Material de Estatística 2

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Apostila 
De 
Estatística 
 
 
Professores: Wanderley Akira Shiguti 
Valéria da S. C. Shiguti 
 
 
 
Brasília, 2008 
 64
UNIDADE VIII – INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO OU NÃO DETERMINISTICO - E 
Definição: 
1. É o processo de observação ou medida de um determinado fenômeno em estudo. 
2. É o experimento que repetido sob as mesmas condições, conduz a resultados, em geral, distintos. 
 
Exemplos: 
E1 – lançamento de um dado e observar o número na face superior. 
E2 – lançamento de uma moeda e observar o valor na face superior. 
E3 – lançamento de um dado e uma moeda, nesta seqüência, observar os valores nas faces superiores. 
E4 – um casal deseja ter três filhos e observar o sexo, de acordo com a ordem de nascimentos das crianças. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL - S 
Definição: 
 Um espaço amostral é um conjunto de todas as ocorrências possíveis de um determinado experimento 
aleatório E. 
Exemplos: Considere os experimentos aleatórios apresentados anteriormente: 
 No E1 - S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 No E2 - S={k, c}, onde k=cara, C=coroa. 
 No E3 - S={1k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c} 
 No E4 - S={MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF} 
EVENTOS – (qualquer letra maiúscula do alfabeto) 
Definição: 
 Um evento é qualquer subconjunto de ocorrências de um determinado espaço amostral S. 
 
Exemplo: Considere o experimento aleatório E3, com seu respectivo espaço amostral S: 
S={1k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c} 
Determine os seguintes eventos: 
A = ocorrência de valor cara (K) 
B = ocorrência de valor par 
C = ocorrência de valor coroa (C) 
D = ocorrência de valor ímpar 
E = ocorrência de número primo 
F = ocorrência de valor maior que 4 
G = ocorrência de valor menor ou igual a 3 
H = ocorrência de valor par ou cara (K) 
I = ocorrência de valor par ou ímpar 
 65
J = ocorrência de valor par e cara (K) 
K = ocorrência de valor par e ímpar 
L = ocorrência de valor maior que 7 
 
TIPOS DE EVENTOS 
• EVENTO CERTO 
Definição: 
 É aquele evento que se igual ao espaço amostral S. 
Exemplo: O evento I acima é um evento certo. 
 
EVENTO IMPOSSÍVEL 
Definição: 
 É aquele evento que não possui elemento algum. 
Exemplo: Os eventos K e L acima são eventos impossíveis. 
 
EVENTOS MUTUAMENTES EXCLUSIVOS 
Definição: 
 Dois eventos A e B quaisquer são chamados de mutuamente exclusivos, se eles não podem ocorrer 
simultaneamente, isto é, 
A∩B = ∅ 
Exemplo: Considere os eventos descritos acima: 
 Os eventos A e C são mutuamente exclusivos, pois A∩C = ∅. 
Os eventos B e D são mutuamente exclusivos, pois B∩D = ∅. 
Os eventos C e J são mutuamente exclusivos, pois C∩J = ∅. 
 Os eventos H e J não são mutuamente exclusivos, pois H∩J ≠ ∅. 
 
EVENTOS COMPLEMENTARES 
Definição: 
 Dois eventos A e B quaisquer são chamados de complementares se: 
A∩B = ∅ 
A∪B = S 
 
Exemplo: Considere os eventos descritos no exemplo acima: 
 Os eventos A e C são complementares, pois A∩C = ∅ e A∪C = S. 
Os eventos B e D são complementares, pois B∩D = ∅ e B∪D = S. 
 Os eventos H e J não são complementares, pois H∩J ≠ ∅ e H∪J ≠ S. 
 Os eventos F e K não são complementares, pois F∩K ≠ ∅ apesar de F∪K = S. 
 Os eventos C e J não são complementares, pois C∪J ≠ S apesar de C∩J = ∅. 
 66
 
PROBABILIDADE: 
Enfoque Teórico 
 A probabilidade de ocorrência de um evento A, P(A), é um número real que satisfaz as seguintes 
condições: 
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
b) P(S) = 1 
c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos então P(A∪B) = P(A) + P(B) 
d) Se A1, A2, ...,A , ... São mutuamente exclusivos, dois a dois, então: 
 
Principais teoremas: 
I) P( A ) = 1 - P(A) 
II) Se A é um evento impossível de ocorrer (A=∅), então P(A) = P(∅) =0. 
III) Se A e B são eventos quaisquer, então: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(B∩A). 
 
CÁLCULO DA PROBABILIDADE 
 A probabilidade deverá ser calculada a partir da fórmula: P(A) = 
n(S)
n(A) 
Exemplo: 
Seja o Experimento E o lançamento de um dado e o seu espaço amostral dado por: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qual a 
probabilidade do evento A – Números maiores e iguais a 2? 
 O Evento A pode ser descrito na forma: A ={2, 3, 4, 5, 6} 
n(A) = 5 e n(S) = 6. Logo a probabilidade do evento A é P(A) = 
n(S)
n(A) = 5/6. 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Ilustração: 
Seja o experimento aleatório E: lançar um dado e o evento A = {sair o número 3}. Então: 
 P(A) = 
6
1
 
Seja o evento B = {sair o número impar} = {1, 3, 5} 
 
Podemos estar interessados em avaliar a probabilidade do evento A estar condicionado à ocorrência do evento B, 
designado por P(A|B), onde o evento A é o evento condicionado e o evento B o condicionante. 
Assim P(A|B) = 
3
1
 
Formalmente a probabilidade condicionada é definida por: 
“Dado dois eventos quaisquer A e B, denotaremos P(A|B), por”. 
 67
 ( ) ( )( ) ( )( )Bn BAnBP BAPBAP ∩=∩= , 
Com P(B)≠0, pois B já ocorreu. 
 
TEOREMA DO PRODUTO 
 A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos quaisquer A e B, do mesmo espaço amostra, 
é igual ao produto da probabilidade de ocorrência do primeiro deles pela probabilidade condicional do outro, 
dado que o primeiro ocorreu. 
 Assim: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BAPBPBAP BP BAPBAP ⋅=∩⇒∩= 
 
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA 
Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual à 
probabilidade condicional de A dado B, isto é, se: 
( ) ( )BAPAP = 
Considerando o teorema do produto podemos afirmar que: 
( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ 
 
TEOREMA DE BAYES 
 Suponha que os eventos A1, A2, ...,An formam uma partição de um espaço amostral S; ou seja, os 
eventos Ai são mutuamente exclusivos e sua união é S. Seja B outro evento qualquer. Então: 
 
 B = S∩B = (A1∪A2∪...∪An) ∩B = (A1∩B) ∪ (A2∩B) ∪... ∪(An∩B) 
Onde os Ai∩B são também mutuamente exclusivos. 
 
