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Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matema´tica Escuela Profesional de F´ısica “Teor´ıa Especial y General de la Relatividad” Informe final del curso de seminario y proyecto de tesis Alumno: Romero Fun˜o Alonso Co´digo : 060958-G Supervisor: Dr. Espicha´n Carrillo Jorge Abel Semestre Acade´mico: 2011-A Callao-Peru´ Notaciones Magnitudes tridimensionales: Impulso y energ´ıa de una part´ıcula ~P y ε. Funcio´n Hamilton H. Potenciales escalar y vectorial del campo electromagne´tico φ y ~A. Densidad de carga y de corriente ρ y ~J. Magnitudes cuadrimensionales: Se ha adoptado una me´trica de signatura (+,-,-,-) Las componentes de los 4 vectores se ordenan en la forma Bi = (B0, ~B). 4-vector posicio´n X i = (ct, ~x) 4-velocidad ui = dxi/dτ 4-impulso pi = ( ε c , ~p) 4-vector corriente ji = (cρ, ρ~v) 4-tensor de campo electromagne´tico Fµν = ∂Aν ∂Xµ − ∂Aµ ∂Xν 2 I´ndice general 1. Resumen 5 2. Introduccio´n 7 3. Relatividad de Galileo 9 4. Relatividad Especial 13 5. Meca´nica relativista para una part´ıcula libre 25 6. Electrodina´mica y relatividad 33 7. El Campo Gravitatorio en Meca´nica No Relativista 45 8. El Campo Gravitatorio en Meca´nica Relativista 47 9. Movimiento de una Part´ıcula en un Campo Gravitatorio 49 10.Tensor de Curvatura 55 11.Identidades de Bianchi 63 12.Ecuaciones de Campo de Einstein 67 13.Solucio´n de Schwarzschild 73 14.Conclusiones 79 15.Bibliograf´ıa 81 3 4 Cap´ıtulo 1 Resumen En este trabajo presentamos la Relatividad de Galileo para luego llegar a la Relatividad Especial, justo aqu´ı vamos a tratar la cinema´tica y la dina´mi- ca relativista, para as´ı llegar a la demostracio´n de que la electrodina´mica de Maxwell es, efectivamente, covariante, asimismo tambie´n vamos a ver uno de los conceptos ba´sicos de la Relatividad Especial que no siempre se presenta de una forma clara : La Covariancia de las Leyes de la F´ısica frente a las Transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, el hecho de que las ecuaciones de Maxwell sean covariantes frente a dichas transformaciones no suele mencio- narse detalladamente y apenas si se menciona como un dato histo´rico, cuando en realidad fue este hecho y no u´nicamente el experimento de Michelson y Morley el que dio la clave a Einstein para formular su teor´ıa, luego vamos a dar una breve descripcion de los Campos Gravitatorios en Meca´nica Relati- vista y no Relativista, y a continuacio´n daremos una breve descripcio´n del tensor de Curvatura, el cual lo utilizaremosr para formular las Identidades de Bianchi, asimismo tambie´n estableceremos algunas consideraciones para poder encontrar la forma del tensor de Einstein, y por u´ltimo vamos a tra- tar la Solucio´n Esta´tica de la Ecuacio´n de Einsteon con Simetr´ıa Esferica y Cilindrica. 5 6 Cap´ıtulo 2 Introduccio´n El 20 de junio de 1905, la revista Annalen der Physik recibio´ un manus- crito firmado por un f´ısico que era, por ese entonces, casi totalmente descono- cido, pero que habria de alcanzar, poco tiempo despues, y a raiz justamente de la publicacio´n, una fama y una popularidad sin precedentes en todo el mundo. Este f´ısico fue Albert Einstein, quien mientras ocupaba un puesto de trabajo en la oficina suiza de patentes de Berma en 1905, escribio´ tres art´ıculos que como mencionamos lo establecieron como uno de los principa- les cientificos del mundo e inicio´ dos revoluciones conceptuales, revoluciones que cambiaron nuestra compensio´n del tiempo, del espacio, y de la propia realidad. Uno de estos trabajos publicados por Einstein fue sobre Relatividad Especial. Esta´ teor´ıa, que en cierto tiempo muchos la cre´ıan ser un juego parado´gico del pensamiento, se convirtio´ durante el tiempo transcurrido en una de las piedras angulares de la F´ısica. La F´ısica moderna es tan imposible de con- cebir sin la teor´ıa de la relatividad, como lo ser´ıa sin la nocio´n actual de los a´tomos y de las mole´culas. Es dificil hasta enumerar los feno´menos f´ısicos que son imposibles de explicar sin la teor´ıa de la relatividad, aqu´ı enunciamos dos postulados ba´sicos de esta´ teor´ıa: postulado 1, todas las leyes de la f´ısica, en ausencia de fuerzas gravitatorias, son ide´nticas en todos los sistemas de referencia inerciales y el postulado 2, donde nos dice que la velocidad de la luz en el vac´ıo es constante e igual en todo sistema de referencia inercial. Es este el verdadero punto de partida de la nueva f´ısica relativista puesto que el caracter finito constante de la velocidad de la luz implica que las inter- acciones se transmiten con una cierta velocidad y, quiza´ ma´s importante, el tiempo y el espacio se entremezclan. En 1912, Einstein tuvo la idea genial de que el espacio-tiempo fuera curvo en lugar de plano, como se habia supuesto hasta entonces. Su idea consis- 7 tio´ en que la masa y la energ´ıa deformar´ıan el espacio-tiempo en una manera todav´ıa por determinar. Los objetos como las manzanas o planetas inten- tar´ıan moverse en l´ıneas rectas por el espacio-tiempo, pero sus trayectorias parecer´ıan curvadas por un campo gravitatorio porque el espacio-tiempo es curvo. La nueva teor´ıa del espacio-tiempo curvado presentada en 1916 fue denominada relatividad general, para distinguirla de la teor´ıa original sin gravedad, que fue fue conocida desde entonces como relatividad especial. La relatividad general cambio´ completamente los ana´lisis sobre el origen y el destino del universo. 8 Cap´ıtulo 3 Relatividad de Galileo El principio de Relatividad de Galileo establece que las Leyes de la F´ısi- ca deben ser independientes de cualquier sistema de referencia inercial, por lo que es imposible determinar por medio de experimentos meca´nicos si un sistema inercial se mueve o no [5]. Si dos sistemas inerciales se mueven uno con respecto al otro con veloci- dad constante, se puede considerar para fines pra´cticos que el primer sistema esta´ en reposo y el segundo en movimiento, o, viceversa. Cualquiera de los dos casos son equivalentes en el sentido que las Leyes de la F´ısica son las mismas en los dos sistemas. De esta manera el movimiento es un concepto relativo al sistema desde el cual se mide [5]. A continuacio´n presentamos el Principio de Relatividad de Galileo en for- ma matema´tica. Para esto, consideremos dos sistemas inerciales S y S ′ que se mueven uno con respecto al otro con velocidad constante v. Ahora vamos asociar al sistema S y S ′ los sistemas de coordenadas (x,y,z) y (x ′ ,y ′ ,z ′ ), respectivamente. Asimismo, escojamos los ejes x y x ′ a lo largo de la direccio´n de la velocidad de sistema S ′ . Adema´s suponemos que, en el tiempo t = 0, los dos sistemas de coordenadas coinciden. As´ı las coordenadas de los dos sistemas se van a relacionar de la siguiente manera: x ′ = x− vt, (3.1) y ′ = y, (3.2) z ′ = z. (3.3) 9 Solo falta determinar como relacionamos t y t ′ medidos en los dos sistemas S y S ′ , respectivamente. Si sincronizamos lo relojes en S y S ′ en t = t ′ = 0 en el momento en que las medidas de los relojes coinciden, nuestro sentido comu´n nos indica que los dos relojes marcara´n lo mismo en un tiempo posterior [5]. Dicho de otro modo, debe existir un tiempo absoluto. Esto nos conduce a complementar las ecuaciones anteriores con la condicio´n adicional: t ′ = t. (3.4) Con esto vamos a obtener un conjunto de transformaciones de las coordena- das de un sistema S a las coordenadas en un sistema S ′ . x ′ = x− vt, y ′ = y z ′ = z (3.5) t ′ = t. Este conjunto de transformaciones es llamado Transformaciones de Galileo. De esta manera, podemos decir que segu´n el Principio de Relatividad de Galileo las Leyes de la F´ısica no cambian su forma frente a estas transforma- ciones. Las Transformaciones de Galileo son va´lidas para feno´menos de naturaleza meca´nica; sin embargo, para feno´menos de naturaleza electromagne´tica di- chas transformaciones no son va´lidas [5]. Veamos esto con un ejemplo: Como la rapidez de propagacio´n de la luz en el vacio es c =3,108m/s, y considerando las Transformaciones de Galileo; la posicio´n del frente de ondas en un sistema S ′ respecto de un sistema S esta dado por ~r ′ = ~r− ~vt. (3.6) Derivando con respecto al tiempo esta ecuacio´n obtenemos la velocidad del frente de ondas en cada sistema de referencia, dada por ~˙r ′ = ~˙r− ~v, (3.7) pero como la velocidad del frente de ondas en nuestro sistema de referencia S es c, entonces tenemos, en forma escalar, que r˙ ′ = c− v., (3.8) 10 De esta ecuacio´n se observa que la velocidad de propagacio´n del frente de ondas no es la misma en ambos sistemas de referencia. Sin embargo, segu´n el experimento de Michelson y Morley la velocidad de la luz es constante e independiente de la velocidad de su fuente siendo la misma en ambos siste- mas de referencia. Entonces las Transformaciones de Galileo no son correctas para feno´menos de naturaleza electromagne´tica [5]. Por otro lado, segu´n el Principio de Relatividad de Galileo las Leyes de la F´ısica deben ser independientes de cualquier sistema de referencia inercial. Sin embargo, las Leyes del Electromagnetismo, las ecuaciones de Maxwell, no cumplen el principio al pasar de un sistema de referencia inercial a otro, esto quiere decir que las ecuaciones de Maxwell toman una forma distinta, lo que parece implicar que las Leyes F´ısicas sean diferentes. Debido a esta incompatibilidad entre la Relatividad Galileana y el Electro- magnetismo se tuvo que crear otras transformaciones de coordenadas, pare- cidas a las de Galileo, que mantenga invariante la forma de las ecuaciones de Maxwell, llamadas las Transformaciones de Lorentz [5]. 