lista3fm

Prévia do material em texto

Fundamentos de Matemática - Profa. Marina Ribeiro
Exercícios - Lógica, Sentenças abertas e Quantificadores
1. Transforme a proposição algébrica �A equação x2 − 3x+ 2 = 0 possui solução� em alguma linguagem
lógica usando um quantificador e escolhendo um universo de discurso.
2. Encontre as negações de cada uma das seguintes proposições:
(a) Todas as cobras são répteis.
(b) Alguns matemáticos não são sociáveis.
(c) Alguns cavalos são dóceis.
3. Em cada um dos itens do exercício anterior, encontre um universo de discurso.
4. Verifique a validade das proposições a seguir considerando a proposição aberta p(x) = x2+2x+1 ≥ 0,
no universo de discurso dos números reais.
(a) (∀x)(p(x)) (b) (∃x)(p(x)) (c) (∀x)( p(x)) (d) (∃x)( p(x))
5. Transforme as seguintes proposições abertas em proposições verdadeiras, utilizando quantificadores no
universo dos números reais.
(a)
√
x3 = x
(b) (x− 1)(x+ 1) = x2 − 1
(c)
√
x2 = x
(d) x2 − 2x+ 4 6= 0
(e) x+ y = 5
(f)
a3 − 2a2 − a
a
= a2 − 2a− 1
(g) cos(x) = 0
(h) x2+ y2+ z2 = (x+ y+ z)2−2xy−2xz−2yz
6. Apresente a negação de (∃!x)(p(x)).
7. Considere o argumento H1, H2, H3, H4 ` T , onde
H1: Se ele estuda medicina, então ele se prepara para conseguir uma boa vida.
H2: Se ele estuda artes, então ele se prepara para viver uma boa vida.
H3: Se ele prepara para conseguir uma boa vida ou se prepara para viver uma boa vida, então seu
colégio não é uma perda de tempo.
H4: Seu colégio é uma perda de tempo.
T : Ele não estuda nem medicina nem arte.
Demonstre que esse argumento é válido.
8. Determinar o conjunto-verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada uma das sentenças
abertas abaixo:
(a) 2x = 6
(b) x2 − 5x+ 6 = 0
(c) x2 − 5x = 0
(d) x− 1 < 4
(e) x− 5 ∈ N
9. Determine o conjunto-verdade em Z (conjunto dos números inteiros) de cada uma das seguintes sen-
tenças abertas:
(a) x2 − 9 = 0
(b) 3x2 − 12 = 0
(c) x2 − x− 12 = 0
(d) x2 ≤ 3
(e) 2x2 + 5x = 0
(f) |2x− 1| = 5
10. Determinar o conjunto-verdade em A = {1, 3, 4, 7, 9, 11} de cada uma das seguintes sentenças abertas:
1
(a) x2 < 25
(b) x2 + 3 ∈ A
(c) x3 − 4x2 = 0
(d) x é divisor de 27.
(e) x2 ∈ A
(f) |2x− 5| < 5
(g) 3 ≤ x < 10
11. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta �x + y > 5� em A × B, sendo A = {1, 3, 4} e
B = {2, 3, 5}.
12. Dados os conjuntos A = {2, 3, 5} e B = {3, 6, 8, 11}, determinar o conjunto-verdade da sentença aberta
�x|y� (x divide y) em A×B.
13. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta �x+3y� em N×N, sendo N o conjunto dos números
naturais.
14. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta �mdc(x, y) = 1� em A×A, sendo A = {2, 3, 4, 5}.
15. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta �3|(x− y)� em A×A, sendo A = {2, 3, 4, 5, 6}.
16. Determinar o conjunto-verdade em A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} de cada uma das seguintes sentenças abertas
compostas:
(a) x < 7 ∧ x é ímpar.
(b) x é par ∧ x+ 2 ≤ 10
(c) (3|x) ∧ (x < 8)
(d) (x+ 4) ∈ A ∧ (x2 − 5) /∈ A
17. Determinar o conjunto-verdade em A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} de cada uma das seguintes sentenças abertas
compostas:
(a) x2 − 3x = 0 ∨ x2 = x
(b) x é primo ∨ (x+ 5) ∈ A
(c) x é par ∨ x2 < 9
(d) x2 ≥ 16 ∨ x2 − 6x+ 5 = 0
(e) ∼ (x ≤ 3)
(f) ∼ (x|12)
(g) ∼ (x é primo)
(h) ∼ (x é ímpar)
(i) ∼ (x+ 1) ∈ A
(j) x é primo ←→ (x+ 3) ∈ A
(k) x é par ←→ x2 < 8
(l) x2 > 12←→ x2−5x+6−0
18. Determinar o conjunto-verdade em A = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} de cada uma das seguintes sentenças
abertas compostas:
(a) x é par → x2 − 1 = 0.
(b) (x+ 5) /∈ A→ x < 0.
(c) x|12→ x é primo.
(d) x2−1 6= 0→ x2+4x+3 =
0.
19. Sejam as sentenças abertas em R : p(x) : 2x− 3 ≤ 0; q(x) : x+ 1 ≥ 0.
Determine o conjunto-verdade de p ∧ q e de p→ q.
