series-e-sequencias resumo

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1 – SEQÜÊNCIAS: 
1.1-Teste do limite: 
� Uma seqüência ���� tem o limite � e escrevemos lim�	
�� � � 
Se o limite de lim�	
 �� existir, dizemos que a seqüência converge (é 
convergente). Caso contrário, dizemos que seqüência diverge (é 
divergente). 
� Se para cada número � 
 0 existir um correspondente inteiro � tal 
que: 
 |�� � �| � � Sempre que � 
 � 
� Se �� � �� � �� para � � � e lim�	
 �� � lim�	
 �� � �, então lim�	
 �� � � 
� A seqüência ���� é convergente se �1 � � � 1 e divergente para 
todos os outros valores de r. 
lim�	
 �� � �
0 �� � 1 � � � 1
1 �� � � 1 � 
� Toda seqüência limitada, monótona, é convergente. 
 
2 – SÉRIES 
2.1 – Convergência da série: 
� Dada uma série ∑ �� �
� ! �" # �$ # �% # &, seja �� sua 
�-é�)*� soma parcial: 
�� � + �,
�
, "
� �" # �$ # & # �� 
Se a seqüência ���� for convergente e lim�	
 �� � � existir como 
um número real, então a série ∑ �� é denominada convergente, e 
escrevemos 
�" # �$ # & # �� # & � �� -. + ��
� "
� � 
 
O número / é a soma da série. Caso contrário, a série é 
divergente. 
� A Série Geométrica 
+ ���0"
� "
� � # �� # ��² # & 
 
Se |�| � 1 a série geométrica é convergente e sua soma é 
+ ���0"
� "
� �1 � � |�| � 1 
 
 
Se |�| � 1, a série geométrica é divergente. 
 
 
 
 
� A Série Harmônica 
+ 1�
� "
� 1 # 12 #
1
3 #
1
4 # & 
É divergente. 
� Se a série ∑ ��
� " for convergente, então o lim�	
 �� � 0. 
Porém se o lim�	
 �� � 0 não podemos concluir que a série ∑ ��
� " 
seja convergente. 
Se o lim�	
 �� não existir ou se lim�	
 �� 5 0, a série ∑ ��
� " é 
divergente. 
� A p-série ∑ "�6
� " é convergente se 7 
 1 e divergente se 7 � 1. 
 
2.2 – O teste da integral: 
� Suponha que 8 seja uma função contínua, positiva e decrescente em 
91, �∞;� e seja �� � 8<�;. Então a série ∑ ��∞� " é convergente se e 
somente se a integral imprópria > 8<?;@?∞" for convergente. Em 
outras palavras: 
(i) Se > 8<?;@?∞" for convergente, então ∑ ��∞� " é convergente. 
(ii) Se > 8<?;@?∞" for divergente, então ∑ ��∞� " é divergente. 
 
2.3 – Estimativa do Resto para o Teste da Integral: 
� Suponha 8<A; � �B, onde 8 é uma função contínua, positiva, 
decrescente para ? � � e ∑ �� é convergente. 
Se C� � � � ��, então 
D 8<?;@? � C� � D 8<?;@?
�
�E"
 
 
2.4 – O Teste de Comparação: 
� Suponha que ∑ �� e ∑ �� sejam série com termos positivos. 
(i) Se ∑ �� for convergente e �� � �� para todo �, então ∑ �� 
também será convergente. 
(ii) Se ∑ �� for divergente e �� � �� para todo �, então ∑ �� também 
será divergente. 
� Suponha que ∑ �� e ∑ �� sejam série com termos positivos. Se 
lim�	
��
�� � � 
Onde � é um número e � 
 0, então ambas as séries convergem ou 
ambas as séries divergem. 
 