11 12 Cap´ıtulo 4 Relatividad Especial El primer Principio de la relatividad especial formulada por Einstein dice: LAS LEYES DE LA FI´SICA SON LAS MISMAS EN TODOS LO SISTE- MAS DE REFERENCIAS INERCIALES, en concordancia con el Principio de Relatividad de Galileo. El segundo Principio de la Relatividad especial formulada por Einstein di- ce: NO EXISTE NINGU´N TIPO DE INTERACCIO´N QUE SUPERE EL VALOR DE LA VELOCIDAD DE PROPAGACIO´N DE LA LUZ EN EL VACI´O, DICHO VALOR ES CONSTANTE E INDEPENDIENTE DE LA VELOCIDAD DE SU FUENTE; justamente esto es lo que indica el experi- mento de Michelson y Morley. A continuacio´n vamos a buscar el conjunto de transformaciones que per- mitan mantener la invariancia de las Ecuaciones de Maxwell al pasar de un sistema de referencia inercial a otro. Analizando la ecuacio´n del frente de ondas en ambos sistemas de referencia S y S ′ tenemos, Para S r2 = (ct)2 = x2 + y2 + z2, (4.1) Para S ′ r ′2 = (ct ′ )2 = x ′2 + y ′2 + z ′2. (4.2) Entonces para que se cumpla el segundo postulado de Einstein los frentes de ondas deben ser iguales en ambos sistemas de referencia. Considerando que el sistema S ′ se mueve a lo largo del eje xx ′ con res- pecto a S con velocidad v constante y adema´s que x ′ y t ′ del sistema S ′ son funciones lineales de x y t del sistema S, entonces podemos establecer las 13 nuevas transformaciones de coordenadas entre los del sistemas S y S ′ de la siguiente manera: x ′ = ax+ bt, (4.3) y ′ = y, (4.4) z ′ = z, (4.5) t ′ = ex+ ft, (4.6) donde los valores de a, b, e y f , deben ser determinados. Reemplazando las ecuaciones (4.3), (4.4), (4.5) y (4.6) en (4.2), obtenemos: c2(ex+ ft)2 = (ax+ bt)2 + y2 + z2, (4.7) c2(e2x2 + 2efxt+ f 2t2) = (a2x2 + 2abxt+ b2t2) + y2 + z2, (4.8) t2(c2f 2 − b2) = x2(a2 − c2e2) + y2 + z2 + 2xt(ab− efc2). (4.9) Adema´s, como los frentes de ondas deben ser iguales en los dos sistemas de referencia, entonces de las ecuaciones (4.1) y (4.9) se tiene. c2f 2 − b2 = c2, (4.10) a2 − c2e2 = 1, (4.11) ab = efc2. (4.12) Asimismo, teniendo en cuenta que x ′ = x− vt, y si x ′ = 0, entonces dx dt = v. (4.13) 14 Tambie´n, como x = x ′ + vt, y si x = 0, se afirma que dx ′ dt′ = −v. (4.14) As´ı haciendo x ′ = 0 en la ecuacio´n (4.3), tenemos: 0 = ax+ bt, x = −bt a , dx dt = − b a . (4.15) Comparando las ecuaciones (4.13) y (4.15), obtenemos − b a = v. (4.16) Tambie´n de la ecuacio´n (4.3), se tiene t = x ′ b − ax b , (4.17) el cual al reemplazar en (4.6), se tiene t ′ = ex+ f ( x ′ b − ax b ) . (4.18) Ahora, haciendo x = 0 en (4.18), tenemos t ′ = fx ′ b , x ′ = bt ′ f , dx ′ dt′ = b f . (4.19) 15 Si comparamos (4.14) con (4.19), la siguiente relacio´n es obtenida b f = −v. (4.20) Asimismo, de (4.16) y (4.20) obtenemos − b f = − b a , a = f. (4.21) Luego reemplazando (4.21) en (4.10), se obtiene c2a2 − b2 = c2, (4.22) y si sustituimos el valor de b de la relacio´n (4.16) en (4.22), se tiene c2a2 − (−av)2 = c2, a = 1√ 1− v2 c2 . (4.23) Entonces, usando (4.21), el valor de f es f = 1√ 1− v2 c2 . (4.24) Ahora de (4.23) en (4.16), se tiene que b es b = − v√ 1− v2 c2 . (4.25) Asimismo de (4.21) en (4.12) y despejando el valor de e tenemos e = b c2 , Ahora, reemplazando (4.25) en esta expresio´n obtenemos el valor de e e = − v c2√ 1− v2 c2 . (4.26) 16 Ahora reemplazando las ecuaciones (4.23), (4.24), (4.25) y (4.26) en las ecua- ciones (4.3) y (4.6), obtenemos: x ′ = x− vt√ 1− v2 c2 , (4.27) y ′ = y, (4.28) z ′ = z, (4.29) t ′ = − v c2 x+ t√ 1− v2 c2 . (4.30) A este conjunto de transformaciones se les denomina las Transformaciones de Lorentz. As´ı, haciendo β = v c , (4.31) γ = 1√ 1− v2 c2 , (4.32) y adema´s considerando: x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z, podemos presentar las Transformaciones de Lorentz de la forma siiguiente x ′ 0 = γ(x1 − βx0), 17 x ′ 1 = γ(x0 − βx1), x ′ 2 = x2, x ′ 3 = x3. Ahora si el observador es colocado en el sistema S ′ , entonces la velocidad del sistema S con respecto a el observador seria (−v). De esto podemos obtener las Transformaciones de Lorentz Inversa reempla- zando el valor (v) por (−v) en las las Transformaciones de Lorentz, obtenien- do: x = x ′ + vt ′√ 1− v2 c2 , (4.33) y = y ′ , (4.34) z = z ′ , (4.35) t = v c2 x ′ + t ′√ 1− v2 c2 . (4.36) Un concepto muy u´til [5] en la teor´ıa de la relatividad es el espacio-tiempo; por ejemplo, si queremos describir un suceso que ocurre en cierto lugar y en cierto momento, debemos especificar no so´lo las tres coordenadas espaciales sino tamb´ıen una cuarta coordenada, el tiempo en que ocurrio´ el suceso. Al conjunto [5] de todos los sucesos podemos entenderlo como un espacio de cuatro dimensiones: tres espaciales y una temporal. Cada punto en este espa- cio es un suceso, el cual si ocurre en un punto con coordenadas (x, y, z) en el tiempo t, tendra´ coordenadas (x, y, z, ct) en el espacio-tiempo. Hay que notar que hemos usado como cuarta coordenada el tiempo multiplicado por c, con el fin de que la coordenada temporal tambie´n tenga unidades de distancia (en estas unidades cada segundo equivale a una distancia de 300000km). 18 Ahora bien, en el espacio comu´n y corriente de tres dimensiones es posi- ble definir la distancia entre dos puntos. En coordenadas cartesianas, por ejemplo, la distancia entre los puntos P1 y P2 con coordenada (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2), respectivamente es segu´n el teorema de Pita´goras√ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2. Una propiedad ba´sica de esta distancia es ser invariante, en el sentido de que una transformacio´n de coordenadas no debe afectar su valor. Si consideramos ahora la unio´n del espacio tridimensional y del tiempo como un espacio de cuatro dimensiones, cabe la pregunta de si se puede definir una distancia entre dos sucesos (x1, y1, z1, ct1) y (x2, y2, z2, ct2). Uno estar´ıa tentado a definirla como√ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 + (ct2 − ct1)2. Siguiendo la analog´ıa con el teorema de Pita´goras. Pero podemos preguntar- nos de que si es la distancia as´ı definida un invariante. La clave para esta pregunta es el postulado de Einstein referido a que la velocidad de la luz es constante en cualquier sistema de coordenadas. Consideremos un sistema inercial S en el que sucede lo siguiente del punto (x1, y1, z1) se emite, en el tiempo t1, una sen˜al luminosaque llega al punto (x2, y2, z2) en el tiempo t2. La velocidad de la sen˜al luminosa es c = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 t2 − t1 , c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2 = 0. (4.37) Considerando ahora el mismo suceso visto desde otro sistema inercial S ′ , donde la sen˜al luminosa es emitida del punto (x ′ 1, y ′ 1, z ′ 1) en el tiempo t ′ 1 y recibida en el punto (x ′ 2, y ′ 2, z ′ 2) en el tiempo t ′ 2. Por la invariancia de la velocidad de la luz, tenemos c = √ (x ′ 2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)2 + (z′2 − z′1)2 t ′ 2 − t′1 , c2(t ′ 2 − t ′ 1) 2 − (x′2 − x ′ 1) 2 − (y′2 − y ′ 1) 2 − (z′2 − z ′ 1) 2 = 0. (4.38) Si definimos ahora la seudodistancia (al cuadrado) entre dos sucesos (x1, y1, z1, ct1) y (x2, y2, z2, ct2) como S212 = c 2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2. (4.39) 19 Vemos que si S212 = 0 en un sistema S, tambie´n S ′2 12 = 0 en otro sistema S ′ , donde, por supuesto tenemos S ′2 12 = c 2(t ′ 2 − t ′ 1) 2 − x′2 − x ′ 1) 2 − (y′2 − y ′ 1) 2 − (z′2 − z ′ 1) 2. (4.40) Es as´ı como la seudodistancia entre dos sucesos puede considerarse invariante si su valor es cero. Si queremos que esta propiedad de invariancia persista aun cuando el valor de la seudodistancia no sea cero, tenemos que tomar la definicio´n (4.39) para la seudodistancia S212 y postular que e´sta permanece invariante al pasar de un sistema inercial a otro. Como hemos visto, este postulado es enteramente compatible con la hipo´tesis de que la velocidad de la luz es invariante. Es importante notar que el termino (t2 − t1) en la definicio´n (4.39) lleva un signo negativo, en contra de lo que se podria esperar generalizando direc- tamente el teorema de pita´goras. Asimismo, si la separacio´n entre dos sucesos considerados es infinitesimal [5] , la seudodistancia entre ellas es: dS2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (4.41) Ahora la posicio´n de un suceso o evento en un espacio cuadrimensional puede expresarse en te´rminos de las cuatro componentes.