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AP1 Metodos Deterministicos I 2015-2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (1.5 pt) Considere as proposic¸o˜es:
A: “Ana esta´ na escola.”
B: “Se Joa˜o esta´ no cinema, enta˜o Maria esta´ na loja.”
Sabendo que a proposic¸a˜o P: “A ou B” e´ falsa, pode-se afirmar que:
(i) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o na˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
(ii) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria esta´ na loja.
(iii) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
(iv) Ana esta´ na escola, Joa˜o na˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
(v) Ana esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P e´ falsa segue que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa.
Dizer que A e´ falsa e´ dizer que Ana na˜o esta´ na escola.
Por outro lado, a proposic¸a˜o B e´ uma implicac¸a˜o do tipo p ⇒ q, onde p: “Joa˜o esta´ no cinema”e
q: “Maria esta´ na loja”, logo, ela e´ falsa, apenas se vale p e ∼ q, isto e´, se Joa˜o esta´ no cinema e
Maria na˜o esta´ na loja.
Portanto, a resposta correta e´ a (iii).
Questa˜o 2 (2.0 pt) Considere o conjunto A =
{
−1
2
, 0, 1,
5
2
}
. Decida se sa˜o falsas ou verdadeiras
as proposic¸o˜es a seguir, justificando sua resposta.
a) (1.0 pt) ∀x ∈ A, 2x− 1
2
< x.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
b) (1.0 pt) ∃x ∈ A, x2 + 2x− 5 = 0.
Soluc¸a˜o:
a) Para saber se a proposic¸a˜o e´ verdadeira, vamos montar uma tabela para nos ajudar. Na primeira
coluna dessa tabela, vamos representar cada um dos valores de x ∈ A, na segunda coluna, cada
um dos correpondentes valores de 2x− 1
2
e na terceira coluna, vamos comparar o valor de 2x− 1
2
com o valor de x. A partir das informac¸o˜es da Tabela 1, conclu´ımos que a proposic¸a˜o e´ falsa,
pois existe um elemento, por exemplo, x = 1, que pertence ao conjunto A, tal que 2x− 1
2
na˜o e´
menor do que x.
Tabela 1: Questa˜o 2–a)
x 2x− 1
2
2x− 1
2
< x ?
−1
2
−3
2
−3
2
< − 1
2
0 −1
2
−1
2
< 0
1
3
2
3
2
> 1
5
2
9
2
9
2
>
5
2
Tabela 2: Questa˜o 2–b)
x x2 + 2x− 5
−1
2
(
−1
2
)2
+ 2
(
−1
2
)
− 5 = 1
4
− 1− 5 = 1
4
− 6 = 1− 24
4
= −23
4
6= 0
0 (0)2 + 2(0)− 5 = 0 + 0− 5 = −5 6= 0
1 (1)2 + 2(1)− 5 = 1 + 2− 5 = −2 6= 0
5
2
(
5
2
)2
+ 2
(
5
2
)
− 5 = 25
4
+ 5− 5 = 25
4
6= 0
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
b) Para saber se a proposic¸a˜o e´ verdadeira, vamos montar uma tabela. Na primeira coluna dessa
tabela, vamos representar cada um dos valores de x ∈ A, e na segunda coluna, cada um dos
correpondentes valores de x2+2x−5. Observando os resultados obtidos na Tabela 2, conclu´ımos
que na˜o existe x ∈ A tal que x2 + 2x− 5 e´ igual a zero. Portanto, a proposic¸a˜o e´ falsa.
Questa˜o 3 (2.5 pts) : Um comerciante possui duas lojas em que comercializa um mesmo produto.
Na loja 1, para uma quantidade x deste produto, o lucro em sua venda e´ obtido pela expressa˜o
L1 = 24
(
x
3
− 1
)
− 56 e na loja 2, para a mesma quantidade x do produto, o lucro em sua venda
e´ obtido pela expressa˜o L2 = 10x − 120, onde x e´ um nu´mero inteiro positivo que representa a
quantidade vendida do produto.
a) (1.0 pt) Determine a quantidade vendida pela loja 1 quando o lucro dela e´ de 720 reais.
b) (1.5 pt) Determine para que quantidades do produto o lucro da loja 1 e´ maior que o da loja 2.
Soluc¸a˜o:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pela Loja 1, quando L1 e´ igual a 720 reais, temos
de resolver a equac¸a˜o
24
(
x
3
− 1
)
− 56 = 720
⇐⇒ ✚✚❃
8
24 · x
✁3
− 24− 56 = 720
⇐⇒ 8x− 80 = 720
⇐⇒ 8x = 720 + 80
⇐⇒ 8x = 800
⇐⇒ x = 100.
Portanto, a Loja 1 vende uma quantidade de 100 unidades do produto, quando o lucro desta
loja e´ de 720 reais.
b) Para determinar para quais quantidades, L1 e´ maior que L2, temos de resolver a desigualdade
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
L1 > L2
⇐⇒ 24
(
x
3
− 1
)
− 56 > 10x− 120
⇐⇒ 8x− 80 > 10x− 120
⇐⇒ 8x− 10x > −120 + 80
⇐⇒ −2x > −40
⇐⇒ 2x < 40
⇐⇒ 2x · 1
2
< 40 · 1
2
⇐⇒ x < 40
2
⇐⇒ x < 20.
Portanto, o lucro da Loja 1 e´ maior que o do da Loja 2 para a quantidade x do produto entre 1
e 19 unidades.
Questa˜o 4 (1.5 pts) : Um comerciante num determinado ano, no meˆs de janeiro, obteve um lucro
de 44% sobre a quantidade produzida de um certo produto. No meˆs de fevereiro, esse ı´ndice passou
para 55%, sobre a mesma quantidade produzida do produto. Determine o acre´scimo percentual no
lucro do comerciante do meˆs de fevereiro em relac¸a˜o ao meˆs de janeiro.
Soluc¸a˜o: Considerando x a quantidade produzida do produto, temos que em janeiro o comerciante
lucrava
44x
100
, e em fevereiro passou a lucrar
55x
100
. A diferenc¸a e´ de
11x
100
, quantos porcento de
44x
100
isso representa? Temos que calcular:
11x
100
÷ 44x
100
=
11x
100
× 100
44x
=
25
100
Portanto, o acre´scimo percentual no lucro do comerciante do meˆs de fevereiro em relac¸a˜o ao meˆs de
janeiro e´ de 25%.
Questa˜o 5 (2.5 pts) : Resolva cada item, passo por passo.
a) (0.8 pt) Verifique que
3√
5− 1 −
3
√
5
4
e´ igual a
3
4
.
b) (0.7 pt) Determine o valor de 5
√−32 + (27)−1/3.
c) (1.0 pt) Determine o valor de 5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
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Soluc¸a˜o:
a)
3√
5− 1 −
3
√
5
4
=
3√
5− 1 ·
√
5 + 1√
5 + 1
− 3
√
5
4
=
3(
√
5 + 1)
5− 1 −
3
√
5
4
=
3
√
5 + 3
4
− 3
√
5
4
=
3
4
b) 5
√−32 + (27)−1/3 = −2 + 1
(27)1/3
= −2 + 1
3
√
27
= −2 + 1
3
=
−6 + 1
3
= −5
3
c)
5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(
1− 6
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(−5
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
4
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
✁4
· ✁4
1
− 26
]
= 5− 2 [25− 26]
= 5− 2[−1]
= 5 + 2
= 7
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