 
Consequentemente, 
 
 P(B) = P(A1∩B) + P(A2∩B) +... +P(An∩B) 
 
 Assim pelo teorema da multiplicação, 
 
 P(B) = P(A1)P(B\ A1)+ P(A2)P(B\ A2)+...+ P(AN)P(B\ AN) 
 
 Por outro lado, para qualquer i, a probabilidade condicional de Ai dado B é definida como 
 
 68
 P(Ai\B) = 
P(B)
B)P(Ai ∩ 
 
 Nesta equação, usamos (1) para substituir P(B) e P(Ai∩B) = P(Ai)P(B\ Ai) para substituir P(Ai∩B), 
obtendo assim o: 
 
Teorema de Bayes: Suponha A1, A2, ...,An ser uma partição de S e B, um evento qualquer. Então, para qualquer 
i, 
 
 
)A\)P(BP(A...)A\)P(BP(A)A\)P(BP(A
)A\)P(BP(AB)\P(A
nn2211
ii
i +++=
 
 
Exemplos: 
 
 Três máquinas, A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente do total de peças de uma fábrica. 
As percentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada 
aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Suponha agora que uma peça selecionada 
aleatoriamente seja defeituosa. Encontre a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Lance um dado e uma moeda um após o outro nesta seqüência. 
 
a) Construa o espaço amostral 
b) Enumere os resultados seguintes 
I. A ={coroa marcada por par} 
II. B = {cara marcada por ímpar} 
III. C = {Múltiplo de 3} 
c) Expresse os eventos 
I. B complementar 
II. A ou B ocorrem 
III. B ou C ocorrem 
IV. A ou B complementar 
c) Calcule as probabilidades abaixo: 
P(A), P(B), P(C), P( A ),P( B ), P(A ∪B) e P(B∪C) 
 
2. Um revendedor de carros tem dois carros, corsas 1996, na sua loja para serem vendidos, interessa-nos saber 
quanto cada um dos dois vendedores venderá ao final de uma semana. Como representar “o primeiro vendedor 
não vende nenhum carro” e depois “o segundo vendedor vende ao menos um dos carros”. 
 
3. Se A é o evento “Um estudante fica em casa paraestudar”. E B é o evento “o estudante vai ao cinema”, 
P(A) = 0,64 e P(B) = 0,21. Determine: 
P(Ac), P(Bc), P(B/A) 
 
4. Se P(A) = ½ ; P(B) = ¼ e A e B são mutuamente exclusivos então: 
a) P(Ac) 
b) P(Bc) 
c) P(A∩B) 
 
5. Se P(A) = ½; P(B) = 1/3 e P(A∩B) = ¼ calcule P(AUB). 
 
6. Quantas comissões de três pessoas podem formar com um grupo de 10 pessoas? 
 
 69
7. A probabilidade de três jogadores acertarem um pênalti são respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um 
cobrar uma única vez, qual a probabilidade de: 
a) Todos acertarem 
b) Ao menos um acertar 
c) Nenhum acertar 
 
8. Qual a probabilidade de duas pessoas aniversariarem no mesmo dia da semana? 
 
9. Sr Ray Moon Dee, ao dirigir-se ao trabalho, usa um ônibus ou o metrô com probabilidade de 0,2 e 0,8, nessa 
ordem. Quando toma o ônibus, chega atrasado 30% das vezes. Quando toma o metrô, atrasa-se 20% dos 
dias. Se o Sr Ray Moon Dee Chegar atrasado ao trabalho em determinado dia, qual a probabilidade dele 
haver tomado um ônibus? 
 
10. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% 
dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura, 
qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? 
 
 70
UNIDADE IX - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
CONCEITOS 
 
 Seja X um valor numérico que depende um resultado de uma experiência; como X associa um resultado 
a um número, X é uma função cujo domínio é o conjunto de resultados e a imagem é o conjunto dos números 
reais. Essa função X é conhecida como Variável Aleatória. O que Eqüivale a descrever os resultados de um 
experimento aleatório por meio de números em vez de palavras, possibilitando um tratamento Estatístico. 
 As v.a. podem ser Unidimensional Discreta ou Contínua e Bidimensional Discreta e Contínua. 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS DISCRETAS 
 
 As v.a. unid. Discretas são aquelas que fazem uso de uma única variável no estudo, e como são 
discretas trabalham com valores inteiros. 
 
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
 Quando utilizamos uma v.a. x para transformar os valores de um espaço amostral S em um novo espaço 
amostral constituído de números reais, em geral modificamos também a função de probabilidade associada a este 
espaço amostral. A função de probabilidade será representada por p(X=x) ou p(x). 
 
Onde: 
 Σp(x) = 1 e 
 p(x) poderá ser expresse por uma tabela, gráfico ou fórmula: 
 
EXEMPLO: 
 
 E – lançamento de duas moedas 
 X – número de caras obtidas 
 
 S = {(c,c) (c,k) (k,c) (k,k)} 
 
A TABELA: 
 
 
 
O GRÁFICO 
 
 
xi 0 1 2
p(xi) 0,25 0,5 0,25
 71
A FÓRMULA 
 
 p(x) = 



x
2
4
1 , para x = 0, 1, 2 
 
OBS: Qualquer função de uma v.a. é também uma v.a. isto é se x é uma v.a., então y =ϕ(x) também será. 
 
EXEMPLO: 
 
x – v.a. pontos de um dado; 
 y = x + x – v.a. soma dos pontos de dois lançamentos; 
 z = Max{(x1, x2)} onde (x1, x2) pontos de dois dados. 
 
A distribuição de probabilidade de x será: 
 
 
A distribuição de y será: 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )













=
6,6 ... 2,6 6,1
3,6 ... 2,3 3,1
2,6 ... 2,2 2,1
1,6 ... 2,1 1,1
 S
M
 
 
yi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
p(yi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
 
A de z será: 
 
zi 1 2 3 4 5 6 
p(zi) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 
 
Exemplo: 
 
No lançamento de dois dados a v.a. x anota a diferença dos pontos das faces superiores. Determine os 
valores de x e a função de probabilidade associada. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
A urna A contém 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. A urna B contém 5 bolas brancas e 
1 bola preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a v.a. x anota o número de bolas 
brancas obtidas. Determine os valores de x e a função de probabilidade. 
 
 
 
xi 1 2 3 4 5 6
p(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
 72
MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIABILIDADE DA V. ALEATÓRIA 
UNIDIMENSIONAL DISCRETA. 
 
O VALOR ESPERADO DA V.A. 
 
 A v.a. será utilizada para estabelecer modelos teóricos de prob. Com a finalidade de descrever 
populações. A média, a variância, o desvio padrão, representarão parâmetros destas populações e serão 
denotados por µ, σ2(x) e σ(x), respectivamente. 
 
 Se x é uma v.a. dada por: 
 
xi x1 x2 x3 ... xn 
p(xi) p(x1) p(x2) p(x3) ... p(xn) 
 
 µ = Σxi * p(xi) também conhecido como E(x) 
 
A VARIÂNCIA DA V.A. VAI SER: 
 
 σ2(x) = Σ (xi - µ)2* p(xi) ou σ2(x) = E(x2) – [E(x)]2 
 
E O DESVIO PADRÃO: 
 ____ 
 σ(x) = √σ2(x) 
 
Exemplo: 
 
 No lançamento de uma moeda, a v.a. anota o nº de caras obtido. Calcule a média a variância e o desvio 
padrão da v.a. x. 
 
EXERCÍCIO: 
 
Calcule a média a variância e o desvio padrão da v.a. x dada abaixo. 
 
xi 2 5 8 10 
p(xi) 0,3 0,4 0,2 0,1 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL CONTÍNUA 
 
 Se uma v.a. assume todos os valores de um intervalo real, então x é denominada uma v.a. contínua. 
Essas v.a. surgem de processos definidos a partir de medidas. 
 
Ex: Considere o intervalo real de [2,10] e a função que associa a cada ponto deste intervalo sua distância ao 
ponto 2. 
 
 A v.a. x assumirá valores no intervalo[0,8] sendo portanto uma v.a. contínua. 
 
 
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (F.D.P.) 
 