(x0, x1, x2, x3) y teniendo en cuenta las siguientes transformaciones del sistema S a S ′ . x ′ 0 = γ(x1 − βx0), x ′ 1 = γ(x0 − βx1), x ′ 2 = x2, x ′ 3 = x3. Por otro lado, sabiendo que S2 = S ′2, (4.42) y considerando las ecuaciones (4.39) y (4.40), se obtiene c2t2 − x21 − x22 − x23 = c2t ′2 − x′21 − x ′2 2 − x ′2 3 , 20 x20 − x21 − x22 − x23 = x ′2 0 − x ′2 1 − x ′2 2 − x ′2 3 , x20 − (x21 + x22 + x23) = x ′2 0 − (x ′2 1 + x ′2 2 + x ′2 3 ), x20 − |~x|2 = x ′2 0 − |~x ′|2. (4.43) En forma ana´loga se puede definir cantidades cuya representacio´n esta´ dada en te´rminos de cuatro componentes. Por ejemplo sea la cantidad A =⇒ A = (A0, A1, A2, A3). (4.44) donde A es llamado cuadrivector. Tambie´n, las componentes de la cantidad A satisfacen A ′ 0 = γ(A1 − βA0), A ′ 1 = γ(A0 − βA1), A ′ 2 = A2, A ′ 3 = A3. adema´s, tambie´n se tiene A20 − |~A|2 = A ′2 0 − |~A ′|2. (4.45) Nota: Usualmente se introduce dos tipos de componentes para describir a un cua- drivector, estas son Componentes Contravariantes Aα Componentes Covariantes Aα donde: α = 0, 1, 2, 3 Asimismo, La relacio´nes entre sus componentes vienen dadas por A0 = A 0, A1 = −A1, A2 = −A2, A3 = −A3 A continuacio´n definamos la cuadrivelocidad como un cuadrivector tangente 21 a la l´ınea de universo de la part´ıcula, relacionada con la velocidad coorde- nada de un cuerpo medida por un observador en reposo cualquiera, donde esta velocidad se define mediante la expresio´n newtoniana como dxi/dt, don- de xi = (t, x1, x2, x3) son el tiempo coordenado y las coordenadas espaciales medidas por el observador, para el cual la velocidad newtoniana viene da- da por (1, v1, v2, v3). Sin embargo, esta medida newtoniana de la velocidad no resulta u´til en teor´ıa de relatividad, porque las velocidades newtonianas medidas por diferentes observadores no son fa´cilmente relacionables por no ser magnitudes covariantes. Debido a esto en relatividad se introduce una modificacio´n en la expresio´n de la velocidad, introduciendo un invariante re- lativista, este invariante es precisamente el tiempo propio de la part´ıcula que es fa´cilmente relacionable con el tiempo coordenado mediante la expresio´n siguiente: dt = γdτ . Entonces se define la cuadrivelocidad como Uα = dxα/dτ, (4.46) Uα = d dτ (x0, x 1, x2, x3), Como dt = γdτ , entonces: Uα = γ d dt (x0, x 1, x2, x3), y adema´s si x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z, obtenemos Uα = γ d dt (ct, x, y, z), Uα = γ ( d(ct) dt , dx dt , dy dt , dz dt ) , Uα = γ(c, vx, vy, vz), Uα = (γc, γ~v). (4.47) esta es la llamada cuadrivelocidad de la part´ıcula. Ahora, haciendo el producto escalar, se tiene U2 = UαUα = (γc, γ~v)(γc,−γ~v), 22 U2 = γ2c2 − γ2v2 = c2. y como este producto escalar nos da una constante, entonces es un invariante. Ahora haciendo una derivada con respecto al tiempo propio de este invariante d dτ (U2) = 0, 2Uα d dτ Uα = 0, aαUα = 0. donde aα es la cuadriaceleracio´n. De esta expresio´n se observa que Uα y a α son ortogonales. 23 24 Cap´ıtulo 5 Meca´nica relativista para una part´ıcula libre La meca´nica [1] de las part´ıculas relativistas se construye con facilidad partiendo del principio de mı´nima accio´n; adema´s, sabiendo de la meca´nica cla´sica, que la magnitud fundamental de la cual se deducen las ecuaciones de movimiento, es la accio´n S¸, o sea la integral por el tiempo de la funcio´n de Lagrange tomada a lo largo de la trayectoria de movimiento de una part´ıcula entre dos puntos fijados 1 y 2, que eta definida como S¸ = ∫ 2 1 Ldt. (5.1) En los puntos 1 y 2 se conoce las coordenadas de la part´ıcula y los instantes de tiempo cuando ella pasa por dichos puntos. La Accio´n es estacionaria en las trayectorias reales (f´ısicas), o sea, su primera variacio´n se reduce a cero δS¸ = 0. (5.2) Adema´s teniendo [1] en cuenta que la funcio´n de Lagrange para una pat´ıcula libre no relativista es L = mv2 2 . (5.3) Por otro lado, vamos a exigir que la Accio´n que deseamos encontrar para la part´ıcula libre relativista tenga las dos siguientes propiedades: a) Invariancia relativista [1] , lo que es necesario para que se cumpla el principio de la relatividad: igualdad de las leyes de la meca´nica en todos los sistemas inerciales. 25 b) Con v/c<<1 [1] , la funcio´n de Lagrange de una part´ıcula libre relati- vista debe reducirse a la expresio´n conocida en la meca´nica cla´sica. Retornemos al problema de la accio´n para la part´ıcula relativista. Al no actuar fuerzas o campos, la u´nica magnitud relativista invariante que ca- racteriza el movimiento de la part´ıcula del punto 1 al punto 2 del espacio cuadrimensional es la longitud de su l´ınea de universo entre los respectivos puntos, o´sea el intervalo dS. Con esto estamos cumpliendo la primera pro- piedad que debe tener la accio´n [1]. Ahora escribiendo la accio´n en la forma S¸ = α ∫ 2 1 dS. (5.4) donde α es una constante invariante que caracteriza a la part´ıcula, de la misma forma que cada part´ıcula se caracteriza por su masa m en la meca´nica cla´sica [4]. adema´s, teniendo en cuenta que: dS = c √ 1− v 2 c2 dt. (5.5) donde v es la velocidad tridimensional de la part´ıcula. la cual reemplazando en (5.4), nos da S¸ = αc ∫ 2 1 √ 1− v 2 c2 dt. (5.6) Si comparamos (5.1) con (5.6), obtenemos que L debe tener la siguiente forma L = αc √ 1− v 2 c2 . (5.7) Ahora encontraremos [4] el valor de α partiendo de la segunda propiedad que debe tener la accio´n elegida, esto es para v/c<<1 la ec.(5.7) debe ser igual a (5.3). Entonces desarrollemos L de (5.7) en serie de potencias de v/c prescindiendo de te´rminos de orden superior. L = αc ( 1− v 2 c2 ) 1 2 = αc ( 1− v 2 2c2 + ..... ) , L ≈ αc− αv 2 2c2 . (5.8) 26 Debido a que los te´rminos constantes en la funcio´n de Lagrange no aparecen en las ecuaciones de movimiento, entonces podemos prescindir de la constante αc y nos quedar´ıa [4]: L = −αv 2 2c2 . Comparando esta u´ltima ecuacio´n con el Lagrangiano cla´sico [4] , obtenemosmv2 2 = −αv 2 2c2 , de la cual obtenemos el valor de α [1] α = −mc. Reemplazando este valor de α en (5.4) tenemos que la accio´n es S¸ = −mc ∫ 2 1 dS. (5.9) y adema´s en (5.7) obtenemos que la funcio´n de Lagrange es L = −mc2 √ 1− v 2 c2 . (5.10) donde m es la masa en reposo de la part´ıcula. NOTA: Si nosotros [4] tomamos en cuenta la me´trica de signatura (-, +, +, +) en- tonces la Accio´n tendr´ıa la siguiente forma S¸ = −α ∫ 2 1 dS. Ahora si hacemos el mismo procedimiento anterior para hallar el Lagran- giano, obtendr´ıamos L = −mc2 √ 1− v 2 c2 . Del me´todo lagrangiano [1] en meca´nica cla´sica, sabemos que el impulso ~P en te´rmino de la funcio´n de Lagrange L, se expresa como ~P = ∂L ∂~v . (5.11) 27 aqu´ı ∂L/∂~v es la representacio´n simbo´lica del vector cuyas componentes son las derivadas de L respecto de las correspondientes componentes de ~v [4] De la ec (5.10) tenemos que L = −mc2 √ 1− (v 2 x + v 2 y + v 2 z) c2 , el cual al reemplazar en (5.11), se obtiene cada componente de ~P Px = ∂L ∂vx = ∂ ∂vx −mc2 √ 1− (v 2 x + v 2 y + v 2 z) c2 , Px = mvx√ 1− v2 c2 , de la misma forma obtenemos Py = mvy√ 1− v2 c2 , Pz = mvz√ 1− v2 c2 , De tal manera que usando las componentes obtenidas, se tiene que ~P es ~P = Pxi+ Pyj + Pzk = mvx√ 1− v2 c2 i+ mvy√ 1− v2 c2 j + mvz√ 1− v2 c2 k, ~P = m~v√ 1− v2 c2 . (5.12) Asimismo, conociendo la funcio´n de Lagrange obtenemos la energ´ıa [4] , que esta definida como ε = ~P.~v − L. (5.13) Reemplazando las ecuaciones (5.10) y (5.12) en (5.13), se obtiene ε = m~v√ 1− v2 c2 .~v − −mc2 √ 1− v 2 c2 , 28 ε = mc2√ 1− v2 c2 . (5.14) Esta u´ltima ecuacio´n para la energ´ıa es muy importante porque nos pone de manifiesto en particular, que en meca´nica relativista la energ´ıa de una part´ıcula libre no tiende a cero a un cuando su velocidad sea cero [4]. Si: v =⇒ 0 =⇒ ε = mc2 (5.15) Esta es la energ´ıa de reposo de la part´ıcula libre. Por otro lado, partiendo [1] de la ecuacio´n de Lagrange, la cual es d dt ( ∂L ∂r˙ ) − ∂L ∂r = 0. y debido a que L no depende de r. =⇒ d dt (∂L ∂r˙ ) = 0, pero como ~P = ∂L ∂~v =⇒ d dt (~P) = 0, entonces ~P es una constante [1]. Esto es lo´gico tanto el impulso como la energ´ıa de la part´ıcula son inte- grales de movimiento [1]. Ahora, comparemos las ecuaciones (5.12) y (5.14), para obtener una rela- cio´n entre el impulso, la velocidad y la energ´ıa de la part´ıcula [4]. ~P = ε~v c2 . (5.16) Asimismo definamos el cuadrivector impulso como [1] Pα = mUα, (5.17) y usando (4.47), se tiene Pα = m(γc, γ~v), (5.18) Pα = ( mγc2 c ,mγ~v ) , 29 y teniendo en cuenta las ecuaciones (5.12) y (5.14), entonces el cuadivector impulso resulta ser Pα = ( ε c , ~P ) . (5.19) Ahora, haciendo el producto escalar, se tiene P 2 = PαPα = (mγc,mγ~v)(mγc,−mγ~v), P 2 = m2γ2c2 −m2γ2v2 = m2c2. y como este producto escalar nos da una constante, entonces es un invariante. Haciendo uso [1] de la invariancia del cuadrado del cudrivector impulso halla- mos la relacio´n entre la energ´ıa y el impulso de la part´ıcula libre. La expresio´n del cuadrado del impulso es igual en los dos sistemas de referencia inercial S y S ′ . PαPα = P ′αP ′ α, y usando (74), se tiene ( ε c )2 − P 2 = ( ε ′ c )2 − P ′2, (5.20) Tal que considerando a S ′ el sistema de reposo de la part´ıcula en el que v ′ = 0, entonces en las ecuaciones (5.12) y (5.14) vamos a tener que: P ′ = 0 y ε ′ = mc2. De esto en (5.20), tenemos ε c2 − P 2 = m2c2, ε = √ m2c4 + p2c2, (5.21) Y como en un sistema inercial [1] la energ´ıa de la part´ıcula expresada por el impulso coincide con la funcio´n Hamilton, entonces H(p) = ε(p) = √ m2c4 + p2c2, (5.22) 30 la cual [4] para pequen˜as velocidades v<<c, o´sea p<<mc se tiene H = c(m2c2) + p2)1/2 = c(m2c2)1/2(1 + p2 m2c2 )1/2 = mc2 ( 1 + p2 ×2m2c2 + ....... ) , despreciando te´rminos de orden superior, tenemos H ≈ mc2 + p 2 2m . Vemos que adema´s [4] de la energ´ıa en reposo, se obtiene la conocida expre- sio´n cla´sica de la funcio´n de Hamilton. Sabiendo [1] que en la naturaleza existen part´ıculas (fotones, cuantos de luz, etc) cuya masa en reposo es nula. La energ´ıa de tales part´ıculas de (5.22) queda definida como ε = pc. (5.23) 31 32 Cap´ıtulo 6 Electrodina´mica y relatividad El fundamento [5] de la Electrodina´mica son las ecuaciones de Maxwell para el campo ele´ctrico ~E y el campo magne´tico ~B. A continuacio´n presentamos las ecuaciones de Maxwell [5]. ∇.~E = 4piρ, (6.1) ∇× ~E = −1 c ∂~B ∂t , (6.2) ∇.