SOLUCIONES ESTATICAS DE LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CONSIDERANDO UNA METRICA CON SIMETRIA CILINDRICA

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
Facultad de Ciencias Naturales y Matema´tica
Escuela Profesional de F´ısica
Informe de Pra´cticas Pre-Profesionales para Optar la
Constancia de Egresado
Modalidad Investigacio´n
“SOLUCIONES ESTA´TICAS DE LAS ECUACIONES
DE EINSTEIN CONSIDERANDO UNA ME´TRICA
CON SIMETRI´A CILI´NDRICA”
Alumno: Alonso Romero Fun˜o
Codigo: 060958-G
Resolucio´n N ◦: 039-2011-CD-EPF-FCNM
Semestre Acade´mico: 2011-B
Callao-Peru´
1. DATOS GENERALES
a) ESTUDIANTE
1) Apellidos y Nombre : Romero Fun˜o, Alonso
2) Co´digo : 060958-G
3) Universidad : Universidad Nacional del Callao
4) Facultad : Ciencias Naturales y Matema´tica
5) Escuela Profesional : F´ısica
6) Semestre Acade´mico : 2011-B
b) ASESOR
1) Apellidos y Nombre : Vega De La Pen˜a, Rolando Manuel
2) Co´digo : 1401
3) Categor´ıa y Dedicacio´n : Auxiliar, TC
4) Condicio´n : Nombrado
5) Epecialidad : F´ısica Teo´rica
6) Facultad : Ciencias Naturales y Matema´tica
c) INSTITUCIO´N
1) Institucio´n : Universidad Nacional del Callao
2) Direccio´n : Av. Juan Pablo II 306, Bellavista-
Callao
3) Tele´fono : 429-7178
2. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES REALIZADAS
DESCRIPCIO´N 1er mes 2do mes 3er mes 4to mes
•Revisio´n bibliogra´fica X
•Desarrollo del trabajo
de investigacio´n X
•Interpretacio´n de los
resultados-Conclusiones X
•Informe final X
2
I´ndice general
1. Resumen 5
2. Introduccio´n 7
3. Geometria de Riemann y Relatividad General 9
3.1. Transformacio´n de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3. S´ınbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4. Derivacio´n Covariante de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5. Tensor de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6. Identidades de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.7. Tensor de Ricci y Tensor de Curvatura Escalar . . . . . . . . . 17
3.8. Tensor de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.9. Ecuacio´n de Campo Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.10. Soluciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.10.1. Solucio´n de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.10.2. Solucio´n de Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . . 23
3.10.3. Solucio´n de Weyl y Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . 24
3.10.4. Solucio´n de Kasner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Solucio´n para una Nueva Me´trica 25
4.1. Ca´lculo de los simbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Ca´lculo de las componentes del tensor de Ricci . . . . . . . . . 28
4.3. Solucio´n a las ecuaciones de Einstein para la regio´n exterior
al cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4. Solucio´n a las ecuaciones de Einstein para la regio´n interior al
cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.1. Ca´lculo del tensor de Curvatura Escalar . . . . . . . . 33
5. Conclusiones 39
5.1. Conclusiones de la solucio´n exterior . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
5.2. Conclusiones de la solucio´n interior . . . . . . . . . . . . . . . 40
6. Bibliograf´ıa 41
4
Cap´ıtulo 1
Resumen
En este trabajo se realiza un ana´lisis de las ecuaciones de campo de Eins-
tein, teniendo en cuenta que el cuerpo que genera el campo gravitacional
es cil´ındricamente sime´trico (cilindro infinito con seccio´n transversal finita),
vamos a resolver las ecuaciones de campo de Einstein, primeramente para el
vac´ıo, donde se considera que el tensor de Energ´ıa-Momentum es nulo, y luego
vamos a resolver las ecuaciones de Einstein para el interior del cuerpo, donde
se considera una ecuacio´n de estado, la cual relaciona la presio´n con la densi-
dad de masa y, con esto, algunas componentes del tensor Energ´ıa-Momentum
sera´n diferentes de cero, obteniendo la solucio´n (me´trica del espacio-tiempo)
para la regio´n exterior e interior al cuerpo, respectivamente.
5
6
Cap´ıtulo 2
Introduccio´n
Las soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein son de gran intere´s por
varias razones. Una de e´stas, es el poder investigar las posibles caracter´ısticas
gravitacionales que pueden tener algunos cuerpos en el Universo y otra razo´n,
es que las soluciones exactas forman una parte integral y auto-consistente, en
relacio´n con el desarrollo y comprensio´n de la misma Teor´ıa de la Relatividad.
La me´trica con simetr´ıa axial ha sido utilizada para la obtencio´n de una
gran cantidad de soluciones exactas externas de las Ecuaciones de Einstein,
y muchas de e´stas, son modelos del campo gravitacional generado por cuer-
pos celestes en el espacio, fundamentalmente estrellas, ya que con ella se
pueden estudiar cuerpos rotantes y no rotantes con distintas caracter´ısticas
geome´tricas [8].
Las soluciones interiores exactas a las ecuaciones de Einstein, tambie´n son
de gran intere´s, incluso para los modelos ma´s simples en los que e´stas se
obtienen. Las ma´s conocidas son las relacionadas con la Cosmolog´ıa, donde
generalmente se tiene la ventaja de contar con una simetr´ıa dependiente del
parametro temporal y con caracter´ısticas que permiten obtener soluciones
de una manera relativamente simple. En Cosmolog´ıa las distintas etapas del
Universo, se estudian, generalmente, suponiendo modelos en las ecuaciones
de estado, por ejemplo, el modelo tipo polvo, ultrarelativista, etc. Cada uno
de ellos aporta un gran conocimiento a dicha disciplina y en general a la
Teor´ıa de la Relatividad. Por lo anterior se entiende el intere´s que existe por
obtener soluciones exactas que sean interiores.
La simetr´ıa axial tiene dos importantes casos particulares. Uno es la simetr´ıa
esfe´rica que fue y sigue siendo estudiado ampliamente a traves de la solu-
cio´n de Schwarzschild, Kerr, Reissner-Nordstrom, etc. El otro es la simetr´ıa
7
cil´ındrica. El espacio-tiempo cil´ındricamente sime´trico fue primero investiga-
do por Weyl y Levi-Civita en 1917-1919, luego por Chazy-Curzon, Kasner,
etc, todos ellos obtuvieron soluciones esta´ticas a las ecuaciones de campo de
Einstein, luego Lewis por ejemplo obtuvo una solucio´n estacionaria. Ahora
tomando en cuenta los trabajos anteriores, se ha estado dando un estudio a
las cuerdas co´smicas por Kibble, Zeldovich, Vilenkin, Richard Gott, etc.
En el desarrollo de este trabajo de investigacio´n se pretende seguir dando
un estudio de las soluciones esta´ticas cil´ındricamente sime´tricas de las ecua-
ciones de campo de Einstein, tanto para la regio´n exterior e interior al cuerpo
que genera la curvatura en el espacio-tiempo [8].
8
Cap´ıtulo 3
Geometria de Riemann y
Relatividad General
3.1. Transformacio´n de Coordenadas
Si tenemos un sistema de coordenadas x0, x1, x2, x3 y consideremos otro
sistema de coordenadas x
′0, x
′1, x
′2, x
′3, que esta´ relacionado con el primer
sistemas mediante la transformacio´n de coordenadas [1]
x
′µ = fµ(x0, x1, x2, x3) (3.1)
Tal trasformacio´n de coordenadas se podria ver en el grafico siguiente::
Aqu´ı fµ(x0, x1, x2, x3) son cuatro funciones reales independientes de las coor-
denadas xµ. Entonces una condicio´n necesaria y suficiente para que las cuatro
9
funciones fµ(x) sean independientes una de la otra es que su Jacobiano sea
distinto de cero.
