Análise da escolha da cesta ótima do consumidor

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ESCOLHA
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ESCOLHA
Objetivo
Analisar o processo de escolha da cesta ótima do consumidor a partir da 
sua função de utilidade e restrição orçamentária.
O Problema do consumidor
Suponha que os preços unitários dos bens são p = (p1, p2) e um consumidor 
tem função de utilidade u e riqueza m. 
Definição: O problema do consumidor é achar a melhor cesta dentre todas 
2
as que pertecem à restrição orçamentária. Ou seja:



≤+
=
mxpxp
xxu
PC
2211
21
 a sujeito
),( Maximizar 
)(
consumidor do demanda
ou equilíbrio ótima, cesta de chamada é ),( (PC), do soluçãoA *2
*
1
* xxx =
O PC visto graficamente
B2
2/ pm
),( *2
*
1 xx•
*
2x
A cesta ótima de consumo é aquela
qué está na restrição orçamentária
e pertence à curva de indiferença
com maior utilidade.
No gráfico ao lado a solução 
corresponde a uma cesta 
que é o ponto de tangência entre 
a sua curva de indiferença e a 
3
B11/ pm*1x
a sua curva de indiferença e a 
restrição orçamentária
Exercício: Resolver o PC nos casos de utilidade para substitutos perfeitos 
e para complementares perfeitos. Resolver no caso p = (3,5) e m = 100
e depois para qualquer preço e riqueza
3
2
2
121 ),( utilidade a para PC oResolver :Exercício xxxxu =
:então veldiferenciá é 
 e 0 ,0 riqueza, a todaesgota que PC do solução é ),( Se *2
*
1
*
2
*
1
*
u
xxxxx >>=
 :Proposição
1,2
*
2
*
11,2 ),( TSExxTMS = ou
2
1
*
2
*
12
*
2
*
11
),(
),(
p
p
xxUMg
xxUMg
=
Demonstração (Argumento geométrico)
B2 A inclinação da reta orçamentária
(p / p ) é igual à inclinação da 
4
B11/ pm
2/ pm
),( *2
*
1 xx•
*
1x
*
2x
(p1 / p2) é igual à inclinação da 
reta tangente à curva de indiferença 
na cesta ótima, ou seja: 
2
1
*
2
*
12
*
2
*
11
),(
),(
p
p
xxUMg
xxUMg
=
Demonstração (Argumento analítico)
Usando a restrição orçamentária podemos colocar x2 em função de x1: 
1
2
1
2
22211 xp
p
p
mxmxpxp −=⇒=+
Substituimos isto no PC e resulta: 





−
≥ 1
2
1
2
10
, Max
1
x
p
p
p
mxu
x
:que lembrando zero a igualamos e derivamos então ,0 Como *1 >x
x
5
0))/()/(,())/()/(,(
2
1*
1212
*
1
2
*
1212
*
1
1
=





−×−
∂
∂
+−
∂
∂
p
pxpppmx
x
uxpppmx
x
u
u
1x
2x 1x
2
1
*
2
*
12
*
2
*
11
2
1
),(
),(
/
/ 
p
p
xxUMg
xxUMg
xu
xu
==
∂∂
∂∂
⇒
Demonstração: (Argumento econômico)
1,21,2
*
2
*
1 e consumo de ótimas decisões são 0 e 0 que
 Suponha absurdo.por asalternativeliminar de argumento o osUtilizarem
TSETMSxx ≠>>
Caso I: TMS2,1 > TSE2,1 , por exemplo TMS2, = 2 e TSE2,1 = 1
Neste caso o indivíduo trocaria 2 unidades do B2 por 1 unidade do B1,
ou seja, o bem 1 é mais importante para ele.
Por outro lado os dois bens custam o mesmo. Portanto, o indivíduo teria
incentivo a deixar de comprar 2 unidades do B2 para comprar 2 unidades
do B1 e ficaria estritamente melhor. Contradição!, pois x* é ótima!
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do B1 e ficaria estritamente melhor. Contradição!, pois x* é ótima!
Caso II: TMS2,1 < TSE2,1 , por exemplo TMS2,1 = 1 e TSE2,1 = 2
Neste caso o indivíduo trocaria 1 unidade do B2 por 1 unidade do B1
Por outro lado duas unidades do B2 podem ser trocadas no mercado por 
1 unidade do B1, ou seja o B1 é mais caro que o B2. Portanto, o indivíduo 
teria incentivo a deixar de comprar 1 unidade do B1 para comprar 2 unidades
do B2 e ficaria estritamente melhor. Contradição!, pois x* é ótima!
Portanto, TMS2,1 = TSE2,1
Exercício: Resolver o problema do consumidor Cobb-Douglas
Solução: αα −1= 2121 ),( xxxxu
αααα αα −−− −==⇒ 212
1
2
1
11 )1( , xxUMgxxUMg
2
1
21
1
2
1
1
)1( p
p
xx
xx
=
− −
−−
αα
αα
α
α
1
2
1
2
2
1
1
2 )1( 
)1(
 x
p
px
p
p
x
x
α
α
α
α −
=⇒=
−
⇒
Substituindo na restrição orçamentária:
mx
p
ppxp =