~B = 0, (6.3) ∇× ~B = 4pi c ~J+ 1 c ∂~E ∂t . (6.4) donde: ρ es la densidad de carga y ~J es la densidad de corriente ele´ctrica. Hay que notar [5] que las ecuaciones de Maxwell describen la dina´mica del campo electromagne´tico producido por cargas en movimiento, pero no des- criben la dina´mica de una carga en un campo electromagne´tico dado. Esto u´ltimo se complementa con la expresio´n para la Fuerza de Lorentz, dada por ~FL = d~P dt = q ( ~E+ 1 c ~v × ~B ) . 33 Ahora, de las ecuaciones (6.1) y (6.4) obtenemos la ecuacio´n de conservacio´n de la carga o llamada tambie´n ecuacio´n de continuidad, para esto aplicamos la divergencia a la ec (6.4), obteniendo ∇.(∇× ~B) = 4pi c ∇.~J+ 1 c ∂ ∂t (∇.~E), pero por propiedad ∇.(∇× ~G) = 0, entonces no quedar´ıa 0 = 4pi c ∇.~J+ 1 c ∂ ∂t (∇.~E), y al reemplazar (6.1) en esta u´ltima ecuacio´n, obtenemos 0 = 4pi c ∇.~J+ 1 c ∂ ∂t (4piρ), ∂ρ ∂t +∇.~J = 0. (6.5) que como habiamos mencionado es la ecuacio´n de continuidad. Por otro lado, es conveniente expresar el campo electromagne´tico en te´rminos de potenciales [5]. Entonces de (6.3), vemos que existe un vector ~A. ∇.~B = 0 =⇒ ~B = ∇× ~A. (6.6) donde ~A es llamado Potencial vectorial. Asimismo, reemplazando (6.6) en (6.2), obtenemos ∇× ~E = −1 c ∂ ∂t (∇× ~A), ∇× ~E+ 1 c ∂ ~A ∂t = 0, pero por propiedad ∇× (∇ϕ) = 0, entonces nos quedar´ıa ~E+ 1 c ∂ ~A ∂t = −∇φ, ~E = −∇φ− 1 c ∂ ~A ∂t . (6.7) 34 donde φ es llamado Potencial escalar. De este modo ~E y ~B pueden expresarse en te´rminos de los potenciales ~A y φ , la Ley de Gauss para ~B y la Ley de Induccio´n de Faraday son equi- valentes a estas conexiones entre el campo electromagne´tico y los potenciales. En te´rminos de lo potenciales el campo electr´ıco y magne´tico se escriben como ~B = ∇× ~A y ~E = −∇φ− 1 c ∂ ~A ∂t . Pero los campos ~E y ~B esta determinados por las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de frontera, pero sabiendo que ~A no esta´ determinado por ~E y ~B, entonces podemos obtener ~E y ~B directamente de ~A y φ. Por otro lado, vamos a ver que bajo una transformacio´n de gauge del potencial vectorial el campo magne´tico queda invariante [5]. Plantiemos la transforma- cio´n de gauge de la siguiente manera Sea: ~A ′ = ~A+∇ψ, (6.8) pero de (6.6), podemos plantear lo siguiente ~B ′ = ∇× ~A′ , y reemplazando (6.8) en esta u´ltima ecuacio´n, obtenemos ~B ′ = ∇× (~A+∇ψ), ~B ′ = ∇× ~A = ~B. Vemos que el campo magne´tico es invariante bajo la transformacio´n indicada del potencial vectorial. Ahora si en ~E = −∇φ − 1 c ∂ ~A ∂t se realiza la transformacio´n para el poten- cial vectorial necesariamente debemos introducir otra transformacio´n para φ, si queremos que ~E sea invariante. Sea as´ı: φ ′ = φ+ ϑ, (6.9) Entonces de (6.7), tenemos que: ~E ′ = −∇φ′ − 1 c ∂ ~A′ ∂t , 35 Reemplazando la ec (6.9) y (6.8) en esta u´ltima ecuacio´n ~E ′ = −∇(φ+ ϑ)− 1 c ∂ ∂t (~A+∇ψ), ~E ′ = −∇φ− 1 c ∂ ~A ∂t −∇ ( ϑ+ 1 c ∂ψ ∂t ) , , ~E ′ = ~E−∇ ( ϑ+ 1 c ∂ψ ∂t ) , Pero como el campo ele´ctrico debe ser invariante frente a esta transformacio´n de gauge, entonces : ϑ = −1 c ∂ψ ∂t , el cual al sustituirlo en (6.9) obtenemos la transformacio´n de gauge para el potencial escalar φ ′ = φ− 1 c ∂ψ ∂t . (6.10) donde ψ es cualquier funcio´n regular de espacio y tiempo. Por lo tanto, los campos ~E y ~B son invariantes bajo las transformaciones de gaugepara lo potenciales escalar y vectorial dados [5]. Ahora, reemplazando (6.7) en (6.1), obtenemos ∇. −∇φ− 1 c ∂ ~A ∂t = 4piρ, ∇2φ+ 1 c ∂ ∂t (∇.~A) = −4piρ. (6.11) Asimismo, sustituyendo (6.6) y (6.7) en (6.4), obtenemos: ∇× (∇× ~A) = 4pi c ~J+ 1 c ∂ ∂t −∇φ− 1 c ∂ ~A ∂t , pero considerando la propiedad:∇×(∇×~D) = ∇(∇.~D)−∇2 ~D,, nos quedar´ıa ∇(∇.~A)−∇2~A = 4pi c ~J− 1 c ∂ ∂t (∇φ)− 1 c2 ∂2~A ∂t2 , 36 ∇2~A− 1 c2 ∂2~A ∂t2 −∇ ( ∇.~A+ 1 c ∂φ ∂t ) = −4pi c ~J, (6.12) Nos damos cuenta que en las ecuaciones (6.11) y (6.12), los potenciales ~A y φ aparecen acoplados, el desacople puede lograrse usando la arbitrariedad en la definicio´n de ~A y φ. Puesto que se conoce el rotacional de ~A (que es el campo ~B), pero no se conoce su divergencia; entonces podemos imponer la restriccio´n siguiente ∇.~A+ 1 c ∂φ ∂t = 0, (6.13) esta condicio´n es conocida como condicio´n o Gauge de Lorentz. Reemplazando este gauge de lorentz en las ecuaciones (6.11) y (6.12), obte- nemos ∇2φ− 1 c2 ∂2φ ∂t2 = −4piρ, (6.14) ∇2~A− 1 c2 ∂2~A ∂t2 = −4pi c ~J. (6.15) Entonces con el Gauge de Lorentz no solo desacopla ~A y φ sino que tambie´n nos ayuda a obtener ecuaciones de onda para ~A y φ. Como consecuencia los campos de potencial se propagan a la velocidad de la luz. Este tipo de Gauge tiene un gran intere´s en electrodina´mica relativista pues puede expresarse en forma covariante como lo veremos ma´s adelante. Puede facilmente demostrarse que los potenciales ~A y φ pueden siempre en- contrarse tal que satisfagan el Gauge de Lorentz. Ahora suponemos que ~A y φ no satisfacen el Gauge de Lorentz, entonces se propone un transformacio´n de gauge para los nuevos potenciales. De las ecuaciones (6.8) y (6.10), conocemos ~A ′ y φ ′ y exigimos que estos nue- vos potenciales satisfagan el Gauge de Lorentz, entonces de (6.13) se debe cumplir que ∇. ~A′ + 1 c ∂φ ′ ∂t = 0, Pero de (6.8) y (6.10) en esta u´ltima ecuacio´n, obtenemos ∇.(~A+∇ψ) + 1 c ∂ ∂t ( φ− 1 c ∂ψ ∂t ) = 0, 37 ∇.~A+ 1 c ∂φ ∂t +∇2ψ − 1 c2 ∂2ψ ∂t2 = 0, As´ı los nuevos potenciales satisfacen el Gauge de Lorentz siempre y cuando la funcio´n ψ satisfaga la ecuacio´n: ∇2ψ − 1 c2 ∂2ψ ∂t2 = − ( ∇.~A+ 1 c ∂φ ∂t ) , Una transformacio´n de gauge restringida es aquella que satisface: ∇2ψ − 1 c2 ∂2ψ ∂t2 = 0. tal que los nuevos potenciales sean invariantes bajo la transformacio´n de gau- ge. Ahora, vamos a definir el cuadrivector potencial en la forma Aµ = (A0, ~A), (6.16) Aµ = (A0,−~A). (6.17) Tambie´n definimos la derivada covariante como ∂µ = ∂ ∂xµ = ( ∂ ∂x0 ,∇ ) , (6.18) ∂µ = ∂ ∂xµ = ( ∂ ∂x0 ,−∇ ) . (6.19) Con esto la cuadrivergencia del cuadrivector A, resulta ∂µAµ = ∂µA µ = ( ∂ ∂x0 ,−∇ ) (A0, ~A), ∂µA µ = ∂A0 ∂x0 −∇.~A, pero como x0 = ct, entonces tenemos ∂µAµ = 1 c ∂A0 ∂t −∇.~A, 38 Identificando esta u´ltima expresio´n con el Gauge de Lorentz, vemos que A0 = φ, (6.20) entonces el cuadripotencial tendr´ıa la siguiente forma Aµ = (φ, ~A), (6.21) Aµ = (φ,−~A), (6.22) del cual vemos que el Gauge de Lorentz se escribe de la siguiente manera ∂µA µ = 0. (6.23) Esta es la forma covariante del Gauge de Lorentz es decir no cambia su forma frente a las Transformaciones de Lorentz. Ahora definimos el cuadrivector densidad de corriente (tambie´n llamado cua- drivector corriente o cudricorriente), de la siguiente manera Jµ = ρ0U µ, (6.24) donde Uµ es la cuadrivelocidad y ρ0 es la densidad de corriente propia. Como la cuadrivelocidad esta´ definida como Uµ = (γc, γ~v), Entonces el cuadrivector corriente resulta ser Jµ = ρ0(γc, γ~v), Jµ = (ρ0γc, ρ0γ~v), (6.25) haciendo el producto escalar J2 = JµJ µ = ρ20UµU µ, pero como UµU µ = c2, entonces J2 = ρ20c 2. Y como el producto escalar nos da una constante, entonces es un invariante si ρ0 es un invariante. Definiendo lo siguiente: ρ = ρ0γ, 39 ~J = ρ0γ~v = ρ~v, Entonces haciendo estas consideraciones la ec (6.25) resulta Jµ = (ρc, ~J), (6.26) Con esta u´ltima expresio´n la ecuacio´n de continuidad toma la forma: ∂µJ µ = 0. (6.27) Esta es la forma covariante de la Ecuacio´n de Continuidad es decir no cambia su forma frente a las Transformaciones de Lorentz. Ahora considerando las ecuaciones (6.21) y (6.26) vamos a tener que la forma de las ecuaciones (6.14) y (6.15) se pueden juntar en una sola ecuacio´n( 1 c2 ∂2 ∂t2 −∇2 ) Aµ = 4pi c Jµ, Definiendo un operador llamado D’Alembertiano como = ( 1 c2 ∂2 ∂t2 −∇2 ) , entonces la ecuacio´n quedar´ıa Aµ = 4pi c Jµ. (6.28) Por otro lado, sabiendo que la conexio´n entre el campo electromagne´tico y los potenciales se da de la siguiente manera. Primero para el campo ele´ctrico, de (6.7) tenemos ~E = −∇φ− 1 c ∂ ~A ∂t , Esta expresio´n la podemos escribir como Ei = − ∂φ ∂xi − 1 c ∂Ai ∂t = ∂iφ− ∂0Ai, pero como φ = A0, ∂i = −∂i y ∂0 = ∂0 entonces tenemos: Ei = −∂iA0 − ∂0Ai = Ei = ∂iA0 − ∂0Ai ≡ F i0, (6.29) 40 Segundo para el campo magne´tico, de (6.6) tenemos ~B = ∇× ~A, en esta expresio´n para cada componente de ~B podemos obtener B1 = ∂A3 ∂x2 − ∂A 2 ∂x3 = ∂2A 3 − ∂3A2 = −∂2A3 + ∂3A2 ≡ −F 23, (6.30) B2 = ∂A1 ∂x3 − ∂A 3 ∂x1 = ∂3A 1 − ∂1A3 = −∂3A1 + ∂1A3 ≡ −F 31, (6.31) B3 = ∂A2 ∂x1 − ∂A 1 ∂x2 = ∂1A 2 − ∂2A1 = −∂1A2 + ∂2A1 ≡ −F 12, (6.32) Las 6 ecuaciones para Ei y Bi se pueden escribir como F µν = ∂µAν − ∂νAµ. (6.33) Con las definiciones de las componentes del campo electromagne´tico: F i0 = Ei F ij = −Bk, (6.34) donde ijk se permutan c´ıclicamente. F µν es un tensor antisime´trico de segundo orden; solo 6 componentes son diferentes. ~E y ~B son entonces componentes del tensor de campo electro- magne´tico F µν . La posicio´n de los ı´ndices en Ei y Bi ; no tiene valor covariante o contrava- riante; lo tiene so´lo en F i0 y F ij. Matricialmente podemos representar nuestro tensor electromagne´tico de la siguiente manera: F µν = F 00 F 01 F 02 F 03 F 10 F 11 F 12 F 13 F 20 F 21 F 22 F 23 F 30 F 31 F 32 F 33 Tomando en cuenta lo valores obtenidos para el tensor electromagne´tico y adema´s la antisime´tria, nuestro tensor electromagne´tico quedar´ıa: F µν = 0 −Ex −Ey −Ez Ex 0 −Bz By Ey Bz 0 −Bx Ez −By Bx 0 (6.35) 41 Ahora las ecuaciones de Maxwell que contienen a las fuentes: ∇.