∣∣∣∣∣∂x
′
∂x
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f0
∂x0
∂f1
∂x0
∂f2
∂x0
∂f3
∂x0
∂f0
∂x1
∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f3
∂x1
∂f0
∂x2
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
∂f3
∂x2
∂f0
∂x3
∂f1
∂x3
∂f2
∂x3
∂f3
∂x3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0
Cuando se cumple esto, nosotros podemos invertir la transformacio´n de coor-
denadas (3.1) y expresar las coordenadas xµ en te´rminos de x
′ν
xµ = gµ(x
′0, x
′1, x
′2, x
′3) (3.2)
Aqu´ı gµ(x
′0, x
′1, x
′2, x
′3) son cuatro funciones de las coordenadas x
′ν
En cualquier punto en un spacio-tiempo Riemanniano podemos definir una
direccio´n. Tal direccio´n es determinada por los diferenciales dxµ de las cuatro
coordenadas xµ. En otro sistemas de coordenadas x
′ν , la misma direccio´n es
determinada porlos diferenciales dx
′ν . Si la transformacio´n de coordenadas
entre los dos sistemas de coordenadas xµ y x
′ν son dados por las ecs. (3.1)
y (3.2), entonces los diferenciales de los dos sistemas de coordenadas estan
relacionados por
dx
′µ =
∂x
′µ
∂xν
dxν =
∂fµ
∂xν
dxν
dxµ =
∂xµ
∂x′ν
dx
′ν =
∂gµ
∂x′ν
dx
′ν
Aqu´ı estamos usando el convenio de sumacio´n de Eisntein.
Podemos notar que cuando llevamos la transformacio´n de coordenadas de un
sistema al otro, nos resulta lo siguiente
∂xα
∂x′µ
∂x
′µ
∂xβ
= δαβ
∂x
′µ
∂xα
∂xα
∂x′ν
= δµν
donde δαβ es el delta de Kronecker. Si consideramos la expresio´n
∂xα
∂x
′µ como
una matriz, entonces ∂x
′µ
∂xβ
es su matriz inversa. Por lo cual el Jacobiano de
transformacio´n, consecuentemente satisface la relacio´n∣∣∣∣∣∂x
′
∂x
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ∂x∂x′
∣∣∣∣∣ = 1
10
Al conjunto de cuatro funciones V µ, que se trasforma bajo una transforma-
cio´n de coordenadas similar a la manera como se transforman los diferenciales
dxµ
V
′µ =
∂x
′µ
∂xν
V ν (3.3)
se le denomina Vector Contravariante. El conjunto de funciones V µ y V
′µ
son entonces llamados las componentes del vector contravariante en los dos
sistemas de coordenadas xµ y x
′µ, respectivamente. De la misma manera
podemos definir tambie´n un conjunto de cuatro funciones que se trasforman
como
V′µ =
∂xν
∂x′µ
Vν (3.4)
llamado Vector Covariante. Los dos conjuntos de funciones Vµ y V′µ son lla-
mados componentes del vector covariante en los dos sistemas de coordenadas
xµ y x
′µ, respectivamente.
3.2. Tensores
Los vectores contravariantes y covariantes son casos especiales de una cla-
se de cantidades que se transforman con una ley de transformacio´n lineal y
homoge´nea bajo la transformacio´n de coordenadas (3.1) y (3.2). Tales canti-
dades son llamadas Tensores. Segu´n esta´ descripcio´n, un escalar es un tensor
de orden 0, y un vector es un tensor de orden 1, habiamos definido que hay
dos tipos de vectores (covariantes y contravariantes), en lo que sigue vamos
a ver que hay tres tipos de tensores de orden 2 [1].
Un tensor contravariante de segundo orden, denotado por T µν , que en ge-
neral tiene 16 componentes, tal tensor se transforma de una forma similar
al producto de dos vectores contravariantes, por ejemplo sean los vectores
contravariantes V µ y W ν , entonces usando la ley de transformacio´n (3.3),
encontramos que el producto se transforma de acuerdo a la relacio´n
V
′µW
′ν =
∂x
′µ
∂xα
∂x
′ν
∂xβ
V αW β
de acuerdo con esto, podemos definir la ley de transformacio´n de los tensores
contravariantes de segundo orden como
T
′µν =
∂x
′µ
∂xα
∂x
′ν
∂xβ
Tαβ (3.5)
11
Un tensor covariante de segundo orden, denotado por Tµν , se transforma de
una forma similar al producto de dos vectores covariantes, de la siguiente
manera
T′µν =
∂xα
∂x′µ
∂xβ
∂x′ν
Tαβ (3.6)
Finalmente, un tensor mixto de orden 2 se trasforma de una forma semejante
al producto de un vector covariante y un vector contravariante, de la siguiente
manera
T
′µ
ν =
∂x
′µ
∂xα
∂xβ
∂x′ν
Tαβ (3.7)
este tensor mixto es contravariante de orden 1 y covariante de orden 1.
Los tensores de orden mayor a 2, se definen mediante la generalizacio´n de
las leyes de transformacio´n (3.5)-(3.7). Un tensor mixto de orden m + n,
contravariante de orden m y covariante de orden n, se trasforma como
T
′µ1....µm
ν1....νn
=
∂x
′µ1
∂xρ1
....
∂x
′µm
∂xρm
∂xσ1
∂x′ν1
....
∂xσn
∂x′νn
T ρ1....ρmσ1....σn
3.3. S´ınbolos de Christoffel
Las cantidades Γijk se llaman s´ımbolos de Christoffel o conexio´n a fin,
estas cantidades son ciertas funciones de las coordenadas cuya forma depen-
de del sistema de coordenadas; por ejemplo para un sistema de coordenadas
galileanas todos los s´ımbolos de Christoffel son nulos.
Esto prueba que las cantidades Γijk no forman un tensor, ya que si un ten-
sor es igual a cero en un sistema de coordenadas es tambie´n igual a cero en
cualquier otro sistema. En un espacio no euclideo es imposible, hacer que
todos los Γijk se anulen en todo el espacio. Pero podemos, en cambio, elegir
un sistema de coordenadas para el cual los Γijk se anulen en una regio´n infi-
nitesimal dada.(dicho sistema se dice que es localmente inercial o localmente
geode´sico)[7].
Se define los s´ımbolos de christoffel se segunda especie como
Γλµν =
1
2
gλρ
(
∂gρµ
∂xν
+
∂gρν
∂xµ
− ∂gµν
∂xρ
)
(3.8)
12
como vemos en esta expresio´n, los simbolos de Christoffel esta´ en terminos
de las primeras derivadas de las componentes del tensor me´trico 1
Debido a que las componentes del tensor me´trico me indican potencial gravi-
tacional, y como los simbolos de Christoffel estan en te´rminos de las primeras
derivadas de tales componentes, a los s´ımbolos de Christoffel se les conoce
como fuerza gravitacional, por lo que tambie´n tienen que ver con la curvatura
del espacio-tiempo. Adema´s en ausencia de gravitacio´n se considera a todos
los Γλµν = 0.
3.4. Derivacio´n Covariante de Tensores
La importancia de la derivada covariante surge de dos de sus propiedades:
-Convierte tensores en otros tensores.
-Se reduce a la derivada ordinaria en ausencia de gravitacio´n; es decir;
cuando Γλµν = 0.
