MODELOS PROBABILÍSTICOS

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MODELOS PROBABILÍSTICOS
Prof. José Fletes
	U F S C
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Introdução
Modelos discretos: 
	- Bernoulli e Binomial;
 - Poisson;
 - Aproximação da Binomial pela Poisson.
Modelo contínuo: 
- Uniforme
- Exponencial
	- Normal (Curva DeMoivre-Laplace-Gauss);
 - Aproximação da Binomial pela Normal
			
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Modelo Bernoulli
a: observação da ocorrência numa situação 	 		 dicotômica (BINÁRIA)
 S (Sucesso)  X = 1  P(X=1) = p
 ou
 S’ (Insucesso)  X = 0  P(X=0) = q = 1-p
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Modelo Bernoulli
a: observação da ocorrência numa situação 	 		 dicotômica (BINÁRIA)
X = 1 se ocorre SUCESSO ..... ( S )
X = 0 se ocorre INSUCESSO ..... ( S’ )
P (X =1) = p e P (X = 0) = 1- p = q
Exemplos: lançamento da moeda uma única vez.
 lançamento do dado uma única vez.
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Modelo Bernoulli
 Considere uma prova Bernoulli
Observe que a soma das probabilidades é igual à unidade: 
 (p + q) = 1 
	
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Modelo Bernoulli
Modelo Matemático
P ( X = x ) = px * ( 1 – p ) 1 – x
COMPROVAÇÃO:
P ( X = 1 ) = p1 * ( 1 – p ) 1 – 1 = p
P ( X = 0 ) = p0 * ( 1 – p ) 1 – 0 = q
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Modelo Bernoulli
Propriedades:
1- O valor esperado da distribuição bernoulli é: 
				E(X) = p
2-A variância é: 
			 V(X) = p* (1- p) = p*q
Tarefa individual: demonstre os valores acima para o Valor esperado e a Variância.
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Modelo Binomial
a: número de sucessos que ocorrem em n experiências tipo Bernoulli.
	Y = {n° de sucessos em n provas tipo Bernoulli}
 n
Y = { 1; 2; 3; ......; n } =  Xi
 i = 1
 onde cada Xi é binário ( 0; 1)
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Modelo Binomial
a: observação da ocorrência em n=2 provas tipo Bernoulli (X1;X2) Eventos Variáveis Prob.
 S  SS  (1;1)  p*p=p2
 p 
 S
 p 
 q S’  SS’  (1;0)  p*q=pq
 q p S  S’S  (0;1)  q*p=pq
 S’
 q 
 S’  S’S’  (0;0)  q*q=q2
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Modelo Binomial
 Considere duas provas Bernoulli: n=2
Observe que a soma das probabilidades sendo igual à unidade reproduz o binômio: 
 (p + q) 2 = p 2 + 2*pq + q 2 
	
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Modelo Binomial
Cada termo do binômio representa a probabilidade de um determinado número de sucessos e pode ser calculada utilizando a expressão abaixo que define a função massa de probabilidade, p(y):
P(Y=y) = p(y) = (y n) *py * q(n-y)
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Modelo Binomial
 A função massa de probabilidade binomial dá a probabilidade para um número exato de "sucessos" em n ensaios independentes, onde a probabilidade de sucesso p em uma única tentativa é constante.
			P(Y=y) = p(y) = (y n)*py * q(n-y)
 em que: (y n) = n!/[y!*(n-y)!]
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Modelo Binomial
Propriedades:
1- O valor esperado da distribuição binomial é: 
				E(Y) = n*p
2-A variância é: 
			 V(Y) = n*p*(1- p) = n*p*q
Obs. Importante: 
Parâmetros característicos do Modelo
Binomial  n e p 
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Modelo Binomial - Simulações
 Nas figuras acima, simulam-se duas situações
 que nos permite concluir que:
 - a distribuição binomial é assimétrica 
 quando p se aproxima de 0 ou 1
 e
 - simétrica quando p =0,5.
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Problema 1
Registros mostram que há uma probabilidade de 0,33 de uma pessoa, ao fazer compras em um supermercado, adquirir uma promoção especial de creme dental. 
Determine a probabilidade de que, dentre dez (10) pessoas que estão fazendo compras no supermercado, três (3) adquiram a promoção.  Dados:  n = 10 e   p = 0,33 Aplicando o modelo binomial, se obtém a probabilidade para P(Y=3) = 0,26014 ou aproximadamente 26%.
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Problema 2
Uma grande remessa de peças de uma compra é recebida em um armazém e uma amostra de 10 peças é retirada para o controle de qualidade. 
O fabricante declara que haverá no máximo 3% de peças defeituosas. 
Qual a probabilidade de encontrar no máximo uma (1) peças defeituosas na amostra?  Dados: n = 10 e    p  0,05
Aplicando o modelo binomial, se obtém a probabilidade para P(Y  1) = 0, 96549 ou aproximadamente 96,5%.
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Conceito
    A Distribuição Normal ou Gaussiana é um modelo matemático para variáveis que têm um comportamento simétrico em torno da média, com distribuição de freqüência na forma de um sino (figura abaixo).
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Função Densidade de Probabilidade – f(x)
Onde:
π = constante matemática (pi =3,141592654);  
exp = base dos logaritmos naturais (Є = 2,71828);
μ = média da população;
σ = desvio-padrão.
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
X ~  (; 2)
 
