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Universidade Federal de Sergipe -UFS Departamento de Arquitetura e Urbanismo - DAU Professor: Rafael Oliveira Lista 6 Ca´lculo I. 1. Use a definic¸a˜o de integral para computar as seguintes integrais: (a) ∫ 5 −1(1 + 3x) dx; (b) ∫ 4 1 (x2 + 2x− 5) dx; (c) ∫ 5 0 (1 + 2x3) dx; 2. Ache a integral indefinida (ou antiderivada) geral: (a) ∫ 3 √ x dx; (b) ∫ (x3 + 6x+ 1) dx; (c) ∫ (1− t)(2 + t2) dt; (d) ∫ cos 3x dx; (e) ∫ x2 √ x3 + 1 dx; (f) ∫ 4 (1 + 2x)3 dx; (g) ∫ dx 5− 3x ; (h) ∫ esen θcos θ dθ; (i) ∫ x.cos 5x dx; (j) ∫ xe−x dx; (k) ∫ x x− 6 dx; (l) ∫ x− 9 (x+ 5)(x− 2) dx; (m) ∫ r2 r + 4 dr. 3. Calcule a integral. (a) ∫ 2 0 (6x2 − 4x+ 5) dx; (b) ∫ 0 −1(2x− ex) dx; (c) ∫ 2 −2(3u+ 1) 2 du; (d) ∫ 1 0 x( 3 √ x+ 4 √ x) dx; (e) ∫ 2 1 y + 5y7 y3 dy; (f) ∫ 9 1 3x− 2√ x dx; (g) ∫ pi 0 (4sen θ − 3cos θ) dθ; (h) ∫ 2 0 (x− 1)25 dx; ∫ 2 0 (6x2 − 4x+ 5) dx; (i) ∫ √pi 0 x.cos(x2) dx; (j) ∫ e e4 dx x √ lnx ; (k) ∫ pi 0 x.sen 3x dx; (l) ∫ 2 1 lnx x2 dx; (m) ∫ pi 0 cos x ln(sen x) dx; (n) ∫ 3 2 1 x2 − 1 dx; (o) ∫ 1 0 x− 1 x2 + 3x+ 2 dx; (p) ∫ 1 0 2x+ 3 (x+ 1)2 dx; (q) ∫ 3 2 1 x2 − 1 dx; (r) ∫∞ 1 1 (3x+ 1)2 dx; (s) ∫ 0 −∞ 1 2x− 5 dx; (t) ∫ 3 0 1√ x dx; (u) ∫ 0 −1 1 x2 dx; (v) ∫ 3 −2 1 x4 dx 4. A func¸a˜o velocidade (m/s) e´ dada por uma part´ıcula movendo-se ao longo de uma reta. Ache o deslocamento e a distaˆncia percorrida no intervalo dado: (a) v(t) = 3t− 5, 0 ≤ t ≤ 3 (b) v(t) = t2 − 2t− 8, 1 ≤ t ≤ 6 2 5. A func¸a˜o acelerac¸a˜o (m/s2) e a velocidade inicial sa˜o dadas por part´ıcula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante t e a distaˆncia percorrida durante o intervalo de tempo dado. (a) a(t) = t+ 4, v(0) = 5, 0 ≤ t ≤ 10 (b) a(t) = 2t+ 3, v(0) = −4, 0 ≤ t ≤ 3 6. A Velocidade me´dia das mole´culas em um ga´s ideal e´ v = 4√ pi ( M 2RT ) 3 2 ∫ ∞ 0 v3e −mv2 2RT dv , onde M e´ o peso molecular do ga´s; R, a constante do ga´s; T , a temperatura do ga´s; e v, a velocidade molecular. Mostre que v = √ 8RT piM 7. Na teoria da relatividade, a massa de uma part´ıcula com velocidade v e´ m = m0√ 1−v2 c2 em que m0 e´ a massa da part´ıcula no repouso e c, a velocidade da luz. O que acontece quando a velocidade da part´ıcula se aproxima da velocidade da luz? Qual a variac¸a˜o total da massa dessa part´ıcula? (expressar o u´ltimo resultado em func¸a˜o de uma integral) 3
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