Buscar

3 LISTA DE EXERCÍCIO PARA GEOMETRIA ANALÍTICA

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 3 páginas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALI´TICA
PROFa: MARIA ANDRADE (www.impa.br/∼mcosta)
Terceira lista de exerc´ıcios
1. Em cada item abaixo, encontre a equac¸a˜o de cada uma das para´bolas, sabendo que:
a) Ve´rtice: V = (0, 0); diretriz r : y = −2.
b) Ve´rtice: V = (0, 0); simetria em relac¸a˜o ao eixo dos y e passando pelo ponto P =
(2,−3).
c) Ve´rtice: V = (−2, 3); foco: F = (−2, 1).
d) Ve´rtice: V = (4, 1); diretriz r : x + 4 = 0.
e) Ve´rtice: V = (1, 3); simetria em relac¸a˜o ao eixo dos x e passando pelo ponto P =
(−1,−1).
f) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passa por A = (0, 0), B = (1, 1) e C = (3, 1).
2. Em cada item abaixo, determine o ve´rtice, o foco, uma equac¸a˜o para a diretriz e esboce
o gra´fico.
a) x2 = −12y. b) y2 − 12x− 12 = 0.
c) 8x = 10− 6y + y2. d) 6y = x2 − 8x + 14.
3. Determine os ve´rtices A1 e A2, os focos, a excentricidade das elipses e esboce o gra´fico:
a)
x2
100
+
y2
36
= 1. b)
x2
36
+
y2
100
= 1.
c) 4x2 + 9y2 = 25. d) 9x2 + 25y2 = 25.
4. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equac¸a˜o da elipse que satisfaz as
condic¸o˜es dadas.
a) Centro C = (2, 4), um foco F = (5, 4) e excentricidade 3/4.
b) Centro C = (−3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo
dos x.
c) Eixo maior mede 10 e focos F1 = (2,−1) e F2 = (2, 5).
5. Determine os ve´rtices A1 e A2, os focos, a excentricidade das hipe´rboles e esboce o gra´fico:
a)
x2
100
− y
2
64
= 1. b)
y2
100
− x
2
64
= 1.
c) 4x2 − 5y2 + 20 = 0. d) 2y2 − 4x2 = 1.
6. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equac¸a˜o da hipe´rbole que satisfaz as
condic¸o˜es dadas.
a) Ve´rtices A1 = (4, 0) e A2 = (−4, 0), passando por P = (8, 2).
b) Ve´rtices em (5,−2) e (3,−2), um foco em (7,−2).
c) Focos F1 = (−1,−5) e F2 = (5,−5), hipe´rbole equila´tera.
7. Calcule o centro, os ve´rtices, os focos e a excentricidade das hipe´rboles dadas abaixo.
a) 9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 43 = 0.
b) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0.
8. Obtenha a equac¸a˜o reduzida resultante de uma translac¸a˜o de eixos, classifique, encontre
os elementos e represente graficamente as equac¸o˜es:
a) x2 + 4y2 − 4x− 24y + 36 = 0.
b) x2 − y2 − 8x− 4y + 11 = 0.
c) y2 − 8x + 6y + 17 = 0.
9. Deduza uma equac¸a˜o da para´bola com ve´rtice V = (6,−3) e cuja diretriz e´ a reta 3x −
5y + 1 = 0.
10. Prove que toda para´bola cujo eixo e´ paralelo ao eixo y tem uma equac¸a˜o da forma
y = ax2 + bx + c.
11. Prove que numa para´bola o comprimento da corda que conte´m o foco e e´ perpendicular
ao eixo e´ duas vezes a distaˆncia do foco a` diretriz.
12. Usando uma rotac¸a˜o de eixos convenientes, transforme a equac¸a˜o
4x2 + y2 + 4xy + x− 2y = 0
em uma que na˜o contenha o termo xy.
13. Dados uma reta r e um ponto F na˜o pertencente a r, determine o conjunto dos pontos
P do plano tais que d(P, F ) = ed(P, r), e > 0.
14. Equac¸a˜o da coˆnica (elipse) de foco F = (1, 0), excentricidade 1/2 e que tem por diretriz
a reta da equac¸a˜o x = 4.
15. Prove o teorema da classificac¸a˜o de coˆnicas visto em sala de aula.
16. Fac¸a uma mudanc¸a de coordenadas convenientes em R2 que transforme a equac¸a˜o
9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 7 = 0
numa equac¸a˜o da forma
dx′2 + ey′2 + f = 0.
Idem para a equac¸a˜o 4x2 − 24xy + 11y2 + 56x− 58y + 95 = 0.

Outros materiais

Outros materiais