  =  2
Os dois parâmetros que especificam completamente a posição e a forma de uma curva normal são dados pela média ( ) que identifica o centro, enquanto o desvio-padrão () fornece a dispersão dos dados. 
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Transformação linear de X:
Objetivos:
	1) Reduzir a magnitude dos valores originais de X;
	2) Tornar adimensional a variável transformada, obtendo a distribuição normal padrão com parâmetros  μ = 0 e σ2 = 1.
 
 Z ~  (0; 1)
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
 A variável Z tem distribuição Normal com média
zero e desvio-padrão unitário, sendo denominada de
distribuição normal padrão e sua função densidade
de distribuição f(z) é:
Obs.:
Na calculadora do SestatNet, se não for especificado a média e
desvio-padrão ela assume respectivamente valores 0 e 1 
gerando probabilidades de uma distribuição normal padrão. 
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Propriedades:
O valor esperado da distribuição normal é
E(X) = μ e a variância é V(X) = σ2. 
Restrição:
Valores de probabilidade estão associados a intervalos de
valores da variável e estes intervalos são definidos em números
de desvios-padrão conforme mostrado nas tabelas 1 e 2. 
Essas tabelas apresentam valores de probabilidade
considerando a variável Z (distribuição normal padrão). 
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Tabela 1 - Probabilidade para o intervalo de
valores máximos (menores ou iguais) a z.
Tabela 2 - Probabilidade para a faixa de
valores entre z1 e z2. 
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Regra Empírica da Curva Normal)
 
 99,73%
 95,45% 
 
 68,27%
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Problema 3: Se uma variável aleatória tem distribuição normal com μ = 10 e σ = 5, qual é a probabilidade de ela assumir um valor no intervalo de 12 a 15 utilizando a distribuição normal padrão?
Transformando x=12 e x=15 em unidades padronizadas, obtém-se:
	z = (12 - 10)/5 = 0,40   e      z = (15 - 10)/5 = 1,00
Utilizando a tabela normal padrão (Tabela E.2) para esses valores se obtém Z0,40 = 0,1554 e Z1,00 = 0,3413.
	Assim, a probabilidade procurada é:
 0,3413 – 0,1554 = 0,1859 
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Há problemas em que são fornecidas as áreas sob a curva normal e devemos encontrar os valores correspondentes
de z.
Problema 4:
Verificou-se o peso( X ) de 450
latas de tinta, aproximando-o
do modelo gaussiano conforme a
tabela ao lado.
- Calcule a média () e o desvio
padrão ().
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Solução do Problema 4:
	Utilizando o conceito de probabilidade experimental e o fato de que X ~  (=?; =?), pode-se calcular a partir das probabilidades os valores de z que permitem a obtenção dos parâmetros, média e desvio padrão, como segue:
 P(0 Z1-z1) = P[0 Z1 -(20-/)]=0,244
 P(0 Z2  z2) = P[0 Z2(20,5-/)]=0,445
 Obtendo-se os valores de:
 z1 ≈ -0,655 	
 z2 = 1,60
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Modelo DeMoivre-Laplace-Gauss
(Modelo da Curva Normal)
Solução do Problema 4:
	Com os valores de: z1 ≈ - 0,655 e z2 = 1,60
	Pode-se compor o sistema de equações que permite a obtenção da média e do desvio-padrão:
	-0,655  -(20-/)  -0,655*  -20 +  
	 1,60  (20,5-/)  1,60 *   20,5 -  
 0,945 *  = 0,5   = 0,53 Kg
 Substituindo, obtém-se a média
  = 20,35 Kg
	
