2 LISTA DE EXERCÍCIO PARA GEOMETRIA ANALÍTICA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALI´TICA
PROFa: MARIA ANDRADE (www.impa.br/∼mcosta)
Segunda lista de exerc´ıcios
1. Encontre a e b, nu´meros reais, para que os vetores −→u = (2a + 1, 1) e−→v = (−3, 2b − 5)
sejam iguais.
2. Dados os pontos A = (3, 3), B = (0, 1) e C = (1, 6).
a) Calcule a distaˆncia ente os pontos A e B.
b) Verifique que o triaˆngulo formado pelos ve´rtices A, B e C e´ retaˆngulo em A.
c) Calcule a projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
3. Calcule o aˆngulo entre −→u + −→v e −→u − −→v , sabendo que ||−→u || = √2, ||−→v || = 1 e que o
aˆngulo entre −→u e −→v e´ 45◦.
4. Dados os vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (2, 4). Determine o produto interno entre −→u e −→v ,
o aˆngulo entre estes vetores e a projec¸a˜o de −→u sobre −→v .
5. Sejam −→u e −→v vetores do plano na˜o nulos. Seja P−→v−→u a projec¸a˜o do vetor −→v sobre o vetor−→u . Mostre que −→v − P−→v−→u e´ ortogonal −→u . Interprete geometricamente este resultado.
6. Seja −→u = (1, 3). Determine as coordenadas de um vetor −→v , de norma 3, e que faz um
aˆngulo de 30◦ com −→u .
7. Calcule a a´rea do paralelogramo cujos ve´rtices sa˜o os pontos me´dios dos lados do qua-
drila´tero ABCD, onde A = (0, 1), B = (−4,−1), C = (5,−3) e D = (7, 0).
8. Calcule a a´rea do paralelogramo definido pelos vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (5, 1).
9. Sejam−→u ,−→v e−→w vetores do R2, tais que ||−→u ||=5, ||−→v || = 6, ||−→w || = 7 e−→u +−→v +−→w = −→0 .
Calcule: 〈−→u ,−→v 〉, 〈−→u ,−→w 〉 e 〈−→v ,−→w 〉.
10. Seja P0 = (x0, y0) um ponto do plano. Descreva o conjunto dos pontos P = (x, y) tais
que satisfazem ||P − P0|| = 2.
11. Mostre que se α−→v = −→0 . Enta˜o α = 0 ou −→v = −→0 .
12. Mostre que se α−→u = α−→v e se α 6= 0, enta˜o−→u = −→v .
13. Sejam −→e1 = (1, 0) e−→e2 = (0, 1) e −→u = (x, y). Mostre que:
a) −→u = x−→e1 + y−→e2 .
b) −→u = (〈−→u ,−→e1 〉, 〈−→u ,−→e2 〉).
14. Mostre que um triaˆngulo inscrito num c´ırculo, cujo diaˆmetro coincide com um dos lados
do triaˆngulo, e´ um triaˆngulo retaˆngulo (i.e. um dos aˆngulos mede 90. Veja figura abaixo.
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
(a) −→u = (1, 2), −→v = (6,−8);
(b) −→u = (−7,−3), −→v = (0, 1).
11. Sejam −→u = (1, 2),−→v = (4,−2) e −→w = (6, 0). Calcule:
(a) < −→u , 7−→v +−→w >;
(b) ‖ < −→u ,−→w > −→w ‖;
(c) ‖−→u ‖ < −→v ,−→w >;
(d) < ‖−→u ‖−→v ,−→w >.
12. Encontre o aˆngulo entre os vetores −→u e −→v onde:
(a) −→u = (2, 2), −→v = (0, 3);
(b) −→u = (3, 1), −→v = (−1,−2).
13. Seja P0 = (x0, y0) um ponto do plano. Descreva o cojunto dos pontos P = (x, y) tais que satisfazem
‖P − P0‖ = 1.