Justamente estas propiedades sugieren el siguiente algoritmo para sen˜alar
los efectos de la gravitacio´n sobre los sistemas f´ısicos. Tenemos que escribir
las ecuaciones de la Relatividad Especial apropiadas va´lidas en ausencia de
gravitacio´n, y luego reemplazar nµν por gµν y tambie´n reemplazar todas las
derivadas ordinarias por derivadas covariantes.
Designaremos a la derivada covariante xj[7], de Ai por el s´ımbolo Ai,j:
Aµ,ν =
∂Aµ
∂xν
− ΓρµνAρ
En general tenemos
Aµ1....µmν1....νn,ρ =
∂Aµ1....µmν1....νn
∂xρ
+ Γµ1ρα1A
α1....µm
ν1....νn
+ ...+ ΓµmραmA
µ1....αm
ν1....νn
− Γβ1ν1ρAµ1....µmβ1....νn − ...
−ΓβnνnρAµ1....µmν1....βn (3.9)
1Debemos tener en cuenta que al elegir un sistema de coordenadas localmente geode´sico
todas las primeras derivadas de las componentes del tensor me´trico se anulan, resultando
que todas las componentes del tensor me´trico son constantes.
13
3.5. Tensor de Riemann-Christoffel
El tensor mixto de Riemann-Christoffel [7], se define como:
Rλµνκ =
∂Γλµν
∂xκ
− ∂Γ
λ
µκ
∂xν
+ ΓηµνΓ
λ
κη − ΓηµκΓλνη (3.10)
Adema´s podemos afirmar que en un espacio plano cuadrimensional, el tensor
de curvatura es igual a cero.
Tambie´n es va´lido decir que si Rλµνκ = 0, entonces el espacio es plano, por
consiguiente la anulacio´n o no del tensor de curvatura es un criterio que nos
permite decidir si el espacio es plano o curvo [10].
Ahora, vamos a calcular el tensor de curvatura totalmente covariante, pa-
ra ello vamos a contraer usando el tensor me´trico el super´ındice del tensor
de curvatura de la ecuacio´n (3.10), esto es
Rλµνκ = gλσR
σ
µνκ
quedando
Rλµνκ =
1
2
(
∂2gλν
∂xκ∂xµ
− ∂
2gµν
∂xκ∂xλ
− ∂
2gλκ
∂xν∂xµ
+
∂2gµκ
∂xν∂xλ
)
+gησ
(
ΓηλνΓ
σ
κµ − ΓηµνΓσκλ
)
(3.11)
Asimismo, de esta expresio´n podemos tener las siguientes propiedades [6]
a) Simetr´ıa
Rλµνκ = Rνκλµ
b) Antisimetr´ıa
Rλµνκ = −Rµλνκ = −Rλµκν = Rµλκν
c) C´ıclica
Rλµνκ +Rλκµν +Rλνκµ = 0
14
3.6. Identidades de Bianchi
En esta parte, vamos a obtener las identidades de Bianchi, las cuales son
muy importantes para nuestro desarrollo de la Relatividad General.
Para ello vamos a realizar una derivada covariante de (3.11), obteniendo
Rλµνκ;η =
∂Rλµνκ
∂xη
− ΓρληRρµνκ − ΓρµηRλρνκ − ΓρνηRλµρκ − ΓρκηRλµνρ
ahora, considerando en un punto x y adoptando un sistema de coordenadas
localmente inercial asociado a ese punto, en el cual los Γλµν (pero no sus
derivadas) se anulan [7].
Entonces la expresio´n anterior, quedar´ıa
Rλµνκ;η =
1
2
∂
∂xη
(
∂2gλν
∂xκ∂xµ
− ∂
2gµν
∂xκ∂xλ
− ∂
2gλκ
∂xν∂xµ
+
∂2gµκ
∂xν∂xλ
)
o´ tambie´n Ahora haciendo una permutacio´n c´ıclica de los ı´ndices ν, κ y η en
esta u´ltima expresio´n y sumando los te´rminos, se obtiene
Rλµνκ;η +Rλµκη;ν +Rλµην;κ = 0 (3.12)
Esta en la Identidad de Bianchi, la cual es una expresio´n covariante, por-
que´ debido a su caracter tensorial esta expresio´n sera´ va´lida en cualquierotro sistema, si lo es en el sistema de coordenadas localmente inercial [7].
Las formas contraidas de esta identidad son importantes.
Aplicandole a esta expresio´n una contraccio´n respecto de los ı´ndices λ y ν,
adema´s hemos usado la propiedad de que la derivada covariante del tensor
me´trico es cero [10] , obteniendo
gλνRλµνκ;η + g
λνRλµκη;ν + g
λνRλµην;κ = 0
gλνRλµνκ;η + g
λνRλµκη;ν − gλνRλµνη;κ = 0
Rµκ;η +R
ν
µκη;ν −Rµη;κ = 0 (3.13)
Asimismo, llevando a cabo una segunda contraccio´n de esta u´ltima expresio´n,
respecto de los ı´ndices µ y κ, obtenemos
gµκRµκ;η + g
µκRνµκη;ν − gµκRµη;κ = 0
15
gµκRµκ;η − gµκRνµηκ;ν − gµκRµη;κ = 0
R;η −Rνη;ν −Rκη;κ = 0
y en el u´ltimo te´rmino haciendo el cambio de κ por ν, se obtiene
R;η −Rνη;ν −Rνη;ν = 0
R;η − 2Rνη;ν = 0
ahora, haciendo uso de
(δµλR);µ = δ
µ
λ(R);µ = δ
µ
λR;µ = R;λ
obtendr´ıamos, lo siguiente
δνηR;ν − 2Rνη;ν = 0
(
Rνη −
1
2
δνηR
)
;ν
= 0 (3.14)
el cual si lo multiplicamos por el tensor me´trico, obtenemos
gµη
(
Rνη −
1
2
δνηR
)
;ν
= 0
(
gµηRνη −
1
2
gµηδνηR
)
;ν
= 0
(
Rνν − 1
2
gµνR
)
;ν
= 0 (3.15)
Aqu´ı vemos que la derivada covariante es cero, entonces la cantidad en
pare´ntesis es un invariante.
Por lo tanto, podemos decir que las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.15) son
identidades covariantes [10].
16
3.7. Tensor de Ricci y Tensor de Curvatura
Escalar
Conociendo el tensor de Riemann-Christoffel (3.10) se lleva a cabo una
contraccio´n del primer y tercer ı´ndice, obteniendo el siguiente tensor cova-
riante de orden dos.
Rµκ = R
λ
µλκ =
∂Γλµλ
∂xκ
− ∂Γ
λ
µκ
∂xλ
+ ΓηµλΓ
λ
κη − ΓηµκΓλλη
En principio otras contracciones del tensor de Riemann son posibles, por
ejemplo podemos llevar a cabo la contraccio´n respecto de los ı´ndices λ y µ
o´ ν y κ, pero como el tensor es antisimetrico esas contracciones se anulan,
como se muestra
gλµRλµνκ = Rνκ = g
µλ(−Rµλνκ) = −Rνκ
2Rνκ = 0 −→ Rνκ = 0
Pero si la contraccio´n se realiza sobre otro par cualquiera de ı´ndices, esto nos
conduce al mismo resultado, salvo por el signo, en otras palabras podemos
decir que el tensor de Ricci es la u´nica contraccio´n posible del tensor de Rie-
mann.
Adema´s, podemos decir que el tensor de Ricci es sime´trico, como se muestra
Rνκ = g
λνRλµνκ = g
νλRνκλµ = Rκν (3.16)
El tensor de Ricci es un tensor muy importante, esto es debido a que en la
definicio´n del tensor Gµν de Einstein para formalizar matema´ticamente la
curvatura del espacio-tiempo que se nos manifiesta como la gravedad, de-
pende del tensor de Ricci. Einstein fue el primero en darse cuenta de la
importancia de este tensor para la construccio´n de una teor´ıa de la gravedad.