 Quando definimos a v.a. discreta associamos a cada ponto xi do espaço amostral um valor real p(xi) 
com: 
 
 73
1. 0 ≤ p(xi) ≤ 1 
2. Σp(xi) = 1 
 
Para a v.a. contínua não poderemos usar tal processo, pois não existe uma função que associa cada 
ponto p de um intervalo um valor real. 
Para a v.a. contínua definiremos: 
 
1. f(xi) ≥0 
2. A área da região compreendida sobre o gráfico da função e o eixo ox é igual a 1. 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE VARIABILIDADE DE UMA V.A. 
UNIDIMENSIONAL CONTÍNUA. 
 
VALOR ESPERADO: 
 
E(x) = ∫∞
∞−
⋅ f(x)dxx E(x2) = ∫∞
∞−
⋅ f(x)dxx 2 
 
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
( ) ( )[ ]222 xE)E(xx −=σ e o D.P. = ( ) ( )xx 2σσ = 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL 
 
Exemplo: Considere E, que consiste no lançamento de dois dados. Seja x a v. a. que anota o número de pontos da 
face superior do primeiro dado, e seja y a v.a. que anota o número de pontos da face superior do segundo dado. 
 
 
Y
X
1 (1 1) (1 2) ... (1 6)
2
3 ...
4 ...
5
6 (6 1 ) ... (6 6)
1 2 3 4 5 6
 74
A tabela de Probabilidade é: 
 
 
Logo a função de probabilidade conjunta é: 
 
 P(X = xi, Y = yj) satisfazendo as condições. 
 
 
Discreta 
 
Contínua 
1. p(xi,yj) ≥ 0 1. f(x,y) ≥ 0 
2. ∑∑∞
=
∞
=
=
1 1
ji 1)y,p(x
i j
 2. 1y)dxdyf(x, =∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
 
 
A DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DE PROBABILIDADE 
 
 Dada uma v.a. bidimensional e sua distribuição conjunta pode-se determinar a distribuição de X sem 
considerar Y, ou vice-versa. São as chamadas distribuições marginais. 
 
Se (X,Y) discreta; então: 
 
 
Distribuição Marginal de X: 






==
∞<<−∞===
∑
j
jii
i
yxPxXP
ou
yxXPxXP
),()(
,()(
 
Y
X
1 1/36 ... 1/36
2 1/36
3 ...
4 ...
5
6 1/36 ... 1/36
5 61 2 3 4
 75
Distribuição Marginal de X: 






==
∞<<−∞===
∑
i
jij
ji
yxPyYP
ou
xyYPyYP
),()(
,()(
 
 
 
Exemplo: anterior 
 
 
 
Y
X
1 1/36 ... 1/36 1/6
2 1/36 ...
3
4
5
6 1/36 ... 1/36 1/6
p(x) 1/6 1/6 1
p(y)3 4 5 61 2
 
 
 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA INDEPENDENTES 
 
Seja (X,Y) uma v.a. discreta bidimensional. Diz-se que X e Y são independentes se, e somente se, 
p(xi,yj) = p(xi)p(yj) para quaisquer i e j. 
 
 Seja (X,Y) uma v.a. aleatória contínua bidimensional. Diz-se que X e Y são independentes se e somente 
se,f(x,y)=g(x)h(y) para todo (x,y). 
 
Obs: g(x) distribuição marginal de x da v.a. contínua e h(x) da v. a. de y 
 
 76
EXEMPLO: 
Dada a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y) pela tabela abaixo. Verificar se X e Y são independentes. 
 
 
 
Solução: Para todo i, j; i=0, 1, 2 e j=0, 1, 2 
 
P(xi,yj) = p(xi)p(yj) 
Para o par (0,0) tem-se: 
 P(0,0) = 0,10 e p(x=0). P(y=0) = 0,2. 0,5 = 0,10. 
 
Para o par (0,1) tem-se: 
 P(0,1) = 0,04 e p(x=0). P(y=1) = 0,2. 0,2 = 0,04. 
 
 
 Continuando todos os cálculos se verificará que todos serão satisfeitos e por isso concluímos que X e Y são 
independentes. 
y\x 0 1 2 p(yj)
0 0,1 0,2 0,2 0,5
1 0,04 0,08 0,08 0,2
2 0,06 0,12 0,12 0,3
p(xi) 0,2 0,4 0,4 1
 77
MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE VARIABILIDADE DE UMA V.A. BIDIMENSIONAL 
DISCRETA E CONTÍNUA. 
 
 A média ou esperança matemática deve ser calculada usando as fórmulas: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∑ ∫
∫∑
∫∑
==
==
==
dxdy )y x(y xxyE )yp(xyxxyE
dy )y(yyE )p(yyyE
dx )x(xxE )p(xxxE
jijjiji
jjj
iii
f
f
f
i
j
i
 
 
 A variância, o desvio padrão, a covariância e o coeficiente de correlação serão calculados a partir das 
fórmulas abaixo. 
 
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) }
( ) ( ) ( )} tesindependen foremy e x Quando yxyx
quaisquer foremy e x que em caso o Para )xycov(2yxyx
contínuo e discreto caso o Para 
E(y)-)E(yy
E(x)-)E(xx
222
222
222
222
σσσ
σσσ
σ
σ
+=±
−+=±



=
=
 
 
( ) ( )xx 2σσ = 
 
E(y)E(x) - E(xy) Cov(xy) ⋅= 
 
( ) ( )yx
cov(xy)(xy) σσρ ⋅ 
 
Exercícios Resolvidos. 
 
1. Uma carta é retirada aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas, e a v.a. X anota o número de 
damas obtidos nessa retirada. Determinar os valores de X e a função de probabilidade associada. 
Solução 
 Seja S o espaço amostral da retirada de uma carta do baralho S = { AO, 2O, ..., 10O, ..., JO, DO, KO, AP, 
2P, ..., 10P, ..., JP, DP, KP, AE, 2E, ..., 10E, ..., JE, DE, KE, AC, 2C, ..., 10C, ..., JC, DC, KC} 
 
Onde: AO é a carta Ás de Ouro 2O é a carta 2 de Ouro e assim sucessivamente 
 
 A v.a. X anota o número de damas obtido, veja que aqui não foi mencionado o naipe, logo estamos 
interessados somente se sai (1) ou não (0) uma carta de damas. As probabilidades bem como os valores que a 
v.a. X pode assumir estão discriminados na distribuição de probabilidade abaixo. 
X 0 1 
p(x) 48/52 4/52 
 
2. A tabela a seguir dá as probabilidades de um oficial de justiça receber 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, relatórios de 
violação de liberdade condicional em um dia qualquer. 
 
X 0 1 2 3 4 5 
p(x) 0,15 0,25 0,36 0,18 0,04 0,02 
 
 
 
 78
a) Encontre a média e o desvio padrão de X. 
Solução 
 A média pode ser denotada por E(x) ou por µ, assim: 
 E(x) = ∑xi.p(xi) = 0.(0,15) + 1.(0,25) + 2.(0,36) + 3.(0,18) + 4.(0,04) + 5.(0,02) = 1,77 
 
 Para calcularmos o Desvio padrão, que será denotado por D.P. ou por σ(x), deveremos antes encontra a 
variância que será: 
 Var(x) = σ2(x) = E(x2) – [E(x)]2 
Onde 
E(x2) = ∑ xi2.p(xi) = 02.(0,15) + 12.(0,25) + 22.(0,36) + 32.(0,18) + 42.(0,04) + 52.(0,02) = 4,45 
 
Assim a variância de x será: 
 
 σ2(x) = E(x2) – [E(x)]2 = 4,45 – [1,77]2 = 1,32 
 
Como estamos interessados no desvio padrão teremos que tirar a raiz quadrada da variância. Logo: 
 
 σ(x) = 1,14 
 
3. A tabela abaixo fornece a probabilidade de que um sistema de computação fique fora de operação um 
dado período por dia durante a fase inicial de instalação do sistema. Calcular: 
a) O número esperado de vezes que o computados fique fora de operação por dia 
b) O desvio padrão desta distribuição de probabilidade. 
 
