Teoria dos Jogos - conceitos

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“Para se ter sucesso, é necessário amar de verdade o que se faz. Caso contrário, levando em conta apenas o lado racional, você simplesmente desiste.” Steve Jobs
A Teoria dos jogos é um ramo da matemática aplicada que estuda situações estratégicas onde jogadores escolhem diferentes ações na tentativa de melhorar seu resultado ou “ganho”. 
A teoria dos jogos começou a ser estudada, há muito, por matemáticos mas a primeira publicação formal data de 1838, em Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth do filósofo e matemático Francês, Antoine Augustin Cournot que estabeleceu os princípios teóricos da teoria dos jogos. 
Contudo um brilhante matemático Norte Americano de origem húngara, John Von Neumann, é considerado o fundador da teoria dos jogos. Em 1944 ele lançou The Theory of Games and Economic Behavior em a co-autoria com o economista austríaco Oskar Morgensten.
Inicialmente desenvolvida como ferramenta para aplicações em economia a teoria dos jogos é hoje usada em diversos campos acadêmicos. 
A partir de 1970 a teoria dos jogos passou a vários ramos do conhecimento como biologia, estudo do comportamento animal, incluindo evolução das espécies, ciência política, filosofia, jornalismo e ciência da computação, administração de empresas, estratégia militar, além de muitos outros.
A teoria dos jogos parte do pressuposto de que pessoas, seres humanos como nós, são racionais e assim buscam estratégias de decisão em diferentes situações em que o resultado depende não só da estratégia própria de um agente ou jogador mas também das estratégias escolhidas por outros agentes envolvidos em uma situação ou jogo.
Um jogo consiste de jogadores, estratégias disponíveis para estes jogadores, e um pagamento para cada combinação de estratégia. 
Os jogos aqui apresentados se baseiam no dilema do prisioneiro, um tipo de jogo apresentado pelo matemático Albert Tucker em 1953 e que tem muitas implicações no estudo da cooperação entre indivíduos e da não cooperação dada pelo equilíbrio de Nash. 
O enfoque será portanto em jogos não cooperativos, que possuem um enfoque individualista. O campo de estudo com base nos chamados jogos cooperativos se aplica a associações e faremos breve referência a eles.
6.1.Como funciona o Jogo
Um jogo estratégico consiste de:
Um conjunto finito de jogadores N;
Para cada jogador i N, um conjunto não vazio de estratégias possíveis Ei;
Para cada jogador i N, uma relação de preferência i sobre o conjunto E.
As duas formas mais comum de apresentação são:a forma normal (ou estratégica) e a forma extensiva (ou sequencial)
a forma normal
 
	
O jogo normal é uma matriz onde existem dois jogadores e você pode ou não ser um deles. Cada jogador atua sem conhecer a ação do adversário. Ou seja, o jogo é simultâneo.
Suponha que você que você está jogando e que você sempre escolherá as linhas e o outro jogador, seu adversário, escolherá as colunas. Tanto você como o seu oponente tem, cada um duas opções de estratégias. 
Os pagamentos (pay-offs) são registrados no interior da matriz. O primeiro número se refere ao seu prêmio, resultado, ou pagamento que você receberá. Já o segundo número se refere ao pagamento do seu adversário. 
Veja um exemplo abaixo, suponha
 que você tenha duas escolhas: cima e baixo. Se você escolher baixo e o seu adversário escolher esquerda, você receberá $4,00 e o seu adversário receberá $3.
	
	Adversário escolhe esquerda
	Adversário escolhe direita
	Você
 escolhe cima
	3,2
	1,1
	Você
 escolhe baixo
	4,3
	0,0
a forma extensiva
 
Se os jogadores têm informação sobre as escolhas do adversário, o jogo será aqui apresentado na forma extensiva ou de árvore. Tais jogos são conhecidos como seqüenciais ou dinâmicos.
Na forma extensiva a ordem é importante e cada vértice representa um ponto de decisão para o jogador especificado.
Veja o jogo abaixo apresentado na forma extensiva e suponha que você seja o jogador dois, ou seguidor já que nesse caso o jogador 1 decide e você, após observar a jogada de seu adversário, toma a sua decisão.
 