Ahora, teniendo el tensor covariante de Ricci, vamos aplicarle una contrac-
cio´n con la ayuda del tensor me´trico, obteniendo un tensor de orden cero,
llamado tensor de Curvatura Escalar R, como se muestra
R = gµκRµκ = g
λνgµκRλµνκ (3.17)
el cual viene siendo a fin de cuentas el resultado de una doble contraccio´n el
tensor de Riemann.
17
3.8. Tensor de Einstein
Partiendo de una de las identidades de Bianchi (3.12), podemos llegar a
un tensor de la forma:
Rµν − 12δµνR = Gµν (3.18)
llamado tensor de Einstein, el cual, como se vera´ mas adelante cumplira´ un
papel fundamental de la Teor´ıa General de la Relatividad y su interpretacio´n
f´ısica.
3.9. Ecuacio´n de Campo Gravitacional
Recordando que el tensor de Energ´ıa-Momentun para cuerpos macrosco´pi-
cos y fluidos perfectos [10] , esta´ dado por
T µν = (P + ρ)UµU ν − Pgµν
Tµν = (P + ρ)UµUν − Pgµν (3.19)
donde:
Uµ es la cuadrivelocidad del fluido.
P es la Presio´n Isotro´pica.
ρ es la densidad de masa-energ´ıa.
Ahora, si consideramos un campo estacionario de´bil, la part´ıcula tiene una
velocidad muy pequen˜a comparada con la velocidad de la luz, o´sea la part´ıcu-
la es bien lenta [9], entonces las componentes de su cuadrivelocidad se pueden
considerar como sigue
dx1
dτ
≈ dx
2
dτ
≈ dx
3
dτ
≈ 0 y dx
0
dτ
≈ 1
de esto tenemos
~U =
d~x
dτ
= 0 y U0 = 1
A partir de esto, usando (3.19), calculamos la componente T00 del tensor
Energ´ıa-Momentum [9]
T00 = (P + ρ)U0U0 − Pg00
18
pero en la me´trica que usamos tenemos que g00 = 1, entonces nos quedar´ıa
T00 = (P + ρ)(1)(1)− P (1)
T00 = ρ (3.20)
Ahora, como hab´ıamos deducido la relacio´n entre el potencial gravitacional
newtoniano φ y la componente g00 del tensor me´trico, la que con c = 1 es
g00 = 1 + 2φ (3.21)
Tambie´n sabiendo que en la teor´ıa newtoniana la dependencia del potencial
gravitacional φ con la distribucio´n de densidad de materia ρ esta´ dada por
la ecuacio´n de Poisson [10] , definida por
∇2φ = 4piGρ (3.22)
As´ı de (3.20) y (3.21) en (3.22), tenemos
∇2
(
g00
2
− 1
2
)
= 4piGT00
∇2g00 = 8piGT00 (3.23)
Esta ecuaco´n de campo se supone que so´lo es va´lida para campos de´biles ge-
nerados por materia no relativista, y no es au´n un invariante de lorentz [9, 10].
Sin embargo, esta ecuacio´n nos conduce a suponer que las ecuaciones de
campo de´bil para una distribucio´n general Tαβ de energ´ıa y momento toma
la siguiente forma
Gαβ = 8piGTαβ
donde Gαβ es una combinacio´n lineal de la me´trica, su primera y segunda
derivada
De aqu´ı y por el Principio de Equivalencia, las ecuaciones que gobiernan
los campos gravitacionales de intensidad arbitraria deben tomar la siguiente
forma
Gµν = 8piGTµν (3.24)
Ahora, vamos a establecer algunas consideraciones que nos permitan encon-
trar la forma del tensor de Einstein [10]:
19
(a) La ecuacio´n de campo debe ser escrita en forma tensorial, lo cual ga-
rantiza la independencia del sistema de coordenadas.
(b) Por suposicio´n, Gµν contiene solo te´rminos con N=2 derivadas de la
me´trica. Esto es, Gµν contiene u´nicamente te´rminos que son lineales en la
segunda derivada o´ cuadraticos en la primera derivada de la me´trica.
(c) Ya que Tµν es sime´trico, Gµν tambie´n lo es.
(d) Ya que Tµν , entonces tambie´n Gµν se debe conservar, es decir
Gµν;µ = 0
(e) En el l´ımite Newtoniano debe obtenerse la ecuacio´n de Poisson, ∇2ϕ =
4piGρ la cual rige la teor´ıa newtoniana de la gravitacio´n.
As´ı, la forma ma´s general para construir un tensor que satisfaga (a) y (b)
es mediante la contraccio´n del tensor de Curvatura, cuya propiedad de anti-
simetr´ıa muestra que los u´nicos tensores que pueden ser formados mediante
la contraccio´n del tensor de curvatura son: El tensor de Ricci y el tensor de
Curvatura Escalar [10], por ello definimos que el tensor de Einstein es una
combinacio´n lineal de estos dos tensores
Gµν = c1Rµν + c2gµνR (3.25)
donde c1 y c2 son constantes, vemos que aparece gµν en el segundo te´rmino
del lado derecho debido a que este tensor describe la geome´tria del espacio-
tiempo.
Tambie´n de esta ecuacio´n nos damos cuenta que Gµν es un tensor debido a
que Rµν y gµν tambie´n lo son y adema´s Gµν es sime´trico debido a que Rµν
y gµν lo son, entonces con esto quedan satisfechas las condiciones (a), (b) y
(c).
Ahora de (3.25) podemos tener
gµσGµν = c1g
µσRµν + c2g
µσgµνR
con σ = ν, tenemos
Gµν = c1R
µ
ν + c2δ
µ
νR
Realizando la derivada covariante y para que se cumpla la condicio´n (d) la
igualamos a cero
Gµν;µ = (c1R
µ
ν + c2δ
µ
νR);µ = 0
20
Gµν;µ = c1
(
Rµν −
1
2
(−2c2
c1
)
δµνR
)
;µ
= 0
el cual comparando con la Identidad de Bianchi (3.14), obtenemos
c2 = −c1
2
con lo cual (3.25), quedar´ıa
Gµν = c1Rµν − c1
2
gµνR
Asimismo, para que se cumpla la condicio´n (e), vamos a tener que c1 = 1 y
con esto obtenemos
Gµν =
(
Rµν − 1
2
gµνR
)
(3.26)
ahora, reemplazando (3.26) en (3.24), obtenemos
Rµν − 1
2
gµνR = 8piGTµν (3.27)
a la cual se le llama Ecuacio´n de Campo Gravitacional de Einstein.
Una forma alternativa de esta ecuacio´n se obtiene contrayendo con gµν , re-
sultando
gµνRµν − 1
2
gµνgµνR = 8piGg
µνTµν
pero como gµνgµν = 4, entonces nos quedar´ıa
R = −8piGT µµ
el cual al reemplazarlo en (3.27), se obtiene lo siguiente
Rµν − 1
2
gµν8piGT
µ
µ = 8piGTµν
Rµν = 8piG
(
Tµν − 1
2
gµνT
µ
µ
)
(3.28)
En el espacio vac´ıo Tµν se anula, con lo cual le ecuacio´nde Campo de Einstein
[10] resulta.