Solução 
 
a) E(x) = 6,78 
b) σ2(x) = E(x2) – [E(x)]2 = 47 – [6,78]2 = 1,032 
 σ(x) = 1,016 
 
4. O trem do metrô para no meio de um túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de 
controle. Se o defeito for na antena, o conserto poderá ser feito em 5 minutos. Se o defeito for no painel, o 
conserto poderá ser feito em 15 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a probabilidade de o 
defeito ser no painel é de 60%. Qual é a expectativa do tempo de concerto? 
Solução 
 
 Se o defeito for na antena o conserto deverá ser feito em 5 minutos. 
 Se o defeito for no painel estima-se um conserto em 15 minutos. Logo a distribuição de probabilidade 
será: 
 
X 5 15 
p(x) 0,4 0,6 
 
 E(x) = 5. (0,4) + 15.(0,6) = 11 minutos é a expectativa do tempo de conserto 
 
5. Uma v.a. assume os valores 2, 3, 5, com probabilidades de 0,3, 0,5 e 0,2 respectivamente. Calcule o 
valor esperado e o desvio padrão da v.a. Y = 2x + 5. 
Solução 
 
Número de período X 4 5 6 7 8 9
Probabilidade p(x) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06
Número de período X 4 5 6 7 8 9 Total
Probabilidade p(x) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06 1
x.p(x) 0,04 0,4 1,74 2,94 1,12 0,54 6,78
x^2.p(x) 0,16 2 10,44 20,58 8,96 4,86 47
 79
 Y = 2x + 5 
 E(y) = E(2x) + E(5) = 
E(y) = 2E(x) + 5 = ? 
Calculando a esperança de x e a esperança de x2 teremos: 
X 2 3 5 
p(x) 0,3 0,5 0,2 
 
 E(x) = 2.(0,3) + 3.(0,5) + 5.(0,2) = 3,1 
 
Logo E(y) = 2(3,1) + 5 = 11,2 
 
Descubra como encontrar a Var(Y)!!!!!!! 
6. Seja ( ) ( ) 
 ,0
1 x 0 , 1
2
3 2


 ≤≤−=
contráriocaso
x
xf 
 
a) f(x) é uma legitima Função Densidade de Probabilidade (f.d.p)? 
b) Encontre a média e o Desvio padrão da v.a.x. 
Solução 
 Para que uma função f(x) seja uma legitima f.d.p. ela deverá satisfazer as seguintes condições: 
 
1. f(x) ≥ 0 
2. a 1)(
1
0
=∫ dxxf 
Observe que a função foi definida no intervalo de [0,1] e recebe o valor 0 para qualquer outro intervalo. 
Logo a 1ª condição já foi verdadeira. Para provar a Segunda deveremos resolver a integral: 
( ) ( ) 1 
3
2
2
3 
3
x - 
2
3 1
2
3 11
2
3
1
0
3
1
0
1
0
2
1
0
2 =

=


=−==− ∫∫ xdxxdxx 
Logo f(x) é uma legítima f.d.p. 
 
Para achar a Média faremos: 
 
 E(x) = 1)( . 
1
0
=∫ dxxfx = ( ) ( )
8
3 
4
1
2
3 
4
x - 
22
3 
2
3 11
2
3 . 
1
0
41
0
21
0
3
1
0
2 =

=


=−==

 − ∫∫ xdxxxdxxx 
 
 E(x2) = 
1)( . 
1
0
2 =∫ dxxfx = ( ) ( )
5
1
15
3 
15
2
2
3 
5
x - 
32
3 
2
3 11
2
3 . 
1
0
51
0
31
0
42
1
0
22 ==

=


=−==

 − ∫∫ xdxxxdxxx 
 
Logo a variância será: σ2(x) = E(x2) – [E(x)]2 = 1/5 – [3/8]2 = 19/320 = 0,0594 
 
7. Considere a seguinte distribuição conjunta de probabilidade. Encontre as marginais de X e Y e 
verifique se X e Y são independentes. 
Solução 
O cálculo das marginais de X e Y é feito da seguinte forma: 
x
y
1 0,05 0,08 0,05
3 0,2 0,15 0,05
5 0,25 0,07 0,1
p(x)
2 4 6 p(y)
 80
 
Para saber se X e Y são independentes devemos verificar para todos os casos se P(X=xi,Y = yj) = P(X=xi).P(Y = 
yj), então: 
 
1. (x = 2 e y = 1) ⇒ 0,05 ≠ 0,5 . 0,18 
2. (x = 2 e y = 3) ⇒ 0,2 = 0,5 . 0,4 
3. (x = 2 e y = 5) ⇒ 0,25 ≠ 0,5 . 0,42 
4. (x = 4 e y = 1) ⇒ 0,08 ≠ 0,3 . 0,4 
... 
E assim sucessivamente. Podemos ver que como a condição P(X=xi,Y = yj) = P(X=xi).P(Y = yj) não foi satisfeita 
para todos i e j diremos que X e Y não são independentes. 
 
8. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y . 
 
a) Achar as distribuições marginais de X e Y; 
b) Calcular E(x), E(y) e E(x,y); 
c) Calcular a covariância de X e Y; 
d) Calcular a correlação de X e Y. 
e) X e Y são independentes? 
 
Solução 
 
X
Y
1 0,05 0,08 0,05 0,05+0,08+0,05=0,18 P(Y=1)
3 0,2 0,15 0,05 0,4
5 0,25 0,07 0,1 0,42p(x) 0,5 0,3 0,2 1
P(X=2)
2 4 6 p(y)
Probabilidade
 Conjunta
 de X e Y
X
Y Probabilidade 
1 0,05 0,08 0,05 0,05+0,08+0,05=0,18 P(Y=1) Marginal 
3 0,2 0,15 0,05 0,4 de Y quando yj = 1
5 0,25 0,07 0,1 0,42
p(x) 0,5 0,3 0,2 1
Probabilidade 
P(X=2) Marginal 
de X quando xi = 2
p(y)
P(X = 2 , Y = 1)
2 4 6
X
Y
1 0,1 0,2 0 0,3
2 0,2 0,1 0,1 0
p(x)
5 p(y)-2 -1 4
X 
Y 
1 0,1 0,2 0 0,3 0,6
2 0,2 0,1 0,1 0 0,4
p(x) 0,3 0,3 0,1 0,3 1
Distribuição y 1 2 Total
de Probabilidade p(y) 0,6 0,4 1 A variância de y é :
de X e sua Marginal y.p(y) 0,6 0,8 1,4 E(y) Var(y) = E(y y ) - [E(y)]2
y^2.p(y) 0,6 1,6 2,2 E(y2) Var(y) = 2,2 - (1,4)2 = 0,24
D.P. = 0,49 
Distribuição x -2 -1 4 5 Total A variância de x é :
de Probabilidade p(x) 0,3 0,3 0,1 0,3 1 Var(x) = E(x 2 ) - [E(x)]2
de Y e sua Marginal x.p(x) -0,6 -0,3 0,4 1,5 1 E(x) Var(x) = 10,6 - (1)2 =9,6
x^2.p(x) 1,2 0,3 1,6 7,5 10,6 E(x2) D.P. = 3,09 
5 p(y)-2 -1 4
 81
 
 
 A E(x,y) = ∑ xi.yj. p(xi , yj) 
 E(x,y) = (-2) . (1). (0,1) + (-2) . (2) . (0,2) + ... +(5) . (2) . (0) = 0,9 
 
 A Covariância é dada por Cov(x,y) = E(x,y) – E(x) . E(y) = 0,9 – [1,4 . 1] = - 0,5 
 
 A Correlação será: ( ) ( )
( ) ( )y x σ . σ
yx,Cov yx,ρ = = 0,3- 
3,09 . 49,0
5,0 =− 
 
Se utilizarmos P(X=xi,Y = yj) = P(X=xi).P(Y = yj) verificaremos que em alguns casos ela não será satisfeita para 
algum i e j, logo X e Y não são independentes. 
 
