2 + � = 0 =) r = +�p��: (13)
Considerando � = ��2 na equação (13) obtemos pela tabela que:
X (x) = c1 e
�x + c2 e
��x: (14)
Substituindo x = 0 em (14) obtemos que:
X(0) = c1 + c2
(ii)
= 0 =) c2 = �c1:
Substituindo o valor de c2 em (14) resulta que:
X (x) = c1 e
�x � c1 e��x: (15)
Derivando a equação (15) obtemos que:
X 0(x) = �c1 e�x + �c1 e��x: (16)
Substituindo x = � em (16) obtemos que:
X (�) = �c1 e
�� + �c1 e
��� (iii)= 0 =)
4
�c1 e
�� = ��c1 e��� =) c1 = 0; pois, � 6= 0:
Substituindo o valor de c1 em (15) resulta que:
X (x) = 0 =) � < 0 é inaceitável, (17)
pois, contraria a de…nição de autovetor.
b) (0:8 ponto) Mostre que � = 0 é inaceitável, justi…cando sua resposta .
Solução:
Substituindo � = 0 na equação (13) e da tabela obtemos que:
X(x) = c3 + c4 x: (18)
Substituindo x = 0 em (18) obtemos que:
X(0) = c3
(ii)
= 0:
Substituindo o valor de c1 em (18) resulta que:
X(x) = c4 x: (19)
Derivando a equação (19) obtemos que:
X 0(x) = c4: (20)
Substituindo x = � em (20) obtemos que:
X 0(�) = c4
(iii)
= 0:
Substituindo o valor de c2 em (19) resulta que:
X (x) = 0 =) � = 0 é inaceitável, (21)
pois, contraria a de…nição de autovetor.
c) (1:0 ponto) Mostre que �n = �2 =
(2n� 1)
4
2
e que Xn(x) = sin
(2n� 1)
2
x
são os autovetores correspondentes.
Solução:
Considerando � = �2 na equação (13) obtemos pela tabela que:
X (x) = c5 cos�x+ c6 sin�x: (22)
Substituindo x = 0 em (22) obtemos que:
X(0) = c5
(ii)
= 0:
Substituindo o valor de c1 em (22) resulta que:
5
X (x) = c6 sin�x: (23)
Derivando a equação (23) obtemos que:
X 0(x) = �c6 cos�x: (24)
Substituindo x = � em (23) resulta que:
X 0(�) = c6 cos��
(iii)
= 0: (25)
Como desejamos obter autovetores segue de (25) que c2 6= 0: Logo:
cos�� = 0 =) � = (2n� 1)
2
; n = 1; 2; 3; ::: (26)
Como � = �2 então de (26) os autovalores �n e os aotovetores Xn(x) são
dados por:��������
�n =
(2n� 1)2
4
; n = 1; 2; 3; ::
Xn(x) = sin
(2n� 1)
2
x; n = 1; 2; 3; :::
(27)
Questão 4 : (2:5 pontos)
Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira:
�������������
@u
@t
(x; t) = 4
@2u
@x2
(x; t)� u(x; t); 0 < x < �; t > 0;
u(0; t) = 0;
@u
@x
(�; t) = 0; t > 0;
u(x; 0) = 8 sin
3
2
x = f(x); 0 < x < �:
(28)
a) (0:6 ponto) Considerando que u(x; t) = X(x)T (t) prove que:����� X 00(x) + �X(x) = 0;T 0(t) + (1 + 4�)T (t) = 0:
Solução:
Da hipótese que u (x; t) = X (x)T (t) resulta que:��������
@u
@t
= X(x)T 0(t);
@2u
@x2
= X 00(x)T (t):
(29)
6
Substituindo (29)1 e (29)2 em (28)1 obtemos que:
X(x)T 0(t) = 4X 00(x)T (t)�X(x)T (t) =)
X(x)T 0(t)
4X (x)T (t)
=
4X 00(x)T (t)
4X (x)T (t)
� X(x)T (t)
4X(x)T (t)
=)
T 0(t)
4T (t)
+
1
4
=
X 00(x)
X (x)
= �� =)
����� X 00(x) + �X (x) = 0;T 0(t) + (1 + 4�)T (t) = 0: (30)
b) (0:4 ponto) Analise as condições de fronteira e conclua que X (0) = 0 e
X 0(�) = 0; justi…cando sua resposta.
Solução:
Da hipótese que u (x; t) = X (x)T (t) e substituindo x = 0 nesta igualdade
resulta que:
u (0; t) = X (0)T (t)
(28)2
= 0 =)
X (0) = 0; e ou T (t) = 0:
Mas, se T (t) = 0 =) u (x; t) = 0; 8 t > 0: Em particular, u (x; 0) = 0; o que
é um absurdo, pois, por (28)3 u (x; 0) = 8 sin
3
2
x: Logo:
X (0) = 0: (31)
Por outro lado temos que
@u
@x
(x; t) = X 0 (x)T (t) e substituindo x = � nesta
igualdade resulta que:
@u
@x
(0; t) = X 0 (�)T (t)
(28)2
= 0 =)
X 0 (�) = 0; e ou T (t) = 0:
De forma análoga conclui-se que:
X 0 (�) = 0: (32)
(c) (0:6 ponto) Determine a solução de T 0(t) + (4 + 4�)T (t) = 0 = 0:
Solução:
De (30)2 e de (27)1 resulta que:
7
T (t) = ke�(1+(2n�1)
2t: (33)
d) (0:9 ponto)Determine a solução u (x; t) do PVIF.
Solução:
Do que foi exposto temos que a solução de (28)1 e de (28)2 é da forma:
u(x; t) = c6 sin
(2n� 1)
2
x � ke�(1+(2n�1)2t =)
u(x; t) = k0 sin
(2n� 1)
2
x � e�(1+(2n�1)2t: (34)
Substituindo t = 0 em (34) obtemos que:
u(x; 0) = k0 sin
(2n� 1)
2
x
(28)3
= 8 sin
3
2
x = f(x) =)
=)
����� k0 = 8;2n� 1 = 3: (35)
Substituindo (35)1 e (35)2 em (34) resulta que:
u(x; t) = 8 sin
3
2
x � e�10t: (36)
FORMULÁRIO
$
�Z t
0
f(�)g(t� �)d�
�
= $ ff(t)g �$ fg(t)g $ f1g = 1
s
$ fsin tg = 1
s2 + 1
$ ft sin tg = 2s
(s2 + 1)
$ featg = 1
s� a �(t� 1) = e
�s
$ fu1(t)f(t� 1)g = e�s$ ff(t)g $ ftng = n!
sn+1Z �
0
x sinnxdx= � 1
n
[x cosnx]
�
0 +
1
n2
[sinnx]
�
0 :
Tabela de EDO Linear de 2a ordem Homogênea
X 00(x) + �X (x) = 0 =) r2 + � = 0 =) r = +�p��:
Raízes Solução
r1; r2 2 R; r1 6= r2 X (x) = c1 er1x + c2 er2x:
r1; r2 2 R; r1 = r2 X (x) = c3 er1x + c4 x er1x:
r1 = �+ �i; r1 = �� �i X (x) = c5 e�x cos�x+ c6 e�x sin�x:
8
T 0(t) + 
T (t) = 0 =) T (t) = ke�
t:
9