Lista 5 (Cálculo 2)

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Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Ca´lculo II- 2015.1
Prof.: Naldisson dos Santos.
Lista de exerc´ıcios 5
1. Plote o ponto cujas coordenadas polares sa˜o dadas. Enta˜o encontre dois outros pares de
coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e outro com r < 0.
a) (1,
pi
2
).
b) (−2, pi
4
).
c) (3, 2).
d) (3, 0).
e) (2,
−pi
7
).
f) (−1, −pi
2
).
2. Plote o ponto cujas coordenadas polares sa˜o dadas. Enta˜o encontre as coordenadas
cartesianas do ponto.
a) (3,
pi
2
).
b) (2
√
2,
3pi
4
).
c) (−1, pi
3
).
d) (2,
2pi
3
).
e) (4, 3pi).
f) (−2, −5pi
6
).
3. Esboce a regia˜o no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as
condic¸o˜es dadas.
a) r > 1.
1
b) 0 ≤ θ < pi
4
.
c) 2 < r < 3,
5pi
3
≤ θ ≤ 7pi
3
.
4. Encontre uma fo´rmula para a distaˆncia entre os pontos com coordenadas polares (r1, θ1),
(r2, θ2).
5. Encontre a equac¸a˜o cartesiana para a curva descrita pela equac¸a˜o polar dada.
(a) r = 3 sin θ.
(b) r = 2.
6. Encontre uma equac¸a˜o polar para a curva representada pela equac¸a˜o cartesiana dada.
a) 2xy = 1.
b) x2 = 4y.
7. Esboce a curva da equac¸a˜o polar primeiro convertendo-a para uma equac¸a˜o cartesiana.
a) r = −2 sin θ.
b) r = 2 sin θ + 2 cos θ.
8. Esboce a curva com a equac¸a˜o dada.
a) r = sin θ.
b) r = θ, θ ≥ 0.
9. Calcule a inclinac¸a˜o da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo
valor de θ.
a) r = 3 cos θ, θ =
pi
3
.
b) r = cos θ + sin θ, θ =
pi
4
.
10. Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente e´ horizontal ou vertical.
a) r = 3 sin θ.
b) r2 = sin(2θ).
2
11. Mostre qua a equac¸a˜o polar r = a sin θ + b cos θ, onde ab 6= 0, representa um c´ırculo e
calcule seu centro e o raio.
12. Encontre a a´rea da regia˜o que e´ limitada pelas curvas dadas que esta´ no setor especifi-
cado.
a) r =
√
θ, 0 ≤ θ ≤ pi
4
b) r = sin θ,
pi
3
≤ θ ≤ 2pi
3
.
13 Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas
r = 1 + sin θ, θ =
pi
2
, θ = pi.
14 Esboce a curva e calcule a a´rea limitada por ela
a) r = 5 sin θ.
b) r2 = 4 cos(2θ).
15 Encontre a a´rea da regia˜o que esta´ dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
a) r = 1− cos θ, r = 3
2
.
b) r = 4 sin θ, r = 2.
16 Calcule o comprimento da curva polar.
a) r = 5 cos θ, 0 ≤ θ ≤ 3pi
4
.
b) r = 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
3