~E = 4piρ y ∇× ~B = 4pi c ~J + 1 c ∂~E ∂t se pueden reducir a una sola expresio´n tomando en cuenta la definicio´n del cuadrivector corriente Jµ = (ρc, ~J). As´ı la primera de las ecuaciones de Maxwell que contiene a la fuentes se puede escribir como ∂µF i0 = 4pi c J0, (6.36) donde: i = 1, 2, 3 Y la segunda (Ley de Ampere) de las ecuaciones de Maxwell que contiene a la fuentes se puede escribir como ∂µF µi = 4pi c J i, (6.37) donde: µ = 0, 1, 2, 3 y i = 1, 2, 3 En s´ıntesis estas dos ecuaciones en presencia de las fuentes se escribe como ∂µF µν = 4pi c Jν . (6.38) donde: µ = 0, 1, 2, 3 y ν = 0, 1, 2, 3 Esta es [5] una de las ecuaciones de Maxwell escrita en forma covariante, que enlaza el tensor electromagne´tico F µν con las fuentes Jν que son part´ıculas cargadas en movimiento. Se puede [1] obtener la otra ecuacio´n en forma covariante de Maxwell hacien- do uso de la ecuacio´n: F µν = ∂µAν − ∂νAµ. Si creamos un tensor de orden 3, de la forma Rµνρ = ∂ ρF µν + ∂µF νρ + ∂νF ρµ, (6.39) cuyos sumandos segundo y tercero son obtenidos del primero por medio de la permutacio´n c´ıclica de ı´ndices. Ahora sustituyendo la ec (6.33) en esta u´ltima obtenemos: Rµνρ = ∂ ρ(∂µAν − ∂νAµ) + ∂µ(∂νAρ − ∂ρAν) + ∂ν(∂ρAµ − ∂µAρ), Como las derivadas mixtas no dependen del orden de la derivacio´n, entonces obtenemos: Rµνρ = 0,=⇒ ∂ρF µν + ∂µF νρ + ∂νF ρµ = 0. (6.40) 42 Esta es [5] la segunda ecuacio´n de Maxwell escrita en forma covariante. En esta ecuacio´n, los ı´ndices µνρ pueden tomar cuatro distintos conjuntos de valores: (021), (013), (023) y (123). Debido a la naturaleza c´ıclica de los ı´ndices, otras posibles combinaciones (es decir, dos ı´ndices iguales) dan cero. 43 44 Cap´ıtulo 7 El Campo Gravitatorioen Meca´nica No Relativista Los campos gravitatorios o campos de gravedad tienen la propiedad fun- damental de que todos los cuerpos se mueven en ellos de la misma manera, con independencia de la masa, con tal que las condiciones in´ıciales sean las mismas, esta propiedad de los campos gravitatorios hace posible establecer una analog´ıa entre el movimiento de los cuerpos en un campo gravitatorio y el movimiento de los cuerpos que no estan situados en ningu´n campo exterior pero que se les considera desde el punto de vista de un sistema no inercial [4]. Las propiedades del movimiento en un sistema no inercial es igual a las propiedades del movimiento en un sistema inercial cuando existe un cam- po. “Entonces podemos decir que un sistema no inercial equivale a un cierto campo gravitatorio”. Este es el llamado PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA [4]. Ahora, sabiendo [4] que el movimiento de una part´ıcula en un campo gravi- tacional segu´n la meca´nica no relativista esta determinado por la funcio´n de Lagrange (en una sistema de referencia inercial), conociendo que la funcio´n de Lagrange tiene la forma L = mv2 2 −mφ, (7.1) donde φ es una funcio´n de las coordenadas y del tiempo que caracteriza al campo el cual se llama potencial gravitatorio. Partiendo de la ecuacio´n de Euler-Lagrange d dt ( ∂L ∂x˙ ) − ∂L ∂x = 0, 45 Pero teniendo el Lagrangiano de (7.1), tenemos ∂L ∂x = −m∂φ(x,t) ∂x , ∂L ∂x˙ = ∂L ∂v = mv, d dt ( ∂L ∂x˙ ) = mv˙, Ahora, reemplazando estas ecuaciones en la ec de Euler-Lagrange, tenemos mv˙ − (−m∂φ ∂x ) = 0, Obtenemos: v˙ = −∇φ. (7.2) Nos damos cuenta que esta ecuacio´n no contiene la masa ni otras constantes que caracterice las propiedades de la part´ıcula, lo que constituye la expresio´n matema´tica de la propiedad fundamental de los campos gravitatorios [4]. 46 Cap´ıtulo 8 El Campo Gravitatorio en Meca´nica Relativista En un sistema de referencia inercial y en coordenadas cartesianas el in- tervalo ds elevado al cuadrado, viene dada por la siguiente relacio´n;: ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (8.1) Sabemos [4] que al pasar a otro sistema de referencia inercial mediante una Transformacio´n de Lorentz el intervalo mantiene su misma forma. Si pasamos a un sistema de referencia no inercial ds2 no sera´ ya igual a la suma de los cuadrados de los diferenciales de las coordenadas, por ejem- plo; si pasamos a un sistema de coordenadas en rotacio´n uniforme. Si tomamos los siguientes cambios para x, y, z [4]: x = x ′ cos (ωt)− y′ sin (ωt), y = x′ sin (ωt) + y′ cos (ωt), z = z′ , donde: ω es la velocidad angular de la rotacio´n alrededor del eje z. Ahora calculamos la forma que tendra´ el intervalo dx = cos (ωt)dx ′ − sin (ωt)dy′ − (ωdt)(x′ sin (ωt)) + y′ cos (ωt)), dy = sin (ωt)dx ′ + cos (ωt)dy ′ + (ωdt)(x ′ cos (ωt))− y′ sin (ωt)), dz = dz ′ , Adema´s considerando que: dt = dt ′ , Reemplazando estas cuatro ecuaciones en (8.1), obtenemos ds2 = c2dt ′2 − (cos (ωt)dx′ − sin (ωt)dy′ − (ωdt)(x′ sin (ωt)) + y′ cos (ωt)))2 −(sin (ωt)dx′ + cos (ωt)dy′ + (ωdt)(x′ cos (ωt))− y′ sin (ωt)))2 − (dz′)2, 47 Operando y cancelando algunos te´rminos, obtenemos lo siguiente ds2 = c2dt ′2 − dx′2 − dy′2 − ω2dt′2x′2 − ω2dt′2y′2 + 2ωdt′y′dx′ − 2ωdt′x′dy′ −dz′2, Agrupando esta u´ltima ecuacio´n, se obtiene ds2 = [c2 − ω2(dx′2 + dy′2)]dt′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2 + 2ωy′dx′dt′ − 2ωx′dy′dt′ . Vemos aqu´ı que esta ecuacio´n no se puede reducir a la suma de los cuadrados de los diferenciales de las coordenadas. Ahora, en un sistema no inercial de referencia podemos definir el cuadra- do del intervalo [4] como: ds2 = gµνdx µdxν . (8.2) donde los gµν son ciertas funciones de las coordenadas espaciales x 1, x2, x3 y de la coordenada temporal x0. Cuando utilizamos un sistema de referencia no inercial el sistema cuadri- mensional de coordenadas x1, x2, x3 y x0 es curvil´ıneo, las cantidades gµν que determinan todas las propiedades geome´tricas en cada sistema de coor- denadas curvil´ınea, diremos que representa la me´trica del espacio-tiempo [4] , donde esta funcio´n tiene la siguiente propiedad: gµν = gνµ. (8.3) esta ecuacio´n quiere decir que estas funciones son sime´tricas con respecto a los ı´ndices µ y ν [4]. Hemos dicho que un sistema de referencia no inercial es equivalente a un campo de fuerzas. Vemos ahora que este campo esta´ determinado por las cantidades gµν . Lo mismo es valido para el campo gravitatorio. Todo campo gravitatorio no es sino un cambio en la me´trica del espacio-tiempo, entonces el campo gravitatorio viene determinado por las cantidades gµν . Este importante hecho significa que las propiedades geome´tricas del espacio-tiempo osea su me´trica esta determinada por feno´menos f´ısicos y no por propiedades invariables del espacio-tiempo [4]. 48 Cap´ıtulo 9 Movimiento de una Part´ıcula en un Campo Gravitatorio El movimiento [4] de una part´ıcula libre se determina en relatividad es- pecial segu´n el Principio de Mı´nima Accio´n. De la ecuacio´n (5.9) tenemos que la accio´n es S¸ = −mc ∫ 2 1 ds. entonces δS¸ = −mc δ ∫ 2 1 ds = 0. (9.1) Segu´n la cual la part´ıcula se mueve de tal manera que su l´ınea de universo es un extremal entre un par de puntos dados en el universo, es decir es una l´ınea recta (en el espacio de 3 dimensiones, a esta recta le corresponde un movimiento rectil´ıneo y uniforme) [4]. El movimiento de una part´ıcula en un campo gravitatorio se va obtener tambie´n a partir del principio de mı´nima accio´n de la misma forma que en relatividad especial, dado que el campo gravitatorio no es sino mas que un cambio en la me´trica del espacio-tiempo osea un cambio en ds2. As´ı en un campo gravitatorio la part´ıcula se mueve de tal manera que su punto de uni- verso recorre un extremal o como se dice una geodesica en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Sin embargo, dado que en presencia del campo gra- vitatorio el tiempo no es galileano entonces su l´ınea de universo no es una recta y su movimiento no es rectil´ıneo ni uniforme [4]. 49 Ahora en vez de hallar la ecuacio´n de movimiento de la part´ıcula partiendo del principio de mı´nima accio´n vamos a partir de la generalizacio´n de la ecua- cio´n diferencial del movimiento de la part´ıcula libre en relatividad especial. Sabiendo que dU i ds = 0 → dU i = 0. donde: U i = dx i ds es la cuadrivelocidad. La generalizacio´n de esta expresio´n al caso de coordenadas curvil´ıneas esta dado por DU i = 0, (9.2) Como sabemos que DAi = ( ∂Ai ∂xl + ΓiklA k ) dxl, Entonces de (9.2), tenemos( ∂U i ∂xl + ΓiklU k ) dxl = 0, dU i + ΓiklU kdxl = 0, Dividiendo esta ecuacio´n por ds, obtenemos dU i ds + ΓiklU k dx l ds = 0, pero como Uk = dx k ds , entonces d2xi ds2 + Γikl dxk ds dxl ds = 0. (9.3) Esta es la ecuacio´n de movimiento para una part´ıcula en un campo gravita- torio [4]. Ahora considerando el Principio de Mı´nima Accio´n, de (9.1), tenemos δS¸ = −mc ∫ 2 1 δds = 0. (9.4) pero como δds2 = 2dsδds = δ(gikdx idxk) = dxidxk ∂gik ∂xl δxl + 2gikdx iδdxk, 50 → 2dsδds = dxidxk ∂gik ∂xl δxl + 2gikdx iδdxk, Sabiendo que δdxk = dδxk y dividiendo a cada lado entre 2ds, tenemos: δds = 1 2 dxi dxk ds ∂gik ∂xl δxl + gikdx idδx k ds , el cual al reemplazar en (9.4), tenemos δS¸ = −mc ∫ 2 1 ( 1 2 dxi ds dxk ds ∂gik ∂xl δxl + gik dxi ds dδxk ds ) ds = 0, (9.5) Ahora calculando la siguiente integral por partes ∫ 2 1 gik dxi ds dδxk ds ds = pq − ∫ 2 1 qdp, Identificando p y q, tenemos p = gik dxi ds → dp = d ( gik dxi ds ) , y dq = dδxk ds ds→ q = δxk, entonces tenemos: ∫ 2 1 gik dxi ds dδxk ds ds = ( gik dxi ds δxk )2 1 − ∫ 2 1 d ds ( gik dxi ds ) δxkds, El primer te´rmino del lado derecho se hace cero debido a que la variacio´n en los puntos extremos se anulan, entonces nos quedar´ıa ∫ 2 1 gik dxi ds dδxk ds ds = − ∫ 2 1 d ds ( gik dxi ds ) δxkds, Cambiando en esta ecuacio´n k por l y reemplaza´ndola en la ec (9.5), resultar´ıa δS¸ = −mc ∫ 2 1 ( 1 2 dxi ds dxk ds ∂gik ∂xl δxl− d ds ( gil dxi ds ) δxl ) ds = 0, Pero sabiendo que U i = dx i ds y Uk = dx k ds , entonces tendr´ıamos que 1 2 U iUk ∂gik ∂xl − d ds ( gilU i ) = 0, 51 1 2 U iUk ∂gik ∂xl − gildU i ds − U iUk ∂gil ∂xk = 0, Considerando