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LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Definição: 
Se um evento de probabilidade p é observado repetidamente em ocasiões independentes, a proporção da frequência observada deste evento em relação ao número total de repetições converge em direção a p a
medida que o numero de repetições se torna arbitrariamente grande.
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LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Lei Fraca dos Grandes Números 
Dada uma variável aleatória X, a sua média amostral converge em probabilidade para o seu valor esperado.
Lei Forte dos Grandes Números 
Dada uma variável aleatória X, a sua media amostral converge quase certamente para o seu valor esperado.
Obs.: Se a variável aleatória não tem média, a Lei dos Grandes Números não se aplica!
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TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
Os Xi têm que ser variáveis aleatórias independentes;
As variáveis aleatórias Xi não precisam ser necessariamente identicamente distribuídas;
Formalmente o TCL só é aplicado quando n tende a infinito. 
Na prática n é finito e deve ser grande suficiente para que a parte central da distribuição seja aproximadamente Gaussiana;
O TCL não diz nada sobre as caudas da distribuição de X mas somente que a região central da distribuição poder ser bem descrita por uma Gaussiana. A região central é uma região com pelo menos n. em torno da média de X. A largura da região que pode ser bem aproximada pela Gaussiana depende da distribuição de X.
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TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
EXEMPLO
Suponha que determinada empresa fabrique
parafusos cujo diâmetro segue uma distribuição uniforme de média igual a 5,00 mm e desvio padrão igual a 0,01 mm.
Qual é a probabilidade de se obter uma amostra de 100 parafusos com diâmetro médio maior que 5,001 mm?
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APROXIMAÇÕES
DA BINOMIAL POR GAUSS
1) Sendo X  B(n,p), desejamos calcular P(a < X < b), com a e b inteiros e 0  (a, b)  n.
2) Para n suficientemente grande, a aproximação será feita através da variável Y  N(=np, 2 =npq).
3) Em geral, essa aproximação é aceitável sempre que np  5 e npq  5 (alguns autores consideram o limite igual a 10). 
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EXEMPLO
DA BINOMIAL POR GAUSS
Suponha que 25% de todos os motoristas habilitados de SC não possuam seguro. 
Em uma amostra de 50 motoristas, qual a probabilidade de no máximo 5 terem seguro?
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APROXIMAÇÕES
DA POISSON POR GAUSS
1) Sendo X  P(  ), desejamos calcular P(a < X < b), com a e b inteiros e 0  (a, b)  n.
2) Para n suficientemente grande, a aproximação será feita através da variável Y  N(=  , 2 = ).
3) Em geral, essa aproximação é aceitável sempre que 	  5
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EXEMPLO
DA POISSON POR GAUSS
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PROBLEMA 1
Uma loja recebe em média 16 clientes por dia com desvio padrão de 4 clientes. Calcule aproximadamente a probabilidade de num período de 30 dias a loja receber mais do que 500 clientes. Calcule também a probabilidade aproximada de nesse mesmo período a média de clientes ultrapassarem a 18 clientes. 
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PROBLEMA 2
Sabe-se que numa corrida de revezamento de 42 km com 8 atletas (cada um correndo 5,25 km) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 30 minutos e desvio padrão de 8 minutos. Se 8 atletas são escolhidos ao acaso para uma prova, qual a probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 3 horas? E em mais de 4 horas?
Qual é tempo que apenas 5% das equipes farão abaixo dele?
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REFERÊNCIA
NASSAR, OHIRA & REIS. SEstat - Sistema Especialista de Apoio ao Ensino de Estatística. UFSC, 2009. 
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