 82
Exercícios 
 
1. Sabe-se que a chegada de clientes a uma loja de material computacional, durante intervalos aleatoriamente 
escolhidos de 10 minutos, segue uma distribuição de probabilidade dada na tabela abaixo. Calcule o número 
esperado de chegada de clientes por intervalo de 10 minutos, e calcule também o desvio padrão das 
chegadas. 
 
2. A venda de uma revista mensal em uma banca segue uma distribuição de probabilidade dada na tabela 
abaixo. Calcule o valor esperado e a variância. 
 
3. Um vendedor determinou as probabilidades referentes a vendas diárias visitando 10 possíveis compradores, 
as probabilidades estão apresentadas na tabela abaixo. Calcule o número esperado de vendas e o desvio 
padrão 
 
 
4. Dada a v.a. 
Calcule a média e o desvio padrão da v.a. Y = 3 - 
3
4 x 
 
5. Uma v.a. discreta tem distribuição de probabilidade dada por: 
 
P(x) = 7 5, 3, 1, x para ,
x
K = 
a) Calcule o valor de K b) Calcule P(x = 5) 
 
6. Verifique se a função abaixo é uma legítima f.d.p. 
 





 ≤≤=
contrário caso 0,
1 x 0 se ,
2
1
)(
x
xf 
 
Número de chegadas X 0 1 2 3 4 5
Probabilidade p(x) 0,15 0,25 0,25 0,2 0,1 0,05
Respostas E(x) = 2 e Var(x)= 1,9
Número de revistas em
Milhares X 
probabilidade de X 0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1
Respostas E(x) = 17,8 e Var(x)= 1,66
18 201915 16 17
Número de vendas X 1 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidade p(x) 0,04 0,15 0,2 0,25 0,19 0,1 0,05 0,02
Respostas E(x) = 4 e Var(x)= 2,52
x -1 2 5 8
p(x) 0,2 0,3 0,4 0,1
 83
7. Verifique se X e Y são independentes para a distribuição conjunta de probabilidade dada abaixo. 
 
 
 
8. Sejam M e N duas v.a. aleatórias independentes com as seguintes distribuições de probabilidade 
 
 
a) Achar a distribuição conjunta de probabilidade de M e N; 
b) Calcular E(m) e E(n) 
c) Calcule a covariância de M e N 
d) Encontre a correlação de M e N 
 
9. As v.a. X e Y admitem a seguinte distribuição conjunta de probabilidade. 
 
 
Encontre a e b para que as v.a. X e Y sejam independentes. 
 
10. Utilizando a Função Densidade de Probabilidade do exercício % encontre a média e a variância. 
 
11. Suponha que X e Y tenha distribuição conjunta dada pela tabela abaixo. 
 
 
a) Encontre a cov(X,Y) 
b) Ache a Correlação de X e Y 
c) Verifique se x e Y são independentes. 
 
 
 
 
X
Y
0 0,1 0,2 0,2
1 0,04 0,08 0,08
2 0,06 0,12 0,12
p(x)
0 1 2 p(y)
M 1 3 N 5 10 12
p(m) 0,6 0,4 p(n) 0,3 0,5 0,2
X
Y
4 0,2 0,15 b
5 a 0,15 0,15
p(x)
1 2 3 p(y)
X
Y
-1 0 1/5 0
0 1/5 1/5 1/5
1 0 1/5 0
1-1 0
 84
UNIDADE X – DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
 
INTRODUÇÃO – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 Quando na prática desejamos investigar algum fenômeno, estamos na realidade interessados 
em estudar a distribuição de uma ou mais variáveis. Do ponto de vista prático, é desejável que se defina uma 
variável aleatória (v.a.) associada a uma amostra ou experimento, de tal modo que seus resultados possíveis 
sejam numéricos. Por exemplo, a jogada de uma moeda tem dois resultados - cara (k) ou coroa (c) - que não são 
numéricos. Poderíamos então considerar como nossa variável aleatória o “número de caras numa jogada”, que 
tem os valores numéricos possíveis 0 e 1. Para uma moeda jogada duas vezes, nossa variável aleatória poderia 
ser “número de caras em duas jogadas”, como os valores numéricos 0, 1 e 2. Outro exemplo de variável 
aleatória seria o número de fregueses que entram numa grande loja num intervalo de 20 minutos: 0, 1, 2, .... 
Ainda outro exemplo de variável aleatória seria a altura dos estudantes numa sala de aula de uma universidade, 
com um âmbito contínuo que iria, digamos, de 1,5 a 2,0m. 
 Para todos os exemplos aqui descritos, atribuímos a um ponto amostral um único valor real, 
conhecido como variável aleatória unidimensional. Porém, na maioria das vezes, há interesse em atribuir, para 
um mesmo ponto amostral, duas ou mais características numéricas. Assim, por exemplo, podemos estar 
interessados em investigar, ao mesmo tempo, a altura (h) e o peso (p) de uma pessoa em uma certa população. 
Neste caso, temos o par (h, p), que é dito como variável aleatória bidimensional. 
 As varáveis aleatórias podem ser do tipo: 
◊ Discreta: uma variável aleatória é considerada discreta se toma valores que podem ser contadas. Exemplos 
de variáveis aleatórias discretas são 
◊ número de acidentes de carro por semana; 
◊ número de defeitos em sapatos produzidos; 
◊ número de terremotos; 
◊ número de livros em uma estante. 
◊ Contínua1: uma variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor de um 
determinado intervalo. Alguns exemplos de v.a. contínua são apresentados a seguir: 
◊ pesos de caixas de laranja; 
◊ alturas de árvore; 
◊ duração de uma conversa telefônica. 
 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
PROVAS INDEPENDENTES. FÓRMULA DE BERNOULLI. 
 
 A fórmula de Bernoulli é designada através dos ensaios de Bernoulli, que na realidade são 
ensaios independentes repetidos, cada um deles com apenas dois resultados possíveis e cujas probabilidades 
permanecem constantes durante toda a realização dos ensaios. É usual denotarmos as duas probabilidades por p e 
por q = 1-p, e nos referimos ao resultado que tem probabilidade p como um sucesso S e q como um fracasso F. 
 
1 Este tipo de variável será abordado na próxima unidade. 
 85
Obviamente p e q ≥ 0 e que p+q = 1. O espaço amostral associado a cada ensaio individualmente é formado por 
um dos dois pontos. 
 
EXEMPLO: 
Suponhamos o lançamento de uma moeda (honesta), ocorre “sucesso” quando aparecer “cara”. Então o 
espaço amostral será S ou F, para um lançamento. 
 
