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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALI´TICA PROFa: MARIA ANDRADE (www.impa.br/∼mcosta) Terceira lista de exerc´ıcios 1. Em cada item abaixo, encontre a equac¸a˜o de cada uma das para´bolas, sabendo que: a) Ve´rtice: V = (0, 0); diretriz r : y = −2. b) Ve´rtice: V = (0, 0); simetria em relac¸a˜o ao eixo dos y e passando pelo ponto P = (2,−3). c) Ve´rtice: V = (−2, 3); foco: F = (−2, 1). d) Ve´rtice: V = (4, 1); diretriz r : x + 4 = 0. e) Ve´rtice: V = (1, 3); simetria em relac¸a˜o ao eixo dos x e passando pelo ponto P = (−1,−1). f) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passa por A = (0, 0), B = (1, 1) e C = (3, 1). 2. Em cada item abaixo, determine o ve´rtice, o foco, uma equac¸a˜o para a diretriz e esboce o gra´fico. a) x2 = −12y. b) y2 − 12x− 12 = 0. c) 8x = 10− 6y + y2. d) 6y = x2 − 8x + 14. 3. Determine os ve´rtices A1 e A2, os focos, a excentricidade das elipses e esboce o gra´fico: a) x2 100 + y2 36 = 1. b) x2 36 + y2 100 = 1. c) 4x2 + 9y2 = 25. d) 9x2 + 25y2 = 25. 4. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equac¸a˜o da elipse que satisfaz as condic¸o˜es dadas. a) Centro C = (2, 4), um foco F = (5, 4) e excentricidade 3/4. b) Centro C = (−3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos x. c) Eixo maior mede 10 e focos F1 = (2,−1) e F2 = (2, 5). 5. Determine os ve´rtices A1 e A2, os focos, a excentricidade das hipe´rboles e esboce o gra´fico: a) x2 100 − y 2 64 = 1. b) y2 100 − x 2 64 = 1. c) 4x2 − 5y2 + 20 = 0. d) 2y2 − 4x2 = 1. 6. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equac¸a˜o da hipe´rbole que satisfaz as condic¸o˜es dadas. a) Ve´rtices A1 = (4, 0) e A2 = (−4, 0), passando por P = (8, 2). b) Ve´rtices em (5,−2) e (3,−2), um foco em (7,−2). c) Focos F1 = (−1,−5) e F2 = (5,−5), hipe´rbole equila´tera. 7. Calcule o centro, os ve´rtices, os focos e a excentricidade das hipe´rboles dadas abaixo. a) 9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 43 = 0. b) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0. 8. Obtenha a equac¸a˜o reduzida resultante de uma translac¸a˜o de eixos, classifique, encontre os elementos e represente graficamente as equac¸o˜es: a) x2 + 4y2 − 4x− 24y + 36 = 0. b) x2 − y2 − 8x− 4y + 11 = 0. c) y2 − 8x + 6y + 17 = 0. 9. Deduza uma equac¸a˜o da para´bola com ve´rtice V = (6,−3) e cuja diretriz e´ a reta 3x − 5y + 1 = 0. 10. Prove que toda para´bola cujo eixo e´ paralelo ao eixo y tem uma equac¸a˜o da forma y = ax2 + bx + c. 11. Prove que numa para´bola o comprimento da corda que conte´m o foco e e´ perpendicular ao eixo e´ duas vezes a distaˆncia do foco a` diretriz. 12. Usando uma rotac¸a˜o de eixos convenientes, transforme a equac¸a˜o 4x2 + y2 + 4xy + x− 2y = 0 em uma que na˜o contenha o termo xy. 13. Dados uma reta r e um ponto F na˜o pertencente a r, determine o conjunto dos pontos P do plano tais que d(P, F ) = ed(P, r), e > 0. 14. Equac¸a˜o da coˆnica (elipse) de foco F = (1, 0), excentricidade 1/2 e que tem por diretriz a reta da equac¸a˜o x = 4. 15. Prove o teorema da classificac¸a˜o de coˆnicas visto em sala de aula. 16. Fac¸a uma mudanc¸a de coordenadas convenientes em R2 que transforme a equac¸a˜o 9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 7 = 0 numa equac¸a˜o da forma dx′2 + ey′2 + f = 0. Idem para a equac¸a˜o 4x2 − 24xy + 11y2 + 56x− 58y + 95 = 0.
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