 −
+ 1
2
1
211
)1(
α
α
1
*
1 p
mx α=⇒
Substituindo:
2
*
2 )1( p
mx α−=⇒
7
p  2α 1p 2p
Portanto a demanda da Cob-Douglas é:
2
212
1
211 )1(),,( e ),,( p
mmppx
p
mmppx αα −==
Observação: A demanda da Cobb-Douglas é a única que preserva constante
a razão entre o gasto em cada mercado e a riqueza disponivel, ou seja: 
)1(),,( e ),,( 21222111 αα −=×=×
m
mppxp
m
mppxp
Observações
1.- A proposição anterior é útil quando sabemos que a solução está na reta
orçamentária e é com quantidades estritamente positivas.
2.- Para poder achar a cesta ótima utilizando a proposição anterior devemos
resolver as duas seguintes equações:
mxpxpTSExTMS =+= *22
*
111,2
*
1,2 e )(
Casos onde não pode ser utilizada a proposição
I) Preferências não convexas
Observe que na cesta x* se cumpre
8B1
B2
Não é solução
É solução
Observe que na cesta x* se cumpre
TMS = TSE porém essa cesta não 
é solução. Isto porque a igualdade 
das taxas é condição necessária
mas não suficiente para 
otimalidade
Se as preferências são convexas
a igualdade das taxas é condição
suficiente também
*x
II) Soluções de canto
B1
B2
TMS TSE
1,211,2
*
21
*
1
)0,/( 
 se 0 ,/ será soluçãoA 
TSEpmTMS
xpmx
>
==
1,221,2
2
*
2
*
1
)/,0( :se
 / ,0 será solução a te,Analogamen
TSEpmTMS
pmxx
<
==
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III) Existência de saciedade
B1
B2
•
*
1x
*
2x
),(0),( caso, Neste *2
*
1
*
2
*
11 xxUMgxxUMg ==
Observe novamente que podem haver cestas
onde TMS é igual a TSE, porém não são 
ótimas
Exercícios: Resolver os seguintes PC
rgeneraliza Depois .60 );3,2( ;),( .1 22
2
121 ==+=− mpxxxxu
rgeneraliza Depois .60 );3,2( ;),( .2 2/12
2/1
121 ==+=− mpxxxxu
rgeneraliza Depois 
 .10 );7,1( e 60 );3,2( ;),( .3 2
2/1
121 ====+=− mpmpxxxxu
60 );3,2( ;42),( .4 21
2
2
2
121 ==++−−=− mpxxxxxxu
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Rafael Chervenski
1. Preferências não-convexas, já que a TMS = UMg1/UMg2 = 2x1/2x2 = x1/x2. Quando isso ocorre, se aumentarmos x1 e diminuirmos x2, TMS aumenta. Logo, é uma solução de canto. Calcula-se qual o máximo de cada bem pode-se comprar com a limitação orçamentária dada, de acordo com o preço do bem. Substitui-se então essas quantidades na função utilidade, primeiro para o B1=0 e depois para B2=0. Assim, descobre-se a Utilidade máxima e assim a cesta ótima.
2. Calcula-se a TMS. Depois, TMS = p1/p2; coloca-se x2 em evidência.
Depois, calcula-se restrição orçamentária substituindo o x2 isolado acima. Calcula-se assim o x*1, ou seja, o x1 ótimo, e calcula-se o x*2 no que foi isolado acima.
Rafael Chervenski