( ) ( )
( ) ( )

==−==⇒
===⇒=
FPqp10xP (F) coroa""lor ocorrer va se , 0
SPp1xP (S) cara""lor ocorrer va se , 1
X 
 
então: 
( ) ( ) x1x p1pxXP −−⋅== 
para x = 0, 1, que é conhecida como Distribuição de Bernoulli, com parâmetros 1 e p: 
Xi ~ Bernoulli(1,p) 
 Sabemos que: 
◊ Esperança matemática: E(x) = p 
◊ Variância: Var(x) = p(1-p) = pq. 
 
 Suponhamos agora n ensaios de Bernoulli. O espaço amostral associado contém 2n pontos ou 
sucessão de n símbolos S ou F, cada um deles representando um resultado possível do experimento. Comoos 
ensaios são independentes, suas probabilidades se multiplicam. Em outras palavras, a probabilidade de qualquer 
seqüência especificada é o produto obtido quando substituímos os símbolos S ou F por p e q, respectivamente. 
Dessa forma: 
P(SSFSFF...FS) = ppqpqq...qp. 
 
EXEMPLO 1: 
Suponhamos o lançamento de uma moeda honesta 3 vezes, onde a ocorrência de cara, corresponde ao 
sucesso. Então o número de elementos do espaço amostral será 23 = 8. Abaixo está indicado o espaço amostral 
com suas respectivas probabilidades: 
 






→→
→→
→→
→→
=
32
22
22
23
qFFFpqSFF
pqFFSqpSFS
pqFSFqpSSF
qpFSSpSSS
tralEspaçoAmos 
 
 
 
 
 
 86
EXEMPLO 2: 
Supor que em certa comunidade a probabilidade de uma pessoa ter problemas de psicose seja igual a 
0.01. Se definimos: 

=
contrário caso se , 0
psicose temcomunidade da pessoa certa uma se , 1
Y 
 
Teremos então que Y é uma v.a de Bernoulli e sua distribuição é dada por: 
 
y 0 1 
P(Y=y) 0,99 0,01 
 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Vamos supor que estamos interessados em calcular a probabilidade de se obter exatamente 
duas faces 4 em três lançamento de um dado. 
 È possível descrever este procedimento através das seguintes combinações: 
 (4∩4∩N) ou (4∩N∩4) ou (N∩4∩4) 
em termos de probabilidade ficaria: 
 P[(4∩4∩N) ∪ (4∩N∩4) ∪ (N∩4∩4)] 
Como esses três eventos são mutuamente exclusivos, então: 
 P[(4∩4∩N) ∪ (4∩N∩4) ∪ (N∩4∩4)] = P(4∩4∩N) + P(4∩N∩4) + P(N∩4∩4)]=(
6
5
6
1
6
1
6
1
6
5
6
1
6
1
6
1
6
5 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ) 
As probabilidades destes três casos são iguais podendo ser escritas da seguinte forma: 
=3
232
6
5
6
1 −

⋅

⋅ onde o número 3 também poderá ser escrito como a ( ) ( ) !3!23
!3
 x!!x-n
!n3
2 −==C 
 
 Quando observamos uma sucessão de n ensaios de Bernoulli, estamos interessados apenas no 
número total de sucessos e não na ordem em que eles ocorrem. O número de sucessos poderá ser qualquer um 
dos números 0, 1, 2, 3,..., k. Em n ensaios há ocorrência de n-k fracassos. E isto pode acontecer de tantas 
maneiras quantas são as formas de distribuirmos as k letras S em n posições, ou seja, 
n
k



 maneiras diferentes de 
ocorrer k sucessos, a cada maneira associarmos a probabilidade pkqn-k. Considerando o exemplo anterior, para 
k=2 (sucessos): 
 
maneiras 3
2
3
k
n
2k
3n
 
qpFSS
qpSFS
qpSSF
2
2
2
=


=


=



=
=⇒
→
→
→
 
 
 87
Daí, 
( ) 1212 3
2
3
2 qpqpxP ⋅⋅=⋅⋅


== 
 
n ..., 3, 2, 1, i onde
ensaio ésimo-i no falhaocorrer se , 0
ensaio ésimo-i no sucessoocorrer se , 1
Xi
=

= 
 
Se Xi ~ Bernoulli(1,p), então a seqüência (X1, X2, ..., Xn) poderá obter 2n resultados do tipo 
(0,0,1,1,...,0), (0,0,...,1,1), (1,1,...,1). 
Se X =∑ Xi, então X = número de sucessos nos “n” ensaios, daí, 
( )
( )
( ) knk
1n1
0n0
qp
k
n
kxP
qp
1
n
1xP
qp
0
n
0xP
−
−
−
⋅⋅


==
⋅⋅


==
⋅⋅


==
K
 
para k = 0, 1, 2, ... , n. 
 
 Neste caso dizemos que: 
X ~ Binomial(n,p) 
 
 Se x = x1+ x2+ ... + xn, onde cada xi ~ Bernoulli(1,p) apresenta, respectivamente, uma esperança 
matemática e variância E(xi) =p e Var(xi) =p(1-p), então, para a distribuição binomial teremos: 
◊ Esperança matemática: E(x) = np 
◊ Variância: Var(x) = p(1-p) = npq. 
 
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
1) As repetições do experimento são independentes, 
2) É uma soma de Bernoulli, 
3) A v.a X, conta o número de sucessos nas n repetições do experimento. (ensaios de Bernoulli), 
4) Existe P(Sucesso) = “p” constante e consequentemente q = P(F) = 1-p, também constante. 
 Em particular a probabilidade de que não ocorra sucesso é: 
( ) ( ) nn0 qp1p0xP =−⋅== 
 88
 E a probabilidade de que ocorra pelo menos um sucesso é: 
( ) ( ) ( ) nq10xP11xP11xP −==−=<−=≥ 
 
EXEMPLO 1: 
Em oito lançamentos de uma moeda, qual será a probabilidade de ocorrerem pelo menos duas caras? 
 
Definindo a v.a aleatória X = número de caras nos oito lançamentos, verificamos de imediato que 
X~Binomial(8,1/2). Assim: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1xP0xP12xPcaras duas menos peloP =+=−=≥= 
 
 
 
Exercícios 
 
1. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é de 25%. Se ele atirar cinco vezes, qual a probabilidade dele 
acertar dois tiros. 
 
2. Suponha que 1% dos programas que dão entrada no guichê de atendimento ao aluno, no CPD da UCB, não 
são executados devido a erros. Se em um dado dia 500 programas dão entrada no referido guichê, calcule: 
a) A probabilidade de que todo a os programas tenham sido executados 
b) O número esperado de programas não executados devido a erro de impressão. 
 
3. Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são pagas após o 
vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: 
a) Nenhuma ser paga com atraso. 
b) No máximo 2 serem pagas com atraso. 
c) Ao menos 3serem pagas com atraso. 
 
 
 89
UNIDADE XI – DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo aplicada em inúmeros 
fenômenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento teórico da inferência estatística. É também 
conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss. 
 Seja X uma v.a. (variável aleatória) contínua. X terá distribuição normal se: 
 ( )f x e x
X
= ⋅ ⋅ − ∞ < < ∞
− −

1
2
1
2
2
σ
µ
σ
Π , 
onde os parâmetros µ e σ2 são respectivamente a Média e a Variância. 
 A notação utilizada é: 
X ~ N ( µ , σ2 ) 
que é lida da seguinte forma: a v.a. X se aproxima a uma distribuição normal com média µ e variância σ2 . 
 Para o cálculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas: primeiro, para a integração 
de f(x) , pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento em série; segundo, seria a elaboração de uma tabela 
de probabilidades, pois f(x) depende de dois parâmetros, fato este que acarretaria um grande trabalho para tabelar 
essas probabilidades considerando-se as várias combinações de µ e σ2 . 
 Os problemas foram solucionados por meio de uma mudança de variável obtendo-se, assim, a 
distribuição normal padronizada ou reduzida. 
 