 
O adversário, que suponhamos, decide primeiro, pode escolher F ou U. Você, depois de observar a escolha do jogador 1, decide escolher A ou R. Se ele escolher U você poderá escolher A e assim você ganhará $2 e seu adversário ganhará $8.
Estratégia Dominante
Nem todo jogo possui estratégia dominante. Mas tem fica intuitivo saber o resultado do jogo pois estratégia dominante é aquela que independente da escolha do oponente deve ser a escolhida.
Veja o exemplo abaixo que se refere a duas empresas que disputam o mercado e que simultaneamente estão decidindo entre fazer ou não propagando de seu produto.
Cada uma das empresas, A e B, tem então as seguintes estratégias: fazer ou não fazer propaganda e o resultado que cada uma obterá está descrito na matriz:
 B
	
A
	Fazer Propaganda
	Não Fazer Propaganda
	Fazer Propaganda
	10,5
	15,0
	Não Fazer Propaganda
	6,8
	10,2
Observe que independente da escolha de A, B deve sempre fazer propaganda. O mesmo acontece com A, independente da escolha de B, A deve sempre fazer propaganda. Portanto esse jogo possui estratégia dominante que é fazer propaganda, fazer propaganda cujo resultado está no canto esquerdo de cima.
 BVeja agora o jogo abaixo:
	
A
	Fazer Propaganda
	Não Fazer Propaganda
	Fazer Propaganda
	10,5
	15,0
	Não Fazer Propaganda
	6,8
	20,2
Nesse caso somente B possui estratégia dominante que é fazer propaganda. A não tem estratégia dominante, a sua decisão depende da decisão de B. De fato se B escolher fazer propaganda é melhor para A fazer propaganda. Mas se B não fizer propaganda é melhor para A não fazer propaganda.
Equilíbrio de Nash
O equilíbrio de Nash parte da noção de que um jogador vai sempre tentar obter o melhor resultado e para isso vai basear a escolha de sua estratégia pensando na possível estratégia de decisão de seu adversário.
Portanto, descobrir o equilíbrio do jogo é o objetivo sempre tendo em mente que as pessoas agem racionalmente e assim preferem sempre o melhor ao pior e querem ter mais (de coisas boas como dinheiro ou algum outro benefício) do que menos.
Na verdade o desafio aqui é encontrar o equilíbrio de Nash nos jogos propostos. Um conjunto de estratégias é um equilíbrio de Nash se cada uma representa a melhor resposta para as outras estratégias. 
Se todos os jogadores estiverem jogando a estratégia que terá como resultado um equilíbrio de Nash, eles não terão nenhum incentivo para se decidir por outra estratégia uma vez que a estratégia escolhida é a melhor possível considerando a expectativa de decisão de seu oponente.
O equilíbrio de Nash pode ser definido da seguinte forma:
Dado um jogo{N,(Ei),(i)}, o equilíbrio de Nash é a escolha e* E, que corresponde à melhor resposta dado que os outros jogadores adotarão estratégias de equilíbrio de Nash.
1.Dilema do Prisioneiro 
Este é o jogo mais famoso. A situação é a seguinte:
Dois suspeitos de cometerem um crime são interrogados por um delegado em salas separadas de forma que um não sabe o que o outro vai responder.
O delegado diz a cada um: Você pode nos ajudar falando tudo o 
que você e o outro suspeito fizeram, ou seja, você pode confessar ou você pode ficar calado, ou seja, não confessar.
	
	Outro suspeito coopera com você
	Outro suspeito não coopera com você
	Você
Coopera com o outro suspeito
	2 dias, 2 dias
	20 anos, 0
	Você
Não Coopera com o outro suspeito
	0, 20 anos
	2 anos, 2 anos
Confessar significa não cooperar com o parceiro e não confessar significa cooperar.
O delegado diz, a cada um separadamente: Se você cooperar e o outro cooperar, não podemos fazer nada pois não teremos provas contra vocês e, após dois dias, os dois serão liberados. 
Mas se você cooperar e o outro não cooperar, ele ficará livre por colaborar conoscoe você amargará 20 anos na prisão. Já se você não cooperar e o outro cooperar, você ficará livre da prisão já o seu comparsa amargará 20 anos na prisão. Mas se tanto você como o outro suspeito não cooperarem, ou seja, confessarem ambos ficarão presos por dois anos.
O que você faria diante desses resultados. Você cooperaria ou não?
Veja que cooperar com o suspeito é um risco. Imagina se ele resolve não cooperar e confessa tudo? Você ficará preso(a) 20 anos!
Para decidir você deve pensar nos possíveis resultados:
2 dias preso ou 20 anos preso que são os resultados possíveis caso você coopere com o outro suspeito; ou
b)ficar livre ou 2 anos preso que são os resultados possíveis caso você não coopere com o outro suspeito e confesse o que sabe.
Racionalmente é bem melhor ficar livre ou 2 anos preso. Portanto a sua melhor estratégia deve ser não cooperar.
O outro suspeito pensando na sua melhor estratégia e na expectativa de sua decisão de seu oponente também deverá não cooperar. 
Assim o resultado desse jogo que é um equilíbrio de Nash é 2 anos, 2 anos. Canto direito de baixo.
	