que el tercer te´rmino se puede escribir de la siguiente forma U iUk ∂gil ∂xk = −1 2 U iUk ( ∂gil ∂xk + ∂gkl ∂xi ) , de esto nos quedar´ıa 1 2 U iUk ∂gik ∂xl − 1 2 U iUk ( ∂gil ∂xk + ∂gkl ∂xi ) − gildU i ds = 0, −1 2 U iUk ( ∂gil ∂xk + ∂gkl ∂xi − ∂gik ∂xl ) − gildU i ds = 0, Ahora como el s´ımbolo de christoffel esta definido como Γl,ik = 1 2 ( ∂gil ∂xk + ∂gkl ∂xi − ∂gik ∂xl ) , tendr´ıamos U iUkΓl,ik + gil dU i ds = 0, (9.6) pero como Γmik = g mlΓl,ik, multiplicando por gml a la ec (9.6) gmlgil dU i ds + U iUkgmlΓl,ik, δmi dU i ds + U iUkgmlΓmik = 0, dUm ds + U iUkgmlΓmik = 0, cambiando el ı´ndice m por i y el ı´ndice i por l, tenemos d2xi ds2 + Γikl dxl ds dxk ds = 0. (9.7) 52 El mismo resultado que se obtuvo en (9.3). Vemos que el movimiento de una part´ıcula en un campo gravitatorio esta determinado por Γikl. La derivada d 2xi ds2 = dU i ds es la cuadriaceleracio´n de la part´ıcula, por esto po- demos llamar a la magnitud −mΓikl dx l ds dxk ds la cuadrifuerza que actu´a sobre la part´ıcula en el campo gravitatorio [4]. El tensor gik representa el papel de potencial gravitatorio y sus derivadas determinan la intensidad del campo [4]. En el caso l´ımite de pequen˜as velocidades, las ecuaciones relativistas del mo- vimiento en un campo gravitatorio se deben reducir a las correspondientes ecuaciones no relativistas. Hay que tener en cuenta de que la hipo´tesis de que la velocidad es pequen˜a implica a su vez la condicio´n de que el propio campo gravitatorio sea de´bil; si no lo fuera una part´ıcula colocada en el llegar´ıa a adquirir una gran velocidad [4]. Veamos como esta ligado en este caso l´ımite el tensor me´trico gik con elpo- tencial no relativista φ del campo gravitatorio. En meca´nica [4] no relativista, el movimiento de una part´ıcula en un campo gravitacional esta determinado por la funcio´n de Lagrange: Suma´ndole el te´rmino −mc2 a la ec (7.1), tenemos L = −mc2 + mv 2 2 −mφ. (9.8) La accio´n no relativista S¸ para una part´ıcula en un campo gravitatorio es S¸ = ∫ Ldt, De (9.8) tenemos S¸ = ∫ ( −mc2 + mv 2 2 −mφ ) dt = −mc ∫ ( c− v 2 2c + φ c ) dt, Comparando este resultado con la accio´n S¸ = −mc ∫ ds, observamos que ds = ( c− v 2 2c + φ c ) dt, 53 elevando al cuadrado ds2 = ( c2 + v2 4c2 + φ2 c2 + 2φ− v2 − v 2φ c2 ) dt2, prescindiendo de te´rminos que tienden a cero para c→∞, nos quedar´ıa ds2 = (c2 − v2 + 2φ)dt2 = (c2 + 2φ)dt2 − v2dt2, considerando vdt = dr, obtenemos ds2 = (c2 + 2φ)dt2 − dr2. (9.9) Pero como estamos trabajando en la me´trica con sigantura (+,-,-,-) sabemos que ds2 = g00dx 02 − ..... = g00c2dt2 − ..... (9.10) Ahora, comparando [4] las ecuaciones (9.9) y (9.10), vemos pues que para el caso l´ımite la componente g00 del tensor me´trico es igual a c2g00 = c 2 + 2φ, g00 = 1 + 2φ c2 . (9.11) 54 Cap´ıtulo 10 Tensor de Curvatura Consideremos [7] un cuerpo moviendose bajo la influencia de una fuerza puramente gravitacional. De acuerdo con el Principio de Equivalencia, existe un sistema de coordenadas cayendo libremente en el cual la ecuacio´n de movimiento es de una l´ınea recta en el espacio-tiempo, cuya ecuacio´n viene dada por d2ξα dτ 2 = 0. (10.1) donde τ es el tiempo propio, definido por dτ 2 = ηαβdξ αdξβ. donde ξα es el sistema coordenado local. Usando otro sistema coordenadas xµ, el cual puede ser un sistema de coor- denadas en reposo en el laboratotio, o cualquier otro, podemos decir que las coordenadas cayendo libremente ξα son funciones de xµ [7]. De (10.1), tenemos d dτ ( ∂ξα ∂xµ dxµ dτ ) = 0, ∂ξα ∂xµ d2xµ dτ 2 + ∂2ξα ∂xµ∂xν dxµ dτ dxν dτ = 0, multiplicando por ∂x λ ∂ξα y usando ∂ξ α ∂xµ ∂xλ ∂ξα = δλµ Y sabiendo que el simbolo de christoffel esta definido por Γλµν = ∂2ξα ∂xµ∂xν ∂xλ ∂ξα , (10.2) 55 Obtenemos la siguiente ecuacio´n de movimiento d2xλ dτ 2 + Γλµν dxµ dτ dxν dτ = 0. (10.3) Por otro lado, a partir de la definicio´n de (10.2), podemos calcular la ley de transformacio´n del simbolo de christoffel, entonces pasando de un sistema xµ a un sistema diferente x ′µ, obtenemos Γ ′λ µν = ∂2ξα ∂x′µ∂x′ν ∂x ′λ ∂ξα , Γ ′λ µν = ∂x ′λ ∂xρ ∂xρ ∂ξα ∂ ∂x′µ ( ∂xσ ∂x′ν ∂ξα ∂xσ ) , del cual, resulta Γ ′λ µν = ∂x ′λ ∂xρ ∂xσ ∂x′ν ∂xτ ∂x′µ ∂xρ ∂ξα ∂2ξα ∂xτ∂xρ + ∂x ′λ ∂xρ ∂xρ ∂ξα ∂ξα ∂xσ ∂2xσ ∂x′µ∂x′ν , Γ ′λ µν = ∂x ′λ ∂xρ ∂xσ ∂x′ν ∂xτ ∂x′µ Γρτσ + ∂x ′λ ∂xρ ∂2xρ ∂x′µ∂x′ν . (10.4) De esta expresio´n observamos que la ley de transformacio´n obtenida para el simbolo de christoffel, el segundo sumando del lado derecho le quita ese ca- racter tensorial al simbolo de christoffel, por lo tanto el simbolo de christoffel o tambie´n llamado conexio´n a f´ın es un importante No Tensor [7]. Ahora, como nosotros queremos construir un tensor a partir del tensor me´tri- co y sus derivadas, si usamos solo gµν y sus primeras derivadas no podemos consruir un nuevo tensor, porque´ en cualquier momento podemos encontrar un sistema de coordenadass en el que las primeras derivadas del tensor me´tri- co desaparecen, por lo que en este sistema de coordenadas el tensor deseado debe ser igual a uno de los que puede construirse a partir del tensor me´trico solo. La posibilidad ma´s simple es construir el nuevo tensor a partir de las primeras y segundas derivadas de las componentes del tensor me´trico [7]. Para ello necesitamos la regla de transformacio´n del simbolo de christoffel definida en (10.4), donde cambiamos x ′ por x y viceversa, teniendo Γλµν = ∂xλ ∂x′τ ∂x ′ρ ∂xµ ∂x ′σ ∂xν Γ ′τ ρσ + ∂xλ ∂x′τ ∂2x ′τ ∂xµ∂xν , 56 como mencionamos que el segundo te´rmino del lado derecho impide el carac- ter tensorial del simbolo de christoffel, por lo tanto, aislemos ese te´rmino ∂2x ′τ ∂xµ∂xν = ∂x ′τ ∂xλ Γλµν − ∂x ′ρ ∂xµ ∂x ′σ ∂xν Γ ′τ ρσ, Para anular este te´rmino, vamos aprovechar la conmutatividad de la diferen- ciacio´n parcial, entonces realizamos la diferenciacio´n con respecto a xκ, nos da ∂3x ′τ ∂xκ∂xµ∂xν = ∂2x ′τ ∂xκ∂xλ Γλµν + ∂x ′τ ∂xλ ∂Γλµν ∂xκ − ∂x ′ρ ∂xµ ∂2x ′σ ∂xκ∂xν Γ ′τ ρσ − ∂2x ′ρ ∂xκ∂xµ ∂x ′σ ∂xν Γ ′τ ρσ, −∂x ′ρ ∂xµ ∂x ′σ ∂xν ∂Γ ′τ ρσ ∂xκ ahora, usando ∂ 2x ′τ ∂xµ∂xν = ∂x ′τ ∂xλ Γλµν − ∂x ′ρ ∂xµ ∂x ′σ ∂xν Γ ′τ ρσ en esta u´ltima expresio´n, obte- nemos ∂3x ′τ ∂xκ∂xµ∂xν = Γλµν ( ∂x ′τ ∂xη Γηκλ − ∂x ′ρ ∂xκ ∂x ′σ ∂xλ Γ ′τ ρσ ) −Γ′τρσ ∂x ′ρ ∂xµ ( ∂x ′σ ∂xη Γηκν − ∂x ′η ∂xκ ∂x ′ξ ∂xν Γ ′σ ηξ ) −Γ′τρσ ∂x ′σ ∂xν ( ∂x ′ρ ∂xη Γηκµ − ∂x ′η ∂xκ ∂x ′ξ ∂xµ Γ ′ρ ηξ ) + ∂x ′τ ∂xλ ∂Γλµν ∂xκ − ∂x ′ρ ∂xµ ∂x ′σ ∂xν ∂x ′η ∂xκ ∂Γ ′τ ρσ ∂x′η . Asimismo, sustrayendo la misma ecuacio´n con ν y κ intercambiados, se en- cuentra que todos los te´rminos que envuelven productos de Γ con Γ ′ se anulan, resultando lo siguiente( ∂Γ ′τ ρσ ∂x′η − ∂Γ ′τ ρη ∂x′σ + Γ ′τ λσΓ ′λ ηρ − Γ ′τ ληΓ ′λ ρσ ) = ∂x ′τ ∂xλ ∂xµ ∂x′ρ ∂xν ∂x′σ ∂xκ ∂x′η( ∂Γλµν ∂xκ − ∂Γ λ µκ ∂xν + ΓηµνΓ λ κη − ΓηµκΓλνη ) , el cual se puede escribir como R ′τ ρση = ∂x ′τ ∂xλ ∂xµ ∂x′ρ ∂xν ∂x′σ ∂xκ ∂x′η Rλµνκ. (10.5) 57 donde R ′τ ρση = ∂Γ ′τ ρσ ∂x′η − ∂Γ ′τ ρη ∂x′σ + Γ ′τ λσΓ ′λ ηρ − Γ ′τ ληΓ ′λ ρσ. y Rλµνκ = ∂Γλµν ∂xκ − ∂Γ λ µκ ∂xν + ΓηµνΓ λ κη − ΓηµκΓλνη. (10.6) De (10.5) observamos que Rλµνκ es un tensor, el cual es llamado Tensor de Curvatura de Riemann-Chirstoffel. Adema´s podemos afirmar que en un espacio plano cuadrimensional, el tensor de curvatura es igual a cero. Tambie´n es va´lido decir que si Rλµνκ = 0, entonces el espacio es plano, por consiguiente la anulacio´n o no del tensor de curvatura es un criterio que nos permite decidir si el espacio es plano o curvo [7]. Ahora, vamos a calcular el tensor de curvatura totalmente covariante, pa- ra ello vamos a contraer usando el tensorme´trico el super´ındice del tensor de curvatura de la ecuacio´n (10.6), esto es Rλµνκ = gλσR σ µνκ, Rλµνκ = gλσ ( ∂Γσµν ∂xκ − ∂Γ σ µκ ∂xν + ΓηµνΓ σ κη − ΓηµκΓσνη ) , Rλµνκ = gλσ ( ∂Γσµν ∂xκ ) − gλσ ( ∂Γσµκ ∂xν ) + gλσ ( ΓηµνΓ σ κη − ΓηµκΓσνη ) , Rλµνκ = gλσ ∂ ∂xκ [ 1 2 gσρ ( ∂gρµ ∂xν + ∂gρν ∂xµ − ∂gµν ∂xρ )] −gλσ ∂ ∂xν [ 1 2 gσρ ( ∂gρµ ∂xκ + ∂gρκ ∂xµ − ∂gµκ ∂xρ )] +gλσ ( ΓηµνΓ σ κη − ΓηµκΓσνη ) , ahora, si usamos la siguiente igualdad gλσ ∂gσρ ∂xκ = −gσρ (Γηλκgησ + Γησκgλη) , 58 nos quedar´ıa Rλµνκ = 1 2 ( ∂2gλν ∂xκ∂xµ − ∂ 2gµν ∂xκ∂xλ − ∂ 2gλκ ∂xν∂xµ + ∂2gµκ ∂xν∂xλ ) +gησ ( ΓηλνΓ σ κµ − ΓηµνΓσκλ ) . (10.7) Asimismo, de esta expresio´n podemos tener las siguientes propiedades [3] a) Simet´ıia Rλµνκ = Rνκλµ. (10.8) b) Antisimetr´ıa Rλµνκ = −Rµλνκ = −Rλµκν = Rµλκν . (10.9) c) C´ıclica Rλµνκ +Rλκµν +Rλνκµ = 0. (10.10) Ahora, si queremos construir una nueva teor´ıa en la cual dejaremos a un lado definitivamente a la ley de la gravitacio´n universal de Newton, la cual esta basada en la nocio´n de una fuerza invisible de atraccio´n entre los cuerpos, reemplazandola por algo en la que conceptualmente habra una curvatura en el espacio-tiempo cuadrimensional causada por la presencia de masa-energia en cierta regio´n Curvatura Geometrica = Masa y Energia. Donde este concepto sera enunciado de tal manera que sera independiente del sistema de coordenadas empleado para describirlo, sabiendo que la cur- vatura geome´trica esta descrita por el tensor de Curvatura de Riemann y la Masa-Energ´ıa por el tensor de Energia-Momento, entonces nuestra primera ocurrencia seria definir una igualdad tensorial de la siguiente manera R = kT. La cual esta en notacio´n tensorial compacta, y donde k es una cierta constan- te de proporcionalidad, por ejemplo (k = 8pi). El problema con este primer 59 intento es que siendo el tensor de Riemann un tensor de orden cuatro, en- tonces de la igualdad anterior requiere que el tensor de Energia-Momento tambie´n sea un tensor de orden cuatro, pero sabemos que nuestro tensor T es de orden dos, entonces mas que estirar a