VARIÁVEL NORMAL PADRONIZADA 
 
 A variável Z é dada por: 
σ
µ−X
 
onde X é uma variável normal de Média µ e variância σ2 . 
 Então a esperança matemática e a variância de Z será respectivamente: 
E[z] = 0 
Var[z] = 1 
 Então sua função será: 
( )ϕ z e z= ⋅ ⋅
−1
2
1
2
2
Π 
 A notação utilizada é: 
X ~ N ( 0 , 1 ) 
que é lida da seguinte forma: a v.a. X se aproxima a uma distribuição normal padronizada com média 0 e 
variância 1. As probabilidades, isto é, as áreas sob esta curva estão tabeladas. 
 90
 
PROPRIEDADES DA CURVA NORMAL 
 
 O gráfico da função densidade de uma variável normal tem a forma de um sino e é simétrico 
em relação à média µ . Fixando-se a média, verificamos que o “achatamento” está diretamente ligado ao valor 
de σ . Ou seja, 
 
 Analisando os gráficos da distribuição normal padrão, poderemos destacar as seguintes 
propriedades: 
1. f(x) é simétrica em relação à origem X= µ ou ϕ (z) é simétrica em relação à origem z=0; 
2. f(x) possui um ponto de máximo para x = µ ou ϕ (z) possui um ponto de máximo para z=0 e, neste caso, sua 
ordenada vale 
1
2
0 39⋅ ≅Π , . 
3. f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞ ou ϕ (z) tende a zero quando z tende para ± ∞; 
4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abcissasvalem µ + σ e µ - σ ou ϕ (z) tem dois pontos de inflexão 
cujas abcissas valem -1 e +1. 
 91
Stevenson, William J. Estatística aplicada à administração. Harper & Row do Brasil, São Paulo, 1986, p.461 
 
 92
Exemplos: 
 
1. Para cada item abaixo monte a curva normal, pinte a área e encontre a probabilidade. 
a) P(0 < z < 1) 
b) P(-2,25 < z < 1,2) 
c) P(z > 1,93) 
 
2. As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60m e desvio 
padrão de 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: 
a) Entre 1,5 e 1,8m 
b) Mais de 1,75 
c) Menos de 1,48 
d) Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos? 
 
 93
 
 
UNIDADE XII – ESTIMAÇÃO 
 
INTRODUÇÃO 
 
 O processo de estimação tem por finalidade avaliar parâmetros de uma distribuição. 
 Podemos utilizar um único número real para avaliar um parâmetro. Neste caso estamos procedendo a uma 
estimação pontual. 
 O valor da média amostral é uma estimação por ponto. Da mesma forma o valor da variância, desvio 
padrão e proporção amostrais são estimativas por ponto dos parâmetros variância, desvio padrão e proporção 
populacionais, respectivamente. 
 
Estimador Estimativa por ponto Parâmetro 
x x = 20 µ 
s2(x) s2(x) = 5 ( )xσ 2 
s(x) s(X) = 2 ( )xσ 
pˆ pˆ = 0,3 p 
 
 
 Fazendo uso da estimativa por ponto encontramos uma dificuldade a de que amostras diferentes 
conduzem normalmente a estimativas diferentes. A variabilidade não pode ser controlada neste processo. 
 O controle estatístico desta variabilidade nos leva então a fixar a estimação através de um intervalo. 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
 É um intervalo real, centrado na estimativa pontual que deverá conter o parâmetro com determinada 
probabilidade. Esta probabilidade será conhecida como nível de confiança associado ao intervalo. 
 A notação mais usual para o nível de confiança é 1-α . 
 Se pensarmos em uma diferença entre o valor estimado e o parâmetro, já que diferentes amostras 
conduzem a valores diferentes de estimadores, estaremos calculando o erro-padrão de estimativa. 
 
 e = |estimativa – parâmetro | 
 
 O controle da precisão se resumirá na determinação do erro-padrão da estimativa. 
 
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS 
 
 Considere a seguinte população x={2, 3, 4, 5}. 
 Esta população apresenta ( ) ( ) 12,1xσ 25,1xσ 3,5 µ 2 === 
 Se nós considerarmos todas as amostras de tamanho n=2 que podemos obter com reposição teremos: 
 
 A1 = (2,2) A6 = (3,4) 
 A2 = (2,3) A7 = (3,5) 
 A3 = (2,4) A8 = (4,4) 
 A4 = (2,5) A9 = (4,5) 
 A5 = (3,3) A10 = (5,5) 
 
 Cada uma destas amostras possui um valor médio: 
 
 2 x1 = 3,5 x 6 = 
 2,5 x 2 = 4 x 7 = 
 3 x 3 = 4 x8 = 
 3,5 x 4 = 4,5 x 9 = 
 3 x 5 = 5 x10 = 
 
 94
 
 
 Podemos calcular a médias das médias bem como a sua variância e o seu desvio-padrão, assim: 
 ( ) ( ) 87,0xσ 75,0xσ 3,5 x 2 === 
 
 Note que: 
 A média das médias é igual a média populacional : µ x = ; 
 A variância das médias amostrais mantém com a variância populacional a seguinte relação : 
 ( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = 
 
No exemplo: ( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = = 75,0
2
1,25 = 
 
 Estes resultados são conclusões gerais dos seguintes teoremas: 
 
1. Se a variável aleatória x admite distribuição Normal de probabilidade com média µ e desvio padrão 
( )xσ , então a distribuição amostral das médias é também normal com média µ x = e desvio padrão 
( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = ; 
2. Se uma variável aleatória x tem média µ e desvio padrão ( )xσ , então distribuição amostral das 
médias se aproxima de uma distribuição normal com média µ x = e com desvio-padrão 
( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = , a medida que o número n de elementos tende a infinito. 
 
EXEMPLO: 
 
1. Uma v.a. x tem distribuição normal com média 20 e desvio-padrão de 3. Calcule a probabilidade de que uma 
amostra de 20 elementos selecionada ao acaso tenha média maior que 21. 
 
 
O INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL 
 
 Como já foi estudado para se transformar uma distribuição Normal x em uma distribuição Normal z 
utilizamos a mudança de variável ( )xσ
µ -x z = 
 A transformação da distribuição x na distribuição z , é por analogia: ( )xσ
x - x z = como foi visto 
anteriormente µ x = e ( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = , logo: ( )
n
xσ
µ - x z = . 
 
 Em termos de distribuição normal z o nível de confiança é a probabilidade de o intervalo conter o 
parâmetro estimado, isto representa a área central sob a curva normal entre os pontos 
2
α
2
α z e z- , 
 
 95
 
 
 
 Observe que a área total sob a curva normal é unitária. Se a área central é 1-α ., a notação 
 z-
2
α representa o valor de z que deixa a sua esquerda 2
α , e a notação 
2
αz representa o valor de z que deixa a 
sua direita a área 
2
α . Desta forma: 
 
 P( z-
2
α < z < 
2
αz ) = 1-α 
 
 Se substituirmos o valor de z por ( )
n
xσ
µ - x z = e utilizando alguns cálculos matemáticos encontraremos a 
expressão final do Intervalo de Confiança para a estimativa da média populacional. 
 