	Outro suspeito coopera com você
	Outro suspeito não coopera com você
	Você
Coopera com o outro suspeito
	
2 dias, 2 dias
	
20 anos, 0
	Você
Não Coopera com o outro suspeito
	
0, 20 anos
	
2 anos, 2 anos
Outro Dilema do Prisioneiro – Agora é com você!
Suponha que você seja um dos suspeitos e o delegado informe os seguintes resultados em termos de anos de prisão:
	
	Outro suspeito confessa
	Outro suspeito não confessa
	Você
Confessa
	1 ano, 1 ano
	Livre, 10 anos
	Você
Não Confessa
	10 anos, Livre
	3 dias, 3 dias
4a) Qual deve ser sua estratégia, confessar ou não confessar? ______confessar_______________________
4b)Qual é o equilíbrio do jogo? 1 ano, 1 ano
Além do dilema do prisioneiro, outros exemplos clássicos de jogos estratégicos são: a batalha dos sexos e o jogo do par ou impar:
1. Batalha dos Sexos: Este jogo consiste de dois jogadores, um homem H e uma mulher M que combinaram de saírem juntos. O principal interesse deles é de se encontrar no mesmo lugar, mas o homem prefere ir ao lugar A, enquanto a mulher gostaria que eles fossem em B.
A Tabela abaixo representa as preferências dos jogadores. Nesse exemplo os jogadores querem chegar a um consenso, mas têm interesses conflitantes. Existe equilíbrio de Nash para esse jogo? Se existir, qual é ou quais são?
 M
	
	A
	B
	
 HA
	2,1
	0,0 
	B
	0,0
	1,2
 
22. Jogo do Par ou ímpar: Dois jogadores estão disputando par ou ímpar. O jogador que perder terá que pagar ao outro um real. No jogo, cada jogador pode optar por colocar um número par ou ímpar. O jogador que escolhe par ganha quando os números forem 2 pares ou 2 ímpares. O outro ganha quando os números forem um par e um ímpar. Em jogos desse gênero os interesses dos jogadores são totalmente conflitantes e por isso são chamados de estritamente competitivos. Existe equilíbrio de Nash para esse jogo? Se existir, qual é ou quais são?
	
	P
	I
	
 
1P
	1,-1
	-1,1 
	I
	 -1,1
	1,-1
De fato, a teoria dos jogos, apenas considerando o equilíbrio de Nash, já permite que se tenha uma visão das possibilidades estratégicas em situações reais. 
Veja o caso da Embraer e Bombardier em:
RODRIGUES, Cícero W. L., A Teoria dos Jogos Aplicada ao Oligopólio: O Caso da Disputa entre a Embraer e a Bombardier na Venda de Jatos Regionais. Monografia. Universidade Federal do Ceará-FEAAC. Fortaleza, 2004.
Encontre o equilíbrio de Nash no exemplo do Mas-Colell:
 2
	
	L
	m
	R
	
 
1U
	5,3
	0,4
	3,5 
	M
	 4,0
	5,5
	4,0
	D
	 3,5
	0,4
	5,3
Qual é o Equilíbrio de Nash em estratégia pura?
Nem todo jogo possui equilíbrio de Nash em estratégia pura. Mas conforme provado por Kreps todo jogo tem pelo menos um equilíbrio de Nash em estratégia mista.
 BVamos encontrar o equilíbrio de Nash em estratégia mista no jogo das moedas:
	