2.5 – O teste da série alternada: 
� Se a série alternada 
+<�1;�0"��
� "
� �" � �$ # �% � �F # �G � �H # & <�� 
 0; 
Satisfizer 
(i) ��E" � �� para todo �. 
(ii) lim�	
 �� � 0 
Então a série é convergente 
 
 
2.6 – Estimativa de Séries Alternadas: 
� Se � � ∑ <�1;�0"
� " �� for a soma de uma série alternada que 
satisfaz 
(i) 0 � ��E" � �� 
(ii) lim�	
 �� � 0 
 
Então |C�| � |� � ��| � ��E" 
 
2.7 – Convergência Absoluta: 
� Uma série ∑ �� é chamada de absolutamente convergente se a série 
de valores absolutos ∑ |��| for convergente. 
� Uma série ∑ �� é chamada de condicionalmente convergente se ela 
for convergente, mas não for absolutamente convergente. 
� Se uma série ∑ �� for absolutamente convergente, então ela é 
convergente. 
 
2.8 – Teste da Razão: 
� O teste da razão para uma série ∑ �� 
(i) Se lim�	
 IJKLMJK I � � � 1, então a série ∑ ��
� " é 
absolutamente convergente (portanto converge) 
(ii) Se lim�	
 IJKLMJK I � � 
 1 ou lim�	
 I
JKLM
JK I � ∞, então a série ∑ ��
� " é divergente. 
(iii) Se lim�	
 IJKLMJK I � 1, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre 
a convergência ou divergência de ∑ ��. 
 
2.9 – Teste da Raiz: 
� O teste da raiz para uma série ∑ �� 
(i) Se lim�	
 O|��|K � � � 1, então a série ∑ ��
� " é 
absolutamente convergente (portanto converge) 
(ii) Se lim�	
 O|��|K � � 
 1 ou lim�	
 O|��|K � ∞, então a 
série ∑ ��
� " é divergente. 
(iii) Se lim�	
 O|��|K � 1, o teste da Raiz não é conclusivo. 
 
2.10 – Séries de Potências: 
� A Série de potência possui a forma: 
+ ��?� � �P # �"? # �$?$ # �%?% # &
� !
 
 
� Para uma dada série de potências ∑ �� <? � �;�
� ! existem 
apenas três possibilidades: 
(i) A série converge apenas quando ? � �. 
(ii) A série converge para todos ?. 
(iii) Existe um número positivo C tal que a série converge se 
|? � �| � C diverge se |? � �| 
 C. 
� Seja ∑ �� <? � �;�
� ! uma série de potências C. Suponha que 
lim�	
 Q
��E"
�� Q � � 
 
Onde � é um número real não-negativo ou � � #∞ 
(i) Se � é um número real positivo, então C � 1/�. 
(ii) Se � � 0, então C � #∞. 
(iii) Se � � #∞, então C � 0. 
� Podemos representar certas funções como uma série de potências. Se 
a série de potências ∑ �� <? � �;�
� ! tiver um raio de convergência C 
 0, então a função 8 definida por 
8<?; � �P # �"<? � �; # �$<? � �;$ # & � + �� <? � �;�
� !
 
 
É diferenciável (e, portanto contínua) no intervalo <� � C, � # C; e 
(i) 8S<?; � �" # 2�$<? � �; # 3�%<? � �;$ … � ∑ ��<? � �;�0"
� ! 
(ii) > 8<?;@? � U # �!<? � �; # �" <V0J;W$ # �$
<V0J;X
$ # & 
� U # + �� <? � �;
�
� # 1
� !
 
Os raios de convergência da série de potências nas Equações (i) e (ii) 
são ambos C. 
 
3 – SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN 
3.1- Séries de Taylor: 
� Se 8 tiver uma representação (expansão) em série de potências em �, 
isto é, se 
8<?; � + �� <? � �;�
� !
 |? � �| � C 
Então seus coeficientes são dados pela fórmula 
�� � 8
<�;<�;
�! 
 
� Substituindo as fórmulas acima temos 
8<?; � + 8
<�;<�;
�! <? � �;�
� !
 
 
� 8<�; # 8
Z<�;
1! <? � �; #
8ZZ<�;
2! <? � �;² #
8ZZZ<�;
3! <? � �;³ # & 
 
Essa série é chamada de série de Taylor da função \ em ]. 
 