 ( ) ( ) α1 
n
xσz x µ 
n
xσz - xp
2
α
2
α −=


 ⋅+<<⋅ 
 
 Para calcular esta expressão deveremos pressupor o conhecimento do desvio-padrão populacional, e que a 
amostragem foi obtida com reposição. Além disso é importante salientar que ( )
n
xσz
2
α ⋅ representa o erro-padrão 
de estimativa, e que os limites são estabelecidos pelos valores (estimativa – erro, estimativa +erro) 
 
EXEMPLO: 
 
1. O departamento de recursos humanos de uma grande empresa informa que o tempo de execução de tarefas 
que envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa, mas que o desvio padrão permanece 
aproximadamente constante, em 3 minutos.Uma nova tarefa está sendo implantada na empresa. Uma amostra 
aleatória do tempo de execução de 50 destas novas tarefas forneceu o valor médio de 15 minutos. Determine 
um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução desta nova tarefa. 
 
 
 96
UNIDADE XIII – TESTES DE SIGNIFICÂNCIA 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Como vimos toda avaliação feita sobre um parâmetro populacional, o qual não possuímos nenhuma 
informação, pode ser resultado do processo de estimação feito através do Intervalo de Confiança. 
 Se já possuímos alguma informação, podemos testá-la no sentido de aceitá-la como verdadeira ou rejeitá-la. 
 Os Teste de Significância tem por finalidade, a partir da elaboração de uma Hipótese Nula H0 e de uma 
Hipótese Alternativa Ha, verificar a aceitabilidade ou não da informação. Por isso ser conhecida como uma Regra de 
Decisão. 
 Para sermos mais claro, isto significa que a partir de uma amostra de uma determinada população iremos 
confirmar ou não o valor do parâmetro através da análise de decisão sobre aceitar H0 ou rejeitar H0. Quando nos 
propuser utilizar tal procedimento devemos ter em mente que estamos sujeitos a erros e acertos na decisão. De um 
modo geral, em qualquer tipo de decisão, os acertos e os erros podem ser dispostos segundo o quadro abaixo: 
 
 
 Estado da Natureza 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Aceita-se H0 Decisão Correta Erro tipo II 
Rejeita-se H0 Erro tipo I Decisão Correta 
 
 Erro Tipo I - Consiste em rejeitar H0 quando H0 é verdadeira 
 Erro Tipo II - Consiste em aceitar H0 quando H0 é falsa 
 Nível de Significância do Teste - é a probabilidade de se cometer o erro Tipo I, ou seja, rejeitar uma Hipótese 
verdadeira. O Nível de significância será denotado por α . 
 
 A probabilidade do erro Tipo II não possui um nome em especial mais será conhecida como erro β . 
 A fixação da Hipótese alternativa é que diferencia os vários tipos de Teste. 
 
EXEMPLOS 
 
 1. Julgamento do Réu 
 Estadoda Natureza 
Decisão Inocente Culpado 
Inocente Decisão Correta Erro tipo II 
Culpado Erro tipo I Decisão Correta 
 
 O erro Tipo I, no caso, seria julgar o réu culpado, quando na verdade ele é inocente. 
 O erro Tipo II seria julgar o réu inocente, quando na verdade ele é culpado. 
 
 2. Decisão de um médico sobre uma cirurgia 
 Estado da Natureza 
Decisão Precisa Operar Não Precisa Operar 
Opera Decisão Correta Erro tipo II 
Não Opera Erro tipo I Decisão Correta 
 
O erro Tipo I seria não operar, quando na verdade o paciente precisa ser operado. 
 O erro Tipo II seria operar, quando o paciente não precisa ser operado. 
 
 Na realização dos testes, controlaremos o erro tipo I, procurando diminuir a probabilidade de sua ocorrência. 
 Quando controlarmos os níveis β e α , estaremos realizando um Teste de Hipótese. 
 
 
 
 97
TIPOS DE TESTES. 
 
1º Tipo - 

 >
=
rparâmetro:H
rparâmetro:H
a
0 2º Tipo - 

 <
=
rparâmetro:H
rparâmetro:H
a
0 3º Tipo - 

 ≠
=
rparâmetro:H
rparâmetro:H
a
0 
 
A realização de um Teste Compreende as seguintes etapas 
 
1. Identificar H0; 
2. Identificar Ha (atenção, pois Ha define o tipo de teste a ser empregado) 
3. Construir a região crítica para o teste escolhido; 
4. Calcular o estimador e verificar se ele se situa na região de aceitação ou na região de rejeição da hipótese 
H0. 
5. Decisão do teste – Se o estimador estiver na região de aceitação se Aceita H0 
 Se o estimador estiver na região de rejeição, Rejeita-se H0. 
 
TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA A MÉDIA 
 
 O melhor estimador para µ e x . A distribuição amostral das médias é normal, com: ( )
n
xσ
µ - x z = 
1º Teste -

>
=
b µ :H
b µ :H
a
0
 A região crítica (de Rejeição – RR) é: ( )
n
xσ
µ - x z = 
 
2º Teste – 

<
=
b µ :H
b µ :H
a
0
 A região crítica (de Rejeição – RR) é: ( )
n
xσ
µ - x z = 
 
3º Teste – 

≠
=
b µ :H
b µ :H
a
0
 A região crítica (de Rejeição – RR) é: ( )
n
xσ
µ - x z = 
 98
 
EXEMPLO 
 
 1. Uma amostra Aleatória de 40 elementos retirados de uma população normal com desvio padrão igual a 3 
apresentou um valor médio igual a 60. Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média populacional 
seja igual a 59, supondo a hipótese alternativa µ >59. 
Solução: 
 
 

>
=
59 µ :H
59 µ :H
a
0
 
 Ao nível de 5% de significância, a região crítica para a hipótese nula é: 
 
 
 O valor de zt = 1,64 é proveniente da tabela normal onde no corpo podemos procurar o valor de 0,5 - 0,05. 
 O valor de zc é dado por: 
 
 ( )
n
xσ
µ - x zc = = 
40
3
59 - 60 = 2,11 
 
 Como o valor de zc = 2,11 está na região de rejeição para a hipótese H0. Não temos motivos para aceitar H0. 
 
 2. Uma amostra aleatória de 20 elementos selecionados de uma população normal com variância 3 apresentou 
média 53. Teste ao nível de significância de 5% a hipótese µ =50. 
Solução 
 
 

≠
=
50 µ :H
50 µ :H
a
0
 
 Ao nível de 5% de significância, a região crítica para a hipótese nula é: 
 
 O valor de zc é dado por: 
 
 ( )
n
xσ
µ - x zc = = 
20
1,73
50 - 53 = 7,755 
 
 Como o valor de zc = 7,755 está na região de rejeição para a hipótese H0. Não temos motivos para aceitar H0. 
 99
Exercícios 
 
1. Uma agência de empregos alega que os candidatos por elas colocados nos últimos 6 meses têm salários de 
R$9.000,00 anuais, em média. Uma agência governamental extraiu uma amostra aleatória daquele grupo, 
encontrando um salário médio de R$8.000,00, com desvio-padrão de R$1.000,00 com base em 50 empregados. 
Teste a afirmação da agência, contra a alternativa de que o salário médio é inferior a R$9.000,00, ao nível de 
significância de 0,05. 
2. A DeBug Company vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo de 400 horas no mínimo. Uma 
análise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou uma média de eficiência de 380 horas. Teste a alegação da 
companhia, contra a alternativa que a duração é inferior a 400 horas, ao nível de 0,01, se o desvio-padrão é 90 horas.