	Cara
	coroa
	
 Acara
	1,-1
	-1,1 
	Coroa
	 -1,1
	1,-1
Nas estratégias mistas os jogadores fazem escolhas aleatórias entre duas ou mais ações possíveis, com base em um conjunto de probabilidades escolhidas:
1)Probabilidade
∏A = probabilidade de A cara
1-∏A = probabilidade de A coroa
∏B = probabilidade de B cara
1-∏B = probabilidade de B coroa
2) Resultados
 A
1: ∏A∏B+(1-∏A)(1-∏B)
-1: ∏A(1-∏B)+(1-∏A)∏B
 B
1: ∏B(1-∏A)+(1-∏B)∏A
-1: ∏A∏B+(1-∏A)(1-∏B)
3)Valor Esperado (e)
eA= ∏A∏B+(1-∏A)(1-∏B)-(∏A(1-∏B)+(1-∏A)∏B)
eA= ∏A∏B+1-∏B-∏A+∏A∏B-∏A+∏A ∏B-∏B+∏A∏B
eA= 4∏A∏B+1-2∏B-2∏A
∂eA/∂∏A = 4∏B-2=0, ∏B=1/2
eB= ∏B-∏A∏B+∏A-∏B∏A – (∏A∏B+(1-∏A)(1-∏B))
eB= ∏B-∏A∏B+∏A-∏B∏A – ∏A∏B-1+∏B+∏A-∏A ∏B
eB= -4∏A∏B-1+2∏B+2∏A
∂eB/∂∏B = -4∏A+2=0, ∏A=1/2
eA= 4(1/2)(1/2)+1-2(1/2)-2(1/2)=0
eB= -4(1/2)(1/2)-1+2(1/2)+2(1/2)=0
No jogo das moedas o jogador A joga cara com probabilidade de ½ e coroa com probabilidade ½. Para alguns jogos as estratégias mistas podem fazer sentido mas para empresas isso não parece viável.
Se os dois jogadores fazem o mesmo tem-se um equilíbrio de Nash em estratégia mista pois ambos estarão fazendo o melhor que podem em função daquilo que o oponente está fazendo. Ou seja, somente a escolha aleatória com probabilidade de ½ por parte de cada jogador leva a um equilíbrio de Nash. No exemplo, o pay-off esperado de A e B é zero.
O Jogo da guerra dos sexos também pode ser resolvido por estratégia mista embora seja pouco provável. 
Veja que nesse jogo os dois preferem ficar juntos e assim fazendo no mínimo vai ter o pay-off de 1. Observe que o jogo tem dois equilíbrios de Nash em estratégia pura: em AA e BB.
 B
	
	LL
	O
	
 ALL
	2,1
	0,0 
	O
	0,0
	1,2
Calculando o equilíbrio de Nash em estratégia mista tem-se:
1)Probabilidade
∏A = probabilidade de A LL
1-∏A = probabilidade de A O
∏B = probabilidade de B LL
1-∏B = probabilidade de B O
2) Resultados
 A
2: ∏A∏B
O: ∏B(1-∏A)+(1-∏B)∏A
1: (1-∏A)(1-∏B)
 B
1: ∏A∏B
O: (1-∏A) ∏B+(1-∏B)∏A
2: (1-∏A)(1-∏B)
3)Valor Esperado (e)
eA= 2∏A∏B+1-∏B-∏A+∏A∏B
∂eA/∂∏A = 2∏B-1+∏B=0, ∏B=1/3
eB= ∏A∏B+2(1-∏B-∏A+∏A∏B)= = ∏A∏B+2-2∏B-2∏A+2∏A∏B
∂eB/∂∏B= -2+3∏A=0, ∏A=2/3
O pay-off esperado será:
eA= 2(2/3)(1/3)+1-(1/3)-(2/3)+(2/3)(1/3)=2.2/9+1-1+2/9=6/9=2/3
eB=(2/3)(1/3)+2-2(1/3)-2(2/3)+2(2/3)(1/3)=2/9+2-2/3-4/3+4/9=6/9+2-6/3=-4/3+2=2/3
Jogos Repetitivos
O dilema do prisioneiro é limitado. Na vida real as empresas praticam jogos repetitivos porque elas são criadas para atuarem no mercado por um período de tempo indeterminado e desse modo decisões são tomadas continuamente.
A cada repetição de atitude que normalmente tem características do dilema do prisioneiro, cada organização desenvolve um comportamento de atuação no mercado ou reputação o que é observado
 pelos concorrentes.
A tabela abaixo mostra o problema de determinação de preço de duas empresas concorrentes, 1 e 2:
 