14. Calcule a norma do vetor −→v = (cos θ, sen θ). Descreva o lugar geome´trico formado pelas extremidades de
todos os vetores cuja norma e´ igual a um.
15. Seja −→u = (x, y) um vetor. Mostre que o vetor −→v = (−y, x) e´ ortogonal a −→u . Desenhe os dois vetores no
plano cartesiano.
16. Mostre que se α−→v = −→0 , enta˜o α = 0 ou −→v = 0.
17. Mostre que se α−→u = α−→v e se α $= 0, enta˜o −→u = −→v .
18. Sejam −→u e −→v dois vetores, mostre que
‖−→u +−→v ‖2 + ‖−→u −−→v ‖2 = 2‖−→u ‖2 + 2‖−→v ‖2
19. Sejam −→u e −→v dois vetores, mostre que
< −→u ,−→v >= 1
4
‖−→u +−→v ‖2 − 1
4
‖−→u −−→v ‖2
20. Sejam −→u e −→v dois vetores unita´rios cujo aˆngulo entre eles e´ 2pi3 . Calcule ‖2−→u + 4−→v ‖2.
21. Sejam −→u e −→v dois vetores formando um aˆngulo de pi4 . Suponha que ‖−→u ‖ =
√
5 e ‖−→v ‖ = 1. Encontre a
medida, em radianos, do aˆngulo entre os vetores −→u +−→v e −→u −−→v .
22. Mostre que se −→u e´ ortogonal a −→v e a −→w enta˜o −→u e´ ortogonal a α−→v + β−→w , para quaisquer α ,β ∈ R.
23. Mostre que se −→u e´ ortogonal a −→v −−→w e −→v e´ ortogonal a −→w −−→u , enta˜o −→w e´ ortogonal a −→u −−→v .
24. Considere os vetores −→e1 = (1, 0) e −→e2 = (0, 1). Mostre que todo vetor do plano pode ser escrito como uma
soma de um mu´ltiplo de −→e1 com um mu´ltilo de −→e2
25. Mostre que um triaˆngulo inscrito num c´ırculo, cujo diaˆmetro coincide com um dos lados do triaˆngulo, e´ um
triaˆngulo retaˆngulo (i.e. um dos aˆngulos mede 90o). Veja figura abaixo.
A
C
B−→v
−→u
−→v −−→u
15. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o
mesmo ponto me´dio. Veja figura abaixo.
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
26. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o mesmo ponto me´dio.
Veja figura abaixo.
B
CD
A
P
27. Mostre que as diagonais de um quadrado sa˜o perpendiculares.
28. Seja ABC um triaˆngulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos me´dios de dois lados deste triaˆngulo
e´ paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. Veja figura abaixo.
A B
C
P Q
2‖−−→PQ‖ = ‖−→AB‖
29. Sejam −→u e −→v dois vetores na˜o nulos. Sejam k = ‖−→u ‖ e l = ‖−→v ‖, mostre que o vetor
−→w = 1
k + l
(k−→v + l−→u )
encontra-se na bissetriz do aˆngulo entre −→u e −→v . (Voceˆ deve mostrar que o aˆngulo entre −→u e −→v e´ duas vezes
o aˆngulo entre −→u e −→w ou duas vezes o aˆngulo entre −→v e −→w )
30. Mostre que as alturas de um triaˆngulo se encontram num mesmo ponto.
16. Mostre que as diagonais de um quadrado sa˜o perpendiculares.
17. Seja ABC um triaˆngulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos me´dios de dois
lados deste triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida
deste lado. Veja figura abaixo.
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
26. Considere um paralelogramo ABCD, mostre que as diagonais deste paralelogramo tem o mesmo ponto me´dio.
Veja figura abaixo.
B
CD
A
P
27. Mostre que as diagonais de um quadrado sa˜o perpendiculares.
28. Seja ABC um triaˆngulo, mostre que o segmento que passa pelos pontos me´dios de dois lados deste triaˆngulo
e´ paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. Veja figura abaixo.
