Exercícios de Geometria Analítica

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2a Lista de exerc´ıcios – Geometria Anal´ıtica
Profa: Edilaine Nobili
1) Determine a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2,−5),
sabendo que sua origem e´ o ponto A = (−1, 3).
2) Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~w tal que
(a) 4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w
(b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)
3) Dados os vetores ~u = (3,−4) e ~v = (−9/4, 3), verifique se existem nu´meros
a e b tais que ~u = a~v e ~v = b~u. Estes vetores sa˜o paralelos?
4) Considere os vetores ~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14).
Encontre nu´meros a1 e a2 tais que ~w = a1 ~v1 + a2 ~v2.
5) Dados os pontos A = (−1, 3), B = (1, 0) e C = (2,−1), determine o
ponto D tal que ~DC = ~BA.
6) Determine a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam
paralelos.
7) Verifique se o vetor ~u = (1,−2, 1) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~v = (0, 1, 2)
e ~w = (−4, 0, 1).
8) Calcule os valores de a para que o vetor ~u = (1− a,−1) tenha mo´dulo 2.
9) Verifique se sa˜o colineares os pontos:
(a) A = (−1,−5, 0), B = (2, 1, 3) e C = (−2,−7,−1)
(b) A = (2, 1,−1), B = (3,−1, 0) e C = (1, 0, 4)
10) Verifique se e´ um paralelogramo o quadrila´tero de ve´rtices (na˜o neces-
sariamente consecutivos) A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5) e
D = (2, 1, 3).
11) Ache o aˆngulo entre ~u e ~v nos casos abaixo.
(a) ~u = (1, 0, 1), ~v = (−2, 10, 2)
1
(b) ~u = (−1, 1, 1), ~v = (1, 1, 1)
12) Qual deve ser o valor de k para que os vetores ~u = (5, k + 1,−3) e
~v = (1, 2, 3) sejam ortogonais?
13) Calcule |2~u+ 4~v|2, sabendo que |~u| = 1, |~v| = 2 e que a medida do aˆngulo
entre ~u e ~v e´ de 2pi
3
.
14) Ache a projec¸a˜o do vetor ~w sobre ~v nos casos abaixo.
(a) ~w = (1,−1, 2), ~v = (3,−1, 1);
(b) ~w = (−1, 1, 1), ~v = (−2, 1, 2);
(c) ~w = (1, 3, 5), ~v = (−3, 1, 0).
2