2
	
	Preço baixo
	Preço alto
	
 
1preço baixo
	10,10
	100,-50 
	Preço alto
	-50,100
	50,50
Dentro da matriz de pay-off é apresentado o lucro de cada empresa. Observe que se as duas empresas concorrentes cobrarem um preço alto, ambos obterão lucros mais elevados do que se os dois cobrassem preço alto ($50,$50) do que se os dois cobrassem preço baixo ($10,$10).
Apesar de ser bom para o consumidor, cobrar preço baixo é interpretado pelos concorrentes como uma espécie de “declaração de guerra” já que leva a menores lucros.
O resultado desse jogo se for jogado simultaneamente e uma única vez é o equilíbrio de Nash encontrado em $10,$10, situação que ocorre quando ambas cobram preço baixo. Veja que de acordo com a definição de equilíbrio de Nash esse é o resultado possível baseado na expectativa de decisão do oponente. De fato o melhor resultado para ambas as concorrentes é a cobrança de preço alto. Mas cobrar preço alto implica em grande risco.Se a empresa 1 cobrar preço alto achando que a empresa 2 fará o mesmo ela pode passar a amargar um prejuízo se a empresa 2 cobrar preço baixo. A empresa 2 neste caso sairá vitoriosa com lucro de $100.
Observe contudo que esse mesmo jogo acontecer repetidas vezes a empresa 2 pensará duas vezes antes de cobrar preço baixo. Ela de fato pode ganhar uma vez mas na próxima a sua rival, empresa 1, irá se vingar cobrando também preço baixo.
No livro “The Evolution of Cooperation” Robert Axelrod apresenta o resultado de simulações feitas em computador que mostram a melhor estratégia a ser seguida quando um jogo é jogado repetidas vezes.
De acordo com o autor a estratégia que melhor funcionou foi a do tipo “dente por dente” ou “titi for tat”. Em outras palavras cada jogador toma a mesma atitude que seu rival tomar. Se um cooperar sempre, ou seja, se sempre cobrar preço alto, o outro também cobrará preço alto. Mas se em algum momento um jogador tentar “passar a perna” cobrando preço baixo, na próxima oportunidade o concorrente também fará o mesmo e cobrará preço baixo.
Considerando um jogo que é repetido diversas vezes, sem prazo determinado para acabar, a não cooperação, ou a cobrança por parte de ambas as empresas de um preço baixo levará a uma perda acumulada lucros que será superior a qualquer eventual ganho em um só período.
Então conclui-se que se um jogo é repetido infinitas vezes ou seja, sem prazo para acabar, a cooperação deve ser a estratégia racional a ser seguida que no caso do exemplo acima se refere à cobrança de preço alto.
O resultado de cooperação corresponde a uma situação de pareto ótimo. Já que a partir desse ponto para uma empresa melhorar ela terá que prejudicar a concorrente.
Contudo se o jogo é repetido por um período determinado o jogo não cooperativo deve prevalecer. De fato, se ambas as empresas sabem que permanecerão no mercado por digamos, 10 meses e considerando que ambas as empresas agem racionalmente (o que é sempre o pressuposto), ambas podem pensar em cobrar preço baixo no 10º. Mês. Uma empresa sabe que a concorrente vai fazer o mesmo e, portanto, podem pensar em fazer o mesmo no 9º. Mês... E assim por diante. De modo que o resultado do jogo nesse caso será não cooperar com abas as empresas cobrando preço baixo.
Em geral, as empresas competem entre si um número indefinido de vezes e desse modo o resultado provável é a adoção de um jogo cooperativo de ambas as partes.
Algumas características como demanda inelástica e estável e a pequena ameaça da entrada de novos concorrentes e pequeno número de empresas atuantes no mercado podem ser estímulo suficiente para a adoção de estratégia cooperativa.
Contudo se muitas empresas estiverem competindo e algumas não estão satisfeitas com sua participação no mercado a cooperação pode não prevalecer pois em um dado momento algumas empresas podem ser tentadas a ganhar mercado baixando preços ou oferecendo descontos o que resulta em uma “guerra de preços” e consequentes perdas para empresas e benefícios, ainda que temporários, para consumidores. 
Temporários porque se as perdas se acumularem por longos períodos podem levar ao fechamento de algumas empresas e a posterior formação de poder de mercado na mão de poucas empresas em atividade.
Jogos sequenciais
Nos jogos sequencias os jogadores fazem movimentos um após o outro como no modelo de Stakelberg. 
Vejamos o jogo a seguir em que duas empresas tomam a decisão sobre que tipo de cereal deve lançar, se crocante ou açucarado.
 