T para convertirla en un tensor de orden cuatro, optamos por convertir al tensor de curvatura de Riemann en otro tensor de curvatura de orden dos derivado de R, para ello llevamos a cabo una contraccio´n tensorial del tensor de Riemann igualando dos de sus ı´ndices, lo cual lo convierte en un tensor de orden dos, el cual es llamado tensor de Ricci. Al llevar a cabo una contraccio´n del tensor de Riemann, perdemos dos de los cuatro ı´ndices que especifican a las componentes de dicho tensor de curvatura. Ahora, nos preguntamos de que si es suficiente un tensor de orden dos para describir el efecto sobre el movimiento de los cuerpos de la curvatura causa- da en el espacio cuadrimensional de la Relatividad General por la presencia de Masa-Energ´ıa, bueno la respuesta es sencilla, sabiendo que para descri- bir una 2-superficie en un espacio N-dimensional basta con especificar dos coordenadas curvilineas, y como las trayectorias geode´sicas de los cuerpos en movimiento se llevan a cabo precisamente sobre una 2-superficie (como ocurre con un sate´lite artificial que esta dando vuelta a la tierra siguiendo la geode´sica de un arco sobre una superficie esfe´rica o eliptica imaginaria), entonces podemos decir que si es suficiente un tensor de orden dos. Ahora, partiendo de la definicio´n (10.6), del tensor de Riemann Rλµνκ = ∂Γλµν ∂xκ − ∂Γ λ µκ ∂xν + ΓηµνΓ λ κη − ΓηµκΓλνη, se lleva a cabo una contraccio´n del primer y tercer ı´ndice, obteniendo el siguiente tensor covariante de orden dos. Rµκ = R λ µλκ = ∂Γλµλ ∂xκ − ∂Γ λ µκ ∂xλ + ΓηµλΓ λ κη − ΓηµκΓλλη. (10.11) En principio otras contracciones del tensor de Riemann son posibles, por ejemplo podemos llevar a cabo la contraccio´n respecto de los ı´ndices λ y µ o´ ν y κ, pero como el tensor es antisimetrico esas contracciones nos dan cero, como se muestra gλµRλµνκ = Rνκ = g µλ(−Rµλνκ) = −Rνκ, 2Rνκ = 0 −→ Rνκ = 0. 60 Pero si la contraccio´n se realiza sobre otro par cualquiera de ı´ndices, esto nos conduce al mismo resultado, salvo por el signo, en otras palabras podemos decir que el tensor de Ricci es la u´nica contraccio´n posible del tensor de Rie- mann. Adema´s, podemos decir que el tensor de Ricci es simetrico, como se muestra Rνκ = g λνRλµνκ = g νλRνκλµ = Rκν . El tensor de Ricci es el tensor favorito de Einstein, esto es debido a que en la definicio´n del tensor Gµν de Einstein para formalizar matema´ticamente la curvatura del espacio-tiempo que se nos manifiesta como la gravedad, depen- de directamente del tensor de Ricci. Einstein fue el primero en darse cuenta de la importancia de este tensor para la construccio´n de una teor´ıa de la gra- vedad. Debido a esto, podemos decir que encontrar soluciones a la ecuacio´n fundamental de la Relatividad General, equivale a buscar un tensor de Ricci que esta asociado con la solucio´n. Ahora, teniendo el tensor covariante de Ricci, vamos aplicarle una contrac- cio´n con la ayuda del tensor me´trico, obteniendo un tensor de orden cero, llamado tensor de Curvatura Escalar R, como se muestra R = gµκRµκ = g λνgµκRλµνκ. el cual viene siendo a fin de cuentas el resultado de una doble contraccio´n el tensor de Riemann. Con el tensor de Ricci en nuestras manos, nuestro primer intento en construir una nueva teor´ıa f´ısica con los tensores R = (Rµκ) y T = (Tµκ) parecia estar solucionado, ya que con los dos tensores de orden dos la curvatura geome´trica del espacio-tiempo puede ser igualada con la presencia de masa-energ´ıa que produce dicha curvatura. Este fue precisamente lo que hizo Einstein, pero las primeras aplicaciones no so´lo produjeron resultados poco satisfactorios, sino inclusive contradictorios. La teor´ıa correcta para describir la nueva realidad f´ısica requeria una modificacio´n del tensor de Ricci. Y claro esta que el nuevo tensor construido modificando el tensor de Ricci resulto´ ser precisamente el tensor de Einstein. 61 62 Cap´ıtulo 11 Identidades de Bianchi En esta parte, vamos a obtener las identidades de Bianchi, las cuales son muy importantes para nuestro desarrollo de la Relatividad General. Para ello vamos a realizar una derivada covariante de(10.7), obteniendo Rλµνκ;η = ∂Rλµνκ ∂xη − ΓρληRρµνκ − ΓρµηRλρνκ − ΓρνηRλµρκ − ΓρκηRλµνρ, ahora, considerando en un punto x y adoptando un sistema de coordenadas localmente inercial asociado a ese punto, en el cual los Γλµν (pero no sus derivadas) se anulan [4]. Entonces la expresio´n anterior, quedar´ıa Rλµνκ;η = 1 2 ∂ ∂xη ( ∂2gλν ∂xκ∂xµ − ∂ 2gµν ∂xκ∂xλ − ∂ 2gλκ ∂xν∂xµ + ∂2gµκ ∂xν∂xλ ) , o´ tambie´n Rλµνκ;η = ∂2Γλµκ ∂xη∂xν − ∂ 2Γλµν ∂xη∂xκ . (11.1) Ahora haciendo una permutacio´n ciclica de los indices ν, κ y η en (11.1) y sumando los te´rminos, se obtiene Rλµνκ;η +Rλµκη;ν +Rλµην;κ = 0. (11.2) Esta en la Identidad de Bianchi, la cual es una expresio´n covariante, por- que´ debido a su caracter tensorial esta expresio´n sera va´lida en cualquier otro sistema, si lo es en el sistema de coordenadas localmente inercial [4]. Las formas contraidas de esta identidad son importantes. 63 Aplicandole a esta expresio´n una contraccio´n respecto de los ı´ndices λ y ν, adema´s hemos usado la propiedad de que la derivada covariante del tensor me´trico es cero [7] , obteniendo gλνRλµνκ;η + g λνRλµκη;ν + g λνRλµην;κ = 0, gλνRλµνκ;η + g λνRλµκη;ν − gλνRλµνη;κ = 0, Rµκ;η +R ν µκη;ν −Rµη;κ = 0. (11.3) Asimismo, levando a cabo una segunda contraccio´n de (11.3), respecto de los ı´ndices µ y κ, obtenemos gµκRµκ;η + g µκRνµκη;ν − gµκRµη;κ = 0, gµκRµκ;η − gµκRνµηκ;ν − gµκRµη;κ = 0, R;η −Rνη;ν −Rκη;κ = 0, y en el u´ltimo termino haciendo el cambio de κ por ν, se obtiene R;η −Rνη;ν −Rνη;ν = 0, R;η − 2Rνη;ν = 0, ahora, haciendo uso de (δµλR);µ = δ µ λ(R);µ = δ µ λR;µ = R;λ, obtendr´ıamos, lo siguiente δνηR;ν − 2Rνη;ν = 0, ( Rνη − 1 2 δνηR ) ;ν = 0. (11.4) el cual si lo multiplicamos por el tensor me´trico, obtenemosgµη ( Rνη − 1 2 δνηR ) ;ν = 0, 64 ( gµηRνη − 1 2 gµηδνηR ) ;ν = 0, ( Rνν − 1 2 gµνR ) ;ν = 0. (11.5) Aqu´ı vemos que la derivada covariante es cero, entonces la cantidad en pa- rentesis es un invariante [7]. Por lo tanto, podemos decir que las ecuaciones (11.3), (11.4) y (11.5) son identidades covariantes [7]. 65 66 Cap´ıtulo 12 Ecuaciones de Campo de Einstein Recordando [7] que el tensor de Energ´ıa-Momentun para cuerpos macros- copicos (y fluidos perfetos), esta dado por T µν = (P + ρ)UµUν − Pgµν , Tµν = (P + ρ)UµUν − Pgµν . (12.1) donde: Uµ es la cuadrivelocidad del fluido. P es la Presio´n Isotro´pica. ρ es la densidad de masa-energ´ıa. Ahora, si consideramos [6] un campo estacionario de´bil, la part´ıcula tiene una velocidad muy pequen˜a comparada con la velocidad de la luz, o´sea la part´ıcula es bien lenta, entonces las componentes de su cuadrivelocidad se pueden considerar como sigue dx1 dτ ≈ dx 2 dτ ≈ dx 3 dτ ≈ 0 y dx 0 dτ ≈ 1, de esto tenemos ~U = d~x dτ = 0 y U0 = 1. A partir de esto, usando (12.1), calculamos la componente T00 del tensor Energ´ıa-Momento [6] T00 = (P + ρ)U0U0 − Pg00, 67 pero en la me´trica que usamos tenemos que g00 = 1, entonces nos quedar´ıa T00 = (P + ρ)(1)(1)− P (1), T00 = ρ. (12.2) Ahora, como habiamos deducido la relacio´n entre el potencial gravitacional newtoniano φ y la componente g00 del tensor me´trico, la que con c = 1 es g00 = 1 + 2φ (12.3) Tambie´n sabiendo que en la teor´ıa newtoniana la dependencia del potencial gravitacional φ con la distribucio´n de densidad de materia ρ esta dada por la ecuacio´n de Poisson [7] , definida por ∇2φ = 4piGρ, (12.4) As´ı de (12.2) y (12.3) en (12.4), tenemos ∇2 ( g00 2 − 1 2 ) = 4piGT00, ∇2g00 = 8piGT00. (12.5) Esta ecuaco´n [7] de campo se supone que so´lo es va´lida para campos de´bi- les generados por materia no relativista, y no es au´n un invariante de lorentz. Sin embargo, esta ecuacio´n nos conduce a suponer que las ecuaciones de campo de´bil para una distribucio´n general Tαβ de energ´ıa y momento [7] toma la siguiente forma Gαβ = 8piGTαβ, donde Gαβ es una combinacio´n lineal de la me´trica, su primera y segunda derivada De aqu´ı y por el Principio de Equivalencia, las ecuaciones que gobiernan los campos gravitacionales de intensidad arbitraria deben tomar la siguiente forma Gµν = 8piGTµν . (12.6) Ahora, vamos a establecer algunas consideraciones que nos permitan encon- trar la forma del tensor de Einstein [7]. 