Rµν = 0 (3.29)
21
Esto no implica que Rλµνκ = 0, pues el tensor de Curvatura posee 20 compo-
nentes independientes mientras que el tensor de Ricci posee 10. Por lo tanto
es posible satisfacer las ecuaciones de campo en el vac´ıo con un tensor de
Curvatura de componentes no nulas. Un tensor de Curvatura no nulo repre-
senta un campo gravitacional que no desaparace por lo que concluimos que
pueden existir campos gravitacionales en el espacio vac´ıo.
Otra forma de entender esto es mencionar que en un espacio de dos o tres
dimensiones esto deber´ıa indicar la anulacio´n total del tensor de Curvatura
y en consecuencia, la ausencia de un campo gravitacional. Solo en cuatro o
ma´s dimensiones, en que verdaderos campos gravitacionales pueden existir
en el vac´ıo [10].
En el grafico siguiente observamos como un cuerpo masivo deforma el espacio-
tiempo a su alrededor, cuando mayor es la masa del cuerpo se produce una
mayor deformacio´n, a´demas vemos que debido a esa curvatura en el espacio-
tiempo la luz es desviada de su trayectoria rectilinea.
22
3.10. Soluciones Exactas
3.10.1. Solucio´n de Schwarzschild
La me´trica de Schwarzchild, fue propuesta por Karl Schwarzschild en
1916, esta es considerada la primera solucio´n para la Ecuacio´n Gravitacional
de Einstein [4].
Esta solucio´n representa al espacio-tiempo vac´ıo exterior a un cuerpo masivo
esfe´ricamente sime´trico. La me´trica puede ser escrita en la forma:
ds2 =
(
1− 2GM
r
)
dt2 −
(
1− 2GM
r
)−1
dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2
donde M representa la masa del cuerpo y r > 2GM . La me´trica es singular
cuando r = 0, la cual es una singularidad matema´tica y r = 2GM es el
radio de un cuerpo masivo que nos lleva a un agujero negro, llamado radio
de Schwarzschild.
En la siguiente figura observamos el colpaso gravitacional del cuerpo esfe´ri-
camente sime´trico.
3.10.2. Solucio´n de Reissner-Nordstrom
La solucio´n de Reissner-Nordstron a las ecuaciones de Einsten-Maxwell,
fue publicada en 1918.
Esta solucio´n representa el espacio-tiempo exterior a un cuerpo cargado
23
esfe´ricamente sime´trico. El tensor de energ´ıa-momentum es por lo tanto el
de un campo electromagne´tico en el espacio-tiempo, resultado de la carga del
cuerpo. La me´trica esta´ dada por:
ds2 =
(
1− 2GM
r
+
q2G
r2
)
dt2 −
(
1− 2GM
r
+
q2G
r2
)−1
dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2
donde M representa la masa gravitacional y q la carga del cuerpo.
3.10.3. Solucio´n de Weyl y Levi-Civita
Esta solucio´n a las ecuaciones de Einstein, fue investigado por Weyl y
Levi-Civita en 1917-1919. Ellos consideraron que la curvatura del espacio-
tiempo exterior es generado por una fuente esta´tica cil´ındricamente sime´trica,
este espacio-tiempo es descrito por un elemento de l´ınea de la forma [5](donde
r es la coordenada radial):
ds2 = N0(r)dt
2 −N1(r)dr2 −N2(r)dφ2 −N3(r)dz2
El gauge de Weyl y Levi-Civita es: N1(r) = N3(r) el cual conduce a:
ds2 = (Kr)2pdt2 − (Kr)2p(p−1)(dr2 + dz2)− γ2(Kr)−2pdφ2 (3.30)
Donde p y γ son para´metros libres, K es la longitud de escala y γ es el
el para´metro que me va a definir el de´ficit angular. Este es la me´trica del
espacio-tiempo exterior a un cuerpo esta´tico cil´ındricamente sime´trico.
3.10.4. Solucio´n de Kasner
En este caso se considera que el gauge de Kasner [5] es: N1(r) = 1 el cual
conduce a:
ds2 = (Kr)2adt2 − (Kr)2cdz2 − dr2 − γ2(Kr)2(b−1)dφ2 (3.31)
Donde a, byc satisfacen la condicio´n de Kasner:
a+ b+ c = a2 + b2 + c2 = 1 (3.32)
K y γ son los mismos que el anterior solo bajo una constante multiplicativas.
Esta es la me´trica del espacio-tiempo exterior a un cuerpo esta´tico cil´ındri-
camente sime´trico.
Ya que el espacio-tiempo alrededor de la fuente cil´ındricamente sime´trica
es localmente plano como lo veremos mas adelante, entonces en (3.30) se tie-
ne p = 0 y en (3.31) se tiene a = c = 0 y b = 1, por lo que nos damos cuenta
de que el de´ficit angular es la u´nica evidencia geome´trica de que existe ahi
un cuerpo esta´tico cil´ındricamente sime´trico.
24
Cap´ıtulo 4
Solucio´n para una Nueva
Me´trica
Vamos a plantear una expresional general para una me´trica que presenta
simter´ıa cil´ındrica, la cual vamos a considerar que debe tener simetr´ıa axial y
traslacional, por lo que las componentes del tensor me´trico deben ser funcio-
nes independientes de φ y z, respectivamente. Adema´s, vamos a considerar el
caso esta´tico, con lo cual las componentes del tensor me´trico tambie´n deben
ser funciones independtientes de t. De esta manera, estamos dejando que las
componentes del tensor me´trico (funciones a calcular) sean solamente funcio-
nes que dependen de la coordenada r y tambie´n en analog´ıa al tratamiento
esta´tico de simetr´ıa esfe´rica definimos r tal que el coeficiente de dφ2 sea igual
a r2.
Haciendo uso de todas estas condiciones, la me´trica queda definida como:
ds2 = −e2Φdt2 + e2Λdr2 + r2dφ2 + e2Ψdz2 (4.1)
De esta me´trica se va tener que las componentes del tensor me´trico son:
gtt = g00 = −e2Φ (4.2)
grr = g11 = e
2Λ (4.3)
gφφ = g22 = r
2 (4.4)
gzz = g33 = e
2Ψ (4.5)
25
Ya que gµν es diagonal, las componentes no nulas de su inversa (componentes
contravariantes) son:
gtt = g00 = −e−2Φ (4.6)
grr = g11 = e−2Λ (4.7)
gφφ = g22 = r−2 (4.8)
gzz = g33 = e−2Ψ (4.9)
4.1. Ca´lculo de los simbolos de Christoffel
Conociendo las componentes del tensor me´trico, calcularemos los respec-
tivos simbolos de christoffel, el cual esta´ definido por (3.8)
Γλµν =
1
2
gλρ
(
∂gρµ
∂xν
+
∂gρν
∂xµ
− ∂gµν
∂xρ
)
Si hacemos λ = 0, obtenemos
Γ0µν =
1
2
g0ρ
(
∂gρµ
∂xν
+
∂gρν
∂xµ
− ∂gµν
∂xρ
)
donde ρ solamente puede tomar el valor de cero debido a que contamos con
el valor de la componente g00
Γ0µν =
1
2
g00
(
∂g0µ
∂xν
+
∂g0ν
∂xµ
− ∂gµν
∂x0
)
ahora como las componentes del tensor me´trico solo dependen de la coorde-
nada x1 = r, entonces el u´ltimo te´rmino dentro del pare´ntesis se anula para
cualquier valor de µ y ν, resultando
Γ0µν =
1
2
g00
(
∂g0µ
∂xν
+
∂g0ν
∂xµ
)
donde si µ = 0, obtenemos
Γ00ν =
1
2
g00
(
∂g00
∂xν
+
∂g0ν
∂x0
)
26
adema´s como hab´ıamos mencionado que gµν solo dependen de x
1 = r, enton-
ces nos queda
Γ00ν =
1
2
g00
∂g00
∂xν
donde vemos que ν u´nicamente toma el valor de 1
Γ001 =
1
2
g00
∂g00
∂x1
=
1
2
gtt
∂gtt
∂r
ahora usando (4.2) y (4.6) en esta expresio´n, nos quedar´ıa
Γ001 = Γ
0
10 =
1
2
(−e−2Φ) d
dr
(−e2Φ)
Γ001 = Γ
0
10 = Φ
′
(4.10)
De la misma forma calculamos para λ = 1, λ = 2 y λ = 3, obteniendo:
Γ100 = Φ
′
e2(Φ−Λ) (4.11)
Γ111 = Λ
′
(4.12)
Γ122 = −re−2Λ (4.13)
Γ133 = −Ψ
′
e2(Ψ−Λ) (4.14)
Γ212 = Γ
2
21 =
1
r
(4.15)
Γ313 = Γ
3
31 = Ψ
′
(4.16)
donde los demas simbolos de christoffel son nulos.