2
	
	Crocante
	Açucarado
	
 
1Crocante
	-5,-5
	10,20 
	Açucarado
	20,10
	-5,-5
No caso de jogo simultâneo qual seria o equilíbrio de Nash? Bem, se a empresa 1 fosse lançar o cereal crocante, para a empresa 2 seria melhor lançar o cereal açucarado e se a empresa 2 fosse lançar o cereal açucarado para a empresa 1 seria melhor lançar o cereal crocante. Do mesmo modo, se a empresa 1 fosse lançar o cereal açucarado seria melhor para a empresa 2 lançar o cereal crocante e se a empresa 2 fosse lançar o cereal crocante para a empresa 1 seria melhor lançar o cereal açucarado. Ou seja, existem dois equilíbrios de Nash no caso de decisão simultânea onde o resultado possível seria a escolha de tipos diferentes de cereais.
Contudo como se trata de um jogo sequencial a forma extensiva é a melhor forma de apresentação desse jogo:
1
 C A
 
 2 2
 
 C A C A
 (-5,-5) (10,20)(20,10) (-5,-5)
C = crocante A=açucarado
Como a empresa 1 é a líder, ela toma a decisão primeiro. A melhor forma de saber a solução do jogo é começar pelo final. Para a líder o melhor resultado é (20,10). Para alcançar esse resultado a empresa 1 deve lançar o cereal açucarado pois certamente a empresa 2, após conhecer a decisão da empresa 1 escolherá o cereal crocante levando ao resultado de (20,10).
A empresa que decide primeiro certamente leva vantagem. Da mesma forma empresas que estão no mercado podem fazer ameaças que tornam difícil a entrada de empresas concorrentes. Mas tais ameaças só atingem o objetivo se merecerem crédito.
1
 AP AG
 
 2 2
 
 MP MG MP MG
 
 (6,3) (1,1) (0,3) (3,8)
Veja que como a empresa 1 é a líder o resultado do jogo será (6,3), ou seja a empresa 1 produzirá automóveis pequenos e a empresa 2 produzirá motores pequenos.
Mas o melhor resultado para empresa 2 seria (3,8) que seria o pay-off se a empresa 1 produzisse automóveis grandes e a empresa 2 produzisse motores grandes.
Mas será que mesmo sendo a seguidora a empresa 2 teria como fazer com que a empresa 1 produzisse automóveis grandes? Depende. Se a empresa 2 fizer uma ameaça (publicando em um jornal ou de alguma forma fazendo chegar ao conhecimento da empresa 1 de que a empresa 2 fabricará motores grandes, a empresa 1 temendo não ter fornecedor de motores para seus automóveis pequenos será levada a produzir automóveis grandes mesmo contra sua vontade.Contudo essa ameaça não merece credibilidade pois se a empresa 1 anunciar como resposta que produzirá automóveis pequenos certamente a empresa 2 não vai gostar de lucro de $1.
Para que a ameaça da empresa 2 tenha credibilidade é preciso que a empresa 2, reduza os lucros realmente se desfazendo de motores pequenos o que resultaria no seguinte:
1
 AP AG
 
 2 2
 
 MP MG MP MG
 
 (6,0) (1,1) (0,0) (3,8)
Dessa forma o resultado do jogo será (3,8). Ameaças assim são arriscadas. Imagine se a empresa 1 não pode conseguir outro fornecedor de motores pequenos?
Um exemplo tradicional de empresa líder é o caso das empresas do grupo Wal-Mart que se instalam em pequenas cidades norte americanas. Digamos que uma empresa X está pensando em entrar no mesmo mercado. O equilíbrio depende de quem agir primeiro. Se for a Wal-Mart, e ela realmente tem se antecipado, veja os resultados:
Wal-Mart
 entra não entra
 