20. Sejam as sentenças abertas em R : p(x) : −4x+ 3 ≥ 0; q(x) : 5x2 + 19x+ 12 = 0.
Determine o conjunto-verdade de p ∨ q e de p ∧ q.
21. Sejam as sentenças abertas em A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} : p(x) : x2 ∈ A; q(x) : x é ímpar.
Determine o conjunto-verdade de p→ q, de q → p, e de p←→ q.
22. Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
(a) (∀x ∈ R)(|x| = x)
(b) (∃x ∈ R)(|x| = 0)
(c) (∀x ∈ R)(x+ 1 > x)
(d) (∃x ∈ R)(x2 = x)
(e) (∃!x ∈ R)(x2 = x)
(f) (∃x ∈ R)(x+ 2 = x)
(g) (∀x ∈ R)(x2 = x)
(h) (∃x ∈ R)(2x = x)
(i) (∃x ∈ R)(x2 + 5 = 2x)
(j) (∃x ∈ R)(x2 + 3x = 2)
(k) (∀x ∈ R)(2x+ 3x = 5x)
23. Dar a negação das proposições do exercício anterior.
24. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, determinar o valor lógico de cada uma das proposições abaixo:
2
(a) (∃x ∈ A)(x+ 3 = 10)
(b) (∃x ∈ A)(x+ 3 < 5)
(c) (∃x ∈ A)(3x > 72)
(d) (∃x ∈ A)(x+ 3 < 10)
(e) (∃x ∈ A)(x2 + 2x = 15)
(f) (∃!x ∈ A)(x2 + 2x = 15)
(g) (∀x ∈ A)(x+ 3 ≤ 7)
25. Dar a negação das proposições do exercício anterior.
26. Sendo A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dar um contra-exemplo para cada uma das seguintes proposições, caso
ela seja falsa:
(a) (∀x ∈ A)(x+ 5 < 12)
(b) (∀x ∈ A)(x2 > 1)
(c) (∀x ∈ A)(x é primo)
(d) (∀x ∈ A)(x é par)
(e) (∀x ∈ A)(x|72)
(f) (∀x ∈ A)(0x = 0)
27. Sendo A = {3, 5, 7, 9}, dar um contra-exemplo para cada uma das seguintes proposições, caso ela seja
falsa:
(a) (∀x ∈ A)(x+ 3 ≥ 7)
(b) (∀x ∈ A)(x é primo)
(c) (∀x ∈ A)(x é ímpar)
(d) (∀x ∈ A)(|x| = x)
28. Dar a negação de cada uma das proposições do exercício anterior.
29. Dar a negação das proposições abaixo:
(a) (∀x ∈ A)(p(x)) ∧ (∃x ∈ A)(q(x))
(b) (∀x ∈ A)(p(x)) ∧ (∀x ∈ A)(q(x))
(c) (∃!x ∈ A)( p(x)) ∨ (∀x ∈ A)( q(x))
(d) (∃x ∈ A)(p(x))→ (∀x ∈ A)( q(x))
(e) (∀x)(x+ 2 ≤ 7) ∧ (∃x)(x2 − 1 = 3)
(f) (∃x)(x2 = 9) ∨ (∀x)(2x− 5 6= 7)
30. Sendo {1, 2, 3, 4, 5} o universo das variáveis x e y, determine o conjunto-verdade de cada uma das
seguintes sentenças abertas:
(a) (∃y)(2x+ y < 7)
(b) (∃!y)(2x+ y < 7)
(c) (∀x)(2x+ y < 10)
31. Sendo {1, 2, 3} o universo das variáveis x, y e z, determine o valor lógico de cada uma das seguintes
proposições:
(a) (∃x)(∀y)(x2 < y + 1)
(b) (∀x)(∃y)(x2 + y2 < 12)
(c) (∀x)(∀y)(x2 + y2 < 12)
(d) (∀x)(∀y)(x2 + 2y < 10)
(e) (∃x)(∀y)(x2 + 2y < 10)
(f) (∃!x)(∀y)(x2 + 2y < 10)
(g) (∀x)(∃y)(x2 + 2y < 10)
(h) (∃x)(∃y)(x2 + 2y < 10)
(i) (∃x)(∀y)(∀z)(x2 + y2 < 2z2)
(j) (∃x)(∃y)(∀z)(x2 + y2 < 2z2)
(k) (∃x)(∃!y)(∀z)(x2 + y2 < 2z2)
32. Considerando o universo dos números reais, determine o valor lógico de cada uma das seguintes
proposições:
(a) (∀y ∈ R)(∃x ∈ R)(x+ y = y)
(b) (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x+ y = 0)
(c) (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(xy = 1)
(d) (∀y ∈ R)(∃x ∈ R)(y < x)
3
33. Dê a negação de cada uma das proposições do exercício acima.
34. Dê a negação de cada uma das proposições abaixo:
(a) (∀x)(∃y)(p(x) ∨ q(y))
(b) (∃y)(∃x)(p(x) ∧ q(y))
(c) (∃x)(∀y)(p(x) ∨ q(y))
(d) (∀x)(∃y)(p(x, y)→ q(y))
(e) (∃x)(∀y)(p(x, y)→ q(x, y))
4