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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro QUESTA˜O 3 AD1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2 Considere as seguintes afirmac¸o˜es: Se Carlos vai ao cinema, enta˜o Elizabeth estuda. De´bora dorme se e so´ se Elizabeth estuda. Para que Carlos va´ ao cinema, basta que Ana coma amendoim ou que Bianca jogue bola. Mas De´bora na˜o dorme. a) Escreva todas as proposic¸o˜es elementares que aparecem nas afirmac¸o˜es apresentadas, identifi- cando cada uma delas com uma letra de nosso alfabeto. b) Usando as letras que voceˆ escolheu no item acima para identificar as proposic¸o˜es elementares, reescreva as afirmac¸o˜es dadas com os s´ımbolos da Lo´gica. c) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es apresentadas inicialmente, decida se cada uma das proposic¸o˜es elementares abaixo e´ verdadeira ou falsa. E necessa´rio que voceˆ apresente o ra- cioc´ınio que usou para deduzir suas concluso˜es. ( ) Elizabeth estuda. ( ) Carlos vai ao cinema. ( ) Ana come amendoim. ( ) Bianca joga bola. Soluc¸a˜o: a) Proposic¸o˜es elementares identificadas pelas letras a, b, c, d, e e f . a : Ana come amendoim. b : Bianca joga bola. c : Carlos vai ao cinema. d : De´bora dorme. e : Elizabeth estuda. b) As Afirmac¸o˜es dadas sa˜o escritas com os s´ımbolos da Lo´gica tomando-se as letras escolhidas no item acima para identificar as proposic¸o˜es elementares. 1) “Se Carlos vai ao cinema, enta˜o Elizabeth estuda.”corresponde a: c⇒ e. 2) “De´bora dorme se e so´ se Elizabeth estuda.”corresponde a: d⇔ e. 3) “Para que Carlos va´ ao cinema, basta que Ana coma amendoim ou que Bianca jogue bola.”equivale a: “E´ suficiente que Ana coma amendoim ou que Bianca jogue bola para que Carlos va´ ao cinema.”, que corresponde a: a ∨ b⇒ c. 4) “Mas De´bora na˜o dorme.”corresponde a: (∼d). Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 3 AD1 2 c) Como as afirmac¸o˜es 1), 2), 3) e 4) , no item b), dadas inicialmente, sa˜o verdadeiras, vamos analisa´-las para descobrir quais proposic¸o˜es elementares sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Sabemos pela quarta afirmac¸a˜o, que (∼d) e´ verdadeira, logo, d e´ Falsa. Na segunda afirmac¸a˜o, i.e., a afirmac¸a˜o d⇔ e, temos uma proposic¸a˜o bicondicional. Sabemos que uma proposic¸a˜o bicondicional e´ verdadeira se, e somente se as proposic¸o˜es componentes, no caso as proposic¸o˜es d e e, possuem valores lo´gicos iguais. Desta forma, como verificamos anteriormente que d e´ falsa, conclu´ımos que e tambe´m e´ Falsa. Vamos analisar agora a primeira afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o c⇒ e. Sabemos que uma proposic¸a˜o e´ logicamente equivalente a sua contrapositiva. Desta forma, c ⇒ e e´ logicamente equivalente a (∼ e) ⇒ (∼ c). Vamos estudar enta˜o a implicac¸a˜o (∼ e) ⇒ (∼ c). Observe que descobrimos anteriormente que a hipo´tese (∼e) e´ verdadeira, desta forma, para que a implicac¸a˜o (∼e)⇒ (∼c) seja verdadeira, devemos ter que a conclusa˜o (∼ c) tambe´m e´ verdadeira. E, consequentemente, c e´ Falsa. Vamos analisar a terceira afirmac¸a˜o i.e., a implicac¸a˜o a ∨ b ⇒ c. Sabemos que esta proposic¸a˜o e´ logicamente equivalente a sua contrapositiva, i. e. a ∨ b ⇒ c e´ logicamente equivalente a (∼ c) ⇒∼ (a ∨ b). Vamos analisar a implicac¸a˜o (∼ c) ⇒∼ (a ∨ b). Conforme sabido, a hipo´tese (∼c) e´ verdadeira. Desta forma, para que a implicac¸a˜o (∼c)⇒∼(a∨ b) seja verdadeira, devemos ter que a conclusa˜o (∼ (a ∨ b)) tambe´m e´ verdadeira, o que equivale a dizer que a ∨ b e´ Falsa. Observe que a ∨ b e´ a conjunc¸a˜o de a e b. Desta forma, a ∨ b e´ falsa apenas se a e´ Falsa, b e´ Falsa. Ficamos assim com as seguintes respostas: (FALSA) Elizabeth estuda. (FALSA) Carlos vai ao cinema. (FALSA) Ana come amendoim. (FALSA) Bianca joga bola. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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