 X X
 
 entra não entra entra não entra
 
 (-10,-10) (20,0) (0,20) (0,0)
O resultado do jogo será (20,0).
Jogos Cooperativos
Ocorrem quando seus participantes podem negociar contratos vinculativos entre si, permitindo que planejem estratégias em conjunto.
Um pressuposto básico da teoria de jogos cooperativos é que as empresas podem concordar em que estratégias devem utilizar para firmarem um contrato.
Um jogo cooperativo ocorre a partir da especificação de umvalor para cada coalisão. Formalmente um jogo cooperativo consiste de um número finito de jogadores N que formam a coalisão e de uma função formada por todas as coalisões possíveis dos jogadores. A função deve descrever quanto o pay-off coletivo os jogadores pode obter ao formar uma coalisão. Os jogadores escolhem que coalisão formar de acordo com as suas estimativas da forma como o pagamento será dividido entre os membros da coalisão.
Percebe-se claramente que o conceito de jogos cooperativos está intimamente relacionado associações ou grupos e não a decisões individuais como é o caso em jogos não cooperativos.
O conceito de Jogos Cooperativos se deve em grande parte ao trabalho de Von Neumann e Morgenstern, em 1944.
A melhor maneira de introduzir este conceito é dando um exemplo de como este problema pode ocorrer em situações corriqueiras.
Suponha um cenário onde 4 empresas: A, B, C e D resolvem unir seu capital e força de trabalho para um investimento conjunto. De acordo com suas estimativas, eles conseguirão um lucro de 100 unidades. Ocorre então, o problema de se dividir esse lucro entre os participantes da sociedade. Uma primeira abordagem, que parece justa é dividir o lucro igualmente entre os quatro participantes, 25 unidades para cada um.
Porém, os participantes A e B descobrem que se eles se unirem conseguirião arrecadar 55, mais do que os 50 que os dois conseguiriam se estiverem na sociedade com C e D. Por outro lado, C e D analisam o mercado e descobrem que juntos eles não conseguiriam lucro de 30 unidades.
Sendo, dessa maneira, vantajoso para eles manterem A e B na sociedade. Desta forma, eles se vêm obrigados a abrir mão de seu lucro inicial e ceder para A e B 56 unidades, ficando com 44 para eles.
Apesar de parecer óbvio em algumas situações não é tão simples ocorrer a cooperação na prática. Um caso real é o do setor de redes de dormir, no estado do Ceará. Dentro do Programa Especial de Exportações - PEE, lançado pelo Governo Federal em setembro de 1998, o Banco do Nordeste tentou formatar uma série de ações objetivando o real aumento das exportações nordestinas totais que chegaram a representar quase 20% das exportações brasileiras em 1960 e que em 1998 atingiam menos de 8%. 
Na tentativa de se disseminar a metodologia do programa, cuja principal característica é o estímulo à iniciativa privada, uma equipe do banco fez visitas a algumas empresas do setor redes de dormir e constatou o grande potencial de venda do produto final no mercado externo, principalmente na Europa.
Após os primeiros contatos, a equipe do Banco da qual fiz parte, realizou reunião com empresários do setor, localizados na zona urbana de Fortaleza, ocasião em que foi explicitado como o PEE funciona: o setor exportador tradicional ou vocacionado à exportação elege um representante do setor e conjuntamente elaboram um termo referencial que se transforma, após a validação por parte dos membros do setor, em plano de ação em que são apontados os gargalos e principais problemas ou empecilhos encontrados pelo setor para o incremento das exportações. Esse plano é então apresentado aos gerentes temáticos, representantes dos governos estaduais, que tratam, em articulação com órgãos públicos de todas as esferas, de solucionar os problemas apontados.
Outros encontros posteriores foram tentados, mas nunca chegaram a ser efetivamente agendados. Em conversas individuais com representantes do setor, os técnicos do Banco chegaram à conclusão de que, apesar de todos arguirem que tinham interesse em aumentar suas vendas no mercado externo, os integrantes do setor redes de dormir não chegavam a um consenso quanto à escolha do representante. Ficou claro que havia um clima de desconfiança entre aqueles empresários. Alguns receavam, por exemplo, que após firmado um contrato de venda conjunta ao exterior, um ou alguns fabricantes utilizassem fio de qualidade inferior com o intuito de aumentar lucros.
Apesar de aparentemente irracional, a atitude materializa um caso típico de jogo não-cooperativo em que grupos ou empresas procuram isoladamente seu benefício particular como se existisse uma auto-suficiência.
Em muitas situações, contudo, esta suficiência não parece evidente. No mesmo setor de redes de dormir, existe a carência de uma máquina de fazer tingimento de cores específicas mas a compra do equipamento por uma empresa isolada não justificaria o investimento, considerando que o custo é elevado e que o equipamento ficaria ocioso. 
O caminho óbvio, mais uma vez, seria a compra coletiva do equipamento que poderia ser utilizado pelos empresários do ramo, repartindo-se o custo de aquisição do equipamento por todos os integrantes do setor (são em número de seis as empresas fabricantes de redes no estado do Ceará que produzem tendo como destino principal o mercado externo).