68 (a) Por definicio´n Gµν es un tensor. (b) Por suposicio´n, Gµν contiene solo te´rminos con N=2 derivadas de la me´trica. Esto es, Gµν contiene unicamente te´rminos que son lineales en la segunda derivada o´ cuadraticos en la primera derivada de la me´trica. (c) Ya que Tµν es simetrico, Gµν tambie´n lo es. (d) Ya que Tµν , entonces tambie´n Gµν se debe conservar, es decir Gµν;µ = 0. (e) Para un campo estacionario de´bil producido por materia no relativista, debemos tener que la componente (0,0) de Gµν se reduce a G00 = ∇2g00. As´ı, la forma ma´s general para construir un tensor que satisfaga (a) y (b) es mediante la contraccio´n del tensor de Curvatura, cuya propiedad de anti- simetria muestra que los unicos tensores que pueden ser formados mediante la contraccio´n del tensor de curvatura son: El tensor de Ricci y el tensor de Curvatura Escalar [7] , por ello definimos que el tensor de Einstein es una combinacio´n lineal de estos dos tensores Gµν = c1Rµν + c2gµνR, (12.7) donde c1 y c2 son constantes, vemos que aparece gµν en el segundo te´rmino del lado derecho debido a que este tensor describe la geome´tria del espacio- tiempo. Tambie´n de esta ecuacio´n nos damos cuenta que Gµν es un tensor debido a que Rµν y gµν tambie´n lo son y ademas Gµν es simetrico debido a que Rµν y gµν lo son, entonces con esto quedan satisfechas las condiciones (a), (b) y (c). Ahora de (12.7) podemos tener gµσGµν = c1g µσRµν + c2g µσgµνR, con σ = ν, tenemos Gµν = c1R µ ν + c2δ µ νR. 69 Realizando la derivada covariante y para que se cumpla la condicio´n (d) la igualamos a cero Gµν;µ = (c1R µ ν + c2δ µ νR);µ = 0, Gµν;µ = c1 ( Rµν − 1 2 (−2c2 c1 ) δµνR ) ;µ = 0, el cual comparando con la Identidad de Bianchi (11.4), obtenemos c2 = −c1 2 , con lo cual (12.7), quedar´ıa Gµν = c1Rµν − c1 2 gµνR. Asimismo, para que se cumpla la condicio´n (e), vamos a tener que c1 = 1 y con esto obtenemos Gµν = ( Rµν − 1 2 gµνR ) , (12.8) ahora, reemplazando (12.8) en (12.6), obtenemos Rµν − 1 2 gµνR = 8piGTµν . (12.9) a la cual se le llama Ecuacio´n de Campo Gravitacional de Einstein [7]. Una forma alternativa de esta ecuacio´n se obtiene contrayendo con gµν , re- sultando gµνRµν − 1 2 gµνgµνR = 8piGg µνTµν , pero como gµνgµν = 4, entonces nos quedar´ıa R = −8piGT µµ , el cual al reemplazarlo en (12.9), se obtiene lo siguiente Rµν − 1 2 gµν8piGT µ µ = 8piGTµν , Rµν = 8piG ( Tµν − 1 2 gµνT µ µ ) . (12.10) 70 En el espacio [7] vac´ıo Tµν se anula, con lo cual le ecuacio´n de Campo de Einstein resulta. Rµν = 0 (12.11) Esto no implica que Rλµνκ = 0, pues el tensor de Curvatura posee 20 compo- nentes independientes mientras que el tensor de Ricci posee 10. Por lo tanto es posible satisfacer las ecuaciones de campo en el vac´ıo con un tensor de Curvatura de componentes no nulas. Un tensor de Curvatura no nulo repre- senta un campo gravitacional que no desaparace por lo que concluimos que pueden existir campos gravitacionales en el espacio vac´ıo. Otra forma de entender esto es mencionar que en un espacio de dos o tres dimensiones esto deberia indicar la anulacio´n total del tensor de Curvatura y en consecuencia, la ausencia de un campo gravitacional. Solo en cuatro o ma´s dimensiones, en que verdaderos campos gravitacionales pueden existir en el vac´ıo [7]. 71 72 Cap´ıtulo 13 Solucio´n de Schwarzschild Consideremos [7] que el tensor me´trico ma´s general es el que puede re- presentar un campo gravitacional esta´tico e isotro´pico. Por Esta´tico e Isotro´pico se entiende que debe ser posible encontrar un con- junto de coordenadas cuasi-minskowskianas x1, x2, x3, x0 = t con c = 1, tal que el tiempo propio invariante no dependa de t, y dependa solo de ~x y d~x, a traves de los invariantes rotacionales d~x2, ~xd~x y ~x2 [7]. Entonces la manera ma´s general de escribir el tiempo propio invariante en coordenadas cartesianas es dτ 2 = F(r)dt 2 − 2E(r)dt~x.d~x−D(r)(~x.d~x)2 − C(r)d~x2, esta es una definicio´n de lo que se entiende por me´trica esta´tica isotro´pica o tambie´n se puede decir, que es un arreglo que permite encontrar algunas soluciones de la ecuacio´n de campo [7]. Como estamos trabajando en la me´trica de signatura (+,-,-,-), entonces va- mos a tener que ds2 = dτ 2, claro con c = 1 , entonces ds2 = F(r)dt 2 − 2E(r)dt~x.d~x−D(r)(~x.d~x)2 − C(r)d~x2, Ahora es conveniente reemplazar ~x en coordenadas esfericas, resultando ds2 = F(r)dt 2 − 2E(r)dtdr − r2D(r)dr2 − C(r)(dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2). Debido a la aparicio´n del te´rmino gtr = dtdr, se debe definir una nueva coordenada t y adema´s realizando nuevas redefiniciones, obtenemos ds2 = B(r)dt 2 − A(r)dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2. (13.1) 73 esta es la me´trica Estandar, donde B(r) y A(r) seran determinadas al resolver las ecuaciones de campo. De esta me´trica se va tener que las componentes del tensor me´trico son: gtt = g00 = B(r), (13.2) grr = g11 = −A(r), (13.3) gθθ = g22 = −r2, (13.4) gφφ = g33 = −r2 sin2 θ. (13.5) Ya que gµν es diagonal, entonces las componentes no nulas de su inversa (componentes contravariantes) son: gtt = g00 = (B(r)) −1, (13.6) grr = g11 = −(A(r))−1, (13.7) gθθ = g22 = −r−2, (13.8) gφφ = g33 = −r−2 sin−2 θ. (13.9) Conociendo las componentes del tensor me´trico, calculamos los respectivos simbolos de christoffel, el cual esta definido como Γλµν = 1 2 gλρ ( ∂gρµ ∂xν + ∂gρν ∂xµ − ∂gµν ∂xρ ) , Si hacemos λ = 0, obtenemos Γ0µν = 1 2 g0ρ ( ∂gρµ ∂xν + ∂gρν ∂xµ − ∂gµν ∂xρ ) , donde ρ solamente puede tomar el valor decero debido a que contamos con el valor de la componente g00 Γ0µν = 1 2 g00 ( ∂g0µ ∂xν + ∂g0ν ∂xµ − ∂gµν ∂x0 ) , 74 ahora como las componentes del tensor me´trico solo dependen de la coorde- nada x1 = r, entonces el u´ltimo te´rmino dentro del parentesis se anula para cualquier valor de µ y ν, resultando Γ0µν = 1 2 g00 ( ∂g0µ ∂xν + ∂g0ν ∂xµ ) , donde si µ = 0, obtenemos Γ00ν = 1 2 g00 ( ∂g00 ∂xν + ∂g0ν ∂x0 ) , adema´s, como habiamos mencionado que gµν solo depende de x 1 = r, enton- ces nos queda Γ00ν = 1 2 g00 ∂g00 ∂xν , donde vemos que ν unicamente toma el valor de 1 Γ001 = 1 2 g00 ∂g00 ∂x1 = 1 2 gtt ∂gtt ∂r , ahora usando (13.2) y (13.6) en esta ecuacio´n, nos quedar´ıa Γ001 = Γ 0 10 = 1 2B(r) dB(r) dr . De la misma forma calculamos para λ = 1, λ = 2 y λ = 3, obteniendo Γ100 = 1 2A(r) dB(r) dr Γ111 = 1 2A(r) dA(r) dr , Γ122 = −r A(r) Γ133 = −r sin2 θ A(r) , Γ212 = Γ 2 21 = 1 r Γ233 = − sin θ cos θ, Γ313 = Γ 3 31 = 1 r Γ323 = Γ 3 32 = cot θ. 75 Calculado todos los simbolos de christoffel no nulos, ahora calculamos las componentes no nulas del tensor de Ricci, mediante la siguiente dfinicio´n Rµκ = R λ µλκ = ∂Γλµλ ∂xκ − ∂Γ λ µκ ∂xλ + ΓηµλΓ λ κη − ΓηµκΓλλη, donde las u´nicas componentes no nulas son R00 = −B ′′ 2A + 1 4 B ′ A ( A ′ A + B ′ B ) − 1 r B ′ A , (13.10) R11 = B ′′ 2B − 1 4 B ′ B ( A ′ A + B ′ B ) − 1 r A ′ A , (13.11) R22 = −1 + r 2A ( −A ′ A + B ′ B ) + 1 A , (13.12) R33 = sin 2 θR22. (13.13) Aplicando [7] las ecuaciones de campo de Einstein a la me´trica esta´tica isotro´pica general a partir de la forma estandar dada por (13.1) y recordando las ecuaciones de campo para el espacio vacio (12.11). De esto se impone que las componentes del tensor de Ricci seben ser iguales a cero. R00 = R11 = R22 = R33 = 0. Ahora, dividiendo (13.11) entre A y (13.10) entre B, obtenemos R11 A = B ′′ 2AB − 1 4 B ′ AB ( A ′ A + B ′ B ) − 1 r A ′ A2 = 0, R00 B = − B ′′ 2AB + 1 4 B ′ AB ( A ′ A + B ′ B ) − 1 r B ′ AB = 0, (13.14) sumando estas dos ecuaciones, obtenemos R11 A + R00 B = −1 r A ′ A2 − 1 r B ′ AB = − 1 rA ( A ′ A + B ′ B ) = 0, entonces A ′ A + B ′ B = 0, 76 BA ′ + AB ′ AB = 0, BA ′ + AB ′ = 0, d dr (AB) = 0, A(r)B(r) = cte. Ahora, imponiendo [7] sobre A(r) y B(r) la siguiente condicio´n de frontera. Para: r →∞; el tensor me´trico tiende al tensor de minskowski en coordena- das esfericas con me´trica de signatura (+,-,-,-), entonces l´ım r→∞A(r) = l´ımr→∞B(r) = 1, de donde podemos obtener A(r)B(r) = 1 → A(r) = 1 B(r) . Luego, remplazando esto u´ltimo en (13.12), tenemos R22 = −1 + rB 2 ( −B ′ B + B ′ B ) +B, R22 = −1 + rB′ +B = 0, rB ′ +B = 1 → d dr (rB) = 1, rB = r + cte → B(r) = 1 + cte r . (13.15) Por otro lado, recordando que para grandes distancias, a partir de un cuerpo de masa M , la componente temporal del tensor me´trico viene dado por g00 = 1 + 2φ, (13.16) donde el potencial gravitacional esta definido como φ = −GM r . (13.17) 77 Ahora, reemplazando (13.17) en (13.16) y usando (13.2), obtenemos B(r) = 1− 2GM r , (13.18) comparando (13.18) con (13.15), se obtiene que cte = −2GM. (13.19) asimismo de (13.18), y sabiendo que A(r) = 1 B(r) , el siguiente valor es obtenido A(r) = ( 1− 2GM r )−1 . (13.20) Ahora, de (13.18) y (13.20) en la metrica estandar (13.1), obtenemos lo si- guiente ds2 = ( 1− 2GM r ) dt2 − ( 1− 2GM r )−1 dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2.(13.21) Esta es la solucio´n obtenida por Schwarzschild para el espacio vac´ıo [7]. 78 Cap´ıtulo 14 Conclusiones La transformaciones de Galileo no son va´lidas para feno´menos de na- turaleza electromagne´tica. La definicio´n de distancia entre dos puntos en un espacio de tres di- mensiones no se cumple en un espacio de cuatro dimensiones. En meca´nica relativista aunque la velocidad de una part´ıcula libre sea cero su energ´ıa no lo es. Las ecuaciones de Maxwell son covariantes, o´sea no cambian su forma frente a Transformaciones de Lorentz. En el caso l´ımite de pequen˜as velocidades, las ecuaciones relativistas del movimiento en un campo gravitatorio se deben reducir a las corres- pondientes ecuaciones no relativistas. Es suficiente un tensor de orden dos para describir el efecto sobre el movimiento de los cuerpos de la curvatura causada por la presencia de Masa-Energ´ıa. Solo en cuatro o ma´s dimensiones es que verdaderos campos gravita- cionles pueden existir en el vac´ıo. 79 80 Bibliograf´ıa [1] Bre´dov M.; Rumia´ntsev V.; Toptiguin I. Electrodina´mica Cla´sica, Moscu´: Edit. MIR, segunda edicio´n, 1985. [2] Dirac P. A. La Teor´ıa de la Relatividad General, United States of America: Edit. Wiley-Interscience, 1975. [3] Kay D. C. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, United States of America: Edit. McGraw-Hill, 1988. [4] Landau L. D.; Lifshitz E. M. Teor´ıa Cla´sica de Campos, Barcelona: Edit. Reverte´, segunda edicio´n, 1973. [5] Shahen H. Relatividad Especial Para Estudiantes de F´ısica, Me´xico, D.F: Fondo de Cultura Econo´mica, primera edicio´n, 1995. [6] Tolman R. C. Relativity Thermodynamics and Cosmology, Canada: Ge- neral Publishing Company, 1979 [7] Weinberg S. Gravitation and Cosmology: Principles and Aplications of the General Theory of Relativity, United States of America: Edit. Wiley- Interscience, 1972. 81
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