A B
C
P Q
2‖−−→PQ‖ = ‖−→AB‖
29. Sejam −→u e −→v dois vetores na˜o nulos. Sejam k = ‖−→u ‖ e l = ‖−→v ‖, mostre que o vetor
−→w = 1
k + l
(k−→v + l−→u )
encontra-se na bissetriz do aˆngulo entre −→u e −→v . (Voceˆ deve mostrar que o aˆngulo entre −→u e −→v e´ duas vezes
o aˆngulo entre −→u e −→w ou duas vezes o aˆngulo entre −→v e −→w )
30. Mostre que as alturas de um triaˆngulo se encontram num mesmo ponto.
18. Sejam −→u e −→v vetores na˜o nulos. Sejam ||−→u || = k e ||−→v || = l, mostre que o vetor
−→w = 1
k + l
(k−→v + l−→u )
encontra-se na bissetriz do aˆngulo entre −→u −→v . (Ou seja, voceˆ deve mostrar que o aˆngulo
entre −→u e −→v e´ duas vezes o aˆngulo entre −→u e −→w ou duas vezes o aˆngulo entre −→v e −→w .)
19. Escreva as equac¸o˜es vetorial, parame´trica, sime´trica e cartesiana da reta que conte´m o
ponto P e a direc¸a˜o −→v , onde
a) P = (−1,−2) e −→v = (2, 3). b) P = (1,−3) e −→v = (4,−5).
c) P = (2, 4) e −→v = (1, 2).
20. Determine as equac¸o˜es vetorial, parame´trica, sime´trica e cartesiana da reta r definida
pelos pontos P e Q, onde:
a) P = (−1, 1) e Q = (4, 3).
b) P = (0, 1) e Q = (−4, 3).
c) P = (2,−2) e Q = (3, 3).
21. Usando as equac¸o˜es cartesianas obtidas no exerc´ıcio anterior calcule a distaˆncia de cada
reta ao ponto L = (2, 3).
22. Dados os vetores −→u = (1, 4) e −→v = (−4, 2), escreva as equac¸o˜es parame´tricas e cartesianas
das retas que conte´m as diagonais do paralelogramo definido por −→u e −→v .
23. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que conte´m o ponto P = (1, 3) e faz com a reta
y = −2x+ 4 um aˆngulo de pi/3.
24. Encontre os pontos da reta x+ 3y − 3 = 0 cuja distaˆncia a origem seja igual a 3.
25. Calcule o aˆngulo formado pelas retas r e s, nos casos:
a) r : y = 2x+ 3 e s : y = −5x+ 2.
b) r : x = −4 e s : y = −2x+ 2.
c) r : y = −x+ 5 e s : −2y + 3x− 1 = 0.
26. Determine o valor de
a de maneira que a reta 3x+ay+7 = 0 passe pelo ponto P = (2,-2).
27. Considere a reta r : x− 3y+ 10 = 0, encontre a equac¸a˜o da reta que passa por P = (3, 1)
e que seja ortogonal a r.
28. Dado −→v = (2, 3). Encontre o vetor apo´s fazermos uma rotac¸a˜o de 30◦ no sentido anti-
hora´rio e uma translac¸a˜o dada por T (x, y) = (x− 2, y + 4).
29. Seja A(x, y) = (2x+ y+ 1, x− y− 3). Mostre que A e´ uma transformac¸a˜o afim. Encontre
A(−→v ), onde −→v = (2, 3) e fac¸a uma figura ilustrando −→v e A(−→v ).
30. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas das seguintes circunfereˆncias:
a) x2 + y2 − 16 = 0.
b) x2 + y2 − 8x = 0.
c) x2 + y2 − x+ 3y − 2 = 0.
31. Deduza uma equac¸a˜o de circunfereˆncia centrada na origem e que seja tangente a` reta
3x− 4y + 20 = 0.
32. Encontre a intersec¸a˜o das duas circunfereˆncias:
x2 + y2 − 8x− 2y + 7 = 0
x2 + y2 − 6x− 4y + 9 = 0