27
4.2. Ca´lculo de las componentes del tensor de
Ricci
Ahora calculamos las componentes no nulas del tensor de Ricci, mediante
la expresio´n definida por:
Rµκ = R
λ
µλκ = −
∂Γλµλ
∂xκ
+
∂Γλµκ
∂xλ
− ΓηµλΓλκη + ΓηµκΓλλη
Como solo vamos a tener elementos en la diagonal del tensor de Ricci, en-
tonces primero calculamos la componente R00 del tensor de Ricci.
Dando µ = 0 y κ = 0 enla expresio´n anterior, nos quedar´ıa:
R00 = −∂Γ
λ
0λ
∂x0
+
∂Γλ00
∂xλ
− Γη0λΓλ0η + Γη00Γλλη
Expandiendo esta expresio´n y observando los valores que pueden tomar al-
gunos de los ı´ndices, resulta:
R00 =
∂Γ100
∂x1
− Γη00Γ00η − Γη01Γ10η + Γ100Γλλ1
R00 =
∂Γ100
∂x1
− Γ100Γ001 + Γ100Γ111 + Γ100Γ221 + Γ100Γ331 (4.17)
Ahora reemplazando los valores de las ecuaciones (4.10), (4.11), (4.12), (4.15)
y (4.16) en (4.17), obtenemos
R00 =
∂(Φ
′
e2(Φ−Λ))
∂r
− Φ′e2(Φ−Λ)(Φ′) + Φ′e2(Φ−Λ)(Λ′) + Γ100Γ221
+Φ
′
e2(Φ−Λ)(
1
r
) + Φ
′
Ψ
′
e2(Φ−Λ)
resultando:
R00 =
(
Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ + 1
r
Φ
′
+Ψ
′
Φ
′
)
e2(Φ−Λ) (4.18)
De la misma forma calculamos R11, R22 y R33, obteniendo:
R11 = −Φ′′ − Φ′2 + Φ′Λ′ + 1
r
Λ
′ −Ψ′′ −Ψ′2 + Λ′Ψ′ (4.19)
R22 = r(Λ
′ − Φ′ −Ψ′)e−2Λ (4.20)
R33 = −
(
Ψ
′′
+Ψ
′2 − Λ′Ψ′ +Ψ′Φ′ + 1
r
Ψ
′
)
e2(Ψ−Λ) (4.21)
28
4.3. Solucio´n a las ecuaciones de Einstein pa-
ra la regio´n exterior al cuerpo
Para laregio´n exterior al cuerpo o el espacio vac´ıo, tenemos que Rµν = 0
Entonces vamos a igualar las componentes del tensor de Ricci a cero, ob-
teniendo un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales para Φ, Λ y Ψ.
Entonces cuando R00 = R11 = R22 = R33 = 0, observamos que la fun-
cio´n exponencial nunca es igual a cero, entonces las ecuaciones diferenciales
se reducen a
Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ + 1
r
Φ
′
+Ψ
′
Φ
′
= 0 (4.22)
Φ
′′ − Φ′2 + Φ′Λ′ + 1
r
Λ
′ −Ψ′′ −Ψ′2 + Λ′Ψ′ = 0 (4.23)
(Λ
′ − Φ′ −Ψ′) = 0 (4.24)
Ψ
′′
+Ψ
′2 − Λ′Ψ′ +Ψ′Φ′ + 1
r
Ψ
′
= 0 (4.25)
vemos que de (4.24) obtenemos
Λ
′
= Φ
′
+Ψ
′
(4.26)
el cual, al reemplazarla en (4.22), nos da
Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′(Φ′ +Ψ′) + 1
r
Φ
′
+Ψ
′
Φ
′
= 0
Φ
′′
+
1
r
Φ
′
= 0 (4.27)
del mismo modo reemplazando (4.26) en (4.25), nos queda
Ψ
′′
+Ψ
′2 − (Φ′ +Ψ′)Ψ′ +Ψ′Φ′ + 1
r
Ψ
′
= 0
Ψ
′′
+
1
r
Ψ
′
= 0 (4.28)
29
tambie´n de (4.26) en (4.23), tenemos que
Φ
′′ − Φ′2 + Φ′(Φ′ +Ψ′) + 1
r
(Φ
′
+Ψ
′
)−Ψ′′ −Ψ′2 + (Φ′ +Ψ′)Ψ′ = 0
y aqu´ı usamos (4.27) y (4.28), obtenemos
Ψ
′
Φ
′
+
1
r
Φ
′
+
1
r
Ψ
′
= 0 (4.29)
Ahora, la ec(4.27), podemos expresarla como:
d
dr
(lnΦ
′
) = −1
r
integrando esta expresio´n, se obtiene
lnΦ
′
= −ln(r) + ln(a1) = ln()a1
r
Φ
′
=
a1
r
dΦ =
a1
r
dr
la cual integrando resulta
Φ = ln(ra1) + ln(a2) (4.30)
de la misma forma resolviendo (4.28) resulta:
Ψ = ln(rb1) + ln(b2) (4.31)
ahora de (4.30) y (4.31) en (4.29), obtenemos
Λ
′
=
a1r
a1−1
ra1
+
b1r
b1−1
rb1
=
a1 + b1
r
dΛ =
a1 + b1
r
dr
integrando resulta
Λ = ln(ra1+b1) + ln(c) (4.32)
Tambie´n de (4.30) y (4.31), en (4.29), obtenemos una restriccio´n para a1 y
b1:
a1b1 + a1 + b1 = 0 (4.33)
30
Reemplazando (4.30), (4.31) y (4.32) en (4.1), obtenemos la expresio´n para
la metrica esta´tica cil´ındricamente sime´trica para el espacio vac´ıo.
ds2 = −a22r2a1dt2 + c2r2(a1+b1)dr2 + r2dφ2 + b22r2b1dz2
Las componentes a2 y b2 pueden ser absorbidas por el cambio de escala de t
y z, resultando
ds2 = −r2adt2 + c2r2(a+b)dr2 + r2dφ2 + r2bdz2 (4.34)
con la restriccio´n:
ab+ a+ b = 0 (4.35)
Justamente aqu´ı se ve que los coeficientes son potencias de la coordenada
radial r, al igual que en la me´trica de Weyl y Levi-Civita y Kasner.