Os próprios empresários reconhecem a importância da compra do equipamento de forma coletiva mas não chegam a um consenso: onde ficaria localizada a máquina? Se fosse em uma das empresas, as outras se sentiriam prejudicadas, se fosse em um local neutro, eles teriam de arcar com um custo adicional. E no financiamento, quem se responsabilizaria pelo pagamento? Quem ofereceria as garantias?
Bem, as questões são muitas e o fato é que os empresários não chegaram a um consenso. Outra evidencia da ausência de cooperação que impede a chegada a um ponto comum para que seja possível um contrato entre as partes beneficiando a todos é o caso dos fruticultores de Petrolina-PE. Basicamente não há entendimento entre pequenos e grandes produtores naquela região. Os primeiros agem com certo receio e desconfiança com relação aos grandes e estes parecem não acreditar na capacidade empresarial e de modernização do pequeno. Qualquer tentativa de união do setor para atingir um benefício comum parece utópica.
É compreensível que os pequenos produtores tenham receio dos grandes, uma vez que os grandes podem efetivamente tirar os pequenos do mercado, especialmente se produzem a um custo marginal baixo. Assumindo mercados competitivos, firmas (tanto pequenas como grandes) vendem em um ponto onde o preço se iguala ao custo marginal.
Para o mercado como um todo é possível que os pequenos que produzem a unidade marginal de produção a um custo marginal elevado, sejam levados a ter prejuízo, ficando apenas os mais eficientes.
Os grandes produtores possivelmente operam a um custo marginal mais baixo porque utilizam uma tecnologia de produção diferente da utilizada pelos pequenos e assim podem vender ao consumidor a preços menores. Contudo, é vital a importância da existência dos pequenos fruticultores, não só pela característica de produção familiar e pelos impactos em termos de emprego de mão-de-obra, mas também porque a concentração de poucas grandes empresas neste, como em qualquer setor, é um risco que prejudica a competição, podendo resultar em preços mais elevados ao consumidor.
Muitos outros exemplos reais poderiam ser citados, onde se observa a dificuldade em se chegar a um acordo, mesmo sendo este intuitivamente benéfico para todos. Ou seja, não é tão simples como parece se alcançar um jogo cooperativo entre empresas apesar de conhecidas as vantagens de inserção no processo. Considerando que os indivíduos assim como as empresas agem racionalmente, deve existir do lado dos produtores citados, e de muitos outros não mencionados, argumentos que justifiquem, sob a ótica deles, uma atitude não cooperativa.
Entre as principais vantagens de um comportamento cooperativo entre empresas está a possibilidade de aumento no nível de renda e o relacionamento do tipo principal-principal, e não do tipo agente-principal. Isso sem contar que a cooperação se apresenta como uma boa alternativa para agentes econômicos pulverizados e desorganizados, permite um maior controle da cadeia desde o produtor até o consumidor, além de poder propiciar a criação de uma marca que distinga o produto nos mercados doméstico e mundial.
O comportamento cooperativo entreempresas deve, assim ser visto como uma estratégia empresarial moderna que tem como principal objetivo atender o mercado e a tomada de decisões para uma atuação efetiva, mas que, apesar dessas conhecidas virtudes, não é fácil de ser implementado no mundo real.
Na teoria de jogos cooperativos a noção de otimalidade de Pareto é vital. De fato, se uma estratégia adotada não é Pareto eficiente, significa que existe uma outra estratégia que coloca todos os empresários de um determinado setor, por exemplo, em melhor situação (ou pelo menos alguns em melhor situação e nenhum em pior situação). É natural portanto, que os empresários persigam uma estratégia que seja Pareto eficiente.
Utilizando um modelo básico, digamos que em determinado setor existam dois “grupos de interesse” cada um formado por uma ou várias empresas do ramo que defendem determinadas estratégias comuns:
Grupo 0
Grupo 1
Cada grupo apontado (i = 0,1) possui um “espaço estratégico” Xi contido nos reais. Uma estratégia típica seria: xi = (xi1, ..., xim)
Por exemplo uma estratégia do grupo 0 poderia ser:
x01 = variável compra da máquina de tingir;
x02 = variável controle de estoques;
A estratégia do grupo 1 seria:
x11=variável compra de insumo de baixo custo/qualidade;
x12=variável desconto promocional para importadores estrangeiros.
O nível de (bem-estar welfare dos grupos de interesse) depende da estratégia que cada grupo emprega:
Bem-estar do grupo 0: Uo (xo, x1);
Bem-estar do grupo 1: U1(xo, x1);
Em outras palavras, poderia ser dito que no caso do setor redes de dormir, o fato de uma empresa utilizar, por exemplo, um fio inferior na fiação do produto final poderia comprometer a venda de todas as redes procedentes do Ceará destinadas ao mercado externo e, nesse sentido, o bem-estar de uma empresa não depende unicamente das estratégias por ela empregadas.
Fonte: Revista Econômica do Nordeste, Fortaleza, v. 31, n. 3 p. 384-395, jul-set. 2000