� Se 8<?; � �^<?; # C�<?;, onde �^ é o polinômio de Taylor de grau � 
de 8 em � e 
lim�	
 C�<?; � 0 
Para |? � �| � C, então 8 é igual à soma de sua série de Taylor no 
intervalo |? � �| � C 
 
� A Desigualdade de Taylor: 
Se |8�E" <?;| � _ para |? � �| � @, então o resto C�<?; da série de 
Taylor satisfaz a desigualdade 
|C�<?;| � _<� # 1;! |? � �|�E" 7��� |? � �| � @ 
 
 
� Para todo número real ? 
lim�	
?�
�! � 0 
3.2 – Séries de Maclaurin: 
� Se considerarmos, na séria de Taylor, � � 0 teremos então uma série 
de Maclaurin 
 
8<?; � + 8
<�;<�;
�! <? � �;� �
� !
8<0; # 8
Z<0;
1! <?; #
8ZZ<�;
2! <?;² # & 
 
� Para todo ? 
�V � + ?
�
�!
� !
 
 
� � + 1�! � 1 #
1
1! #
1
2! #
1
3! # &
� !
 
� Para todo ? 
���? � ? � ?
%
3! #
?G
5! �
?a
7! # & � +<�1;�
� !
?$�E"
<2� # 1;! 
 
� Para todo x 
�-�? � 1 � ?
$
2! #
?F
4! �
?H
6! # & � +<�1;�
� !
?$�
2�! 
 
� Série de Maclaurin importantes e seus intervalos de convergência 
1
1 � ? � + ?�
� !
� 1 # ? # ?$ # ?³ # & <�1,1; 
�V � + ?
�
�! � 1 #
1
1! #
1
2! #
1
3! # & <�∞, ∞;
� !
 
���? � +<�1;�
� !
?$�E"
<2� # 1;! � ? �
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5! �
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7! # & <�∞, ∞; 
�-�? � +<�1;�
� !
?$�
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?$
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4! �
?H
6! # & <�∞, ∞; 
tan0" ? � +<�1;�
� !
?$�E"
2� # 1 � ? �
?%
3 #
?G
5 �
?a
7# & 9�1,1g 
 
4 – ESTRATÉGIA PARA TESTAR AS SÉRIES 
1. Se a série for da forma ∑ 1/�h, ela é uma i-/éjkl, que sabemos ser 
convergente se 7 
 1 e divergente se 7 � 1. 
2. Se a série tiver a forma ∑ ���0" ou ∑ ���, ela é uma série geométrica, 
que converge se |�| � 1 e diverge se |�| � 1. Algumas manipulações 
algébricas podem ser necessárias para deixar a série dessa forma. 
3. Se a série tiver uma forma similar a uma i-/éjkl ou a uma série 
geométrica, então um dos testes de comparação deve ser 
considerado. Em particular, se 7-�é�)� for uma função racional ou uma 
função algébrica de � (envolvendo raízes de polinômios), a série deve 
ser comparada com uma 7-�é�)�. (O valor de 7 deve ser escolhido 
deforma a deixar apenas as potencias � mais altas no numerados e 
denominador). Os testes de comparação se aplicam apenas a séries 
com termos positivos, mas, se ∑ ]m tiver alguns termos negativos, 
então poderemos aplicar o Teste da Comparação na ∑ |]m| e testar a 
convergência absoluta. 
4. Se você vir que nopq	
 rq 5 s, o Teste para Divergência deve ser 
usado. 
5. Se a série for da forma ∑<�t;m0tum ou ∑<�t;mum, então o teste da 
Série Alternada é uma possibilidade óbvia. 
6. Séries que envolvem fatoriais ou outros produtos (incluindo uma 
constante elevada à �-é�)*� potência) são com freqüência testadas 
convenientemente usando-se o Teste da Razão. Tenha em mente que 
|��E"/��| 	 1 quando � 	 ∞, para todas as 7-�é�)��, e portanto 
todas as funções racionais ou algébricas de �. Então, o Teste da Razão 
não deve ser usado para tais séries. 
7. Se ]m for da forma <um;m, o Teste da Raiz pode ser útil. 
8. Se ]m � \<m;, onde > \<v;wv
t é facilmente avaliada, então o Teste 
da Integral é eficaz (satisfeitas as hipóteses para este teste) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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