De la ecuacio´n (4.35) analizamos la relacio´n que existe entre a y b mediante
el siguiente grafico
Vemos que un punto especial en este grafico es a = b = 0, el cual me va
a reducir la me´trica a la forma:
ds2 = −dt2 + c2dr2 + r2dφ2 + dz2
31
Haciendo el siguiente cambio: r
′
= cr
ds2 = −dt2 + dr′2 + c−2r′2dφ2 + dz2 (4.36)
Haciendo el cambio: φ
′
= c−1φ
ds2 = −dt2 + dr2 + r2dφ′2 + dz2 (4.37)
Por lo cual el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo masivo, con geometr´ıa
cil´ındrica es localmente plano, es decir un espacio-tiempo de Minkowski me-
nos una porcio´n caracterizado por un de´ficit angular.
De alguna manera debemos representar la masa del objeto produciendo en
campo gravitacional.
Pero sabiendo que:
0 ≤ φ ≤ 2pi y 0 ≤ φ′ ≤ 2pic−1 → δφ = 2pi(1− c−1) (4.38)
Segu´n Richard Gott [3], se tiene: δφ = 8piµ
Reemplazando esto u´ltimo en (4.38), obtenemos:
2pi(1− c−1) = 8piµ → c = (1− 4µ)−1 (4.39)
Reemplazando (4.39) en (4.36), resulta:
ds2 = −dt2 + dr2 + (1− 4µ)2r2dφ2 + dz2 (4.40)
Esta solucio´n representa un espacio co´nico con un de´ficit angular δφ = 8piµ
[3].
4.4. Solucio´n a las ecuaciones de Einstein pa-
ra la regio´n interior al cuerpo
Lo que vamos hacer ahora es encontrar la solucio´n de la ecuacio´n de Eins-
tein en el interior al cuerpo.
Vamos encontrar la me´trica del espacio-tiempo cil´ındrico que no sea sin-
gular en el eje central, para ellos es necesario resolver la ecuacio´n de Einstein
en los casos en que Tµν tiene componentes distintas de cero.
32
4.4.1. Ca´lculo del tensor de Curvatura Escalar
Este tensor esta´ definido como
R = gµνRµν (4.41)
Pero como solo contamos con las componentes del tensor de Ricci dadas en
(4.18)-(4.21), entonces de (4.41), obtenemos
R = g00R00 + g
11R11 + g
22R22 + g
33R33
y como tambie´n conocemos las componentes del tensor me´trico dadas en
(4.6)-(4.9), obtenemos:
R = −e−2Φ
(
Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ + 1
r
Φ
′
+Ψ
′
Φ
′
)
e2(Φ−Λ)
+e−2Λ
(
−Φ′′ − Φ′2 + Φ′Λ′ + 1
r
Λ
′ −Ψ′′ −Ψ′2 + Λ′Ψ′
)
+r−2(r(Λ
′ − Φ′ −Ψ′)e−2Λ)
+e−2Ψ
(
−
(
Ψ
′′
+Ψ
′2 − Λ′Ψ′ +Ψ′Φ′ + 1
r
Ψ
′
)
e2(Ψ−Λ)
)
el cual resulta
R = e−2Λ(−2Φ′′ − 2Φ′2 + 2Φ′Λ′ − 2Ψ′′ − 2Ψ′2 + 2Ψ′Λ′ − 2Ψ′Φ′)
+e−2Λ
(
2
1
r
Λ
′ − 21
r
Φ
′ − 21
r
Ψ
′
)
(4.42)
Ahora, como sabemos que
Gµν = Rµν − 1
2
gµνR
entonces, calculamos las componentes no nulas del tensor de Einsten, las
cuales son
G00 =
(
Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ + 1
r
Φ
′
+Ψ
′
Φ
′
)
e2(Φ−Λ)
−1
2
(−e2Φ)(e−2Λ(−2Φ′′ − 2Φ′2 + 2Φ′Λ′ − 2Ψ′′ − 2Ψ′2 + 2Ψ′Λ′ − 2Ψ′Φ′))
33
−1
2
(−e2Φ)
(
e−2Λ
(
2
1
r
Λ
′ − 21
r
Φ
′ − 21
r
Ψ
′
))
el cual resulta
G00 = e
2(Φ−Λ)
(
−Ψ′′ −Ψ′2 +Ψ′Λ′ + 1
r
Λ
′ − 1
r
Ψ
′
)
(4.43)
de igual forma podemos obtener las otras componentes, obteniendo
G11 = Ψ
′
Φ
′
+
1
r
Φ
′
+
1
r
Ψ
′
(4.44)
G22 = r
2e−2Λ(Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ +Ψ′′ +Ψ′2 −Ψ′Λ′ +Ψ′Φ′) (4.45)
G33 = e
2(Ψ−Λ)
(
Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ − 1
r
Λ
′
+
1
r
Φ
′
)
(4.46)
Ahora, calculamos las componentes no nulas del tensor de Energia-Momentum,
la cual tomando en cuenta la me´trica de signatura (-,,+,+,+), esta definida
como
Tµν = (P + ρ)UµUν + Pgµν .
Pero, como estamos tratando con un problema esta´tico, entonces podemos
decir que las componentes de la velocidad del fluido son
dr
dτ
≈ dφ
dτ
≈ dz
dτ
≈ 0 (4.47)
Como sabemos que:
ds2 = −e2Φdt2 + e2Λdr2 + r2dφ2 + e2Ψdz2
y considerando la me´trica de signatura (-, +, +, +)
→ ds2 = −dτ 2
→ dτ 2 = e2Φdt2 − e2Λdr2 − r2dφ2 − e2Ψdz2
pasando a dividir el dτ 2, resulta
1 = e2Φ(
dt
dτ
)2 − e2Λ(dr
dτ
)2 − r2(dφ
dτ
)2 − e2Ψ(dz
dτ
)2
34
y considerando (4.47), nos queda
dt
dτ
)2 = e−Φ → U0 = e−Φ
U0 = g00U
0 = (−e2Φ)(e−Φ) = −eΦ (4.48)
Ahora calculamos las componentes del tensor Energ´ıa-Momentum, la cual
esta definida por:
Tµν = (P + ρ)UµUν + Pgµν
T00 = (P + ρ)U0U0 + Pg00
usando (4.48)
T00 = ρ(e
2Φ) + P (e2Φ) + ρ(−e2Φ) = ρe2Φ (4.49)
de la misma forma calculamos las componentes T11 , T22 y T33, resultando:
T11 = Pre
2Λ (4.50)
T22 = Pφr
2 (4.51)
T33 = Pze
2Ψ (4.52)
Ahora de la ley de conservacio´n del tensor de Energ´ıa-Momentum T µν,ν = 0,
obtenemos
T µν,ν = T
µ0
,0 + T
µ1
,1 + T
µ2
,2 + T
µ3
,3 = 0
Usanso la definicio´n dada en (3.9) y para µ = 1, obtenemos:
∂Pr
∂r
+ Pr
(
Φ
′
+Ψ
′
+
1
r
)
+ ρΦ
′ − PzΨ′ − 1
r
Pφ = 0 (4.53)
Para µ = 2 y µ = 3 obtenemos, respectivamente:
Pφ = cte (4.54)
Pz = cte (4.55)
35
Ahora de las ecuacio´n de campo de Einstein Gµν = 8piTµν en unidades na-
turales, y de la ley de conservacio´n (4.53), obtenemos las siguientes cinco
ecuaciones diferenciales
∂Pr
∂r
+ Pr
(
Φ
′
+Ψ
′
+
1
r
)
+ ρΦ
′ − PzΨ′ − 1
r
Pφ = 0 (4.56)
4pi(ρ+ Pr + Pφ + Pz)e
2Λ = Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ +Ψ′Φ′ + 1
r
Φ
′
(4.57)
4pi(ρ+ Pr − Pφ − Pz)e2Λ = −Φ′′ − Φ′2 + Φ′Λ′
+
1
r
Λ
′ −Ψ′′ −Ψ′2 + Λ′Ψ′ (4.58)
4pi(ρ− Pr + Pφ − Pz)e2Λ = 1
r
(
Λ
′ − Φ′ −Ψ′
)
(4.59)
4pi(ρ− Pr − Pφ + Pz)e2Λ = −Ψ′′ −Ψ′2 + Λ′Ψ′ −Ψ′Φ′ − 1
r
Ψ
′
(4.60)
Ahora, nosotros podemos simplificar si hacemos (4.57) + (4.58) - (4.60), lo
cual nos lleva a
4pi(ρ+ 3Pr + Pφ − Pz)e2Λ = 2Ψ′Φ′ + 1
r
Φ
′
+
1
r
Ψ
′
+
1
r
Λ
′
(4.61)
luego tambie´n calculamos (4.61) + (4.59) y (4.61) - (4.59), obtenemos
4pi(2ρ+ 2Pr + 2Pφ − 2Pz)e2Λ = 2Ψ′Φ′ + 21
r
Λ
′
(4.62)
4pi(4Pr)e
2Λ = 2Ψ
′
Φ
′
+
2
r
(Φ
′
+Ψ
′
) (4.63)
Ahora, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales donde , Φ, Ψ y Λ
podr´ıan ser obtenidos, si conocemos una ecuacio´n de estado que relaciona ρ
y las presiones.
Solucionar estas ecuaciones para ρ, Pr, PφyPz arbitrarios, es bastante dificul-
toso, un caso simple puede darse cuando Pz = −ρ [3] y las otras componentes
de la presio´n son cero.
36
En este caso, la ecuaciones diferenciales se reducen a:
de (4.56), nos queda:
ρ(Φ
′
+Ψ
′
) = 0 (4.64)
de (4.57), tenemos
Φ
′′
+ Φ
′2 − Φ′Λ′ +Ψ′Φ′ + 1
r
Φ
′
= 0 (4.65)
de (4.59), obtenemos
8pi2Λ =
1
r
(
Λ
′ − Φ′ −Ψ′
)
(4.66)
de (4.60), resulta
−Ψ′′ −Ψ′2 + Λ′Ψ′ −Ψ′Φ′ − 1
r
Ψ
′
= 0 (4.67)de (4.63), se obtiene
2Ψ
′
Φ
′
+
2
r
(Φ
′
+Ψ
′
) = 0 (4.68)
De (4.64) podemos ver que Φ
′
+Ψ
′
= 0, y reemplazando esto en la ecuacio´n
(4.66), obtenemos:
8pi2Λ =
1
r
(
Λ
′ − (Φ′ +Ψ′)
)
→ 8pi2Λ = Λ
′
r
Λ
′
= 8piρre2Λ (4.69)
Ahora, tambie`n reemplazando Φ
′
+ Ψ
′
= 0 en (4.68), entonces podemos ob-
servar que Φ
′
= Ψ
′
= 0, entonces Φ = a1 y Ψ = a2 ( donde a1 y a2 son
constantes).
De todo esto la me´trica de la solucio´n puede escribirse como
ds2 = −dt2 + e2Λdr2 + r2dφ2 + dz2. (4.70)
37
Este caso fue resuelto antes por Gott [3], donde se va a tener que T tt = − 18pir20
y T zz = − 18pir20 , entonces T
t
t = T
z
z y tambie´n se encontro que T
t
t = −ρ y
T zz = Pz, concluyendo con esto se tiene que:
ρ =
1
8pir20
(4.71)
donde r0 es una constante, entonces usando este valor de ρ, en (4.69), obte-
nemos:
dΛ
dr
= 8pir
(
1
8pir20
)
e2Λ
e−2ΛdΛ =
r
r20
dr
integrando, resulta:
e2Λ =
r20
C − r2dr (4.72)
donde C = 2Dr20 y D es una constante de integracio´n.
Reemplazando (4.72) en (4.70), obtenemos:
ds2 = −dt2 +
[
r20
C − r2
]
dr2 + r2dφ2 + dz2 (4.73)
Esta es la me´trica del espacio-tiempo para la regio´n interior al cuerpo esta´tico
cil´ındricamente sime´trico.
38
Cap´ıtulo 5
Conclusiones
5.1. Conclusiones de la solucio´n exterior
En esta parte del trabajo de investigacio´n mostramos la solucio´n esta´ti-
ca cil´ındricamente sime´trica a las ecuaciones de Einstein para el vac´ıo.
Llegamos a confirmar que las componentes del tensor me´trico (solucio´n
a las ecuaciones de Einstein) son potencias de la coordenada radial, el
cual esta deacuerdo con lo hallado por Kasner [5].
Encontramos que el espacio-tiempo alrededor de la fuente cil´ındrica-
mente sime´trica es descrita por un cono ec (4.37), el cual es un espacio-
tiempo regular de Minkowski menos una porcio´n caracterizado por un
de´ficit angular, este espacio-tiempo se dice que es localmente plano.
Adema´s se obtuvo el valor del deficit angular, el cual fue comparado
con lo obtenido por R. Gott [3].
Se podria hacer un estudio ma´s detallado de los valores que podrian
tomar las constantes a y b en la ecuacio´n(4.35) y analizar la forma que
tomaria la me´trica.
Sabiendo que esta solucio´n no es asintoticamente plana a primera vista
(no se reduce a la metrica de Minkowski), pero si hacemos una trans-
formacio´n de coordenadas y lo llevamos a coordenadas esferoidales pro-
latas y luego a coordenadas esfe´ricas vamos a ver que esta solucio´n se
convierte en la solucio´n de Schwarzschild, por lo que quiere decir que
nuestro trabajo de investigacion es va´lido.
En Astrofisica, esta me´trica que presenta simetr´ıa cil´ındrica puede ser
aplicada al estudio de cuerdas cosmicas.
39
5.2. Conclusiones de la solucio´n interior
En este parte del trabajo de investigacio´n mostramos la solucio´n esta´ti-
ca cil´ındricamente sime´trica a las ecuaciones de Einstein para la regio´n
interior al cuerpo.
Hemos considerado que algunas componentes del tensor Energ´ıa Mo-
mentum son distintas de cero, y hemos considerado que la ecuacio´n
de estado, la cual me relaciona la presio´n con la densidad de energ´ıa
es Pz = −ρ y las otras componentes de la presio´n son nulas, como lo
establecio Gott [3].
Se puede hacer un estudio ma´s detallado de esta solucio´n interior para
poder obtener ma´s caracterisiticas de como es el espacio-tiempo en el
interior.
40
Bibliograf´ıa
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ted States of Ame´rica: Edit. Wiley-Interscience, 1982.
[2] Dirac P. A. La Teor´ıa de la Relatividad General, United States of America:
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cording to Einstein’s Theory, Sitzungsberichte der Koniglich Preussis-
chen Akademie de Wissenschaften zu Berlin, Phys-Math, 1916, 189-196.
(Transl. by S. Antoci, A. Loinger (1999) from the original paper. phy-
sics/9905030).
[5] Colding J.; Nielsen N.; Verbin Y. Physical Interpretation of Cylindrically
Symmetric Static Gravitational Fields.gr-qc/9705044v1, 1997.
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[8] Rodrigo A. Soluciones Interiores exactas a las Ecuaciones de Einstein pa-
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[9] Tolman R. C. Relativity Thermodynamics and Cosmology, Canada: Ge-
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[10] Weinberg S. Gravitation and Cosmology: Principles and Aplications of
the General Theory of Relativity, United States of America: Edit. Wiley-
Interscience, 1972.
41